Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку (реферат)

Реферат на тему:

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку.

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду.

$$y^{\left(n\right)}+P_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\text{.}\text{.}\text{.}+P_n\left(x\right)y=f\left(x\right)$$ (5.1).

де Pi (x), i = $$$$ 1,2,…, n, f (x) — задані функції, неперервні на (a, b).

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок.

y=y (x), який задовільняє початковим умовам $$y\left(x_0\right)=y_0\begin{array}{cc},& y^{\text{'}}\left(x_0\right)\end{array}=y_0^{\text{'}}\begin{array}{ccc},& \text{.}\text{.}\text{.}& ,y^{\left(n-1\right)}\end{array}\left(x_0\right)=y^{{\left(n-1\right)}_0}$$ .

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a, b).

Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при $$y^{\left(n\right)}$$ стоїть $$P_0\left(x\right)$$, то точки, в яких $$P_0\left(x\right)$$ =0, називаються особливими.

Якщо f (x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним.

$$y^{\left(n\right)}+P_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\text{.}\text{.}\text{.}+P_n\left(x\right)y=0$$ (5.2).

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

$$L=\frac{d^n}{{\text{dx}}^n}+P_1\left(x\right)\frac{d^{n-1}}{{\text{dx}}^{n-1}}+\text{.}\text{.}\text{.}+P_{n-1}\left(x\right)\frac{d}{\text{dx}}+P_n\left(x\right)$$ (5.3).

Властивості оператора L :

1. a)L (xy)=k *L (y), k = const;

2. b)L ($$y_1+y_2$$)=L ($$y_1$$) + L ($$y_2$$);

3. c)L $$\left({}_{i=1}^m{c}_i{y}_i\right)={}_{i=1}^m{c}_{i}L\left(y_i\right)$$ .

Використовуючи оператор L диференціального рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x) $$\left(5\text{.}{1}^{\text{'}}\right)$$, L (y) = 0 $$\left(5\text{.}{2}^{\text{'}}\right)$$ .

Означення 5.1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y) $$$$ f (x) (для диференціального рівняння (5.2).

L (y (x)) $$$$ 0).

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної $$x=\left(t\right)\begin{array}{cc}& \left({}^{\text{'}}\left(t\right)/=0\right)\end{array}$$ .

Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції $$y=\left(x\right)z+\left(x\right)$$. (5.4).

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку.

Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння $$L(y)=y^{\left(n\right)}+P_1\left(x\right)y^{\left(n-1\right)}+\text{.}\text{.}\text{.}+P_n\left(x\right)y=0$$ (5.5).

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки.

Означення 5.2 Функцію z (x) = w (x) + iv (x), де w (x), v (x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w (x) — дійсна частина, v (x) — уявна частина).

Приклад 5.1. Показати справедливість формул $$e^{\text{ix}}=\text{cos}\left(x\right)+i\text{sin}\left(x\right)$$, $$e^{\mathit{}}=e^{\left(a+\text{ib}\right)x}=e^{\mathit{}}\left(\text{cos}\text{bx}+i\text{sin}\text{bx}\right)$$. (5.6).

Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює $$z^{\left(n\right)}\left(x\right)=w^{\left(n\right)}\left(x\right)+{\text{iv}}^{\left(n\right)}\left(x\right)$$. (5.7).

Приведемо формули для обчислення похідної :

а) $${\left(e^{\mathit{}}\right)}^{}={\mathit{}}^{\mathit{}}\begin{array}{cc}& \left(=a+\text{ib}\right)\end{array}$$ — (5.8).

Дійсно $$\begin{array}{c}{\left[e^{\mathit{}}\left(\text{cos}\text{bx}+i\text{sin}\text{bx}\right)\right]}^{}={\mathit{}}^{\mathit{}}\left(\text{cos}\text{bx}+i\text{sin}\text{bx}\right)+e^{\mathit{}}\left[-b\text{sin}\text{bx}+\text{ib}\text{cos}\text{bx}\right]\\ \left(a+\text{ib}\right)\text{cos}\text{bx}+e^{\mathit{}}\left(\text{ai}-b\right)\text{sin}\text{bx}=\left(a+\text{ib}\right)e^{\mathit{}}\left(\text{cos}\text{bx}+i\text{sin}\text{bx}\right)\text{.}\end{array}$$.

б) Для дійсного к і будь-якого $$$$ справедлива формула.

$${\left(x^k{e}^{\mathit{}}\right)}^{}=\left({\text{kx}}^{k-1}+{\mathit{}}^k\right)e^{\mathit{}}$$ — (5.9).

