Основные поняття диференціального обчислення і подальша історія їх розвитку (Бакалавр)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Методи Валлика, викладені у його «Арифметиці нескінченних» (1655), розвивалися за методом неподільних Кавальери. Валлик просунувся значно далі Кавальери. За позитивного рішення цілого ряду геометричних завдань Валлик сутнісно підраховував певні інтеграли від деяких інших алгебраїчних функцій; у Валлика також є у чётком вигляді арифметизированный граничний перехід. У цьому Валлик виходить… Читати ще >

Основные поняття диференціального обчислення і подальша історія їх розвитку (Бакалавр) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Міністерство спільного освітнього і професійного образования.

Астраханський Державний Педагогічний Университет.

Бакалаврська работа.

Студентки IV курсу физико-математического факультета.

Ночевной Світлани Павловны.

Кафедра:

Математичного анализа.

Тема:

Основні поняття диференціального обчислення і закінчилася історія їх развития.

Науковий руководитель.

ст. преподаватель.

Пономарёва Н.Г.

Астрахань.

1998 г.

План.

1. Основні поняття диференціального обчислення функцій однієї переменной.

1. Визначення похідною і її геометричний смысл.

2. Диференціальні функції. Визначення дифференциала.

3. Инвариантность форми першого дифференциала.

4. Диференціал суми, твори частного.

5. Геометрична інтерпретація диференціала. 2. Основні поняття інтегрального обчислення функцій однієї переменной.

1. Первообразная функція і невизначений интеграл.

2. Геометричний сенс невизначеного интеграла.

3. Основні властивості невизначеного интеграла.

4. Метод безпосереднього интегрирования.

5. Метод заміни перемінної (спосіб подстановки).

6. Інтегрування по частям.

7. Певний інтеграл як межа інтегральної суммы.

8. Основні властивості певного интеграла.

9. Геометричний сенс певного інтеграла. 10. Теорему Ньютона-Лейбница. 11. Формула Ньютона-Лейбница. 12. Заміни змінних в певних інтеграли. 13. Інтегрування частинами. 3. Історичні інформацію про виникненні та розвитку основних понятий.

1. Походження поняття певного інтеграла і инфинитезимальные методи Архимеда.

2. Від Архімеда до Кеплеру і Кавальери.

3. Теорему Паскаля.

4. «Про глибокої геометрії» Лейбница.

5. «Метод флюксий» Ньютона.

6. Диференціальні методы.

Мета роботи: «Вивчити засадничі поняття диференціального і інтегрального числень ознайомитися з історією їх развития».

Основні поняття диференціального обчислення функцій однієї переменной.

1 Визначення похідною і її геометричний смысл.

Нехай функція y = f (х) визначена у околиці точки мо. візьмемо точку х1 цієї околиці, відрізняється від хо.

Визначення. Різниця х1 — х0, яку позначають символом (x, називатимемо збільшенням незалежної переменной.

Визначення. Подібною відповідна різницю у1 — у0 = f (х1) — f (х0), позначається символом (у і називається збільшенням залежною перемінної, чи збільшенням функции.

Виходять такі співвідношення: х1 = х0 + (x, у1 = у0 + (у, у0 + (у = f (х0 + (х).

Оскільки у0 = f (х0), то (у = f (х0 + (x) — f (х0).

Визначення. Приватне називатимемо разностным отношением.

Вислів f (х0+(х) — f (х0).

(х.

(приймаючи що х0 має певний постійне значення) вважатимуться функцією збільшення (х.

Визначення. Якщо межа цього висловлювання при (x, яка прагне нанівець, існує, його ми називати похідною функції у = f (х) по x у точці х0.

Отже, = = f'(х0) = у’х = у'=.

Приклад. у=х2. Обчислите похідну для х=2.

Маємо: f (х+(х) = (х+(х)2 ,.

Тому (у = (х+(х)2 — х2 = 2х (х+((х)2.

Звідси = 2х+(х.

Переходячи до межі одержимо: = 2х + = 2х.

А, щоб ставлення мало межа, необхідно, щоб, то є, щоб функція мал.1 була безупинної у точці х0.

Розглянемо графік функції у = f (х) (рис.1).

Легко помітити, що безпосереднє відношення одно тангенсу кута (, освіченого позитивним напрямом січною, що проходить через точки, А і У (відповідні точкам x і х+(х), з позитивним напрямом осі Ой, тобто, від, А до У якщо тепер прирощення (x може сягнути нулю, точка У може сягнути Бо кут (може сягнути (, освіченій позитивним напрямом дотичній з позитивним напрямом осі Ой, а tg (може сягнути tg (.

Тому = tg ((позитивним напрямом дотичній вважаємо то напрям, у якому x возрастает).

Отже, можна стверджувати следующее:

Похідна у цій точці x дорівнює тангенсу кута, освіченого позитивним напрямом дотичній у відповідній точці (х, f (х)) нашої кривою з позитивним напрямом осі Ох.

1.2 Диференціальні функції. Визначення дифференциала.

Визначення. Функція у = f (х) називається диференційованої у точці x, якщо її прирощення (у у цій точці можна в виде.

(у = f'(х)(х+(((х)(х, де (((x) = 0.

Як очевидно з з визначення, необхідною умовою дифференцируемости є існування похідною. Виявляється що це основна умова ще й досить. У насправді нехай є в' = f'(х).

Поклавши — f'(х), (x (0.

0., (x = 0.

За такої визначенні (має всім (х.

(у = f'(х)(х +(((х)(х .

Залишається, отже, встановити безперервність (((x) при (x = 0, то є, рівність (((x) = ((0) = 0, але, очевидно,.

(((x) = - f'(х) = f'(х) — f'(х) = 0, як і требовалось.

Отже, для функції однієї перемінної дифференцируемость і існування похідною — поняття равносильные.

Визначення. Якщо функція у = f'(х) дифференцируема, тобто, якщо (у.

= f'(х)(х + (. (x, (= 0, то головну лінійну частина f'(х)(х, її збільшення будемо позначати dху, dхf (х) і називати диференціалом перемінної у по перемінної x у точці х.

Написавши для симетрії dхх замість (x, одержимо таку формулу: dху = f'(х)dхх, звідки = f'(х).

Зауважимо ще, що диференціали dху і dхх є функціями перемінної x, причому функція dхх бере постійну значення (х.

1.3 Инвариантность форми першого дифференциала.

Що стосується, коли змінна у = f (х) була функцією незалежної перемінної x, маємо, по определению,.

(у = f'(х)(х чи dхх = f'(х)dхх (1).

Розглянемо тепер випадок, коли x в своє чергу функцією інший перемінної, x = х (t).

Теорему. Якщо функціями x = ((t) і в = ((t) дифференцируемы у точках t = t1 і x = х1 = ((t1), то диференціал складної функції у = f (((t)) = ((t) то, можливо подано у вигляді dtу = f'(х1) dtх.

Доказ: Відповідно до визначення диференціала маємо dtх = ('(t1) dtt (11) dtу = ('(t1) dtt (2).

На підставі теореми про похідною складної функції бачимо, что.

('(t1) = f'(х1) ('(t1).

Підставивши цей вислів в формулу (2), одержимо: dtу = f'(х1) ('(t1) dtt, звідси з формули (11) dtу = f'(х1) dtх (3).

Порівнявши формулу (1) з формулою (3), ми зауважимо що можна записати символічно як dу = f'(х) dх (4).

Формулу (1) чи (3) ми одержуємо з формули (4), написавши замість d, відповідно dх чи dt.

