Элементарное доказ Великої теореми Ферма
Виктор Сорокин Идея запропонованого увазі читача елементарного докази Великої теореми Ферма виключно проста: після розкладання чисел a, b, з на пари доданків, потім угруповання їх двох сум U «і U «» і множення рівності a^n + b^n — c^n = 0 на 11^n (тобто. на 11 певною мірою n, а чисел a, b, з на 11) (k+3)-я цифра є в числі a^n + b^n — c^n (де k — число нулів на кінці числа a + b — з) не дорівнює 0… Читати ще >
Элементарное доказ Великої теореми Ферма (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Элементарное доказ Великої теореми Ферма
Виктор Сорокин Идея запропонованого увазі читача елементарного докази Великої теореми Ферма виключно проста: після розкладання чисел a, b, з на пари доданків, потім угруповання їх двох сум U «і U «» і множення рівності a^n + b^n — c^n = 0 на 11^n (тобто. на 11 певною мірою n, а чисел a, b, з на 11) (k+3)-я цифра є в числі a^n + b^n — c^n (де k — число нулів на кінці числа a + b — з) не дорівнює 0 (числа U «і U «» множаться по-різному!). Для розуміння докази треба знати лише формулу бинома Ньютона, найпростішу формулювання малої теореми Ферма (наводиться), визначення простого числа, складання двох-трьох чисел і множення двозначної числа на 11. Ось, мабуть, і УСЕ! Найголовніше (й тяжке) — не заплутатися за десяток цифр, позначених літерами. Формальне опис історії теореми і бібліографія в про російський текст опущены.
Доказательство наводиться у редакції від 1 червня 2005 року (з урахуванням дискусії на мехматовском сайте).
В.С.
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [У квадратних дужках наводиться яка пояснює, не обов’язкова информация.].
Используемые позначення:
Все числа записані у системі числення з простим підставою n > 10.
[Усі випадки з складовим n, крім n = 2k (який зводиться випадку n = 4), зводяться до случаю.
простого n з допомогою простий підстановки. Випадки n = 3, 5 і аналогічних сім не рассматриваются.].
ak — k-я цифра від кін.ХХ ст числі a (a1 — остання цифра).
[Приклад для a = 1043: 1043 = 1×53 + 0×52 + 4×51 + 3×50; a1 = 3, a2 = 4, a3 = 0, a4 = 1.].
a (k) — закінчення (число) з k цифр числа a (a (1) = a1; 1043(3) = 043). Скрізь з тексту a1 № 0.
[Якщо всі три числа a, b і з закінчуються на нуль, слід поділити рівність 1° на nn.].
(ain)1 = ai і (ain — 1)1 = 1 (див. Малу теорему Ферма для ai № 0). (0.1°).
(n + 1) n = (10 + 1) n = 11n = …101 (див. Біном Ньютона для простого n).
Простое слідство з бинома Ньютона й малої теореми Ферма для p. s № 1 [a1 № 0]:
якщо цифра as увеличивается/уменьшается на 0 < d < n,.
то цифра ans+1 увеличивается/уменьшается на d (чи d + n, чи d — n). (0.2°).
[У негативних числах цифри вважаються отрицательными.].
***.
(1°) Припустимо, що an + bn — cn = 0 .
Случай 1: (bc)1? 0.
(2°) Нехай u = a + b — з, де u (k) = 0, uk+1? 0, k > 0 [відомо, що у 1° u > 0 і k > 0].
(3°) Помножимо рівність 1° на число d1n (див. §§ 2 і 2a в Додатку) з єдиною метою перетворити.
цифру uk+1 в розмірі 5. Після цієї операції позначення чисел не змінюються.
і рівність продовжує йти під такою самою номером (1°).
Вочевидь, як і з нового рівність (1°) u = a + b — з, u (k) = 0, uk+1 = 5.
(1*°) І хоча a*n + b*n — c*n = 0, де знаком «*» є такі записані канонічному вигляді вересня рівність (1°) після множення рівності (1°) на 11n .
(4°) Введемо у зазначеній тут черговості такі числа: u, u «= a (k) + b (k) — c (k),.
u «» = u — u «= (a — a (k)) + (b — b (k)) — (з — c (k)), v = (ak+2 + bk+2 — ck+2)1, u* «= a*(k) + b*(k) — c*(k),.
u* «» = u* - u* «= (a* - a*(k)) + (b* - b*(k)) — (з* - c*(k)), 11u », 11u «», v* = (a*k+2 + b*k+2 — c*k+2)1,.
и обчислимо два останніх значущі цифри у тих числах:
(3a°) uk+1 = (u «k+1 + u «» k+1)1 = 5;
(5°) u «k+1 = (-1, 0 чи 1) — оскільки — nk < a «(k) < nk, — nk < b «(k) < nk, — nk < з «(k) < nk.