в) Використовуючи (5.9) можна показати $${\left(P_n\left(x\right)e^{\mathit{}}\right)}^{}=\stackrel{}{P_n}\left(x\right)e^{\mathit{}}$$, (5.10).

де $$P_n\left(x\right),\stackrel{}{P_n}\left(x\right)$$ — поліноми степеня n ;

г) При будь-якому $$$$ (дійсному або комплексному) справедлива формула.

$${\left(x^{}\right)}^{}={\mathit{}}^{-1}$$. (5.11).

Формула (5.11) доводиться шляхом представлення $$x^{}=e^{\text{ln}x}$$ і використання формули (5.8).

Означення 5.3. Комплексна функція y (x) = $$y_1$$ (x) + i $$y_2$$ (x) (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5) — якщо.

L (y (x)) $$$$ 0, a < x < b .

Комплексний розв’язок (5.12) утворює два дійсних розв’язки $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x).

Дійсно L (y (x)) = L ($$y_1$$ (x) + i $$y_2$$ (x)) = L ($$y_1$$ (x)) + iL ($$y_2$$ (x)) = 0 .

Звідки L ($$y_1$$ (x)) = 0, L ($$y_2$$ (x)) = 0.

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5).

а) Якщо $$y_1$$ (x) — розв’язок, тобто L ($$y_1$$) $$$$.

L (с $$y_1$$) = сL ($$y_1$$) = 0.

б) Якщо $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x) — розв’язки диференціального рівняння (5.5), то.

у= $$y_1$$ (x)+ $$y_2$$ (x) теж розв’язок. Дійсно L ($$y_1$$ + $$y_2$$) = L ($$y_1$$)+L ($$y_2$$) = 0.

в) Якщо $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_m\left(x\right)$$) — розв’язки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком.

L $$\left({}_{i=1}^m{c}_i{y}_i\right)={}_{i=1}^m{c}_{i}L\left(y_i\right)$$ = 0.

Приклад 5.2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.

$$y^{\text{'}\text{'}}+y=0$$, $$y_1$$

=cos (x), $$y_2$$ =sin (x) — розв’язки, тоді y = c $${}_1$$ cos (x)+c $${}_2$$ sin (x) — розв’язок .

.

3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння n — го порядку.

Означення 5.4. Функції $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

називаються лінійно незалежними на (a, b), якщо між не існує співвідношення виду.

.

$${}_1$$ $$y_1$$ (x) + $${}_2$$

$$y_2$$ (x) + … +.

$${}_n$$ $$y_n\left(x\right)$$.

де $${}_1$$, …, $${}_n$$ — постійні числа не рівні нулю одночасно. В противному випадку функції $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

називають лінійно залежними на (a, b).

.

Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a, b) зводиться до того, щоб відношення функцій $$\frac{y_1\left(x\right)}{y_2\left(x\right)}$$, $$y_2\left(x\right)/=0$$ не було постійним на (a, b).

Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a, b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні.

Приклад 5.3. Функції $$y_1$$ =1, $$y_2$$ =x, …, $$y_n=x^{n-1}$$

— лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a, b) $$\left(-\mathrm{},+\mathrm{}\right)$$. Дійсно співвідношення.

.

$${}_1$$ + $${}_2$$ x + … + $${}_n$$ x $${}^{\left(n-1\right)}$$ =0, в якому не всі $${}_i$$ дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x, так як рівняння (n-1) — го степеня має не більше (n-1) — го коренів.

Приклад 5.4. Функції $$y_1=e^x$$, $$y_2=e^{-x}$$ — лінійно незалежні, так як співвідношення $${}_1{e}^x+{}_2{e}^{-x}=0$$, де $${}_1,{}_2$$ не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з $$\frac{y_1\left(x\right)}{y_2\left(x\right)}$$ = $$e^{2x}/=\text{const}$$ .

Приклад 5.5. Функції $$y_1$$ =sin $${}^2$$ x, $$y_2$$ =cos $${}^2$$ x, $$y_3$$ =1 — лінійно залежні на $$\left(-\mathrm{},+\mathrm{}\right)$$, так як для будь-якого х справджується співвідношення.

sin $${}^2$$ x + cos $${}^2$$ x — 1 = 0 .

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n — функцій .

Теорема 5.1. Якщо функції $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

— лінійно залежні на (a, b), то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a, b). Тут.

.