Символи dх і dу є досконалими, проте у часто, коли можливість помилитися буде виключена, ми ними користуватися замість символів dхх і dху чи, відповідно, dtх і dtу.

Значення формули (4) стає зрозуміло, якщо звернути увагу, що з знаходженні похідною доводиться користуватися двома формулами для визначення похідною у по x. Як-от, коли змінна у залежить безпосередньо від x, то у’х = f'(х); а коли залежність перемінної у від x дається з допомогою деякою (проміжної) функції і те у’х = f'(и)и'х.

При знаходженні ж диференціалів одержимо в обох випадках однакові формули: dху = f'(х) dхх, dху = f'(и) dхи чи dу = f'(х) dх, dу = f'(и) dи.

1.4 Диференціал суми, твори частного.

З теорем про похідних суми, твори приватного можна було одержати аналогічні формули для диференціалів суми, твори приватного. І нехай і (— функції від x: і = f (х), (= ((x), мають безперервні приватні производные.

Якщо у = і + (, то у’х = и’х + ('x, звідки у’х dх = и’х dх + ('хdх, отже dу = dи + d (, тобто d (и + () = dи + d (.

Аналогічно dси = сdи, де з — постійне число; d (и () = иd (+ (dи, d () = .

Зауваження. Насправді це часто буває вигідніше оперувати диференціалами, і потім розподілом на диференціал незалежної перемінної переходити до производной.

1.5 Геометрична інтерпретація дифференциала.

Диференціал можна геометрично уявити наступним образом:

З рис. 2 видно, що dу = f'(х)dх = tg (. dх = СД.

Отже, якщо (у — прирощення ординати кривою, то dу — прирощення ординати касательной.

Диференціал dу, власне кажучи, відрізняється від (у, та їх різницю дуже мала порівняно dх для дуже малих dх, так как.

= (((x) = 0.

Насправді, коли йдеться лише про приближённых значеннях, можна для малих збільшень dх считать.

(у = dу = f'(х)dх.

Основні поняття інтегрального обчислення функцій однієї переменной.

1 Первообразная функція і невизначений интеграл.

Основне завдання диференціального обчислення є перебування похідною f'(х) чи диференціала f'(х)dх даної функції f (х).

У інтегральному обчисленні вирішується зворотна задача:

Дана функція f (х); потрібно знайти таку функцію F (х), похідна якої f (х)dх у сфері визначення функції f (х), тобто, у цій галузі функції f (х) і F (х) пов’язані співвідношенням F'(х) = f (х) чи dF (х)= F'(х)dх = f (х)dх.

Визначення. Функція F (х) називається первообразной функцією для даної функції f (х), для будь-якого x в галузі визначення f (х) виконується рівність F'(х) = f (х) чи dF (х) = f (х)dх.

Приклади. 1) Нехай f (х) = co х.

Рішення: Тоді F (х) = sin x, оскільки F'(х) = co x = f (х) чи dF (х) = co x dх = f (х)dх.

2) Нехай f (х) = х2.

Рішення: Тоді F (х) =, оскільки F'(х) = х2 = f (х) чи dF (х) = х2dх = f (х)dх.

Відомо, що й дві функції f (х) і ((x) відрізняються одна від друга на постійну величину, то похідні чи диференціали цих функцій рівні, тобто, якщо f (х) = ((x) + З, то f'(х) = ('(x) чи f'(х)dх = ('(х)dх.

Відомо також, що і навпаки, якщо дві функції f (х) і ((x) мають те ж похідну чи і той ж диференціал, всі вони відрізняються друг від друга на постійну величину, тобто, якщо f'(х) = ('(x) чи dхf (х) = d ((х), то f (х) = ((x) + С.

Зауваження. Справді, якщо похідна f'(х) звертається до нуль для будь-яких значень x в (а, в), то цьому інтервалі f (х).

= С.

У насправді, якщо х1((а, в) і х2 ((а, в), то силу теореми Лагранжа, маємо f (х2) — f (х1) = (х2-х1) f'(х0), де х1(х0(х2. Але, оскільки f'(х0) = 0, то f (х2) — f (х1) = 0.

Звідси безпосередньо слід що, тоді як формулі у = F (х) + З ми будемо надавати постійної З всіх можливих значення, одержимо все можливі первообразные функції для функції f (х).

Визначення. Безліч F (х) +З всіх первообразных функцій для функції f (х), де З приймають всіх можливих числові значення, називається неопределённым інтегралом від функції f (х) і позначається символом f (х)dх.

Отже, з визначення, f (х)dх = F (х) + З, (А) де F'(х) = f (х) чи dF (х) = f (х)dх і З — довільна стала. У формулі (А) f (х) називається подынтегральной функцією, f (х)dх — подынтегральным вираженням, а символ — знаком невизначеного интеграла.

Неопределённым інтегралом називають як безліч всіх первообразных, а й будь-яку функцію цього множества.

Визначення. Перебування первообразной з цієї функції f (х) називається интегрированием.

2 Геометричний сенс невизначеного интеграла.

Нехай заданий невизначений інтеграл F (х) + З для функції f (х) в деякому інтервалі. При фіксованому значенні З = С1 одержимо конкретну функцію у1 = F (х) + С1, на яку можна побудувати графік; її називають інтегральної кривою. Змінивши значення З повагою та поклавши З = С2, одержимо іншу первообразную функцію З відповідною нової інтегральної кривой.

Аналогічно можна побудувати графік будь-який первообразной функції. Отже, вираз у = F (х) + З можна як рівняння сімейства інтегральних кривих невизначеного інтеграла F (х) + З. Розмір З є параметром цього сімейства — кожній конкретній значенням З відповідає єдина інтегральна крива у сімействі. Інтегральну криву, відповідну значенням параметра С2, можна з інтегральної кривою, відповідної значенням параметра С1, паралельним зрушенням у бік осі Зу на величину /С2 — С1/. На рис. 3 зображений невизначений інтеграл х2 + З від функції f (х) = 2х, тобто, сімейства парабол.

3 Основні властивості невизначеного интеграла.

1) Похідна невизначеного інтеграла дорівнює подынтегральной функції, то есть,.

[ f (х)dх ]' = f (х) .

Доказ. Відповідно до визначення невизначеного інтеграла, f (х)dх = F (х) + З, (V) де F'(х) = f (х).

Дифференцируя навчання частини рівності (V), имеем.

[ f (х)dх ]' = [F (х) + З ]', откуда.

[ f (х)dх ]' = F'(х) + С1 = F'(х) = f (х) .

2) Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подынтегральному вираженню, тобто d f (х)dх = f (х)dх.

Доказ. Відповідно до визначення невизначеного інтеграла, f (х)dх = F (х) + З d f (х)dх = d (F (х) + З) = dF (х) = dС = F'(х)dх = f (х)dх.

3) Невизначений інтеграл від диференціала деякою функції F (х) дорівнює самої функції з точністю до довільній постійної З, тобто dF (х) = F (х) + З, (v).

Доказ. Продифференцировав обидва рівності (v), матимемо d dF (х) = dF (х) (по властивості 2) d (F (х) + З) = dF (х) отже, функції dF (х) і dF (х) відрізняються одна від друга на постійну величину, тобто dF (х) = F (х) + С.

4) Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто, а f (х)dх = а f (х)dх (а (0).

Доказ. Продифференцируем навчання частини рівності. Тоді одержимо d, а f (х)dх = а f (х)dх (по властивості 2) і d [ a f (х)dx ] = ad f (х)dх =а f (х)dх.

(з властивості дифференциала).