і кількості a, b, з мають різні знаки;
(6°) u «» k+1 = (4, 5 чи 6) (див. 3a° і п’яти°) [важливо: 1 < u «» k+1 < n — 1];
(7°) u «k+2 = 0 [завжди!] - оскільки u «< 2nk ;
(8°) u «» k+2 = uk+2 [всегда!];
(9°) u «» k+2 = [v + (ak+1 + bk+1 — ck+1)2]1, де (ak+1 + bk+1 — ck+1)2 = (-1, 0 чи 1);
(10°) v = [uk+2 — (a (k+1) + b (k+1) — c (k+1))k+2]1 [де (a (k+1) + b (k+1) — c (k+1))k+2 = (-1, 0 чи 1)] =.
= [uk+2 — (-1, 0 чи 1)]1;
(11°) u*k+1 = uk+1 = 5 — т.к. u*k+1 і uk+1 — останні значущі цифри в числах u* і u;
(12°) u* «k+1 = u «k+1 — т.к. u* «k+1 і u «k+1 — останні значущі цифри в числах u* «і u » ;
(13°) u* «» k+1 = (u*k+1 — u* «k+1)1 = (3 — u* «k+1)1 = (4, 5 чи 6) [важливо: 1 < u* «» k+1 < n — 1];
(14°) (11u ")k+2 = (u «k+2 + u «k+1)1 (потім — внаслідок приведення чисел до канонічного виду -.
величина u «k+1 «йде» в u* «» k+2, оскільки u* «k+2 = 0);
(14a°) важливо: числа (11u ")(k+2) і u* «(k+2) відрізняються лише k+2-ми цифрами, саме:
u* «k+2 = 0, але (11u »)k+2 № 0 загалом случае;
(15°) (11u «»)k+2 = (u «» k+2 + u «» k+1)1;
(16°) u*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 = (u «» k+2 + uk+1)1 = (u «» k+2 + 5)1;
(16а°) до відома: u* «k+2 = 0 (див. 7°);
(17°) u* «» k+2 = (u*k+2 +1, u*k+2 чи u*k+2 — 1)1 = (див. 9°) = (u «» k+2 + 4, u «» k+2 + 5 чи u «» k+2 + 6)1;
(18°) v* = [u*k+2 — (a*(k+1) + b*(k+1) — c*(k+1))k+2]1.
[де u*k+2 = (uk+2 + uk+1)1 (див. 16°), а (a*(k+1) + b*(k+1) — c*(k+1))k+2 = (-1, 0 чи 1) — див. 10°] =.
= [(uk+2 + uk+1)1 — (-1, 0 чи 1)]1.
(19°) Введемо числа U «= (ak+1)n + (bk+1)n — (ck+1)n, U „“ = (an + bn — cn) — U », U = U «+ U «» ,.
U* «= (a*k+1)n + (b*k+1)n — (c*k+1)n, U* „“ = (a*n + b*n — c*n) — U* », U* = U* «+ U* «» ;
(19а°) до відома: U «(k+1) = U* «(k+1) = 0.
(20°) Лема: U (k+2) = U «(k+2) = U «» (k+2) = U*(k+2) = U* «(k+2) = U* «» (k+2) = 0 [всегда!].
Действительно, з 1° маємо:
U = an + bn — cn =.
= (a (k+1) + nk+1ak+2 + nk+2Pa)n + (b (k+1) + nk+1bk+2 + nk+2Pb)n — (c (k+1) + nk+1ck+2 + nk+2Pc)n =.
= (a (k+1)n + b (k+1)n — c (k+1)n) + nk+2(ak+2a (k+1)n — 1 + bk+2b (k+1)n — 1 — ck+2c (k+1)n — 1) + nk+3P =.
= U «+ U «» = 0, де.
U «= a (k+1)n + b (k+1)n — c (k+1)n,.
(20a°) U «» = nk+2(ak+2a (k+1)n -1 + bk+2b (k+1)n -1 — ck+2c (k+1)n -1) + nk+3P,.
де (ak+2a (k+1)n -1 + bk+2b (k+1)n -1 — ck+2c (k+1)n -1)1 = (див. 0.1°)=.
(20b°) = (ak+2 + bk+2 — ck+2)1 = U «» k+3 = v (див. 4°).
(21°) Слідство: (U «k+3 + U «» k+3)1 = (U* «k+3 + U* «» k+3)1 = 0.
(22°) Обчислимо цифру (11nU ")k+3:
[оскільки числа (11u ")(k+2) і u* «(k+2) відрізняються лише k+2-ми цифрами на величину.
(11u ")k+2), то, на цю величину різнитимуться і цифри (11nU ")k+3 і U* «k+3, це означает,.
що (11nU ")k+3 буде (11u ")k+2 перевищувати цифру U* «k+3 (див. 0.2°)].
(11nU ")k+3 = U «k+3 = (U* «k+3 + (11u »)k+2)1 = (U* «k+3 + u «k+1)1.
(23°) Звідки U* «k+3 = U «k+3 — u «k+1.
(24°) Обчислимо цифру U* «» k+3 :
U* «» k+3 = v* = (uk+2 + uk+1)1 — (-1, 0 чи 1) — див. (18°);
(25°) Нарешті, обчислимо цифру (U* «k+3 + U* «» k+3)1:
(U* «k+3 + U* «» k+3)1 = (U* «k+3 + U* «» k+3 — U «k+3 — U «» k+3)1 = (U* «k+3 — U «k+3 + U* «» k+3 — U «» k+3)1 =.
(див. 23° і 24°) = (- u «k+1 + v* - v) = (див. 18° і десяти°) =.
= (- u «k+1 + [uk+2 + uk+1 — (-1, 0 чи 1)] - [uk+2 — (-1, 0 чи 1)])1 =.
= (- u «k+1 + uk+1 + (-2, -1, 0, 1, чи 2))1 = (див. 3a°) =.
(u «» k+1 + (-2, -1, 0, 1, чи 2))1 = (див. 6°) = (2, 3, 4, 5, 6, 7 чи 8) № 0,.
що суперечить 21° і, отже, вираз 1° є нерівність.
Случай 2 [доводиться аналогічно, але набагато простіше]: b (чи з) = ntb ", де b1 = 0 і bt+1 = b «1 № 0.
(26°) Введемо число u = з — a > 0, де u (nt — 1) = 0, а unt? 0 (див. § 1 в Приложении).
(27°) Після множення рівності 1° на число d1n (з єдиною метою перетворити цифру unt в 5).
(див. §§ 2 і 2a в Додатку) позначення чисел сохраняются.
(28°) Нехай: u «= a (nt — 1) — c (nt — 1), u «» = (a — a (nt — 1)) — (з — c (nt — 1)) (де, очевидно, u «» nt = (ant — cnt)1);
U «= a (nt)n + bn — c (nt)n (де U «(nt + 1) = 0 — див. 1° і 26°), U «» = (an — a (nt)n) — (cn — c (nt)n),.
U* «= a*(nt)n + b*n — c*(nt)n (де U* «(nt + 1) = 0), U* «» = (a*n — a*(nt)n) — (c*n — c*(nt)n),.
v = ant+1 — cnt+1.
Вычисления, повністю аналогічні обчисленням у разі 1, показують, що nt+2-я цифра є в рівність Ферма не дорівнює нулю. Кількість b переважають у всіх розрахунках (крім останній операції, і в п. 27°) можна проігнорувати, т.к. цифри bnnt+1 і bnnt+2 при множенні рівності 1° на 11n не змінюються (т.к. 11n (3) = 101).
Таким чином, простих n > 7 теорема доказана.
==================.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
§ 1. Якщо числа a, b, з немає загальних сомножителей і b1 = (з — a)1 = 0,.
тоді у складі R = (cn — an)/(c — a) =.
= cn -1 + cn -2a + cn -3a2 + … c2an — 3 + can — 2 + an — 1 =.
= (cn -1 + an -1) + ca (cn -3 + an -3) + … + c (n -1)/2a (n -1)/2 =.
= (cn -1 — 2c (n -1)/2a (n -1)/2 + an -1 + 2c (n -1)/2a (n -1)/2) + ca (cn -3 — 2c (n -3)/2a (n -3)/2 + an -3 + 2c (n -3)/2a (n -3)/2) +.
+ … + c (n -1)/2a (n -1)/2 = (з — a)2P + nc (n -1)/2a (n -1)/2 слід, что:
з — a ділиться на n2, отже R ділиться на n і ділиться на n2;
оскільки R > n, то число R має простий множене r не рівний n;
з — a не ділиться на r;
якщо b = ntb ", де b «1 № 0, то число з — a ділиться на ntn — 1 і ділиться ntn.
§ 2. Лема. Усі n цифр (a1di)1, де di = 0, 1, … n — 1, различны.
Справді, допустивши, що (a1d1*)1 = (a1d1**)1, ми бачимо: ((d1* - d1**)a1)1 = 0.
Звідки d1* = d1**. Отже, безлічі цифр a1 (тут разом із a1 = 0) і d1 совпадают.
[Приклад для a1 = 2: 0: 2×0 = 0; 1: 2×3 = 11; 2: 2×1 = 2; 3: 2×4 = 13; 4: 2×2 = 4.
При складеному n Лема несправедлива: у базі 10 і (2×2)1 = 4, і (2×7)1 = 4.].
§ 2a. Слідство. Для будь-який цифри a1 № 0 cуществует таку цифру di, що (a1di)1 = 1.
[Приклад для a1 = 1, 2, 3, 4: 1×1 = 1; 2×3 = 11; 3×2 = 11; 4×4 = 31.].
ВИКТОР СОРОКИН.
e-mail: victor. [email protected].
4 листопада 2004, Франция.
P. S. Доказ для випадків n = 3, 5, 7 аналогічно, але у (3°) цифра uk+1 перетворюється над 5, а 1, й у (1*°) рівність (1°) збільшується не так на 11n, але в деяке hn, де h — деяке однозначне число.
Список литературы
Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.