Геометрія

Билет № 1 аксіоми планіметрії: 1. як і вона була пряма, існують точки, належать цієї прямий і точки не належні їй. Через будь-які дві точки можна навести пряму і тільки один. 2. із трьох точок на прямий одна про лише одне лежить між двома іншими. 3. кожен відрізок має певну довжину, велику нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, куди він розбивається кожен її точкою. 4. пряма розбиває площину на дві напівплощини. 5. кожен кут має певну градусну міру, велику нуля. Градусная міра кута дорівнює сумі градусных заходів кутів куди він розбивається будь-яким променем, які пройшли між його сторонами. 6. про всяк полупрямой від неї початковій точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і лише одне. 7. від будь-якої полупрямой в задану полуплоскость можна відкласти кут з заданої градусної мірою, меншою 180, і лише одне. 8. який був трикутник, існує рівний йому трикутник в заданому розташуванні щодо даної полупрямой. 9. через точку не що лежить на даної прямий можна навести на площині не більше прямий, паралельної даної. Аксіоми стереометрії. Стереометрія — розділ геометрії, у якому вивчаються фігур у пространстве.

С1: як і вона була площину, існує точки, належать цієї площині, і точки, не належні їй. С2: якщо дві різні площині мають загальну точку, всі вони перетинаються по прямий, що проходить цю точку. Цією аксіомою стверджується, що й дві різні площині (і (мають загальну точку, що існує пряма з, що належить кожної з цих площин. У цьому якщо точка З належить обом площинам, вона належить прямий з. С3: якщо дві різні прямі мають загальну точку, то них можна провести площину, і притому тільки один. Це означає, що й дві різні прямі a і b мають загальну точку З, що існує площину (, що містить прямі a і b. Площину, що має цією властивістю, єдина. Теорему 15.1: через пряму і що лежить у ньому точку можна навести площину, до того ж тільки один. Доказ: нехай АВ — дана пряма і З — не що у ньому точка. Проведемо через точки Проте й З пряму (аксіома 1). Прямі АВ і АС різні, так як точка З не лежить прямий АВ. Проведемо через прямі АВ і АС площину ((аксіома С3). Вона тягнеться через пряму АВ й ставлячи крапку З. Доведемо, що площину (, через пряму АВ й ставлячи крапку З, єдина. Припустимо, є інша площину (1, через пряму АВ й ставлячи крапку З. По аксіомі С2 площині (і (1 перетинаються по прямий. Ця пряма повинна утримувати точки А, У і З. Але де вони лежать в одній прямий. Ми дійшли протиріччю. Теорему доказана.

Параллелепипед, його елементи. Якщо підставу призми — паралелограм, вона називається параллелепипедом. У паралелепіпеда всіх граней — паралелограми. Грані паралелепіпеда, не мають загальних вершин, називаються противолежащими. Буває прямий і похилий. Прямий паралелепіпед: підставу — прямокутник. В нього всі грані - прямокутники. Прямоуг параллеп, яка має все ребра рівні, називається кубом. Довжини непараллельных ребер прямоуг параллеп називаються його лінійними розмірами (вимірами). У прямоуг параллеп три измерения.

Теорема 19.3: діагоналі паралелепіпеда перетинаються лише у точці, й точкою перетину діляться навпіл. Дано: паралелепіпед АВСДА1В1С1Д1., Про — точка перетину діагоналей С1А і ВД1. Доказ: розглянемо якісь дві діагоналі паралелепіпеда, наприклад АС1 і ВД1. Оскільки чотирикутники АВСД і ДД1С1С — паралелограми із загальною стороною СД, їх боку АВ і Д1С1 рівнобіжні одна одній, отже, лежать у площині. Ця площину перетинає площині протилежні граней паралелепіпеда по паралельним прямим АД1 і ВС1. Отже, чотирикутник ВАД1С1 — паралелограм. Діагоналі паралелепіпеда АС1 і ВД1 є діагоналями цього паралелограма. Тому перетинаються і точкою перетину Про діляться навпіл. Аналогічно доводяться інші діагоналі. Звідси укладаємо, що чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються лише у точці, й точкою перетину діляться пополам.