Отже, диференціали функцій, а f (х)dх і а f (х)dх рівні, тому цих функцій відрізняються одна від друга на постійну величину, тобто, а f (х)dх = = а f (х)dх * dх + З. Але постійну З вважатимуться включеної у складі невизначеного інтеграла, отже, а f (х)dх = а f (х)dх.

5) Інтеграл від алгебраїчній суми кінцевого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі з дитинства інтегралів від доданків функцій, например:

[f1(х) + f2(х) — f3(х)]dх = f1(х)dх + f3(х)dх — f3(х)dх (v).

Доказ: Продифференцируем обидві частини равенства.

Диференціювання будь-якій частині рівності дає: d [f1(х) + f2(х) — f3(х)]dх = [f1(х) + f2(х) — f3(х)]dх.

Через війну диференціювання правій частині рівності (v), виходить диференціал алгебраїчній суми кількох функцій, що як відомо дорівнює алгебраїчній сумі диференціалів доданків функцій. Следовательно,.

d[ f1(х)dх + f2(х)dх — f3(х)dх] =.

= d f1(х)dх + f2(х)dх — f3(х)dх.

Застосовуючи властивість 1, у правій частині останнього рівності отримуємо f1(х)dх + f2(х)dх — f3(х)dх = [ f1(х) + f2(х) — f3(х)]dх.

Отже, після диференціювання обох частин рівності (v) отримані тотожні результати, отже, справедлива формула (v) (див. доказ властивості 3).

2.4. Метод безпосереднього интегрирования.

Визначення. Безпосереднім інтегруванням називається інтегрування що полягає у прямому застосуванні формул таблиці основних з дитинства інтегралів. Щоб знайти невизначений інтеграл від какой-нибудь функції f (х), потрібно передусім відшукати в таблиці з дитинства інтегралів формулу у лівій частини якою стоїть інтеграл такої ж виду, як даний, та не записати відповідь в відповідність до правої частиною цієї формулы.

Примеры.

1) х7dх.

Рішення. х7dх = + С.

2) 2 3×2 dх.

Рішення. Маємо 2 3×2 dх = 2×2/3dх.

Застосовуючи формули, отримуємо 2×2/3dх = 2×2/3dх = 2 + С.

Отже, 2×2/3dх = x 3×2 + С.

3).

Рішення. Відповідно до горезвісного властивості диференціала, 3dх = d (3х), а потому.

Застосовуючи формулу, отримуємо tg3х + С.

Там, як під знаком інтеграла стоїть алгебраїчна сума зазвичай розкладають даний інтеграл у сумі кількох з дитинства інтегралів, у тому числі кожен можна знайти за відповідною формуле.

3) (2×3 + 9×2 — 5 x + 4/ x) dх.

Рішення. (2×3 + 9×2 — 5 x + 4/ x) dх =.

= 2 х3dх + 9 х2dх — 5×½ + 4 dх/ x =.

= 2 + 9 — 5 + 4 * 2 x + З =.

= х4 / 2 + 3×3 — 10/3 x x + 8 x + С.

2.5. Метод заміни перемінної (спосіб подстановки).

Найважливішою прийомом інтегрування функцій є спосіб підстановки, що застосовується тоді, коли шуканий інтеграл f (х)dх перестав бути табличным, але шляхом але шляхом низки елементарних перетворень може бути сведён до табличному.

Метод підстановки грунтується на застосуванні наступній формули: f (х)dх = f[((t)]('(t)dt, (1) де x = ((t) — дифференцируемая функція від t, похідна якої ('(t) зберігає знак для аналізованих значень переменных.

Сутність застосування цієї формули у тому, що в интеграле f (х)dх змінна x замінюється перемінної t за такою формулою x = ((t) і, отже, dх твором ('(t)dt.

Справедливість формули (1) буде доведено коли після диференціювання обох її частин вийдуть однакові висловлювання. Продифференцировав ліву частина формули, маємо d [ f (х)dх ] = f (х)dх = f [((t)] ('(t)dt.

Продифференцировав праву частина формули, маємо d f [((t)] ('(t)dt = f [ ((t) ] ('(t)dt.

Отже, формула (1) справедлива. Часто вживається зворотна заміна перемінної, тобто, підстановка t = ((t), dt = ('(t)dх.

Примеры.

1) (2х + 3)4dх.

Цей інтеграл можна зводити до табличному інтегралу (V). Підстановка вибирається через просте міркування: в подынтегральном вираженні табличного інтеграла (V) під аркушами ступені та під знаком диференціала чого варте одне і теж вираз и.

Отже, у разі потрібно застосувати підстановку і = 2х + 3, звідси маємо dи = 2dх і dх = dи/2, а потому.

(2х + 3)4dх = и4(dи/2) = ½ и4dи =.

= ½ * и5/5 + З = + С.

2.6 Інтегрування по частям.

Припустимо, що u, v — функції перемінної x, безперервні і мають похідні в інтервалі (а, в). маємо тогда.

(uv)' = uv' + vu' отже uv' = (uv)' - vu'.

Беручи невизначені інтеграли від обох частин 17-ї та враховуючи, що uv’dх = uv — vu’dх, (1).

Якщо обидва інтеграла существуют.

Користуючись диференціалами попередню формулу написати в наступному вигляді: udv = uv — vdu. (2).

Формула (2) дає можливість обчислення інтеграла udv зводити до вирахування інтеграла vdu, який, можливо, береться легше. Цей метод називається інтегруванням по частям.

Примеры.

1) J = хехdх.

Поклавши і = x, dи = dх, dv = ехdх, v = ехdх = ех.

Следовательно,.

J = хех — ехdх = хех — ех + С.

2) ln хdх .

Поклавши, u = ln x, dи = dх/х.

dv = dх v = dх = х.

Следовательно,.

J = x ln x — dх = x ln x — x + С.

2.7. Певний інтеграл як межа інтегральної суммы.

Нехай інтервал [а, в], у якому задана функція у = f (х), розбитий точками розподілу х1(х2 (… (хп — 1 на п часткових інтервалів (1 = [х0,х1], (2 = [х1,х2], …, (n = [хп-1,хп], де, а =х0, в = хп, причому у кожному частковому інтервалі (і обрано какая-либо точка (i:

хi-1 ((і (хi (і = 1, 2, …, п). Нехай, далі, (хi — довжина інтервалу (і, то есть,.

хi — хi-1 = (хi (і = 1, 2, …, п),.

а max (хi — найбільше з чисел (хi.

Потрібна знайти межа суммы.

1) f ((1) (х1 + f ((2) (х2 + … + f ((п) (хп = (f ((i) (хi,.

коли довжини (хi всіх часткових інтервалів (і йдуть до нуля (при цьому із необхідністю число п цих інтервалів може сягнути нескінченності). Інакше кажучи, потрібно знайти межа цієї суми при max (хi (0, оскільки умова, що максимальною з довжин часткових інтервалів (і котиться до нуля, рівносильне умові, що це (хi (0.

Отже, потрібно найти.

lim (f (хi) (хi.

Визначення. Суму (1) називають інтегральної суммой.

Визначення. Функція f (х) називається интегрируемой на интервале.

[а, в], якщо є кінцевий предел.

lim (f ((i) (хi, (2).

котра від цього, як інтервал [а, в] ділиться на часткові інтервали і як вибираються точки.

(і цих часткових інтервалах, аби довжина максимального їх наближалося до нуля. Цей межа називається певним інтегралом від функції f (х) на інтервалі [а, в] і позначається символом.

f (х)dх = lim (f ((i) (хi.

