Теорія ймовірностей та математична статистика
Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження, для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах. Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при випробуваннях вона в середньому відбувається в випадках. За хибний нуль узята варіанта, а за хибний нуль узята варіанта, які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних… Читати ще >
Теорія ймовірностей та математична статистика (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Міністерство освіти і науки України Донбаський державний технічний університет Кафедра Вищої Математики
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
По дисципліні «Теорія ймовірностей та математична статистика»
Варіант № 26
(завдання № 14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)
Виконала: студентка групи
Перевірила: доцент кафедри вищ. мат.
Алчевськ 2009
РОЗДІЛ I «ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ»
ЗАВДАННЯ №1
14) В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?
РОЗВ’ЯЗАННЯ Для білої:
Для чорної:
Загальна вірогідність:
або
ЗАВДАННЯ №2
2) В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?
РОЗВ’ЯЗАННЯ Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку:
Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку:
ЗАВДАННЯ №3
4) 4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при випробуваннях вона в середньому відбувається в випадках.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті?
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАВДАННЯ №4
12) Проведено незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з імовірністю .
I) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно разів;
II) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до разів.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)
1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:
2) Знайдемо :
3) Знайдемо :
4) Шукана ймовірність:
II)
За інтегральною теоремою Лапласа:
1) Знайдемо межі інтеграла і :
2) Знайдемо функції Лапласа і :
3) Шукана ймовірність:
ЗАВДАННЯ №5
11) Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
Х | ||||
Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 | |
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Математичне сподівання знайдемо за формулою:
2) Складемо закон розподілу для :
Х | ||||
Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 | |
3) Дисперсію знайдемо за формулою:
4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:
5) Знайдемо функцію розподілу:
6) Графік цієї функції має вигляд:
ЗАВДАННЯ №6
15) Випадкова величина задана функцією розподілу:
Знайти:
I) щільність розподілу ймовірності;
II) математичне сподівання;
III) дисперсію випадкової величини;
IV) імовірність попадання випадкової величини в інтервал ;
V) Накреслити графіки функцій і .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I) щільність розподілу ймовірностей:
II) математичне сподівання:
III) дисперсія:
IV) імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу
V) Графіки функцій і :
ЗАВДАННЯ №7
2) Відоме математичне сподівання і дисперсія випадкової величини .
Знайти:
I) імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал ;
II) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I) Імовірність влучення випадкової величини у інтервал :
II) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:
РОЗДІЛ II
14) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА № 1 «СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ»
перший інтервал 21−25
Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:
Межі інтервалу xi xi+1 | Середина інтервалу xi0 | Частота ni | Накопичувальна частота ?ni | Відносна частота ni/n | Накопичувальна відносна частота ?ni/n | |
21 25 | 0,08 | 0,08 | ||||
25 29 | 0,12 | 0,20 | ||||
29 33 | 0,24 | 0,44 | ||||
33 37 | 0,22 | 0,66 | ||||
37 41 | 0,22 | 0,88 | ||||
41 45 | 0,08 | 0,96 | ||||
45 49 | 0,04 | |||||
2) Побудуємо гістограму частот:
3) Побудуємо полігон частот:
4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:
5) Графік розподілу емпіричної функції:
6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:
Середина інтервалу xi0 | ||||||||
Частота ni | ||||||||
6.1) Складемо заповнимо таблицю:
хi0 | ni | Ui | niUi | niUi2 | ni(Ui+1)2 | |
— 2 | — 8 | |||||
— 1 | — 6 | |||||
6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:
6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами): .
6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль :
3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2
«МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ»
За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:
1. Побудувати діаграму розсіювання.
2. Записати емпіричну функцію.
3. Записати систему нормальних рівнянь.
4. Скласти розрахункову таблицю.
5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.
Уважаючи, що залежність між змінними й має вигляд, знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:
РОЗВ’ЯЗАННЯ По вибірці спостережень побудуємо в системі координат и діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки:
Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію. Необхідно знайти параметри, а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів, а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:
Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ():
Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь:
Вирішуючи систему, одержимо .
5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:
6) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3
«ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ»
Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу (тис.т) та затратами електроенергії на 1 т. (тис. кВтгод) дано у таблиці:
10−15 | 15−20 | 20−25 | 25−30 | 30−35 | |||
2,0−2,5 | |||||||
2,5−3,0 | |||||||
3,0−3,5 | |||||||
3,5−4,0 | |||||||
4,0−4,5 | |||||||
За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім.
Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями і середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між і існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу:
1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв’язку між і .
2. Скласти рівняння прямих регресії на та на .
3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею).
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:
12,5 | 17,5 | 22,5 | 27,5 | 32,5 | |||
2,25 | |||||||
2,75 | |||||||
3,25 | |||||||
3,75 | |||||||
4,25 | |||||||
2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження, для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.
За хибний нуль узята варіанта, а за хибний нуль узята варіанта, які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.
3) У кожній клітці, у якій частота, записуємо в правому верхньому куті добуток частоти на .
4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця .
5) Множимо варіанту на й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка.
6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами, після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок .
Потім множимо варіанту и на й результат записуємо в останньому рядку.
— 2 | — 1 | ||||||||||||||||||
— 2 | -12 | — 24 | |||||||||||||||||
— 1 | -6 | -6 | — 18 | ||||||||||||||||
-4 | -4 | — 8 | — 8 | ||||||||||||||||
-8 | — 8 | — 16 | |||||||||||||||||
— 6 | — 18 | ||||||||||||||||||
— 20 | — 4 | — 6 | — 36 | — 66 | |||||||||||||||
7) Обчислюємо й :
8) Обчислюємо допоміжні величини й :
9) Обчислимо й :
10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:
Тому що, цей зв’язок зворотній.
11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд:
.
Обчислимо, ,, :
12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:
13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y:
14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:
Якщо скористатися безпосередньо таблицею, то
Як видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх — задовільне.