W (x) = $$|\begin{array}{c}{y}_1\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n\left(x\right)\end{array}\\ y_{1^{}}\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\left(x\right)\end{array}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\end{array}\\ y_{1^{\left(n-1\right)}}\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{\left(n-1\right)}}\left(x\right)\end{array}\end{array}|$$ (5.14).

Доведення. Згідно умови теореми.

$${}_1$$ $$y_1$$ (x) + $${}_2$$

$$y_2$$ (x) + … +.

$${}_n$$ $$y_n\left(x\right)$$.

$$y_n=-\frac{{}_1}{{}_n}{y}_1-\frac{{}_2}{{}_n}{y}_2-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{{}_{n-1}}{{}_n}{y}_{n-1}$$ (5.15).

Диференціюємо (5.15) (n-1)-раз і підставляємо в (5.14).

W (x) = $$|\begin{array}{c}{y}_1\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n\left(x\right)\begin{array}{cc}& -\frac{{}_1}{{}_n}{y}_1-\frac{{}_2}{{}_n}{y}_2-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{{}_{n-1}}{{}_n}{y}_{n-1}\end{array}\end{array}\\ y_{1^{}}\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\left(x\right)\begin{array}{cc}& -\frac{{}_1}{{}_n}{y}_{1^{}}-\frac{{}_2}{{}_n}{y}_{2^{}}-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{{}_{n-1}}{{}_n}{y}_{{n-1}^{}}\end{array}\end{array}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{cc}& \text{.}\text{.}\text{.}\end{array}\end{array}\\ y_{1^{\left(n-1\right)}}\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{\left(n-1\right)}}\left(x\right)\begin{array}{cc}& -\frac{{}_1}{{}_n}{y}_{1^{\left(n-1\right)}}-\frac{{}_2}{{}_n}{y}_{2^{\left(n-1\right)}}-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{{}_{n-1}}{{}_n}{y}_{{n-1}^{\left(n-1\right)}}\end{array}\end{array}\end{array}|$$ (5.16).

Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже.

W (x) $$$$ 0, a < x < b. Теорема доведена.

Нехай кожна з функцій $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

— розв'язок диференціального рівняння (5.5). Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих.

.

розв’язків даються теоремою 5.1. і слідуючою теоремою .

Теорема 5.2. Якщо функції $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

— суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a, b), то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a, b) .

.

Доведення. Припустимо протилежне, що в точці $$\begin{array}{c}{x}_0\\ \end{array}$$

(a, b) $$W\left(x_0\right)=0$$. Складемо систему рівнянь.

.

$$\{\begin{array}{c}{c}_1{y}_1\left(x_0\right)\begin{array}{ccc}+& \text{.}\text{.}\text{.}& +c_n{y}_n\left(x_0\right)=0\end{array}\\ c_1{y}_{1^{}}\left(x_0\right)\begin{array}{ccc}+& \text{.}\text{.}\text{.}& +c_n{y}_{n^{}}\left(x_0\right)=0\end{array}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{cc}& \text{.}\text{.}\text{.}\end{array}\end{array}\\ c_1{y}_{1^{\left(n-1\right)}}\left(x_0\right)\begin{array}{ccc}+& \text{.}\text{.}\text{.}& +c_n{y}_{n^{\left(n-1\right)}}\begin{array}{cc}\left(x_0\right)=0& \end{array}\end{array}\end{array}$$ (5.17).

Так як визначник системи (5.17) $$W\left(x_0\right)=0$$, то вона має ненульовий розв’язок.

$$c_1^{\left(0\right)},\text{.}\text{.}\text{.},c_n^{\left(0\right)}$$. Розглянемо функцію y = $$c_1^{\left(0\right)}{y}_1\left(x\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n^{\left(0\right)}{y}_n\left(x\right)$$, (5.18).

яка являється розв’язком диференціального рівняння (5.5).

Система (5.17) показує, що в точці $$x_0$$ розв’язок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) -го порядку. В силу теореми існування і єдиності це значить, що має місце тотожність y (x) = $$c_1^{\left(0\right)}{y}_1\left(x\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n^{\left(0\right)}{y}_n\left(x\right)0$$, a < x < b, де не всі $$c_i^{\left(0\right)}$$ дорівнюють нулю. Останнє означає, що розв’язки $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

— лінійно залежні на (a, b). Це протиріччя і доводить теорему.

.

З теорем 5.1. і 5.2. випливає: для того, щоб n розв’язків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a, b) необхідно і достатньо, щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу.

Виявляється, для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися, що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a, b). Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5.5):

а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці $$\begin{array}{c}{x}_0\\ \end{array}$$

(a, b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними, то $$W\left(x_0\right)=0$$ на (a, b).