Щоб й не залишалося неясностей, сформулюємо точно, як слід розуміти межа (2).

Визначення. Кількість J називається межею інтегральної суми (f ((i)(хi при max (хi (0, для будь-якого заданого ((0 знайдеться таке ((0, що виконується неравенство:

|(f ((i)(хi — J |((.

незалежно від виборі приватних інтервалів, (1, (2, …, (п і точок (1, (2, …,.

(п цих інтервалах, аби тільки виконувалося вимога max (хi (0, тобто б довжина найбільшого (отже, та брак усіх) з часткових інтервалів була за (.

З визначення певного інтеграла зовсім на слід, будь-яка функція интегрируема будь-якою інтервалі. Можна підібрати таких функцій, для яких певний інтеграл немає, тобто котрим інтегральна сума рветься до визначеному межі. Існування певного інтеграла від функції, заданої на інтервалі [а, в], забезпечує безперервність цієї функції на [а, в], тому безперервність функції на [а, в] є достатньою умовою її интегрируемости у цьому інтервалі, то есть.

Теорему 1. Якщо функція f (х) безупинна на замкнутому інтервалі [а, в], вона интегрируема у цьому інтервалі, тобто має певний интеграл.

f (х)dх.

Іноді практично доводиться інтегрувати і розривні функції. Наведемо трохи більше широке достатня умова існування интеграла.

Теорему 2. Коли інтервалі [а, в] функція обмежена і має лише кінцеве число точок розриву, вона интегрируема на.

[а, в].

2.8. Основні властивості певного интеграла.

Теорему 1. Хай із — проміжна точка інтервалу [а, в] (а (з (в).

Тоді має місце равенство.

f (х)dх = f (х)dх + f (х)dх,.

якщо ці три інтеграла существуют.

Доказ: Разобьём [а, в] на п часткових інтервалів [а, х1], [х1,х2], …, [хп-1, в] довжиною відповідно (х1, (х2, …, (хп те щоб точка з була точкою розподілу. Нехай, наприклад, хт = з (т (п). Тоді інтегральна сумма.

(f ((i)(хi.

відповідна інтервалу [а, в], розіб'ється на дві суммы:

(f ((i)(хi = (f ((i)(хi = (f ((i)(хi.

відповідні інтервалам [а, с] і [с, в].

Переходячи до межі при неопределённом зменшенні довжини максимального приватного інтервалу (хi, тобто, при max (хi (0, будемо иметь.

f (х)dх = f (х)dх + f (х)dх,.

Теорему 2. Постійний множник можна виносити за знак певного інтеграла, то есть.

k f (х)dх = k f (х)dх.

Доказ: По определению:

k f (х)dх = lim [k f ((1)(х1 + k f ((2)(х2 + … + k f ((п)(хп] =.

= lim (k f ((i)(хi.

Та оскільки, за одним зі властивостей предела,.

lim (k f ((i)(хi = k lim (f ((i)(хi,.

й, оскільки, з визначення, lim (f ((i)(хi = f (х)dх.

то k f (х)dх = k lim (f ((i)(хi = k f (х)dх.

Теорему 3. Певний інтеграл від алгебраїчній суми кількох безперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі определённы з дитинства інтегралів з посади цих функций.

Доказ: Доведемо, наприклад, что.

[f1(х) + f2(х) — f3(х)]dх = f1(х)dх + f2(х)dх — f3(х)dх.

справді имеем:

[f1(х) + f2(х) — f3(х)]dх = lim ([ f1((i)dх + f2((i)dх — f3((i)](хi =.

= lim (f1((i)(хi + lim (f2((i)(хi — lim (f3((i)(хi =.

= f1(х)dх + f2(х)dх — f3(х)dх.

Теорему 3. (про середньому значенні певного интеграла).

Якщо функція f (х) безупинна на [а, в], то усередині нього знайдеться така точка С.

f (х)dх = (в-а) f©.

Доказ: Оскільки функція f (х) безупинна на [а, в], вона сягає свого найбільшого і найменшого значень М тощо на [а, в]. произведём звичайне розбивка інтервалу [а, в], на п часткових інтервалів (і довжиною (хi = x f ((i) (т — хi-1 (і = 1, …, п).

Оскільки f ((i) (т незалежно від (і, то.

f ((i)(хi (т (хi.

звідки (f ((i)(хi (т ((хi.

чи (f ((i)(хi (т (в — а).

оскільки ((хi = (х1+(х2 + … + (хп = в — а.

Оскільки, далі, f ((i) (т, незалежно від (і, то.

f ((i)(хi (М (хi.

тому (f ((i)(хi (М ((хi,.

тобто, (f ((i)(хi (М (в — а).

Отже, имеем.

т (в — а) ((f ((i)(хi (М (в — а).

Переходячи до межі при max (хi (0, одержимо неравенства.

т (в — а) (f (х)dх (М (в — а) f (х)dх.

(в — а).

З положень цих нерівностей і теоремі про безупинної функції на [а, в], приймаючої у тому [а, в] все проміжні значення між своїми найбільшими і найменшими значеннями, слід, причетне f (х)dх.

(в — а) можна взяти за значення f© функції f (х) у певній проміжної точці з інтервалу [а, в] (т (f (с)(М).

Таким образом,.

(f (х)dх) / (в — а) = f© чи f (х)dх = (в — а) f©.

2.9. Геометричний сенс певного интеграла.

Відомо, що загальна площа криволінійної трапеції, обмеженою згори безупинної кривою у = f (х), знизу — інтервалом [а, в] осі Ой (а (x (в) і з бічних сторін — прямими x = а, x = в, равна.

P.S = lim (f ((i)(хi.

Але, з визначення, f (х)dх = lim (f ((i)(хi следовательно,.

P.S = f (х)dх.

Отже, у разі, коли f (х) (0, тобто, коли графік функції у = f (х) розташовується над віссю Ой, певний інтеграл чисельно дорівнює площі P. S криволінійної трапеции.

Якщо ж f (х) = 0 при, а (x (в, тобто коли крива розташовується під віссю Ой, то сумма.

(f ((i)(хi дорівнює сумі площ криволінійної трапеції аАВв, взятій зі знаком мінус (рис. 4).

Тоді з геометричній погляду певний інтеграл від f (х)dх чисельно дорівнює площі P. S криволінійної трапеції, обмеженою інтервалом [а, в] осі Ой (а (x (в), безупинної кривою у = f (х) і відрізками прямих x = а, x = в, рівними f (а) і f (в).

2.10. Теорему Ньютона-Лейбница.

Нехай функція f безупинна на [а, в]. тоді вона интегрируема будь-якою відрізку, [а, х], де, а (x (в, тобто, нічого для будь-якого x ([а, в], існує интеграл.

F (х) = f (t)dt (V).

Якщо f (t)(0 (t ([а, в], то F (х) = S (х), де S (х) — площа криволінійної трапеції аАL (х) (рис. 5).

Визначення. Функція F певна співвідношенням (V) на [а, в] називається інтегралом зі змінним верхнім пределом.

Ця функція безупинна і дифференцируема на [а, в]. Як-от має місце наступна теорема.

Теорему. (Ньютона-Лейбница).

Похідна певного інтеграла від безупинної на [а, в] функції f, аналізованого як функція його верхньої межі, є і дорівнює значенням подынтегральной функції у точці дифференцирования.

F'(х) = (f (t)dt) = f (х)1, x ([а, в] .

Доказ: Нехай x ([а, в], x + (x ([а, в]; тоді силу теореми 1 пункту 2.12. получим.

F (х +(x) = f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt.

