Математика і проблему адекватного описи реальності

Математика і проблема адекватного описи реальности

В. Я. Фридман

Над усе наше теоретичним мисленням панує з абсолютної силою те що, що зараз суб'єктивне мислення та світ підпорядковані тим і тим самим законам І що тому й вони можуть суперечити один одному своїх результатах, а повинні погодитися між собою. [1].

Ф. Енгельс.

Должны чи думку про речах бути настільки несхожими те що, що приміром із речами, чи маємо які самі собою йти іншим шляхом, цілком у не стоїть осторонь дійсності? [2].

Д. Гільберт.

Размышления над проблемами, наростаючими труднощами й більше усложняющимся мовою сучасної теоретичної фізики неминуче призводять до підозрі, що не благополучно у самому фундаменті сучасного «точного «природознавства. А таким фундаментом, безумовно, є сформований століттями математичний формалізм, службовець для описи реальності. Для теоретичної фізики якого є тієї аксіоматичній базою, з якою повинні узгоджувати власні дії її побудови, але її сама, як чоловіка Цезаря, «вище підозр » .

На тлі грандіозних успіхів, досягнутих протягом півтора століття «точним «природознавством з урахуванням сформованого перед ним і надстраивавшегося паралельно з нею математичного апарату, з розгляду цілком випав питання, наскільки мову традиційної математики на справі, у принципових засадах, адекватний структурі світу, що він покликаний і береться описывать.

Но, колись всього, правомірна чи сама позиція? Не розвивається чи математика по власним, автономним, іманентними законам?

Если математика є «чистим породженням розуму «(своєрідною «грою в бісер »), то незрозуміло, чому світ зобов’язаний із нею узгоджувати власні дії. Якщо ж вона є формою абстрагування в «аминокислотном «людському свідомості властивих світу (чи можливих, у ньому за відсутності що забороняють обмежень) структур і стосунків, постає питання про «адекватності «, «изоморфности «математичних структур структурам реальности.

" Основна проблема полягає у стосунках світу експериментального та світу математичного «- зауважує М. Бурбаки [3]. Цікаво зіставити дві крайні погляду у цій вопросу:

Ш. Эрмит: «Вірю, що числа і функції аналізу є довільними творіннями нашого розуму: гадаю, що існують поза нашій силу тієї ж необхідності, як і об'єкти реального світу, і ми їх зустрічаємо чи його відкриваємо і вивчаємо точно оскільки роблять фізики, хіміки і зоологи «[4].

Г. Кантор: «Математика цілком незалежна розвитку і її поняття пов’язані лише вимогами бути несуперечливими і відповідати поняттям, запровадженим раніше у вигляді точних визначень «[5].

Н. Бурбаки прагне зберегти нейтралітет у цьому спорі, залишаючи питання відкритим: «Те, що експериментальними явищами і математичними структурами існує тісний зв’язок, — це, як здається, було цілком несподіваним чином підтверджено недавніми відкриттями сучасної фізики, але ми цілком невідомі глибокі причини цього… «([3], з. 258). І далі: «У своєї аксіоматичній формі математика представляється скупченням абстрактних форм — математичних структур, і… виявляється (хоч і невідомо чому), деякі аспекти експериментальної дійсності начебто внаслідок приречення укладаються у дехто з тих форм «([3], з. 258 — 259). Це перегукується з поглядами Є. Вигнера, за якими «незбагненна ефективність математики природних науках «є «щось загадкове, не піддається раціональному поясненню «([6], з. 183; інший переклад див. [7]).

Между тим, при пильнішому розгляді неадекватність здавалося б настільки досконалого математичного мови, за всієї «незбагненною ефективності «, виступає досить чітко. Тому, як намагатися будувати «нову фізику », про що вже майже століття йдуть безперервні розмови (суперечки), можливо, треба наведення порядку у її математичному фундаменті, а далі «йтиме й далі звісно ж «(а суперечки також «самі собою «утихнут).

Но не лише про фізику, «старої «чи «нової «. Йдеться про усуненні деяких «неадекватностей «у самій математиці, яка, хоч як по-блюзнірському звучить таку заяву, незважаючи на «неймовірну ефективність «виявляється побудованої що на деяких хибних передумови. Як зазначено у «справжній роботі, переформулювання деяких її фундаментальних вихідних положень «з особою, зверненим до реальності «, призводить до логічно бездоганної схемою, відразу ставить «усі свої місця », яка пояснюватиме багато загадок (зокрема і вищезгадану) і що відкриває нові перспективи розвитку лише перед теоретичної фізикою, а й «чистої «математикой.

Здесь мушу відзначити, що у різним приводів неодноразово висловлювалися сумнівів у тому, наскільки традиційна математика, всю свою «незбагненну ефективність », адекватно описує реальність. «Неясно, якою мірою об'єкт дослідження, у математиці адекватно відповідає реальності «- прямо, прямо, заявляють А. Колмогоров й О. Драгалин ([8], з. 114). А, торкаючись певних труднощів теоретико-множественного формалізму, вони висловлюються ще точніше: » …Такі слідства викликають підозра, що кілька фактів, здобутих у певної математичної теорії, навіть несуперечливої, просто більше не стосується до фізичного реальності й є наслідком задалеко зашедшей екстраполяції! «([8], з. 112).