.

Дійсно, якщо $$W\left(x_0\right)=0$$, то по теоремі 5.2. функції $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

— лінійно залежні на (a, b). Тоді, по теоремі 5.1. $$W(x)0$$ на (a, b);

.

б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці $$\begin{array}{c}{x}_0\\ \end{array}$$

(a, b), то $$W(x)/=0$$ на (a, b) .

.

Дійсно, якби W (x) дорівнював в одній точці з (a, b) нулю, то згідно а) $$W(x)0$$ на (a, b), в тому числі і в точці $$\begin{array}{c}{x}_0\\ \end{array}$$

(a, b), що протирічить умові.

.

Звідси випливає, якщо n розв’язків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a, b), то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому $$\begin{array}{c}\left(a_1,b_1\right)\\ \end{array}$$

(a, b) .

.

4. Формула Остроградського — Ліувілля.

Ця формула має вигляд $$W(x)=W(x_0)e^{-\underset{x_0}{\overset{x}{}}{P}_1\left(x\right)\text{dx}}$$ (5.19).

Доведення. Розглянемо вронскіан W (x) = $$|\begin{array}{c}{y}_1\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n\left(x\right)\end{array}\\ y_{1^{}}\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\left(x\right)\end{array}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\end{array}\\ y_{1^{\left(n-1\right)}}\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{\left(n-1\right)}}\left(x\right)\end{array}\end{array}|$$ і обчислимо його похідну.

$$W^{\text{'}}\left(x\right)=$$ $$|\begin{array}{cccc}{y}_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_1^{\left(n-1\right)}& y_2^{\left(n-1\right)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{\left(n-1\right)}\end{array}|$$ $$$$ + $$|\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_1^{\left(n-1\right)}& y_2^{\left(n-1\right)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{\left(n-1\right)}\end{array}|$$ + $$|\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_1^{\left(n-2\right)}& y_2^{\left(n-2\right)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{\left(n-2\right)}\\ y_1^{\left(n\right)}& y_2^{\left(n\right)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{\left(n\right)}\end{array}|$$ .

Перших (n-1)-визначників рівні нулю, так як всі вони мають по дві однакових стрічки. Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на $$P_n\left(x\right),P_{n-1}\left(x\right),\text{.}\text{.}\text{.},P_2\left(x\right)$$ і складемо всі n стрічок. В силу диференціального рівняння (5.5) маємо $$W^{\text{'}}\left(x\right)=$$ $$|\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ y_{1^{}}& y_{2^{}}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ y_1^{\left(n-2\right)}& y_2^{\left(n-2\right)}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_n^{\left(n-2\right)}\\ -P_1{y}_1^{\left(n\right)}& -P_1{y}_2^{\left(n\right)}& \text{.}\text{.}\text{.}& P_1{y}_n^{\left(n\right)}\end{array}|$$ = $$-P_1\left(x\right)W\left(x\right)$$ ,.

Звідки маємо формулу (5.19) .

5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування.

Означення 5.5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a, b) називається фундаментальною системою розв’язків .

З попереднього випливає, для того, щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо, щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5). Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими .

Теорема 5.3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними на (a, b), то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі.

Доведення. Візьмемо точку $$\begin{array}{c}{x}_0\\ \end{array}$$

(a, b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара, розв’язки :

.

$$y_1\left(x\right)$$ з початковими умовами $$y_1\left(x_0\right)=\mathrm{1,}{y}_{1^{}}\left(x_0\right)=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.},y_{1^{\left(n-1\right)}}\left(x_0\right)=0$$ ;

$$y_2\left(x\right)$$.

… ——————- // ———————- … … … …

$$y_n\left(x\right)$$

——————- // ———————- $$y_n\left(x_0\right)=\mathrm{0,}{y}_{n^{}}\left(x_0\right)=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.},y_{n^{\left(n-1\right)}}\left(x_0\right)=1$$ .

.

Очевидно, що $$W\left(x_0\right)=1/=0$$, отже побудовані розв’язки лінійно незалежні .

Теорема доведена .

З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч.

Побудована система розв’язків називається нормованою в точці $$x->x_0$$ .

Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків, нормована по моменту $$x_0$$ .

6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків.

Теорема 5.4. Якщо $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

— фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5), то формула.

.

y = $$c_1{y}_1\left(x\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n{y}_n\left(x\right)$$, (5.20) де $$c_1$$, $$c_2$$, …, $$c_n$$ — довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) в області a < x < b,.

$$|y|<\mathrm{}$$, $$|y^{\text{'}}|<\mathrm{}$$, …, $$|y^{\left(n-1\right)}|<\mathrm{}$$ (5.21), тобто в області визначення.

диференціального рівняння (5.5).

Доведення. Якщо $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

— розв'язки диференціального рівняння (5.5), то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок .

.

Систему $$\{\begin{array}{c}y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{c}_i{y}_i\left(x\right)\\ y^{\text{'}}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{c}_i{y}_{i^{}}\left(x\right)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ y^{\left(n-1\right)}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{c}_i{y}_i^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\end{array}$$ (5.22) можна розв’язати відносно $$c_1$$, $$c_2$$, …, $$c_n$$.

в області (5.21), так як $$W(x)/=0$$. Згідно визначення (5.20) — загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5) .

Теорема доведена .

Для знаходження частинного розв’язку такого, що $$y\left(x_0\right)=y_0,y^{\text{'}}\left(x_0\right)=y_{0^{}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{\left(n-1\right)}\left(x_0\right)=y_0^{\left(n-1\right)}$$ (5.23).

необхідно все підставити в (5.22) і визначити $$c_i^{\left(0\right)}$$, i=1,2,…, n .

Тоді $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{c}_i^{\left(0\right)}{y}_i\left(x\right)$$ — частинний розв’язок, якщо фундаментальна система розв’язків — нормована в точці $$x=x_0$$, то $$c_i^{\left(o\right)}=y_0$$, тобто.

$$y=y_0{y}_1\left(x\right)+y_0^1{y}_2\left(x\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+y_0^{n-1}{y}_n\left(x\right)$$ (5.24) загальний розв’язок в формі Коші .

Зауважимо, що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .

Твердження 5.1. Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.

Дійсно, нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок. Розглянемо n перших. Якщо вони лінійно залежні, то і всі будуть лінійно залежні, так як.

$${}_1{y}_1+{}_2{y}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_n{y}_n+0y_{n+1}=0$$, a < x < b, де всі $${}_i$$ не дорівнють нулю. Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розв’язок, в тому числі і $$y_{n+1}$$ виражається через $$y_1$$, $$y_2$$, …, $$y_n$$, тобто $$y_{n+1}$$ = $$c_1^{\left(0\right)}{y}_1\left(x\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n^{\left(0\right)}{y}_n\left(x\right)$$. Так, що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .

Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій $$y_1$$ (x), $$y_2$$ (x), …, $$y_n\left(x\right)$$

які n раз неперервно диференційовані на (a, b), вронскіан яких $$W(x)/=0$$ ,.

$$\begin{array}{c}x\\ \end{array}$$

(a, b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1).

.

$$|\begin{array}{c}{y}_1{y}_2\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n}y\end{array}\\ y_{1^{}}{y}_{2^{}}\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{}}{y}^{\text{'}}\end{array}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\end{array}\\ y_{1^{\left(n\right)}}{y}_{2^{\left(n\right)}}\begin{array}{ccc}& \text{.}\text{.}\text{.}& y_{n^{\left(n\right)}}{y}^{\left(n\right)}\end{array}\end{array}|$$ = 0.

і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .

Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5), то можна понизати порядок його на одиницю заміною.

$$y=y_1\text{udx}$$, або $$u={\left(\frac{y}{y_1}\right)}^{}$$ (5.25).

Тоді $$\{\begin{array}{c}{y}^{\text{'}}=y_{1^{}}\text{udu}+y_{1}u\begin{array}{cccccccccccc}& & & & & & & & & & & \end{array}\\ y^{\text{'}\text{'}}=y_{1^{}}{\text{udu}+2y_1}^{}u+y_1{u}^{\text{'}}\begin{array}{ccccccccc}& & & & & & & & \end{array}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ y^{\left(n\right)}=y_1^{\left(n\right)}\text{udu}+{\text{ny}}_1^{\left(n-1\right)}u+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}{y}_1^{\left(n-2\right)}{u}^{\text{'}}+\text{.}\text{.}\text{.}+y_1{u}^{\left(n-1\right)}\end{array}$$.

і диференціального рівняння (5.5) запишемо у вигляді.

$$L\left(y_1\right)=\text{udx}+b_{n-1}\left(x\right)u+b_{n-2}\left(x\right)u^{\text{'}}+\text{.}\text{.}\text{.}+y_1{u}^{\left(n-1\right)}=0$$.

Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .

Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків, то диференціальне рівняння (5.5) можна понизити на к одиниць .