Знайдемо відповідне прирощення (F функції F. Використовуючи рівності (V) і теорему 4 пункту 2.12. имеем.

(F = F (х +(x) — F (х) = f (t)dt = f (с)(х, де з ([x, x +(х].

Обчислимо похідну функції (V):

F'(х) = lim = lim = lim f©.

Якщо (x (0, то x + (x (0 і з (x, оскільки з ([x, х+(х]. Тоді спрацьовує безперервності f получим.

F'(х) = lim f© = f (х).

Що було потрібно установить.

Легко випливає таке твердження: всяка безперервна на [а, в] функція має цьому відрізку первообразную у своїй одній з первообразных є інтеграл (V).

Справді, нехай функція f безупинна на [а, в]; тоді вона интегрируема будь-якою на [а, х], де x ([а, в], тобто, існує інтеграл (V), який і є первообразной функцією для f. Отже, невизначений інтеграл від безупинної на [а, в] функції f можна записати як f (х)dх = f (t)dt + З, x ([а, в] де З — довільна постоянная.

2.11. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорему. Якщо Ф — первообразная для безупинної на [а, в] функції f, то певний інтеграл від функції f обчислюється за такою формулою f (х)dх = Ф (в) — Ф (а).

Доказ: Нехай Ф деяка первообразная для функції f. У силу попередньої теореми функція (V) є також первообразной для функції f. Оскільки дві первообразные Ф і F відрізняються одна від друга на деяку постійну, маємо f (х)dх = Ф (х) + З (1).

Поклавши у тому рівність x = а. Оскільки f (х)dх = 0, то Ф (а) + З = 0, звідки З = - Ф (а).

Підставляючи знайдене значення З в співвідношення (1), маємо f (х)dх = Ф (х) — Ф (а).

Вважаючи у тому співвідношенні x = у і позначаючи зміну t через x, остаточно одержимо рівність вказаний у теореме.

Формулу Ньютона-Лейбница в сокращённом вигляді прийнято записувати так: f (х)dх = Ф (х)| = Ф (в) — Ф (а).

Примеры.

1) sin хdх = - co x| = - co 2(+ co 0 = 0.

2) = ln |x + x2+1| = ln (1+(2) — ln 1 = ln (1+(2).

12 Заміни змінних в певних интегралах.

Нехай потрібно на певному интеграле f (х)dх застосувати підстановку x = ((t). Тоді має місце наступна формула заміни змінних в певному интеграле: f (х)dх = f [((t)]('(t)dt, де ((() = а, ((() = в.

Цю формулу ми доведемо при условиях:

1. Функції ((t) і ('(t) безупинні в [(, (].

2. Функція f (х) визначена й безупинна всім значень, які функція x = ((t) приймає в [(, (].

3. ((() = а, ((() = в.

4. Доказ: Означимо через М тощо найбільше і найменше значення функції x = ((t) в [(, (]. Пусть.

F (х) = f (х)dх, т (x (М.

По теоремі про підстановці в невизначених інтеграли всім t з [(, (] справедливо равенство.

F[((t)] = f[((t)]('(t)dt.

Звідси f[((t)]('(t)dt = F[((()] - F[((()] = F (в) — F (а).

Оскільки f (х)dх = F (в) — F (а) те з порівняння двох рівностей одержимо доказываемую формулу.

Приклад. Обчислити интеграл.

J = x 1+х2 dх.

Підставимо 1+х2 = t, тобто, x = t2 -1. Маємо: t = 1, при x =0, t = (2, при x = 1. Оскільки dх = tdt/ t2 -1, то.

J = t2dt = t3/3| = (2(2 — 1)/3.

13 Інтегрування по частям.

Нехай функції f (х) і ((x) безупинні разом із похідними в інтервалі [а, в]. Нехай, далее,.

F (х) = f (х) ((х).

Тоді F'(х) = f (х) ('(x) f'(х) ((х).

Оскільки F'(х)dх = F (х)|, то [f (х) ('(x) f'(х) ((х)]dх = f (х) ((x)|, звідки f (х) ('(х)dх = f (х) ((x)| - f'(х) ((х)dх.

Примеры.

1) Обчислити інтеграл. x co x dх.

Поклавши f (х) = x, ((x) = sin x одержимо: x co x dх = x sin x| - sin x dх = -2.

2) Обчислити інтеграл ln x dх.

Поклавши f (х) = ln x, ((x) = x одержимо: ln x dх = [x ln x] - х (dх/х) =.

= [x ln x] - [x] = 2 ln2 — 1 = ln4 — 1.

Історичні інформацію про виникненні та розвитку основних понятий.

У математиці XVII в. найбільше досягнення справедливо вважається винахід диференціального і інтегрального обчислення. Сформувалося він у ряді творів Ньютона і Лейбніца та його найближчих співробітників і учнів. Введення ЄІАС у математику методів аналізу нескінченно малих стало початком великих перетворень, швидко змінили все обличчя математики які підняли її роль системі природно наукових знань человечества.

Однак його поява аналізу нескінченно малих був справою рук однієї чи кількох вчених, їх геніальною здогади. В дійсності було завершенням тривалого процесу, внутриматематическая сутність якого полягало у накопиченні і виділенні елементів диференціального і інтегрального обчислення і теорії рядов.

До сформування обчислення нескінченно малих всередині математики XVII в. склалися достатні передумови. Це був: наявність сформованій алгебри і обчислювальної техніки; введення у математику перемінної розміру й координатного методу; засвоєння инфинитезимальных ідей древніх, особливо Архімеда; накопичення методів вирішення завдань на обчислення квадратур, кубатур, визначення центрів тяжкості, перебування дотичних, экстремалей і т.д.

1 Походження поняття певного інтеграла і инфинитезимальные методы.

Архимеда.

Поняття інтеграла і інтегральне літочислення виникли із потреби вираховуватимуть площі будь-яких лідерів та поверхонь та обсяги довільних тим. Передісторія інтегрального обчислення перегукується з давнину. Ідея інтегрального обчислення була древніми вченими предвосхищена більшою мері, ніж ідея диференціального исчисления.

Слід особливо згадати про один інтегральному методі Архімеда, застосованому у таких його произведениях:

«Про кулі і циліндрі», «Про спіралях» і «Про коноидах і сфероидах». У останньому творі розглянуті обсяги сегментів, одержуваних при сечении площиною тіл, освічених обертанням навколо осі еліпса, параболи чи гиперболы.

У термінології Архімеда «прямокутний коноид» — це параболоїд обертання, «тупоугольный коноид» — одна порожнину двуполостного гіперболоїда обертання, «сфероїд» — элипсоид вращения.

У ХІХ пропозиції свого твору «Про коноидах і сфероидах» Архімед доводить таку лемму: «Якщо дано сегмент какого-нибудь з коноидов, отсечённый перпендикулярної до осі площиною, або ж сегмент какого-нибудь з сфероидов, не що перевищує половину цього сфероида і також отсечённый, можна вписати у нього тілесну постать описати біля нього іншу, які з мають рівну висоту циліндрів, до того ж отже описана постать більше уписаної на величину, меншу будь-який наперед заданої тілесної величины.».

Ця лема є яскравим прикладом методу інтегральних сум, істота якої є наступному: тіло обертання розбивається на частини й кожна частина апроксимується описаним і вписаним тілами, обсяги яких можна обчислити. Сума обсягів описаних тіл буде більше, а сума уписаних тіл — менше обсягу тіла обертання. Тепер залишається вибрати аппроксимирующее зверху і знизу тіла в такий спосіб, щоб різницю їх обсягів можна було зроблено як завгодно малої. Це досягається вибором як зазначених тіл відповідних цилиндриков.