Так виникає що здається спочатку безнадійної завдання «адекватизации «математики, рішенню якої може і присвячений нашу працю (див. виноску на з. 61); природно, що з цього знадобилося, відмовившись від усталених догм, подивитись давно відомі речі свіжим і неупередженим взглядом.

Предлагаемая теорія, яка веде до перегляду деяких тут сталих і які видавалися досі непорушними вистав об математики й теоретичній фізиці, природно, не може спиратися певні общеметодологические, філософські міркування, тим паче, що, як слушно зауважив У. Вернадський, «межа між філософією і наукою — з об'єктів дослідження — зникає, коли йде про питаннях природознавства «[9]. Постараємося сформулювати в — наскільки це у людських силах — короткої, але з тим досить чіткою формі, не ставлячи при цьому, втім, завдання суворого визначення використовуваних понять, а покладаючись на обіцяну спільність основних інтуїтивних уявлень в усіх, що розмірковують про «устрої «світу і засобах його описи. Отже, «про гіпотезах, що у підставі… » .

1. Онтологічний аспект.

" Світ «- на надзвичайно рівні абстракції - мислиться як собі система, існуюча, власне кажучи, поза навіть від відбиває її «свідомості «, що саме утворює із підсистем Миру (специфічну аминокислотную підсистему, здатну як частину відбивати ціле). У цьому система «Світ «передбачається наділеною певної структурою, яка має такими фундаментальними свойствами.

а) Потрібно казати про станах системи як і справу різних можливих реалізаціях її структури. Стосовно «інтенсивним «структурним характеристикам системи її «стану «виступають на певному сенсі як «екстенсивні «, чи «фазові «, характеристики системи та її элементов.

б) За всіх можливих станах системи та переходах з-поміж них зберігається властивість консервативності Миру себто збереження основних структуроутворюючих відносин, які забезпечують, що Світ залишається Світом, а чи не перетворюється на щось інше, принципово інакше організоване (концепція «Невзрывающегося світу ») [10].

в) Це припускає наявність певних обмежень, накладених самої структурою Миру з його можливі стану. (Не виключено, що ці обмеження повинні мати дуже загальний, швидше за все, теоретико-групповой характері і бути пов’язані з абстрактними умовами симетрії тощо.) У Світі в повному обсязі можливо, а існують правила «внутрішнього розпорядку », що й прийнято називати законами Природи. З іншого боку, усе веде існувати Світі (та її підсистемах) якихось інваріантів, що й гарантують збереження Миру як Миру попри всі його можливих внутрісистемних перетвореннях («автоморфизмах «Мира).

г) Консервативність Миру означає консервативність його структури, а чи не станів. У межах згаданих обмежень «елементи Миру «(що під цим ні передбачалося!), отже, й різні його підсистеми і Світ загалом, здатні приймати надзвичайно багатий спектр різних состояний.

Иначе кажучи, в Світі щось робити може відбуватися й відбувається (Світ як «нежесткая », динамічну систему зі «ступенями свободи », «Розморожений світ »), у ньому можливі й здійснюються різні перетворення, зберігають, проте, непорушним Світ як єдине ціле. Всі ці перетворення зводяться до зміни станів його елементів (під впливом інші елементи системи чи «спонтанних », природа що у значною мірою незрозуміла), і цим вичерпується спектр що у системі можливостей. У цьому, очевидно, діє принцип: «Усі, що можна (тобто. сумісно з накладеними обмеженнями), десь і коли-небудь відбувається «[11 — 13].

д) Закони природи, зумовлені структурними обмеженнями системи, носять, таким чином, сутнісно, не який наказував би, а, скоріш, лише який забороняє характер, що навіть пояснюється бачимо у різних підсистемах Миру розмаїття форм.

" Субатомный зоопарк «[14] налічує на сьогодні (включаючи «резонансы ») понад 200 «елементарних «(у лапках, зрозуміло) частинок [14, 15], а таблиця Менделєєва — 105 «елементів «(при незліченній кількості ізотопів). Кількість біологічних видів на нашої планеті, за оцінками [16], перевищує 2 o 106 (беручи до уваги незліченних підвидів) і навіть число «природних «мов у межах виду Homo Sapiens перевищує 2000 [ 17], а, по деякими даними сягає 5000 [18] (беручи до уваги незліченних діалектів). Усе це, певне, різні реалізації можливих станів, сумісні з накладеними ограничениями.

е) Світу як системі притаманні властивості замкнутості й повноти: всіх можливих й швидко реалізовувані в ньому гніву й перетворення підпорядковуються структурним обмеженням системи та не виводять елементи Миру її межі; інакше кажучи, в «природному «світі немає для «надприродних «явлений.

2. Эпистемологический аспект.

Поскольку в Світі як системі, власне кажучи, «все пов’язана з усім », всяка завдання описи станів Миру та його перетворень, тобто. переходу його елементів з одних допустимих станів до інших сутнісно і є завданням багатьох (у принципі, нескінченно значної частини) «тіл «- завданням загального взаємодії. Проте за уявному вичленуванні (і «фіксування «у свідомості) якогось «елемента «(чи підсистеми) Миру і зосередженні у ньому «уваги », тобто. при «розгляді «якогось «елемента », ми можемо звести завдання до «проблемі двох тіл », виробляючи дихотомію Миру на «аналізований елемент «(вычлененный фрагмент Миру) і «весь інший світ ». Тоді будь-яке «перетворення «аналізованого елемента (тобто. зміна стану) то, можливо описано не як наслідок загального взаємодії, бо як результат впливу решти світу даний елемент. (Що за цьому приміром із «оточуючими «- нашій рамках такого розгляду не цікавить!) Згідно з умовами завдання розгляду (і з урахуванням «порядків дрібниці «які входять у розгляд величин) часто можна знехтувати впливом всіх елементів, окрім однієї, і тоді «іншої світ «(у межах даного «розгляду » !) редукується до одного елемента і говоримо негативного впливу одного елемента на другой.

