Геометрія Лобачевського

Геометрія Лобачевского.

Ісаєв Андрей.

Гур'єв Дмитрий.

«Почала» — найбільший пам’ятник діяльності Евкліда, коли він зібрав воєдино усе те, що його попередники у сфері геометрії і «словесної алгебри». Та не у його заслуга. Він також вніс багато свого, нового, оригінального. Аж по XX в. геометрію до шкіл викладали за підручниками, у яких було включено евклидовы «Почала», переведённые і літературно обработанные.

Проте чи все написане Евклидом задовольняло жили після нього математиків. Чудової була його спроба дати аксіоматичне виклад геометрії, тобто. сформулювати небагато аксіом, у тому числі логічно виводяться все теореми геометрії. Список аксіом відразу ж потрапити піддався критиці, окремі виявилися не потрібними, наприклад, що «все прямі кути рівні між собой».

Так званий п’ятий постулат Евкліда викликав особливі нарікання математиків. Саме ця аксіома, засвідчує історичне розвиток науки, містила у собі зародок інший, неевклідової геометрии.

Саме про що ж в п’ятому постулаті: Якщо дві прямі a і b утворюють після перетину з третього прямий внутрішні односторонні кути? і ?, сума величин котрих значно менша двох прямих кутів (тобто. менше 180?; рис. 1), то ці дві прямі обов’язково перетинаються, причому саме стій боку від третьої прямий, по яку розташовані кути? і? (складові разом щонайменше 180?).

Дане твердження значно складніше інших аксіом. Саме тому п’ятий постулат часто вимірюють на рівносильну аксіому паралельності: до цієї прямий через цю поза нею точку можна навести трохи більше однієї паралельної прямой.

Уявімо. Що ми взяли дві точки Проте й У з відривом 1 м друг від одного й провели них дві прямі a і b, причому отже a утворює з прямий АВ дорівнює 89?59 «59 «(рис. 2). [pic][pic] Інакше висловлюючись, сума двох внутрішніх односторонніх кутів? і? всього однією кутову секунду менше 180?. Продовжимо прямі? і ?, поки вони перетнуться у точці З. У результаті вийде прямокутний трикутник АВС, яка має кут, А прямий, кут при вершині З дорівнює? і як 1 кутову секунду. Катет АС цього трикутника має довжину с/tg ?, де з = 1 м. З допомогою калькулятора неважко підрахувати, що 1/tg? ? 2,06 • 105. Отже, довжина катета АС складаємо приблизно 2,06 • 105 = 206 км.

Кут один кутову секунду досить відчутний (наприклад при астрономічних расчётах). Але перевірити чи дві вищезазначені прямі? і? перетинаються на расстоянии206 кілометрів від прямий АВ, вельми непросто. Адже виготовити плаский аркуш паперу й лінійку довжиною більш 200 км не й неможливо. Використовувати оптичні прилади? Але тоді треба буде додати ще одне постулат: світло поширюється по прямий (але це вже фізика). Якщо ж сума кутів? і? відрізняється менш як на 1 кутову секунду? Як бачить, п’ятий постулат Евкліда непогані простий і убедителен.

Складність формулювання п’ятого постулату та її непереконливість привели до того що, що дуже багато математики, жили після Евкліда, намагалися виключити цей постулат зі списку аксіом, тобто. довести його як теорему з допомогою інших аксіом Евкліда. У «боях» з п’ятим постулатом особливо далеко просунулися Ламберт, Саккери і Лежандр.

Італієць Саккери розглядав чотирикутник із трьома прямими кутами (рис. 3). Четверте кут (позначимо його ?) міг стати прямим, тупим чи гострим. Саккери встановив, що гіпотеза прямого кута, тобто. твердження про тому, що четвертий кут? завжди дорівнює 90є, дозволяє довести п’ятий постулат. Інакше висловлюючись, гіпотеза прямого кута є нову аксіому, п’ятому постулату.

Гіпотезу тупого кута, допускає існування четырёхугольника, у якого четвертий кут? тупий, Саккери відкинув з допомогою суворого міркування. Проте довести, що гіпотеза гострого кута неправильна не зміг ні Саккери, і його послідовники. Неприступна «фортеця» п’ятого постулату і залишилася неприступной.

Напрочуд цікаві дослідження французького математика Адриена Марі Лежандра. Але жодна їх не призвела до успеху.

Ось короткий опис одній з спроб Лежандра. Нехай a і b — дві прямі, перпендикулярні одному й тому ж третьої прямий і які перетинають їх у точках Проте й У. Ці дві прямі a і b не перетинаються. Припустимо, що п’ятий постулат Евкліда хибний і крізь, А можна навести ще одну пряму a ", так ж ми що перетинає b (рис 4.) Симетрична їй (щодо АВ) пряма, а «теж перетинає пряму b. Розглядаючи два які утворюються гострих кута? «і? «(симетричних одна одній), Лежандр суворо доводить, що пряма a як із продовженні її вправо, і при продовженні її вліво дедалі більше видаляються від прямий b. Але прямі a і b що неспроможні поводитися подібним чином: якщо де вони перетинаються, маємо перебуває в обмеженому відстані один від друга на своєму протязі. Не так переконливо? Проте за насправді це інша аксіома: вона випливає з п’ятого постулату, й у своє чергу, з неї випливає справедливість п’ятого постулата.

На початку ХІХ ст. в «бій» вступив російський математик професор Казанського університету Миколо Івановичу Лобачевський. Він був просто талановитий наполегливий. Спочатку Лобачевський йшов тим самим шляхом що його попередники, тобто. намагався розмірковувати від протилежного. Допустивши, що п’ятий постулат хибний, інші ж аксіоми справедливі, ми рано чи пізно то дійдемо протиріччю. Цим протиріччям він буде доказан.

Итак, скажімо, що п’ятий постулат хибний: через точку, А приналежну прямий b (рис. 5, а), можна навести більш як одну пряму, яка перетинається з b. Нехай прямі a «і a «не перетинаються з b. За умов їх розташування, як у малюнку, будемо повертати пряму a «по годинниковий стрілці. Тоді знайдеться пряма з », яка «востаннє» не перетинається з b. Отже, прямі, утворені з з «при повороті по годинниковий стрілці (на як завгодно малий угол), будут перетинати пряму b, а прямі, отримувані з з при малому повороті у напрямі, не перетинатимуть b. Інакше висловлюючись, серед усіх прямих, що пропливали точку А, пряма з «відокремлює які перетинають b прямі від не котрі перетинають її. Сама пряма з «не перетинає b. Така сама картина простежується для прямий з », симетричній з «щодо перпендикуляра АР, опущеного на b. Вона відокремлює які перетинають b від не пересекающих.

Лобачевський називає прямі з «і з «паралельними прямий b, причому з «паралельна b вправо, і з «паралельна b вліво. Інші прямі, які відбуваються через точку Проте й не яка перетинає пряму b (такі, як a «і a »), іменуються що розходяться з прямою b.

Далі, позначимо довжину відрізка АР через x, а гострий кут, утворюваний прямий з «чи з «з прямою АР, — через П (х) (рис. 5, б). Лобачевський вводить ці ухвали і позначення, прагнучи, із властивою йому наполегливістю, дізнатися, що чоловік-українець може вийти з її припущення про невірності п’ятого постулату, і швидше знайти бажане противоречие.

На наших кресленнях лінії вигнуті. Отже ви мусимо усвідомити, що Лобачевський розмірковує саме про прямих лініях. Якщо відрізок АР малий, то гострий кут П (х) близький до 90?. Коли відрізок зовсім малий, ми побачимо, що прямі з «і з «практично зливаються, оскільки кут П (х) дуже близький до 90?(рис. 6). У цілому, з припущення невірності п’ятого постулату, доводиться зображати лінії вигнутими. І якщо подальшому з’являтимуться дедалі більше і більше дивні речі, це лише з добре — ми скоріш наткнемося на довгождане противоречие.

Лобачевський доводить (все тому самому пропозиції про невірності п’ятого постулату), дві паралельні прямі необмежено зближуються друг з іншому убік паралельності, але у напрямку вони необмежено видаляються друг від друга (рис. 7,а). А дві які суперечать прямі мають єдиний загальний перпендикуляр, з обох боків від якої вони необмежено видаляються друг від друга (рис. 7, б). Це дуже схожі те що, про що ж писав Лежандр, але вже знаємо, що поки ще немає ніякої противоречия.

Потім Лобачевський розглядає дві паралельні прямі b і з і на прямий b рухливу точку М, удаляющуюся убік зворотний паралельності (рис. 8). У кожне положення точки М він восставляет перпендикуляр p до прямий b до його перетину з прямою з. довжина перпендикуляра безупинно зростає на своєму шляху точки М, і, коли він потрапляє у становище Q, довжина перпендикуляра стає безкінечною. Точніше кажучи, перпендикуляр р, восставленный до прямий b у точці Q, параллелен прямий з (рис. 9, а). Побудувавши пряму з «симметричную щодо перпендикуляра р, одержимо три прямі - b, з і з », які попарно рівнобіжні одна одній (рис. 9, б). Виникає своєрідний «нескінченний трикутник»: в нього кожні дві сторони рівнобіжні одна одній, а вершин час від (вони стоять ніби перебувають у нескінченності; рис. 10). Це вже у згоді з звичними уявлення про розташуванні прямих ліній! Але протиріччя, та тут нет.

Тоді Лобачевський робить спробу використовувати могутність формул. Застосовуючи виведену їм функцію П (х), то здобуває залежності, дозволяють в протилежні боки трикутника вираховуватимуть його кути. І виявляється що у кожному трикутнику сума кутів менше 180?. Отже в четырёхугольнике Саккери (якщо його розбити діагоналлю на два трикутника; рис. 11) сума кутів менше 360?. Це означає, що ми знаходимось у умовах гіпотези гострого кута — як у четырёхугольнике Саккери четвертий кут ?