Імовірності багатокрокових переходів системи. 
Вектор початкового стану системи (реферат)

.

З рис. 15 бачимо, що існує N несумісних можливих шляхів переходу системи зі станів.

$${}_i->{}_j$$

за два кроки, а саме:

$${}_i->{}_1->{}_j,$$.

$$$$ $$p_{i1}{p}_{1j},p_{i2}{p}_{2j},\text{.}\text{.}\text{.}{p}_{\text{ik}}{p}_{\text{kj}},\text{.}\text{.}\text{.}{p}_{\text{iN}}{p}_{\text{Nj}}\text{.}$$.

Отже, імовірність переходу $${}_i->{}_j$$

за два кроки дорівнює сумі добутків цих імовірностей:

.

$$p_{\text{ij}}^{\left(2\right)}=\underset{m=1}{\overset{N}{}}{p}_{\text{im}}{p}_{\text{mj}}$$

. (20).

.

А це є елемент матриці $${}^{\left(2\right)},$$

який міститься в i-му рядку і j-му стовпці.

.

Розмірковуючи аналогічно, можна довести, що на k = n + 1-му кроці дістанемо.

$$p_{\text{ij}}^{\left(n+1\right)}=\underset{m=1}{\overset{N}{}}{p}_{\text{im}}{p}_{\text{mj}}^{\left(n\right)}$$

. (21).

.

Перший стан, із якого система починає свій процес переходу, може бути заданим або визначеним за певним правилом. У загальному випадку для системи (процесу) задається вектор її початкового стану, що позначається так:

$${\stackrel{}{a}}_0=\left(a_1{a}_2\text{.}\text{.}\text{.}{a}_n\right),$$.

де $$a_i$$

— імовірність того, що система в початковий момент перебуває у стані.

$${}_i$$

. При цьому.

.

$$\underset{i=1}{\overset{N}{}}{a}_i=1$$

. (23).

.

Приклад 6. За заданою матрицею однокрокового переходу $$=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,}\text{25}& \mathrm{0,}\text{75}\\ \mathrm{0,}\text{39}& \mathrm{0,}\text{61}\end{array}\right)$$

системи і початковим вектором.

$${\stackrel{}{a}}_0=\left(\mathrm{0,8}\mathrm{0,2}\right)$$

знайти ймовірності перебування системи у стані $${}_1$$ і $${}_2$$ для $$n=5\text{.}$$.

.

Розв’язання. Нехай $${\stackrel{}{a}}_5=\left(a_1^{\left(5\right)}{a}_2^{\left(5\right)}\right)$$

— вектор станів системи через 5 кроків. Тоді.

.

$${\stackrel{}{a}}_5={\stackrel{}{a}}_0{}^5=\left(\mathrm{0,8}\mathrm{0,2}\right){\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,}\text{25}& \mathrm{0,}\text{75}\\ \mathrm{0,}\text{39}& \mathrm{0,}\text{61}\end{array}\right)}^5=$$.

$$=\left(\mathrm{0,8}\mathrm{0,2}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,}\text{342}& \mathrm{0,}\text{658}\\ \mathrm{0,}\text{342}& \mathrm{0,}\text{658}\end{array}\right)=\left(\mathrm{0,}\text{342}\mathrm{0,}\text{658}\right)$$

.

.

Отже, через 5 кроків система з імовірністю 0,342 перебуватиме в стані $${}_1$$

і з імовірністю 0,658 — у стані.

$${}_2\text{.}$$.

Приклад 7. Мета дослідження полягала в тому, щоб з’ясувати, яким видом транспорту (тролейбус, автобус, метро) користується середньостатистичний мешканець столиці, дістаючись від свого дому до місця роботи. Було виявлено, що коли він певного дня на робочому тижні їхав до місця роботи автобусом, то ймовірність того, що й наступного дня він також скористається автобусом, дорівнює 0,6, а ймовірність того, що змінить автобус на тролейбус або метро, дорівнює відповідно 0,35 і 0,05. Якщо ж він спочатку їхав тролейбусом, то ймовірність того, що наступного дня він не змінить виду транспорту, становить 0,7, а ймовірність того, що змінить вид транспорту на автобус або метро, дорівнює відповідно 0,25 і 0,05. Нарешті, якщо мешканець насамперед скористався метро, то ймовірність того, що й наступного дня буде той самий вид транспорту, дорівнює 0,8, а ймовірність змінити його на автобус або тролейбус дорівнює відповідно 0,05 і 0,15.

Скласти матрицю однокрокового переходу системи, яка має три стани, що відповідають трьом видам міського транспорту, використовуваного мешканцем, і визначити ймовірність того, що він буде користуватися автобусом у середу та п’ятницю, якщо в понеділок він їздив у метро (розглядається п’ятиденний робочий тиждень).

Розв’язання. Формалізуючи задачу, ми розглядаємо систему, яка може перебувати в одному із трьох несумісних станів: $${}_1$$ — мешканець користується автобусом- $${}_2$$ — тролейбусом- $${}_3$$ — метро.

Матриця однокрокового переходу системи (крок — один робочий день) має такий вигляд.

$$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{}_1& {}_2& {}_3\end{array}\\ =\begin{array}{c}{}_1\\ {}_2\\ {}_3\end{array}\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,}\text{35}& \mathrm{0,}\text{05}\\ \mathrm{0,}\text{25}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,}\text{05}\\ \mathrm{0,}\text{05}& \mathrm{0,}\text{15}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\text{.}\end{array}$$.

Знаючи, що мешканець почав робочий тиждень із поїздки в метро, записуємо вектор початкового стану системи:

$${\stackrel{}{a}}_0=\left(\mathrm{0,}\mathrm{0,}1\right)\text{.}$$.

Імовірність того, що мешканець у середу користуватиметься автобусом, обчислюється так:

$${\stackrel{}{a}}_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,}\text{35}& \mathrm{0,}\text{05}\\ \mathrm{0,}\text{25}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,}\text{05}\\ \mathrm{0,}\text{05}& \mathrm{0,}\text{15}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)}^3=$$.

$$=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,}\text{39}& \mathrm{0,}\text{494\hspace{0.17em}375}& \mathrm{0,}\text{115\hspace{0.17em}625}\\ \mathrm{0,}\text{347\hspace{0.17em}125}& \mathrm{0,}\text{53\hspace{0.17em}725}& \mathrm{0,}\text{115\hspace{0.17em}625}\\ \mathrm{0,}\text{157\hspace{0.17em}625}& \mathrm{0,}\text{304\hspace{0.17em}875}& \mathrm{0,}\text{5375}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,}\text{157\hspace{0.17em}625}& \mathrm{0,}\text{304\hspace{0.17em}875}& \mathrm{0,}\text{5375}\end{array}\right)\text{.}$$.

Отже, імовірність того, що в середу мешканець обере автобус, наближено дорівнює 0,158.

Імовірність того, що в п’ятницю це також буде автобус, визначається аналогічно:

$${\stackrel{}{a}}_5=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,}\text{35}& \mathrm{0,}\text{05}\\ \mathrm{0,}\text{25}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,}\text{05}\\ \mathrm{0,}\text{05}& \mathrm{0,}\text{15}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)}^5=$$.

$$=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,}\text{349\hspace{0.17em}838}& \mathrm{0,}\text{497\hspace{0.17em}623}& \mathrm{0,}\text{152\hspace{0.17em}539}\\ \mathrm{0,}\text{344\hspace{0.17em}585}& \mathrm{0,}\text{502\hspace{0.17em}876}& \mathrm{0,}\text{152\hspace{0.17em}539}\\ \mathrm{0,}\text{228\hspace{0.17em}559}& \mathrm{0,}\text{381\hspace{0.17em}597}& \mathrm{0,}\text{389\hspace{0.17em}844}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,}\text{228\hspace{0.17em}559}& \mathrm{0,}\text{381\hspace{0.17em}597}& \mathrm{0,}\text{389\hspace{0.17em}844}\end{array}\right)\text{.}$$.

Отже, імовірність того, що мешканець у п’ятницю скористається автобусом, наближено дорівнює 0,229.