Особую проблему становить питання про можливість і причини спонтанних, тобто. не обумовлених впливом «решти світу », змін елементів Миру. Власне справи, це «вічна «проблема «детермінізм — індетермінізм ». Тут зазначимо лише, що у рівні знань ми можемо формально описувати такі зміни з допомогою ймовірнісних операторів, спираючись, по суті, на «Принцип Мерфі «і лейбницевский «Закон достатніх підстав ». Симетричність можливостей відношення до деякою цій ситуації повинна, очевидно, спричинить «равновероятности «їх здійснення, а чисельна значення «ймовірності «неравновероятных подій має бути якось пов’язані з мірою асиметрії можливостей. Первинним, певне, не поняття «ймовірності «, а поняття «равновероятности », як певної симетрії, мірою відхилення від якої може і служить «ймовірність. «.

Другим каменем спотикання є запитання про походження необратимостей. Тут зазначимо лише на правдоподібність гіпотези, що необоротності є істотно «макро «-феноменом. В якомусь елементарному (фундаментальному) «мікро «-рівні всі перетворення, очевидно, мали бути зацікавленими оборотні, і такі мають бути і описують їх елементарні операції. Необоротність ж, очевидно, є характеристикою колективних процесів, які з тим, у певному сенсі локальны. Насправді високому «мега «-рівні, очевидно, знову панує оборотність, забезпечує незмінність («консервативність ») не схильні до перетворенням (і «еволюції «) найзагальніших «Законів природи » .

Впрочем, вся ця проблематика значною мірою незрозуміла і, мабуть, перевищує можливості скільки-небудь чіткого осмислення на рівні знаний.

Однако, якщо правильна загальна висловлена вище концепція, вона відразу наштовхує на низку фундаментальних следствий:

а) Саме виділення «елементів «» у системі - отже, і структурування Миру у свідомості - є функцією розгляду, тобто. залежить як від властивостей аналізованого фрагмента Миру, а й від властивостей що розглядає його «амінокислотною підсистеми », що називається «людським свідомістю » .

В насправді. Той-таки фрагмент Миру, який нас при «звичайних «умовах представляється станом, скажімо, з сукупності кількох «тіл », для істот інших ж розмірів та конструкції, та й нас під час розгляду з інших відстаней тощо. може бути «одним тілом «і навіть «неймовірною безліччю тіл ». Проте, фрагмент — і той ж (якщо взяти за аксіому, що Світ існує поза б нас і незалежно від нашого — чи чийогось ще — свідомості)! Там, де ми бачимо (і «відчуваємо ») дискретну кордон тіла, інше істота (та й ми з допомогою приладів, змінюють пороги чутливості наших органів сприйняття), можливо, побачило б (і «відчуло ») безперервний перехід від «тіла «до «не-телу ». Те, що з нас є «непроникним », для істот (та) інших ж розмірів та конструкції може бути «проницаемым », і навпаки. Зорово ми сприймаємо світ лише у вузькому інтервалі «видимого «діапазону електромагнітних хвиль. Інші істоти коїться з іншими характеристиками (і органами) «зору «бачили б (і «бачать » ! — хоча б бджоли, змії, дельфіни, кажани тощо.) зовсім інша світ, що з зовсім інших «об'єктів «чи «елементів «(тобто. інакше «структурований ») й дуже далее.

Не лише виділення «елементів », а й поняття «дискретності «і «безперервності «мають, очевидно, лише умовний, відносний сенс, залежить як (і може бути, не стільки) від властивостей Миру, а й від властивостей «що розглядає «Світ «суб'єкта », і навіть від умов і завдань такого «розгляду ». Це категорії, властиві не Світу, яке описанию.

К висновку прямо підводять і проблеми квантовомеханического описи Миру, філософський аспект яких інтенсивно обговорюється у зв’язку з возобновившейся дискусією по приводу парадоксу Ейнштейна — Подільського — Розена [19−22]. Автор останній з згаданих робіт говорить про необхідність «усвідомлення відносності уявлення про світ як «про безлічі якихось «тіл «(чи інших «елементів «у різноманітних просторах реального фізичного досвіду) «([22], з. 50) і дійшов висновку, що «природа зрештою неразложима на безлічі будь-яких елементів і є як єдине ціле «(там же).

б) Уже «емпіричному «(чи «прагматичний ») рівні ми зіткнулися з наявністю безпосередньо не можна побачити, почуттєво не які сприймаються об'єктів (хоча б «инфра «- і «ультра «-випромінювання, радіоактивність, магнітне полі, і т.д.) Нашій амінокислотною системи в усіх наблюдаемо!

Можно заперечити, що той, що ненаблюдаемо в людини, наблюдаемо для приладів (тобто. знов-таки нам за посередництвом тих чи інших перекодирующих пристроїв). Але і прилади, хоч як сумно, є лише приватними і обмеженими підсистемами Миру. Якими приладами можна зареєструвати квантово-механическую функцію стану *Р? Або релятивістський «інтервал »? Якщо вони самі є довільними конструкціями розуму, а мають якимось статусом реальності, слід визнати, що це «реалії «з нашого амінокислотною системі сприйняття, як і у системі сприйняття наших приладів, принципово ненаблюдаемы.