Архімед фактично вводить поняття інтегральних сум, верхніх Vп і нижніх vп і знаходить обсяг V полуэллипсоида, як загальний межа витрат на пальне при п ((. Також він визначає обсяг сегментів параболоїда і гіперболоїда обертання. Висловлюючись по-сучасному Архімед визначив інтеграли: хdх = а2/2, х2dх = а3/3, (х2 + вх) dх = а3/3 + а2в/2.

У своєму творі «Про кулі і циліндрі» він визначив интегралы:

½ sin (d (= 1, sin (d (= - co (+ 1.

Звісно у Архімеда немає ще загальних понять краю і інтеграла, немає і загального алгоритму інтегрального обчислення. Наведені і про його викладки завжди пов’язані з рішенням конкретних геометричних завдань без вказівок те що, що у в основі всіх їх лежить і той ж загальний прийом арифметичного підсумовування як завгодно малих частин постаті. Попри те, що квадратура параболи і кубатура сфероида зводяться до визначення однієї й тієї ж інтеграла, Архімед користувався до вирішення цих завдань різними методами.

Як приклад методу інтегральних сум наведемо рішення Архімедом завдання обчислення обсягу еліпсоїда обертання яка «Про коноидах і сфероидах».

Отже, дано тіло обертання АВС і тілесна (об'ємна) величина Е (0. Ділимо ВО на п рівних частин 17-ї та будуємо описані і вписане циліндри, суми обсягів яких, відповідно позначимо, Von і Vвn. Їх різницю дорівнює обсягу цилиндрика АА1, тобто, (а2(в/п), який добором досить більшого п може бути зроблений як завгодно малым.

Тепер припустимо, що у даному малюнку зображений сегмент еліпсоїда обертання і буде поставлено завдання обчислити його обсяг. У цьому случае.

Vоп = (hа2 + (h (х1)2 + (h (х2)2 +(h (хп-1)2 =.

= (h ((хk)2, (х0 = 0).

Завдання зведена до підсумовуванню квадратів чисел. Далі Архімед виробляє геометричні перетворення, еквівалентні наступним аналітичним преобразованиям:

Оскільки х2/а2 + у2/в2 = 1, то х2 = а2/в2(в2 — у2) і далі кожного перерізу: (х1)2 = а2/в2(в2 — h2),.

(х2)2 = а2/в2(в2 — (2h)2),.

…,.

(хп-1)2 = а2/в2(в2 — [(п-1)h]2), звідки Vоп = ((h (хk)2 = ((hа2)/в2[пв2 — h2((2], де (- послідовні натуральні числа. Для перебування сум квадратів останніх Архімед застосував геометричні оцінки виду (п3h2)/3 ((((h)2 (((п+1)3 h3)/3 звідки (оскільки пh = в).

(в3)/3 ((((h)2h (в3/3 + в3/п + в3/п2 + в3/3п3 щодо певної міри еквівалентно оцінці для (х2dх з цих оцінок получается.

Vоп = ((а2/в2)h [пв2 — h2(п3/3)] = (а2 В (1−1/3) = 2/3(а2 В.

Аналогічно Vвп (2/3(а2 В.

Та оскільки відповідно до лемме, Vоп — Vвп (Є, то шуканий обсяг сегмента.

V (2/3(а2 В, тобто, дорівнює подвоєному обсягу конуса з тим самим підставою і заввишки, як і сегмент.

Одиничність краю доводиться, як і всіх інших випадках, приведенням до противоречию.

Приведений приклад показує, що у античної математиці склався ряд елементів певного інтегрування, насамперед побудова верхніх і нижніх інтегральних сум, аналогічних до певної міри сумам Дарбу.

2 Від Архімеда до Кеплеру і Кавальери.

Перші значні спроби розвитку інтеграційних методів Архімеда були вжито XVII в. однією з перших відомих вчених, що прагнули відродження і розвитку інтеграційних методів, був Йоганн Кеплер.

1612 р. для жителів австрійського міста Лінца, у якому жив Кеплер, виключно урожайним, особливо ряснів виноград. Люди заготовляли винні бочки і друзі хотіли знати, як визначати їх обсяги. Це питання таки входив до кола ідей, якими цікавився Кеплер. Так народилася його «Нова стереометрія винних бочок», що вийшла світло в 1615 г.

Кеплер обчислив площі пласких лідерів та поверхонь та обсяги тіл, виходячи з ідеї розкладання лідерів та тіл на безліч нескінченно малих частин, що він називав «найтоншими кружечками» чи «частинами вкрай малої ширини»; з цих дрібних частинок, підсумованих їм, він становить постать, еквівалентну початкової, але площу або час обсяг якої йому известен.

Методи Кеплера у визначенні обсягів тіл обертання, були нестрогими. Багато вчені присвятили свої роботи вдосконалення оперативної боку цього підприємства. Найбільшої популярності набула геометрія неподільних, изобретённая Кавальери. Справою його життя, які мали найбільше значення для розвитку математики, був метод неделимых.

Метод неподільних изобретён аби визначити розміри пласких лідерів та тел.

Як постаті, і тіла видаються складеними їхніми елементів, мають розмірність на одиницю менше. Так, постаті складаються з відрізків прямих, проведених паралельно певної спрямовуючої прямий, званої регула. Цих уявних відрізків нескінченно багато. Вони укладено між двома дотичними, паралельними регуле. У геометричних тілах неподільними є площині, паралельні деякою площині. Їх також нескінченно багато; межами сукупності служать дві касательные площині, паралельні регуле.

Сукупність усіх неподільних, запроваджувана Кавальери, сутнісно вводить поняття певного інтеграла. Сукупність геометрії неподільних можна сформулювати так: плоскі постаті й тіла ставляться друг до друга, й усе їх неподільні, взяті разом; якщо неподільні перебувають у тому ж відношенні друг до друга, то співвідношення площ відповідних постатей (чи обсягів тіл) одно цьому отношению.

Їх твердження практично еквівалентні сучасним умовиводів типу: дано дві постаті, обмежені віссю x, прямими x = чи x = у і відповідно у1 = f1(х) і у2 = f2(х). (рис 7).

Ставлення площадей.

S1/S2 = (у1k / (у2k = f1(х)dх / f2(х)dх.

Якщо у1k / у2k = а = const, нічого для будь-якого k, те й S1/S2 = k.

Кавальери довів теорему: Сума квадратів неподільних паралелограма утричі більше суми квадратів неподільних трикутника, освіченого в результаті здійснення діагоналі (рис. 8).

Введём для стислості позначення: АС = а, RT = x, TV = y, RS = а/2 = в, ST = z. Тоді x = в + z, у = в — z з сумою квадратів частин неподільних х2 + у2 = 2в2 + 2z2.

Підсумовуємо все неподільні, позначивши суму квадратів неподільних символом [ ]:

[AEC] + [CGE] = 2[ABFE] + 2[BCM] + 2[FEM].

Зауважимо, что.

[AEC] = [CGE]; [ABFE] = ¼[ACGE];

[BCM] = [FEM] = 1/8[ACE], що легко зрозуміти, уявивши над кожним лінійним елементом квадрат і розглядаючи сукупності. Отже, [ACE] = ¼[ACGE] + 1/8[ACE] + 1/8[ACE]; [ACE] = 1/3[ACGE].

У переведенні мовою інтегрального обчислення Кавальери довів, що х2dх = 1/3 а2dх чи інакше: lim [(а/п)2 (12 + 22 + … + п2)]/па2 =.

