Куля і сфера (реферат)

РЕФЕРАТ на тему:

Куля і сфера

ПЛАН

1. Куля

2. Переріз кулі площиною.

3. Симетрія кулі.

4. Перетин двох сфер

5. Об'єм кулі.

6. Площа сфери Список використаної літератури.

1. Куля

Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань радіусом кулі.

Межа кулі називається кульовою поверхнею або сферою. Та­ким чином, точками сфери є всі точки кулі, які віддалені від центра на відстань, що дорівнює радіусу. Будь-який відрізок, який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, теж називається радіусом.

Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметраль­но протилежними точками кулі.

Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється під час обертання півкруга навколо його діаметра як осі (мал. 1).

Мал.1.

2. Переріз кулі площиною Теорема. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Доведення. Нехай, а — січна площина і О — центр кулі (мал. 2). Опустимо перпендикуляр з центра кулі на площину, а і позначимо через О' основу цього перпендикуляра.

Нехай X — довільна точка кулі, яка належить площині а теоремою Піфагора ОХ2 = 00'2 + 0'Х2. Оскільки ОХ не більший з $$$$ а радіус R кулі, то.

$${\text{OX}}^2<=\sqrt{R^2-{\text{OO}}^{I2}}$$, тобто довільна точка перерізу кулі площиною, а знаходиться від точки О' на відстані, не більшій за $$\sqrt{R^2-{\text{OO}}^{I2}}$$, а тому належить кругу з центром О' і радіусом $$\sqrt{R^2-{\text{OO}}^{I2}}$$ .

Навпаки: довільна точка X цього круга належить кулі. А це означає, що переріз кулі площиною круг з центром у точці О'. Теорему доведено.

Мал.2. Мал.3.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Переріз кулі діаметральною площи­ною називається великим кругом (мал. 3), а переріз сфери — великим колом.

Мал.4.

3. Симетрія кулі.

Теорема. Будь-яка діаметральна площина кулі е її площиною симетрії. Центр кулі е її центром симетрії.

Доведення. Нехай, а — діа­метральна площина і X — довільна точка кулі (мал. 5). Побудуємо точку X', симетричну точці X від­носно площини а.

Площина, а перпендикулярна до відрізка XX' і ділить його по­полам (у точці А). З рівності прямо­кутних трикутників ОАХ і ОАХ' випливає, що ОХ' = ОХ.

Оскільки OX < R, то і OX' < R, тобто точка, симетрична точці X, належить кулі. Перше твердження теореми доведено.

Нехай тепер X" - точка, симетрична точці X відносно центра кулі. Тоді OX" = OX < R, тобто точка X" належить кулі. Теорему доведено повністю.

Мал.5.

4. Перетин двох сфер Теорема. Лінія перетину двох сфер є коло.

Доведення. Нехай О1 і О2 — центри сфер і А — їх точка перетину (мал.6). Проведемо через точку, А площину а, перпендикулярну до прямої О1О2 .

Позначимо через В точку перетину площини прямою О1О2. За теоремою площина, а перетинає обидві сфери по колу К з центром В, яке проходить через точку А. Таким чином, коло К належить перетину сфер.

Покажемо тепер, що сфери не мають інших точок перетину, крім точок кола К,. Припустимо, що точка X перетину сфер не лежить на колі К. Проведемо площину через точку X і пряму О1О2. Вона перетне сфери по колах з центрами О1 і О2. Ці кола перетинаються у двох точках, які належать колу К, та ще в точці X. Але два кола не можуть мати більш ніж дві точки перетину. Ми прийшли до суперечності. Отже, перетином наших сфер є коло (К). Теорему доведено.

Мал.6 Мал.7.

5. Об'єм кулі.

Застосуємо виведену формулу для об'єму тіл обертання до обчислення об'єму кулі.

Введемо декартові координати, взяв­ши за центр кулі початок координат (мал. 8). Площина ху перетинає по­верхню кулі радіуса R по колу, яке, як відомо, задається формулою х2 + у2 = R2.

Півколо, розміщене над віссю х, за­дається рівнянням.

Мал.8.

Тому об'єм кулі знаходимо за формулою.

Отже, об'єм кулі дорівнює.

6. Площа сфери Опишемо навколо сфери опуклий многогранник з малими гранями (мал. 9). Нехай S' - площа поверхні многогран­ника, тобто сума площ його граней.

Знайдемо наближене значення площі поверхні многогранни­ка, припускаючи, що лінійні розміри граней, тобто відстань між будь-якими двома точками будь-якої грані, менша за е.

Об'єм многогранника дорівнює сумі об'ємів пірамід, основа­ми яких є грані многогранника, а вершиною — центр сфери (мал. 10). Оскільки всі піраміди мають одну і ту саму висоту, що дорівнює радіусу R сфери, то об'єм многогранника:

Мал. 9 Мал.10.

Об'єм многогранника більший, ніж об'єм кулі, обмеженої сферою, але менший, ніж об'єм кулі з тим самим центром, а радіусом R + аким чином,.

Ми бачимо, що площа поверхні описаного многогранника при необмеженому зменшенні розмірів його граней, тобто при необмеженому зменшенні є, прямує до 4nR2. У зв’язку з цим величину 4nR2 приймають за площу сфери.

Отже, площа сфери радіуса /? обчислюється за формулою.

Аналогічно знаходять площу сферичної частини поверхні кульового сектора, тобто площу сферичного сегмента. Для неї дістають формулу.

де H — висота сегмента.

Список використаної літератури

1. 1.Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія. — К., 2001.

2. 2.Словник-довідник з математики. — К., 2000.