Итак, у Мірі не все наблюдаемо, і дивовижним (навіть у якійсь мірі загадковим) властивістю «свідомості «є його спроможність екстраполювати межі «спостережуваного », здатність визначатиму «ненаблюдаемые «елементи Миру, розумно (несуперечливо і з предсказательной силою!) оперувати ними і укладати від ненаблюдаемого до наблюдаемому і навпаки, пов’язуючи всі у єдину картину мира.

Так природним чином, виникає віддавна незалежно порушена квантової механікою (і математикою — удавані числа!) проблема існування й описи «ненаблюдаемых » .

в) Але, більш того. Якщо всяке опис станів і перетворень тих чи інших елементів і підсистем залежить тільки від те, що описується, а й від цього, хто, коли, где, из який точки, під кутом зору (фізичним і ментальним), за яких тощо. їх описує, природним чином, виникає общеметодологическая проблема «спостерігача », «систем відліку », «відносності «. Велика эйнштейновская концепція релятивізму, провідна через эпистемологически Відносне до онтологічно Абсолютним, має, наскільки можна судити, як фізичне, але саме загальметодологічне, гносеологічне значение.

г) Із цим міцно пов’язана проблема мови описи. Ми, подібно обчислювальної машині, по суті здатні безпосередньо сприймати і описувати Світ тільки мові нашого «аминокислотного «коду, тобто. мовою підмножин безлічі можливих станів нашої нервової системи. Іншою мовою ми «не володіємо ». Звісно, можна скористатися і проміжними «языками-ретрансляторами », але в рахунку усі вони перекодуються у наше, єдино зрозумілий нам, «амінокислотний мову ». Ми ніби накладаємо на Світ наш «апріорне амінокислотний растр «і крізь нього бачимо і описуємо Світ. Так набуває раціональний сенс геніальна здогад Канта про «апріорних формах споглядання » .

д) Але коли всі розмаїття Миру загалом безпосередньо просто немає в сприйнятті, чому ми «бачимо «лише те, що виникає на нашому «перцептивном екрані «(стіна печери у Платона чи, на більш близьких нам образах, щось на кшталт екрана радіолокатора), тобто. сприймаємо лише якусь проекцію Миру на нашу аминокислотную перцептивную систему, неважко запасти у «птолемеїв гріх », оперуючи замість планетних орбіт з «эпициклами «і «дифферентами «і відповідно до цим «структурируя «Світ. Адже епіцикли Птолемея теж були мовою описи і по-своєму непогано служили справі пізнання світу, що довго створювало ілюзію їхню адекватність. Проте їх слабка ступінь изоморфности онтології Миру виявлялася, зокрема, у цьому, що Птолемея бракувало спільності (єдності), простоти і … красоты.

е) Евристична цінність принципів «єдності «, «симетрії «, «простоти «і «краси «в описах Природи стає дедалі очевиднішою. «Чим простіше наша картина зовнішнього світу і більше фактів вона охоплює, тим більше відбиває вона у наших умах гармонію Всесвіту » , — думав А. Ейнштейн ([23], т. 4, з. 493).

О різних аспектах евристичних принципів «простоти «і «краси «існують вже велика література ([24 — 28] та огляд літератури у роботі [29]). Свою роль обидві ці принципу зіграли, ніби між іншим, при встановленні структури молекули «спадкового речовини «- ДНК, як у тому свідчить одне із авторів цієї видатної відкриття [30]. Єдність, симетрія, простота, краса, як прояви гармонії природи, — на цьому сходяться і «фізики », і «лірики » .

" У першому мить бачити вічність: великий світ — в зерні піску, у єдиній жмені - нескінченність і небо — в філіжанку квітки «[31]. «Є тонкі, властительные зв’язку між контуром і запахом квітки «[32]. «У родинному зв’язку з усім, що є, уверясь і знаючись із майбутнім у побуті, мушу впасти до кінця, як і єресь, в нечувану простоту «[33]. «Краса є перший пробним каменем для математичної ідеї; у світі місця потворної математиці «» «[34]. Відчуття внутрішньої гармонії Природи, що дається взнаки в «простоті «і «красі «що описують її «рівнянь », навіть спонукало П. Дірака наважитися на парадоксальне твердження: «Краса рівнянь важливіші їхні згоди з експериментом «(!) ([35], з. 129). «Очевидно, — пояснює він своє думку, — якщо глибоко поринути у сутність ж проблеми і працювати, керуючись критерієм краси рівнянь, можна буде бути впевненим, чи ти на правильному шляху. Якщо немає повного злагоди між результатами теорії та експериментом, то ми не коштує розчаровуватися, оскільки це розбіжність може бути викликано другорядними чинниками, правильний облік яких ясний лише при подальший розвиток теорії. Саме такими було відкрито квантова механіка… «(там-таки). «Уся простота відкриття Шредінгера обумовлена саме пошуками рівняння, який володіє математичної красою «(там-таки, з. 139).