= lim (k2/п3 = 1/3.

Цю теорему Кавальери зумів узагальнити у разі підсумовування більш високих ступенів неподільних, до дев’ятій, вирішивши в такий спосіб групу завдань, еквівалентних вирахування певних з дитинства інтегралів виду: хпdх, для п = 1, …, 9.

3 Теорему Паскаля.

Серед послідовників Кавальери найбільш помітними вченими, подготавливавшими створення інтегрального і диференціального обчислення, були Дж. Валлик, П. Ферма, Б.Паскаль.

Обчисленням з дитинства інтегралів від ступенів хr, чи, як кажуть тоді, квадратурою «парабол» у = хr, де r — раціональне число, П. Ферма займався ще 1644 р. пізніше Ферма виклав загальну теорію всіх різних случаев.

Ще більш чітко поняття певного інтеграла виступає в працях Б.Паскаля. усі його зусилля спрямовані на уточнення методу неподільних. Спроба уточнення у тому, що він суму всіх неподільних розумів як суму елементарних майданчиків, утворених нескінченно близькими, однаково що стоять одне від друга ординатами, обмеженими відрізком осі абсцис і кривою (тобто суму виду (уdх). У багатьох завдань він вводив суму всіх синусів, визначаючи її як сукупність творів ординат на елементи дуги ((уds), яка у окружності одиничного радіуса виправдовує своє назва ((sin (d ().

Наприклад розглянемо таку теорему з «Трактату про синусе чверті кола» (1658) Паскаля:

Сума синусів какой-нибудь дуги (BF) чверті кола (рис. 9) дорівнює відтинку підстави (АТ) між крайніми синусами, помноженому на радіус (АВ).

Дуга BF ділиться на однакові частини, відзначені точками у тому числі з яких проводяться синуси DI. Крапки перетину дотичних до дузі окружності в точках D є такі точками Є; з усіх потім опускаються перпендикуляри ER.

Попередньо Паскаль вказує, что.

DI. ЇЇ = RR. AB (1).

Справді (рис. 10), з таких прямокутників DIA і EKE ((ЕЕК = (DAI) следует:

AD/DI = EE/EK.

Через те, що AB = AD, отримуємо рівність (1).

«Я стверджую, — пише після цього Паскаль, — сума синусів DI кожного помноженого одну з рівних дуг DD, дорівнює прямий АТ помноженою на радіус АВ». Замінюючи кожну дотичну ЇЇ дугою DD, Паскаль одержує у лівої частини рівності (1) «суму синусів», а правої твір АВ на суму відрізків RR, тобто, на АТ. Отже, теорема доведено. Ототожнення дуги DD з відрізком дотичній Паскаль лише подразумевает.

Щоб перевести доказ Паскаля на сучасна мова введём відповідну систему декартовых координат, позначимо «синус DI» через у, елемент дуги DD — через ds, диференціал незалежного змінного — через dх, радіус АВ — через r. Тоді рівність (1) можна записати так: уds = rdх.

Інтегруючи відповідно до змісту теореми Паскаля, одержимо: уds = rdх. (2).

Складніший інтеграл, котрий у лівої частини цієї рівності, зводиться у такий спосіб більш простому інтегралу правій частині, рівному rx, а цілої чверті r2.

Поклавши r = 1 і введём кут DAB = (ADI = (. Тоді (рис. 10).

P.S = r (= (, у = DI = AD co (= co (, x = sin (.

Рівність (2) дає: co (d (= x = sin (.

На розглянутий вище (ЕЕК Ляйбніц побудував своє диференціальний літочислення і назвав би характеристическим.

4 «Про глибокої геометрії» Лейбница.

З основними досягненнями математики XVII в. Ляйбніц ознайомився початку 70-х рр. цього століття, як під увагою голландського ученого Х. Гюйгенса вивчив, крім його найкращих робіт, праці Кавальери, Валлиса, Паскаля та інших. через два роки після опублікування мемуара 1684 р., 1-го друкованого праці Лейбніца по диференціальному підрахунку, з’явився його новий мемуар «Про глибокої геометрії і аналізі неподільних, і навіть нескінченних». Це була перша друкована робота з інтегральному підрахунку. Основним поняттям для Лейбніца була сума актуально нескінченних малих трикутників уdх, на які розбивається криволинейная постать, тобто, певний інтеграл. У тому ж мемуаре вперше як знак, а й запис уdх, причому Ляйбніц попереджає, чого слід забувати писати під знаком інтеграла множник dх.

Ляйбніц, з «характеристичного» трикутника З катетами dх і dу (різниці абсцис і ординат двох близьких точок лінії) і гипотенузой ds (нескінченно малої дуги кривою чи нескінченно малого відрізка дотичній до дузі), дійшов рівності (диференціальному рівнянню) рdу = хdх, де р — поднормаль (відрізок IA, рис. 10).

«Якщо, — пише він, — звернути це разностное (диференціальний) рівняння в суммирующее, він рdу = хdх.

Але речей, що викладав у своєму методі дотичних, випливає, что.

½ dх2 = хdх; отже, і обратно:

½×2 = хdх, бо в нас суми і різниці чи й d взаємно обратны, як у звичайному обчисленні ступені та корни".

Отже, з поняття певного інтеграла, Ляйбніц дійшов поняттю функції F (х) первообразной (чи примітивною) для даної функції f (х) так, что.

F'(х) = f (х), чи dF (х) =f (х)dх.

Звідси й висновок у тому, що диференціювання й інтеграцію є двома взаємно зворотними операциями.

5 «Метод флюксий» Ньютона.

Незалежно від Лейбніца і ще перед ним цих результатів отримано Ньютоном. Останній, проте, знайшов, йдучи другим шляхом. Ньютону належать у областях науки першокласні досягнення, зокрема і розробка диференціального і інтегрального обчислення у вигляді методу флюксий.

У своєму «Методі флюксий» автор формулює дві проблеми. Первая:

«За таким співвідношенню між флюэктами визначити співвідношення між флюксиями».

Вирішення проблеми наводить Ньютона до вирахування флюксии (похідною) від даної флюэнты (функції) і до своєрідному обгрунтуванню розвиненого чи диференціального обчислення. Він вводить поняття «моментів» поточних величин, відповідних поняттю диференціалів функцій. Необмежено малу величину, понимаемую актуально нескінченно мале прирощення незалежної перемінної (часу), Ньютон позначає через знак (, нагадує нуль, але з є нулем. Момент флюэнты і, наприклад він позначає так іс, що й — флюксия. Фактично момент флюэнты це її дифференциал.

Другу проблему Ньютон формулює так.

«За таким рівнянню який містить флюксии, знайти співвідношення між флюэктами». Це — загальна проблема обсяг інтегруванні звичайних диференційних рівнянь, яку Ньютон вирішує переважно з допомогою нескінченних рядів, містить у частковості завдання визначення функції F (звану первообразной), знаючи її похідну F' = f. Саме це завдання призводить до поняттю невизначеного интеграла.

Багато завдання з механіки і фізики ведуть до поняття первообразной функції невизначеного інтеграла, проте історично, зокрема і Ньютона, це поняття виник із геометрії як завдання квадратури кривой.

Нехай маємо криволинейную трапецію (рис. 11), обмежену згори кривою у = f (х), і нехай цю функцію безупинна на [а, в] та приймає лише ненегативне значение.

