Площадь поверхні тіл вращения

МШС РФ.

Омський Державний Університет Шляхів Сообщения.

Р Є Ф Є Р, А Т.

[pic].

«Визначення площі тіла обертання з допомогою певного интеграла.».

выполнила:

студентка групи 29 Г.

Митрохина Анна.

Перевірив :

Гателюк О.В.

Омск.

2000 г.

ІНТЕГРАЛ (від латів. Integer — цілий) — одне з найважливіших понять математики, який виник у зв’язки й з потребою, з одного боку відшукувати функції їх похідним (наприклад, знаходити функцію, яка має шлях, пройдений що просувалася точкою, за швидкістю цієї точки), з другого — вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за період часу й т. п.

ДАНІ З ІСТОРІЇ Про ПОХОДЖЕННЯ ТЕРМІНІВ І ОБОЗНАЧЕНИЙ.

Символ [pic]введен Лейбніцем (1675 р.). Цей знак є зміною латинської літери P. S (першої літери слова сума). Саме поняття інтеграл придумав Я. Бернуллі (1690 р.). Мабуть, воно походить від латинського integero, яке перекладається забезпечувати стан, відновлювати. (Справді, операція інтегрування «відновлює» функцію, дифференцированием якої отримана подынтегральная функція.) Можливо походження слова інтеграл інше: слово integer означає целый.

У результаті листування І. Бернуллі і Р. Ляйбніц пристали на пропозицію Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696 г., виникло й назва нової галузі математики — інтегральне літочислення (calculus integralis), яке ввів І. Бернулли.

Найважливіше з історії інтегрального исчисления!

Виникнення завдань інтегрального обчислення пов’язані з перебуванням площ, і обсягів. Ряд завдань що така було вирішено математиками древньої Греції. Антична математика випередила ідеї інтегрального обчислення в значно краще, ніж диференціального обчислення. Велику роль під час вирішення завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Книдским (прибл. 408 — прибл. 355 до зв. е.) і дуже застосовували Архімедом (прибл. 287 — 212 до зв. э.).

Проте Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про интеграле, а тим більше створив алгоритму інтегрального обчислення. Вчені Середнього і Близького Сходу в IX — XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда на загальнодоступний у середовищі арабська мова, але істотно нових успіхів у інтегральному обчисленні де вони получили.

Діяльність європейських вчених у цей час була скромнішої. Лише в XVI і XVII століттях розвиток математично-природничої грамотності поставило перед математикою Європи низку інших завдань, зокрема завдання на перебування квадратур (завдання на обчислення площ постатей), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) і визначення центрів тяжкості .

[pic].

Праці Архімеда, вперше видані 1544 (латинською та грецькою мовами), стали залучати широке увагу, та його вивчення стало однією з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального обчислення. Архімед передбачив багато ідей інтегрального обчислення. Але потрібно більше півтори тисячі років, як цих ідей знайшли чітке вираз і було доведені рівня исчисления.

[pic].

Математики XVII століття, отримали багато нових результати, навчалися на працях Архімеда. Активно працював і інший метод — метод неподільних, також зародився у Стародавній Греції. Наприклад, криволинейную трапецію вони вважали собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f (x), яким тим щонайменше приписували площа, рівну нескінченно малої величині f (x)dx. Відповідно до таким розумінням бажана площа вважалася рівної сумі P. S = [pic] нескінченно значної частини нескінченно малих площ. Іноді доходить навіть підкреслювалося, що окремі складові у цій сумі - нулі, але нулі особливий, які складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну сумму.

На такий здавалося б нині за меншою мірою сумнівною основі І. Кеплер (1571 — 1630 рр.) у творах «Нова астрономія» (1609 р.) і «Стереометрія винних бочок» (1615 р.) правильно обчислив ряд площ (наприклад площу фігури, обмеженою эллипсом) та обсягів (тіло краялось на нескінченно тонкі пластинки).

Ці дослідження продовжені італійськими математиками Б. Кавальери (1598 — 1647 роки) і Еге. Торрічеллі (1608 -1647 годы).

У XVII столітті було зроблено багато відкриття, які стосуються інтегральному підрахунку. Так, П. Ферма вже у 1629 року вирішив завдання квадратури будь-який кривою y =[pic], де N — ціле (т. е. вивів формулу [pic][pic]), і цій основі вирішив ряд завдань на перебування центрів тяжкості. І. Кеплер при виведення свої знамениті законів руху планет, фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603−1677 року), вчитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв’язку інтегрування і диференціювання. Важливе значення мали роботи з уявленню функції в вигляді статечних рядов.

[pic].

Проте за всієї значимості результатів, отриманих математиками XVII століття, обчислення не було. І було виділити загальні ідеї, які у його основі багатьох приватних завдань, і навіть встановити зв’язок операцій диференціювання і інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Ляйбніц, відкрили незалежно друг від друга факт, відомий вам під назвою формули Ньютона — Лейбніца. Тим самим було остаточно оформився загальний метод. Треба було ще навчитися знаходити первообразные багатьох функцій, дати логічні основи нового обчислення тощо. п. Але головне було вже сделано:

диференціальний і інтегральне літочислення создано.

Методи математичного аналізу активно розвивалися наступного столітті (насамперед слід назвати імена Л. Эйлера, завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, і І. Бернуллі). У розвитку інтегрального обчислення взяли участь російські математики М. У. Остроградський (1801 — 1862 рр.), У. Я. Буняковский (1804 — 1889 рр.), П. Л. Чебышев (1821 — 1894 рр.). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, довів, що існують інтеграли, не выразимые через елементарні функции.

Суворе виклад теорії інтеграла лише минулого століття, Виконання цього завдання пов’язані з іменами Про. Коші, однієї з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 — 1866 рр.), французького математика Р. Дарбу (1842 — 1917).

Відповіді на багато запитань, пов’язані з тривалим існуванням площ, і обсягів постатей, отримано зі створенням До. Жорданом (1826 — 1922 рр.) теорії меры.

[pic].

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку нашого століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 — 1941 рр.) й О. Данжуа (1884 — 1974) радянським математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.).

ПОВЕРХНЮ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Нехай дана поверхню, освічена обертанням кривою y=f (x) навколо осі Ох.

Визначимо площа цієї поверхні дільниці а? x? b. Функцію f (x) припустимо безупинної і має безперервну похідну переважають у всіх точках відрізка [a;b]. Проведемо хорди АМ1, М1М2,…Мn-1B довжини яких позначимо через? S1, ?S2… ?Sn (рис. 1). Кожна хорда довжини? Si (i=1,2,…n) при обертанні опише урізаний конус, поверхню якого? Pi равна:

Застосовуючи теорему Лагранжа получим:

где.

Следовательно Поверхность, описана ламаної, дорівнюватиме сумме.

чи сумме.

(1).

распространенной попри всі ланки ломаной.

Предел цієї суми, коли найбільше ланка ламаної ?Si котиться до нуля, називається площею, аналізованої поверхні обертання. Сума (1) не є інтегральної сумою для функции.

(2).

позаяк у слагаемом, відповідному відтинку [xi-1, xi ], фігурує кілька точок цього відрізка xi-1, xi ,?і. Але й довести, що межа суми (1) дорівнює межі інтегральної суми для функції (2), т. е.

или.

(3).

Формула (3) визначає площа Р поверхні теля обертання виникає внаслідок обертання навколо осі x кривою, заданої на відрізку, а? x? b неотрицательной, безупинно дифференцируемой функцією f (x).

Якщо обертова крива задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0? t? t1) то формула (3) має вид,.

(3/).

———————————- [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].