Природа у фундаментальних засадах, очевидно, неспроможна же не бути «простий «і «логічною », «гармонійної «і «симетричній » ! Але усе це — якщо описувати в мові, изоморфном конструкції Миру! Навіть якщо взяти у своїй доведеться вийти межі «безпосередньо сприйманого «і поступитися деякими звичними поняттями і чи представлениями.

ж) У зв’язку з сказаним виникає сильне підозра, що чимало наявні у нашої традиційної математиці громіздкі, кособокі, негармонійні, як і, навпаки, сильно «вырожденные «або суто «компонентизованные «конструкції теж є лише «проекціями », лише «недорікуватими «утвореннями, не що відбивають повнокровною й те ж час логічно і естетично економною реальності. Чи «Природа «здатна, наприклад, поводитися з такими «структурами », як всякі полиномы Лежандра, Эрмита і Лагерра, як різноманітні «бета «-, «ця «-, «тета «- і «дзета «-функції, як (хоч і які мають своєрідною симетрією і «красою ») тензоры і спиноры і т.д. Громіздкість та вибагливість чи, навпаки, патологічну «вырожденность «і принципову «компонентизованность «таких структур, певне, слід віднести з цього приводу недосконалості, неадекватності, некомпактности языка.

Но сліди цієї неадекватності легко знайти й пропускати значно більш елементарному (тож і значно більше фундаментальному) уровне.

3. Мова математики як «амінокислотний код «.

Из сказаного вище напрошується висновок, що як більш-менш адекватне опис совершающихся у Мірі (і потенційно можливих у ньому) перетворень, що означають зміна станів виділених до розгляду «елементів », передбачає запровадження якихось «структур «(себто Бурбаки), що описують вплив решти світу на аналізований елемент. На нашому символічному «аминокислотном «мові таких структур виконують роль операторів, вплив яких і було змушує елемент змінити свій стан. А далі все, що відбувається у Світі, залишається у сенсі рівним себе, і зводиться, очевидно, зміну станів його элементов!

Следовательно, щоб эпистемология була ізоморфна онтології в арсеналі математики, у її концептуальному базисі, серед її первинних об'єктів, чи «структур », повинні бути «стану «і «перетворення »; перші на символічному математичному мові виступають операндов, другі - як «операторів », вплив яких операнды перетворює їх інші операнды тієї ж природи, але перебувають у інший «фазі «, відбиваючи зміна «стану «виділеного елемента системы.

Язык математики, отже, і теоретичної фізики, може бути, в такий спосіб (від надання цього дітися!), мовою операторов.

Между тим, хоча вже у першої третини ХХ століття фізика від імені квантової механіки пробилася до з’ясуванню цієї істини, традиційному апарату нашої математики його принципових засадах (над надбудовах!), хоч як дивно, чуже поняття оператора!

Укажем тут, хоча тільки б те що, що у апараті нашої традиційної математики відсутні природні оператори для описи навіть таких елементарних перетворень, як поворот вектора в тривимірному просторі навколо перпендикулярній щодо нього осі! Це елементарне перетворення, бо всі, що може статися з вектором, зводиться для її розтяганню (стиску) і повороту — ні згинатися, ні «закручуватися », ні зав’язуватися вузлом вектор «не вміє «! Тим більше що для описи такого елементарного акта традиційна математика користується громіздкими штучними конструкціями, що містять (нелинейные і неаддитивные!) тригонометрические функції (із якими «Природа «ледь може мати дело!).

Зато, замість природного поняття оператора, у первинному арсеналі математичних коштів присутній безглузде (як буде показано нижче) поняття «множення «(в тому числі дві різні множення для векторів), що має у випадку кепським, неприємним (а, інакше кажучи, протиприродним!) властивістю неассоциативности.

Между тим, перетворення та його природні математичні («амінокислотні «) представники — оператори — за своєю природі, зрозуміло, мали бути зацікавленими асоціативні - застосування двох послідовних перетворень рівнозначно застосуванню перетвореного перетворення чи перетворення до преобразованному объекту!

Неассоциативность «скалярного «і «векторного «умножений векторів призводить до незлічимим бідуванням для всієї математики (і фізики): тоді й незамкненість векторної «алгебри », і катастрофічна вырожденность які рясніють «нулями «таблиць множення для векторів, і дивна анігіляція векторів при множенні, і заборона розподілу на вектори, що веде до жахливої необоротності елементарних операцій над векторами, і що другое.

Но головне, мабуть, у цьому, що поняття «множення «і «твори «сутностей взагалі у разі не адекватні і ізоморфні структурі Миру! По суті, поняттю «твори «у Мірі щось відповідає. Це суто «птолемеевская «конструкція, якась перекручена, перекручена тінь тих процесів взаємодії, які вона покликане відбивати і описывать.

Операция «множення «має якийсь (умовний!) сенс стосовно операторам, де означає просто послідовне їх застосування. Але що, наприклад, означати «яблуко, помножена на яблуко »? Можна заперечити, що яблуко перестав бути «математичним об'єктом ». Добре. Тоді, що таке кулю, помножений на кулю («твір двох куль »), чи коло на коло, чи трикутник на трикутник, чи крива на криву, чи кут на куток і т.д. Можна знову заперечити, що це, мовляв, суто геометричні об'єкти, а них поняття множення втрачає сенс. Але тоді має бути безглуздим і множення «спрямованого відрізка «на «спрямований відрізок «(які дві, що саме собою подозрительно)!

На подібні певні запитання математики «класичної «школи зазвичай відповідають, що правове поняття «твори «математичних об'єктів є вільною конструкцією потужні мізки і значною (коли у повної) мірою залежить від нашого сваволі. Ми вільні визначити (дефинировать) «твір «як те-то ось те, і вибір наш диктується тільки тим, наскільки одержувані «структури «будуть несуперечливі, зручні нам, корисні, осмислені, продуктивні тощо. Взагалі ж кажучи, такий вибір произволен.

Этим перший погляд знімається що виник складне становище. Та натомість виникає значно більше серйозна труднощі: чому ж такі «вільні породження розуму «виявляються взагалі застосовними до світу, до «фізичної реальності «, яка адже зовсім не від зобов’язана узгоджувати власні дії до наших розумовими изобретениями?

Этот питання надзвичайно хвилював, серед інших, і Ейнштейна. Ще 1920 р. він писав: «У зв’язку з цим виникає запитання, яке хвилювало дослідників всіх часів. Чому можливе таке чудове відповідність математики з реальними предметами, якщо сам вона є твором лише людській думки, не пов’язаної ні з якою досвідом? Чи може людський розум це без будь-якого досвіду, шляхом лише одну роздуми зрозуміти властивості реальних, речей? «([23], т. 2, з. 83).

И справді, насправді простежується, що нібито «вільний «вибір наш істотно обмежений: тільки в випадках поняття «твори «загадковим чином виявляється плідним і осмисленим, а інших — цілком безплідним і позбавленим смысла.

Почему ж у одних випадках «множення «можна буде, а інших ціною великих зусиль, йому такого сенсу надати вдається? Чим різняться між собою ці «випадки » ?

Проанализировав це запитання стосовно інших об'єктах, крім векторів, ми неминуче то дійдемо висновку, що операція із «множення «і поняття «твори «мають сенс лише з відношення до таких об'єктах («структурам »), які можна інтерпретовані як операторы.

Очевидными прикладами є справжні і комплексні числа, матриці, тензоры (при правильної записи) тощо. структури. Що ж до векторів у тому традиційному поданні, всі вони цій умові не задовольняють. І це дійсно, обидва придумані їм «множення «виявляються цілком безглуздими і при співставленні з «реальністю ». У насправді, якщо математичного «вектору «в «фізичному «світі відповідає, скажімо, якась сила (ми із шкільних років знаємо, що «сила є вектор »), то які процеси у світі відповідають «скалярному «множенню двох однаково спрямованих сил, у якому обидві вони «розчиняються », перетворюючись на «число »? І які процеси відповідають множенню двох взаємно перпендикулярних сил, у якому вони взагалі «анігілюють »? Та які процеси у світі змушують випаруватися дві коллинеарные сили у відповідність до їх векторным «множенням » ?

Таким чином, виявляється, що, хоча математичні вектори мають «референтів «в фізичному світі, математичні операції їх «множення », конструкти скалярного і векторного «творів », немає «референтів «в мире.

Конечно, можна заперечити, що саме поняття «вектора «визначається сукупністю його властивостей, включаючи згадані «твори ». Але тоді виходить, що сам «вектор «немає «референта «у Мірі, і можна знайти повний розрив математикою і физикой!

Таким чином, поняття «множення «набуває сенс буде лише тоді, ми маємо справа з операціями, які можна витлумачені вплив якихось операторів. А операції повинні у що там що бути ассоциативными!

В нашому «Світі «на доводиться платити! За збереження асоціативності нам доведеться заплатити появою — в обмеженою області - делителей нуля, — недолік, якого, власне кажучи, алгебраисты намагаються з усіх сил уникнути (улюблені їхнього дитяти — «алгебри без делителей нуля », нехай і ассоциативные!).

Однако саме цей «недолік «насправді обертається найбільшим перевагою, даючи ключі до розкриття найбільш захоплюючих таємниць теорії відносності і квантової механіки (а, можна вважати, і квантової теорії поля)!

Сформулируем вкотре коротенько основні наші «опорні гіпотези » :

1. Світ мислиться як собі система, наділена структурою отже, підпорядковується що накладаються цієї структурою обмеженням. У Світі в усіх можливо, але не всі, що можливо, десь і коли-небудь происходит.

2. Усі, що відбувається (і може статися!) у Мірі зводиться до змін стану його виділених до розгляду елементів, фрагментів чи підсистем — до перетворенням, сумісним з накладеними ограничениями.

3. Щодо до можливим і реализуемым перетворенням Світ має здатність замкнутості й повноти: в «природному «світі немає для «надприродних «явлений.

4. У відповідності зі сказаним, адекватне опис Миру передбачає запровадження «структур », що відбивають гніву й їх перетворення, що у символічному математичному мові виражається вплив операторів на операнды. Стосовно таких операцій Світ має бути алгебраїчно замкнутым.

5. З огляду на природною асоціативності перетворень, тим самим властивістю асоціативності безумовно повинні мати і використовувані у математиці «істинні «оператори. Тільки за цієї умови «структура описи «виявляється изоморфной «структурі Миру » .

6. Операція «множення «і поняття «твори », слід сказати, не має сенсу, тому що їм у Мірі щось відповідає. Але ними можна користуватися, якщо є підстави інтерпретовані вплив операторів, а цього неминуче повинні мати властивістю ассоциативности.

7. Таким чином, для побудови системи «істинної «математики відчиняються о принципі два рівноправних шляху: виявлення елементарних операторів і висунув вимогу асоціативності вживаних операцій «множення «(обидва шляху призводять до у тому ж результатам).

8. Від структур, які утворюються за адекватного описі реальності, очікується високого рівня простоти і симетрії, які відповідають нашому естетичному почуттю, що дозволяє потужний евристичний критерій для судження про їхнє истинности.

В XX столітті у математиці запанувало майже безроздільне панування потужного банку й плідного аксіоматичного методу, в значною мірою зобов’язаного своєю перемогою подкупающему стилю мислення та блискучих результатів Давида Гільберта. Успіхи аксіоматичного методу в упорядкування математичного знання і набутий забезпеченні логічного невразливості результатів безсумнівні. Проте таким чином ми часто подпадаем під владу заворожуючою магії «позитивного знання «і, уражені своєрідною «курячої сліпотою », перестаємо бачити очевидні протиріччя, та неоковирності, властиві (за її внутрішньої несуперечливості!) самої системі аксіом у її порівнянні з реальністю. Це, звісно, щонайтісніше пов’язані з принциповим переконанням про незалежності математики від реальної світу у дусі цитованого вище затвердження Ґеорга Кантора.

Автору неприйнятне такий волюнтаристичний підхід. На відміну від вельми поширеного думки, що можна «постулювати що велять », аби система запроваджених аксіом була несуперечливої, а які з неї (автоматично несуперечливі) слідства були осмислені і продуктивні, автор вважає, що з самих впроваджуються аксіом має існувати достатні підстави. Якщо ж поклонятися якимось богам, то, мабуть, такого поклоніння гідний саме великий лейбницевский ПРИНЦИП ДОСТАТНЬОГО ПІДСТАВИ. А «достатні підстави «ми, очевидно, можемо черпати тільки з реальності (із чого ще? Що вище математики?).

В цьому сенсі вкотре торкнемося тонкого питання про гносеологічної природі фундаментальних конструктів «суми «і «твори «математичних об'єктів. Доводиться лише дивуватися, що з уваги дослідників цілком ховається принципову відмінність цих понятий.

Концепция «суми «спирається до можливості співіснування дискретних об'єктів з нашого концептуальної картині світу. Якщо в концептуальному полі «висвічується «якийсь об'єкт, а (що ініціюється характерним заклинанням математика: «Нехай є! ») і водночас (чи слідом потім) «висвічується «об'єкт b, те з цього історичного моменту у нашій актуальному свідомості є одночасно об'єкти чи b. Їх одночасне, чи спільне, присутність у ньому й охоплюють поняттям суми: якщо є чи є b, те є їх одночасна наявність, а + b. У цьому, через симетричності відносини одночасно бути присутнім, сума, зрозуміло, завжди коммутативна: одночасна наявність чи b є те ж, що одночасне присутність b і а, тобто. а + b = b + а, «від перестановки доданків сума не змінюється ». Інший характерною рисою суми і те, що зберігається присутність кожного об'єкти: де вони зникають, а продовжують «матись «й у «сумі «, яка саме і означає їх одночасна наявність. Нарешті, характерною рисою суми є і те, що сума є єдине можливе поєднання наявних (і продовжують матись) об'єктів: себто дихотомії «є «- «не є «нічого більше (і нічого менш) спільного присутності присутніх об'єктів не может!

Совершенно інакше стан справ при освіті міфічного «твори «двох об'єктів, скажімо, тієї ж, чи b, які нібито є, але водночас як б розчиняються і зникають, перестають матись, поступаючись місцем чогось третьому (умовно званому їх «твором »). Але з наявних об'єктів нічого, крім їх суми утворитися неспроможна! При освіті «твори «ситуація насправді така, що було щось (скажімо, а), та був стало матись щось інше (скажімо, з), що означає перетворення, а з під впливом нікого що з b оператора b: bа = з. Отже, концепція «твори «насправді спирається на можливість перетворень, тобто. змін стану, об'єктів у мирі та його концептуальному відображенні. Аналогічно, якщо було b, яке піддалося перетворенню з допомогою що з, а оператора a », виникає a «b = з ». Але нізвідки слід, що повинне бути з «= з. Навпаки, загалом разі саме a «bbа: тут різні оператори застосовуються до найрізноманітніших операндам, і саме тому операція «множення », на відміну операції «складання », у випадку некоммутативна. Саме і лише у цій причине!

Итак, корінне відмінність двох класичних «бінарних операцій «- складання і множення — і лобіювання відповідних їм понять «суми «і «твори «зводиться до следующему:

а) «Сума «означає одночасна наявність об'єктів в концептуальному полі, тож, будучи симетричній щодо доданків », завжди коммутативна, тоді як «твір «можна зрозуміти лише як результат перетворення одного об'єкта під впливом іншого і тому, будучи несиметричним щодо «сомножителей », у випадку некоммутативно.

б) «Сума «єдиний освітою, відповідним одночасному присутності наявних (і продовжують матись) об'єктів; будь-яке поєднання наявних об'єктів, не на їх суми нонсенс (хіба, що вони верхом друг на дружку сидять. Але тоді себто присутності нічого, крім суми неможливо!). Саме тому «твір «набуває сенс лише як наслідок перетворення, у якому спочатку наявний об'єкт перестає «матись «й починає «матись «інший объект.

в) У відповідно до цього, в «сумі «складові не зникають, а продовжують може бути, тоді як і творі у випадку іншого ніяких слідів початкових «сомножителей «- їхні вже немає (порівн. «твори «векторів чи матриц).

г) Через попереднього, операція «складання «завжди оборотна, тоді як операція «множення «у випадку необоротна: в традиційних формализмах операція «розподілу «часто виявляється істотно неоднозначною і тому забороненої (порівн. відсутність зворотних операцій для скалярного і векторного «умножений «векторов).

д) Будучи ставленням одночасно бути присутнім, «сума », зрозуміло, завжди асоціативна. «Твори «ж у традиційних системах аксіом найчастіше дивним чином виявляються неассоциативными (обидва «твори «векторів!), хоча які у основі перетворення по самої своїй — природі асоціативні (й у принципі, оборотні), що розкриває принципову неадекватність класичної концепції «твори «і відповідної аксиоматики.

Список литературы

1. До. Маркс, Ф. Енгельс, Твори, т. 20, з. 581.

2. Д. Гільберт, Підстави геометрії, Додавання VIII: «Про нескінченності «, Гостехиздат, Москва — Ленінград (1948).

3. М. Бурбаки, Нариси з історії математики, Іл, Москва (1963).

4. З. Hermite, T. Stieltjes, Correspondance, Vol. 2, Paris (1905), p. 398; цит. по [5], з. 29.

5. G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (1932), p. 182;цит. по [5], з. 32.

6. E. Вигнер, Етюди про симетрії, Світ, Москва (1971).

7. Проблеми сучасної математики, сірий. Математика, кібернетика, № 10, Знання, Москва (1971).

8. А. М. Колмогоров, А. Р. Драгалин, Математична логіка. Додаткові глави, Вид. МДУ, Москва (1984).

9. У. І. Вернадський, Роздуми натураліста. Наукова думку, як планетне явище, Наука, Москва (1977), з. 76.

10. М. Рис, Р. Руффини, Дж. Уїллер, Чорні діри, гравітаційні хвилі і космологія, Світ, Москва (1977).

11. Т. Гоббс, Обрані твори, Москва-Ленинград (1926), з. 91.

12. G. M. Weinberg, Introduction to General Systems Thinking, Wiley-Intersci. Publ., New York — London — Toronto — Sydney (1975).

13. До. Р. Форд, «Магнітні монополі «, З чого думають фізики, вип. 9, Елементарні частки, Наука, Москва (1973).

14. Р. Фрауэнфельдер, Еге. Хенли, Субатомная фізика, Світ, Москва (1979).

15. М. Ф. Нелипа, Фізика елементарних частинок, Вищу школу, Москва (1977).

16. У. Холличер, Природа у науковій картині світу, Іноземна література, Москва (1960), з. 311.

17. Народонаселення країн світу, Довідник, Статистика, Москва (1978), з. 366.

18. З. І. Брук, Населення світу, Этнодемографиче-ский довідник, Наука, Москва (1981), з. 89.

19. М. У. Кузьмін, «Парадокс Ейнштейна — Подільського — Розена і проблема повноти квантової механіки », Філософ, науки, № 4, 66 (1980).

20. У. А. Баженов, «ЭПР-парадокс та юридичного грунту квантової фізики », Філософія та юридичного грунту математично-природничої грамотності, Москва (1981), з. 45.

21. Ю. Б. Молчанов, «Парадокс Ейнштейна — Подільського — Розена і принцип причинності «, Зап. філософ., № 3, 30 (1983).

22. І. 3. Цехмистро, «Про парадоксі Ейнштейна — Подільського — Розена », Філософ, науки, № 1, 46 (1984).

23. А. Ейнштейн, Повне Зібр. научн. тр. в 4-х томах, Наука, Москва (1965 — 1967).

24. Є. А. Мамчур, Проблема вибору теорії, Наука, Москва (1975).

25. Є. А. Мамчур, З. У. Ілларіонов, «Регулятивні принципи побудови теорії «, Синтез сучасного наукового знання, Наука, Москва (1973), з. 355.

26. Б. Р. Кузнєцов, «Про естетичних критеріях в сучасному фізичному мисленні «, Художнє і наукові творчість, Ленінград (1972), з. 84.

27. Р. І. Панкевич, «До питання взаємне проникнення природничих і естетичних принципів в сучасному пізнанні «, Філософські проблеми природознавства, Наука, Москва (1971), з. 147.

28. А. І. Сухотин, «Співвідношення критеріїв простоти і істинності знання », Актуальні проблеми діалектичній логіки, Наука, Алма-Ата (1971), з. 263.

29. Р. Кайберг, Можливість і индуктивная логіка, Прогрес, Москва (1978), з. 229 — 246.

30. Дж. Д. Вотсон, Подвійна спіраль, Світ, Москва (1969).

31. У. Блейк, Вибране в перекладах З. Маршака, Художня література, Москва (1965), з. 167.

32. У. Брюсов, «Сонет до форми », Обрані вірші, Academia, Москва (1933), з. 155.

33. Б. Пастернак, «Хвилі «, Вірші і поеми, Радянський письменник, Москва — Ленінград (1965), з. 351.

34. Р. Р. Уарди, «Сповідь математика », Математики про математиці, сірий. Математика, кібернетика, № 8, Знання, Москва (1967), з. 4.

35. П. А. М. Дірак, «Еволюція фізичної картини світу », Над ніж думають фізики, вип. 3, Елементарні частки, Наука, Москва (1965).