Для перебування площі Р нашої трапеції розглянемо спочатку площа Р (х) постаті АDLK, відповідає проміжку [а, x], де x — довільно взяте на [а, в] значення. Для перебування функції Р (х) побудуємо прирощення (x і відповідне йому прирощення (Р, якщо т і М надають мінімум, відповідно, максимум f (х) між тим [x, х+(х], то, очевидно, буде з’явитися нерівність т (x ((Р (М (Р, звідки т ((Р/(х (М.

У результаті безперервності функції метрів і М прагнутимуть f (х) при прагненні (x нанівець, і ми матимемо: lim (Р/(х = Р'(х) = f (х), тобто, похідна від перемінної Р (х) по кінцевої абсциссе x дорівнює кінцевої ординате у = f (х), чи, теж, площа Р (х) криволінійної трапеції є первообразная функція для функції у = f (х), що є криву обмежує трапецию.

Можна тепер записать:

Р (х) = F (х) +З. (V).

Та оскільки при x = аР (х) = 0, одержимо для значення постійної З у нашій случае:

0 = F (а) + З, або з = - F (а), підставивши це значення З в (V), будемо иметь:

Р (х) = F (х) — F (а), (W).

Для визначення площі Р всієї криволінійної трапеції ABCD слід покласти x = в.

Тогда.

Р = F (в) — F (а).

Таким шляхом з поняття похідною, Ньютон дійшов поняттю первообразной чи невизначеного інтеграла. Останній був для Ньютона початковою поняттям при побудові інтегрального исчисления.

Рівність (W), користуючись сучасними символами, можна переписати так: f (х)dх = F (х) — F (а).

Це і так звана формула Ньютона-Лейбница. У ньому певний інтеграл, аналізований як функція верхнього змінного краю інтегрування подано у вигляді одній з первообразных F (х) + З подынтегральной функції f (х).

Отже, завдання обчислення площі постатей, тобто, квадратура, веде до поняттям як певного, і невизначеного интегралов.

Тому обчислення з дитинства інтегралів почали називати квадратурой.

6 Диференціальні методы.

У математиці XVII в. поруч із інтегральними методами складались і методи диференціальні. До диференційним методам ми отнесём ті, у яких елементи майбутнього диференціального обчислення. Вироблялися ці елементи під час вирішення завдань, що на даний час вирішуються з допомогою диференціювання. Такі завдання був у той час трьох видів: визначення дотичних до кривим, перебування максимумів і мінімумів функцій і відшукування умов алгебраїчних рівнянь кратних корней.

Нагромадження елементів диференціального обчислення найбільш явну форму прийняло у Ферма. У 1638 р. він зазначив у листі Декарту, що вирішив завдання визначення екстремальних значень f (х) .

Ферма становив рівняння [f (х + h) — f (х)] / h = 0 і після змін у лівої частини думав h = 0. Усупереч думці пізніших дослідників, помічені у тому ідеї обчислення нескінченно малих, в дійсності Ферма знайшов це основна умова і аналогичное.

[f (у) — f (х)] / [у-х] = 0.

Також близький до диференціальному підрахунку метод Ферма відшукання дотичних до алгебраїчним кривым.

На малої дузі MN алгебраїчній кривою f (х) = 0 шляхом проведення січною SMN будується «характеристична» (MNP.

(MNP подібний до (MRS.

Звідси SR = (MR. MP) / PN, чи більш звичних нам символах SP = [f (х)h] / f (х+h) — f (х).

Потім Ферма переходить від січною до дотичній, вважаючи x = 0, одержуючи цим St = у / у1. Пізніше він поширив його визначення дотичних у разі неявній функції f (х, у) = 0. Отримане їм вираз легко перетворюється на звичне нам дf / дх-2 + у1 (дf / дх-2) = 0.

Перший у світі друкований курс диференціального обчислення опублікував 1696 р. Лопиталь. Цей курс складається з передмови і десяти глав. У передмові дається короткий історичний огляд розвитку нового исчисления.

У 10-му розділах книжки викладаються визначення постійних і змінних величин і диференціала («Нескінченно мала, частина яку безупинно збільшується чи зменшується змінна величина, називається її диференціалом».), пояснюються що їх вживають позначення dх, dу та інших., виводяться правила диференціювання алгебраїчних висловів, визначається диференціальний літочислення до пошуку дотичних до кривим, до пошуку максимумів і мінімумів і т.п.

Великими достоїнствами книжки Лопиталя є простота що сувора послідовність викладу, безліч прикладів легких, середніх і більше трудных.

Поява аналізу нескінченно малих революционировало всю математику, перетворивши їх у математику змінних величин.

1. Стефан Бонах.

«Диференціальні і інтегральні исчисления».

2. Глаголєв А.А., Солнцева Т. В. «Курс вищої математики».

3. Глейзер Г.І. «Історія математики школе».

4. Рибников К. А. «Історія математики».

5. Стройк Д. Я. «Короткий нарис історії математики».

6. Шестаков А. А. Малишева І.А. «Курс вищої математики».

7. Хрестоматія з історії математики. ———————————- (у f (х0+(х) — f (х0) (x (х.

lim f (х0+(х) — f (х0) lim (у (х (0 (x (х (0(х.

dу dх.

(у (х.

lim (у (х (0(х.

lim (x (х (0.

(у (х.

lim (у = 0 (х (0.

(у (х.

lim (у (х (0(х.

lim (х (0.

х.

(х.

(х+х.

О А.

В.

(у.

(у (х.

(((х)=.

lim (х (0.

(у (х.

lim (х (0.

dху dхх и (.

(dи -иd (.

(2.

(у Д.

А О.

(у.

dу.

dх х.

Д А.

dу.

dх х.

рис. 2.

С С.

lim (х (0.

(у — dу.

(х х3 3.

5 4 3 2 1.

рис. 3.

х8 8.

х5/3 5/38.

6 5.

3dх cos23х.

d (3х) cos23х.

(вч х4 4.

х3/2 3/2.

х3 3.

(2х + 3)5.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

max (хi (0.

в а.

п.

i=1.

в а.

с а.

в с.

п.

i=1.

п.

i=1.

п.

i=т.

т.

i=1.

в с.

с а.

в а.

max (хi (0.

п.

i=1.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

max (хi (0.

в а.

п.

i=1.

max (хi (0.

в а.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

max (хi (0.

в а.

п.

i=1.

п.

i=1.

п.

i=1.

п.

i=1.

п.

i=1.

п.

i=1.

п.

i=1.

в а.

т ((М.

в а.

п.

i=1.

max (хi (0.

п.

i=1.

max (хi (0.

в а.

п.

i=1.

п-1.

k=0.

О а.

в у=f (х) f (х) А.

В рис. 4.

О у.

х.

В А.

Т.

S (х).

(S.

х.

(х.

(х+х в.

а рис. 5.

х а.

I х.

х+(х а.

х а.

х+(х х.

(х (0.

(F (х.

f (с)(х (х с (х.

х а.

в а.

х а.

в а.

2(.

2(0.

dх х2+1.

1 0.

в а.

рис. 11.

а.

(2 1.

в а.

в, а в а.

в а.

а.

в х+(х К.

х.

(P.

P (х) В.

х у.

О О.

2а А.

А1.

В в=пh.

рис. 6.

рис. 7.

х=а х=в у1=f1(х) у2=f2(х) рис. 8.

А.

рис. 9.

п-1.

k=0.

п-1.

k=0.

п.

(=1.

п.

(=1.

в а.

k=1.

в а.

а.

п ((.

а.

п.

k=1.

а.

п.

i=1.

рис. 10.

В Е.

Е.

В О.

х.

(х (0.

х а.

рис. 12.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою