Об інтегральних формулах Вилля-Шварца для трехсвязных і її застосування до крайовим завданням Дирихле

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |на задану тему: | | | | «Про інтегральних формулах Вилля-Шварца | |для трехсвязных і її застосування | |до крайовим завданням Дирихле ». | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |.

Запровадження. § 1. Про завдання Дирихле. а) Завдання Дирихле для кола — Завдання Пуассона (класична формулювання). б) Узагальнена завдання Дирихле в) Видозмінена завдання Дирихле. р) Класична завдання Дирихле для многосвязных областей. буд) Загальна формулювання завдання Дирихле. е) Завдання Неймана.

§ 2. Про завдання Шварца-Пуассона. а) Інтеграл Шварца для кола. б) Інтегральна формула Пуассона. в) Інтеграл Пуассона для зовнішності кола. р) Завдання Дирихле-Пуассона для напівплощини. буд) Завдання Дирихле для кругового кольца.

§ 3. Інтегральна формула Анрі Вилля — проблема Дирихле для кругового кільця (1912). а) Перетворення інтегральної формули А.Вилля. б) Функції Вейерштрасса (I (u), [pic](u), [pic](u)).

§ 4. Про патентування деяких змінах теорії конформного відображення до крайовим завданням. а) Про структурному класі інтегральних уявлень. б) Про вирішення завдання Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей. в) Інтегральна формула Чизотти для заданих областей — рішення задачи.

Дирихле для відповідних областей.

§ 5. Про інтегральних уявленнях Пуассона-Дирихле для заданих областей.

§ 6. Інтегральна формула Чизотти-Пуассона-Дирихле для кінцевих трехсвязных областей.

У цьому дипломної роботі досліджені деякі інтегральні формули (класичні уявлення) аналітичних і гармонійних функцій в заданих многосвязных областях.

Дани нові на методи вирішення класичних крайових завдань методом інтегральних уявлень аналітичних функцій, використовуючи метод конформного відображення канонічної області [pic](z) на відповідні області G[pic](w).

Використовуючи фундаментальні інтегральні формули для кола і кругового кільця, автор узагальнює завдання Пуассона, Дирихле, Діні, Шварца, КристофеляШварца і Чизотти для многосвязных областей.

Зокрема, знайдено інтегральні формули для ексцентричного кругового кільця, двух-трехсвязных областей. І застосовуються їх до рішенню класичних крайових завдань типу Дирихле-Неймана.

Метою нашого дослідження, у запропонованої роботі є: 1. Розібратися в вищевказаних (непростих) відомих класичних завданнях типу Шварца, Дирихле, Пуассона і Чизотти [1] - [7]. 2. Творчо вивчаючи і класифікуючи їх, знайти узагальнення і вирішення завдань для конкретних многосвязных областей (див. оглавление).

Ця робота складається з запровадження і шість параграфов.

У запровадження обгрунтовується завдання, показується актуальність аналізованої теми дипломної роботи, дається короткий аналіз політики та перелік робіт з даному дослідженню (1 — 24).

Параграфи (§ 1, § 2) як допоміжні матеріали, необхідні розуміння основного змісту дипломної теми, а й є довідкової класифікацією про завданнях Дирихле (класична, узагальнена, загальна, видозмінена) для будь-який связности заданої області G[pic]= G[pic](w) і завданнях Шварца-Пуассона (для кола, кругового кільця, зовнішності кіл, для полуплоскости).

У § 3 інтегральна формула Анрі Вилля — проблема Дирихле для кругового кільця у вигляді Ахиезера перероблено і отримана нова компактна, контурна, структурна формула А. Вилля для кругового кільця. Але тут, через важливості трьох функцій I (u), [pic](u) і [pic](u) для практичного докладання і простоти реалізації на ЕОМ, ми розглянули все варіанти уявлення рядів даних функцій (37) — (48) за довідниками [19] - [22] спеціальних функцій (а), б)).

Параграфи § 4 — § 6 — основний зміст самостійної роботи автора: розглянуті застосування теорії комфорного відображення до крайовим завданням — вирішення завдання Дирихле методом Чизотти для заданих областей (§ 4).

У § 5 — інтегральні уявлення Пуассона-Дирихле для кола, кругового кільця і, нарешті, § 6 — інтегральна формула Чизотти-ШварцаПуассона-Дирихле для кінцевих трехсвязных областей.

Зміст — чітке уявлення про єдність всіх класичних завдань і про реальний зміст запропонованої роботи (див. оглавление!).

У цьому роботі все знайдені рішення виписуються майже явному вигляді і параметри, які фігурують у постановці завдання, визначаються явно і однозначно.

Основний зміст дипломної праці є деякими узагальненнями курсових робіт й стати самостійною роботи автора.

§ 1. Про завдання Дирихле.

а) Завдання Дирихле для кола — Завдання Пуассона.

(класична формулировка).

1. Завдання перебування функції, гармонійної у певній галузі, була названа Риманом завданням Дирихле. У класичному вигляді це завдання формулюється наступним образом.

Нехай за українсько-словацьким кордоном [pic] області D+ задана безперервна функція f ([pic]). Знайти безперервну в [pic] і гармонійну всередині області D+ функцію U (z), приймаючу за українсько-словацьким кордоном значення f ([pic]). Отже, потрібно, щоб U (z) поривалася f ([pic]), коли z [pic] D+ прагне [pic][pic][pic], u (z) > f ([pic]), при z > [pic].

Завдання Дирихле цікавить фізики. Так, потенціал встановленого руху несжимаемой рідини, температура, електромагнітні і магнітні потенціали — всі є гармонійними функциями.

Прикладом фізичної завдання, що призводить до завданню Дирихле, служить визначення температури всередині платівки при відомих її значеннях на контуре.

Серед інших фізичних завдань виникла формулювання завдання Неймана. Знайти гармонійну у сфері D+ функцію U (z) по заданим значенням її нормальної похідною [pic] на [pic], і навіть змішаної завдання Дирихле-Неймана.

Знайти гармонійну в D+ функцію по відомим її значенням на деяких дугах кордону [pic] і значенням нормальної похідною на решти [pic].

Змішана завдання зустрічається головним чином гідродинаміці. Різні докладання з завдань можна знайти, наприклад, у книзі Лаврентьєв І.А. і Шабат Б. В. [1].

Отже, за чисельністю і розмаїттям додатків завдання Дирихле займає виняткове місце у математиці. До неї безпосередньо зводиться основне завдання в гідродинаміці - завдання обтікання, завдання крутіння і вигину теоретично пружності. З ним-таки тісно пов’язані основні завдання статистичної теорії пружності. Ми займатимемося в пласкою завданням, що представляє нам особливий інтерес як за кількістю додатків, і по більшої розробленість та ефективності методів решения.

2. Сукупність гармонійних функцій — це сукупність всіх рішень рівняння Лапласа.

[pic], (1) що є однією з найпростіших диференційних рівнянь із приватними похідними другого порядка.

Приблизно так, як у звичайних диференційних рівнянь для виділення певного рішення задають додаткові умови, і до повного визначення рішення рівняння Лапласа потрібні додаткові умови. Для рівняння Лапласа вони формулюються як про крайових умов, тобто. заданих співвідношень, яким має задовольняти дані рішення за українсько-словацьким кордоном области.

Найпростіше з цих умов зводиться до завдання значень шуканої гармонійної функції у кожному точці кордону області. Отже, ми дійшли першої крайової завданню чи завданню Дирихле:

Знайти гармонійну у сфері D і безперервну в [pic] функцію u (z), а її кордоні D приймає задані безперервні значення u ([pic]).

До завданню Дирихле наводиться ще, крім перелічених вище, пошук температури теплового поля чи потенціалу електростатичного поля була в деякою області лише за заданої температурі чи потенціалі за українсько-словацьким кордоном області. До неї зводяться і крайові завдання інших типов.

б) Узагальнена завдання Дирихле.

У додатках умова безперервності граничних значень [pic], є занадто соромливим і технологій припадає розглядати узагальнену завдання Дирихле [1]:

На кордоні [pic] області D задана функція [pic], безперервна скрізь, крім кінцевого числа точок [pic], де вона має точки розриву першого роду. Знайти гармонійну обмежену у сфері D функцію u (z), приймаючу значення u (z) = [pic] переважають у всіх точках безперервності цієї функции.

Якщо задана функція [pic] безупинна, то узагальнена завдання Дирихле співпаде зі звичайною, бо умова обмеженості функції u (z) випливає з умови його безперервності в [pic].

Теорему одиничності рішення узагальненої завдання Дирихле:

У цій сфері при заданої граничной функції [pic] існує більше рішення узагальненої завдання Дирихле.

Рішення узагальненої завдання Дирихле можна зводити до рішенню звичайній завдання Дирихле.

Можна довести, що: 1. для будь-який односвязной області D і будь-яка кусочно-непрерывной з точками розриву першого роду граничной функції [pic] рішення узагальненої задачи.

Дирихле існує. 2. рішення узагальненої завдання Дирихле для одиничного кола дається інтегралом Пуассона.

[pic], [pic], [pic]) (2) 3. для довільній області D, ми матимемо потрібну формулу на вирішення узагальненої завдання Дирихле інтегральної формулою Дж. Грина [12, 18]:

[pic], (3).

де [pic] - похідна у бік внутрішньої нормальний до З, ds — елемент довжини [pic], відповідної [pic],.

[pic] - елемент внутрішньої нормальний до [pic], [pic]- фіксована довільна точка області D, а функція [pic]; [pic], реалізує відображення D на одиничний коло [pic] і [pic] - функція Гріна області D, гармонійну скрізь в D крім точки [pic], де має плюс.

Формула Гріна (3) висловлює вирішення завдання Дирихле для деякою області D через логарифм конформного відображення D на одиничний коло, тобто. зводить вирішення завдання Дирихле до завданню конформного відображення. І зворотне верно.

Отже, завдання конформного відображення області на одиничний коло і завдання Дирихле до тієї сфери еквівалентні, вони зводяться друг до друга з допомогою простих операцій диференціювання і интегрирования.

в) Видозмінена завдання Дирихле.

Нехай P. S+ - зв’язкова область, обмежена простими замкнутими непересічними гладенькими контурами [pic], у тому числі перший охоплює й інші. Під L ми розуміти сукупність цих контурів [pic], ([pic]). Через [pic] - ми позначимо сукупність кінцевих областей [pic] ув’язнених, відповідно, всередині контурів [pic] і безкінечною області [pic], що з точок розташованих поза [pic]. На контури [pic] ми накладемо ще таке умова: кут, составляемый дотичній до [pic] з їх постійним напрямом, задовольняє умові H; інакше кажучи, вважатимемо, що L задовольняє умові Ляпунова [17,24].

Функція [pic] задовольняє умові H у цьому безлічі, для будь-яких двох [pic] перемінної [pic] у цьому множестве.

[pic], (4) де A і [pic] - позитивні постійні показники Гельдера, А — коефіцієнт, а [pic] - показник умови М і за [pic]=1 — условие.

Липшица, функції, задовольняють умові М називаються безперервними по Гельдеру і дітей сильнішими, ніж звичайне визначення непрерывности.

р) Класична завдання Дирихле для многосвязных областей [24].

Знайти (справжню) функцію u (x, y), гармонійну в [pic], по граничному умові u=f (t) на L,.

(5) де f (t) — задана на L (справжня) безперервна функція; у разі безкінечною області від функції u (x, y) потрібно ще, щоб він залишалася обмеженою на нескінченності, тобто. і намагається до цілком певному межі, коли z іде у бесконечность.

Нагадаємо, що кожна функція u (z) гармонійна з-поза кола [pic] в ряд.

[pic], [pic]) абсолютно і рівномірно сходитися з-поза кола будь-якого радіуса [pic] тому u>[pic] при r>[pic].

Для деяких застосувань не менший інтерес становить й така завдання, що називається «видозміненій завданням Дирихле ». Термін цей введений у правове статті Н. И. Мусхелишвили і Д. З. Авазошвили [17].

Видозмінена завдання Дирихле — завдання Дирихле для многосвязных областей.

Знайти функцію u (x, y), гармонійну в P. S+, безперервну в [pic], за такими условиям:

1. u (x, y)=[pic]Ф (z) є справжньою частиною функції Ф (z), голоморфной в S+;

2. вона задовольняє граничному умові u=f (t)+[pic](t) на L,.

(6) де f (t) — задана на [pic] безперервна функція [pic], [pic],.

(7) де [pic] постійні не поставлені заздалегідь; у разі безкінечною області вимога u (x, y)=f (t)+[pic] на [pic] замінюються вимогою обмеженості u (x, y) на бесконечности.

Можна показати, що постійні [pic] цілком визначаються умовами самого завдання, якщо (довільно) фіксувати жодну з них.

Якщо L складається з єдиного замкнутого контуру, то розрізняють два випадку: а) р=0. Тоді P. S+ є кінцеву частина площині, обмежену контуром [pic]; б) р=1, а контур [pic] відсутня. Тоді область P. S+ є нескінченну частина площині, обмежену контуром [pic].

Легко бачити, у разі а) завдання Проте й У збігаються (якщо считать.

[pic]=0) у разі б) ці завдання безпосередньо зводяться одна до другой.

Кожна із завдань Проте й Не може мати більше рішення (если.

[pic]=0).

буд) Загальна формулювання завдання Дирихле.

Завдання Дирихле — завдання відшукання регулярної у сфері D гармонійної функції і який за українсько-словацьким кордоном Р області D збігаються з наперед заданої функцією [pic]. Завдання відшукання регулярного у сфері рішення еліптичного рівняння 2-го порядку, приймаючої на перед задані значення за українсько-словацьким кордоном області, також називається задачей.

Дирихле, чи першої крайової задачей.

Питання пов’язані з цим завданням, розглядалися ще К. Гауссом, та був Дирихле. Для областей D з досить гладкою кордоном Р вирішення завдання Дирихле можна інтегральної формулой.

[pic], (8) де [pic] - похідна в напрямі внутрішньої нормальний в точке.

[pic] функції Гріна [pic], що характеризується такими свойствами:

1. [pic], при [pic] 3 или.

[pic], при [pic] 2, де [pic] - відстань між точками [pic] і [pic], [pic] - площа одиничної сфери у [pic], [pic] - регулярна в [pic] гармонійна функція як щодо координат [pic], і щодо координат [pic];

2. [pic], коли [pic], [pic].

Для кулі, полупространства та інших найпростіших областей функція Гріна будується явно і формула (8) дає ефективне вирішення завдання Дирихле. Одержувані у своїй для кулі і полупространства формули звуться формул Пуассона.

Завдання Дирихле є одним із основних проблем теорії потенціалу — теорії гармонійних функций.

Для узагальненого по Вінерові виконання завдання Дирихле справедливо інтегральне подання до вигляді формули Вилля-Пуассона.

[pic], (9) що є узагальненням формули (8). Тут [pic] - гармонійна міра безлічі [pic] у точці [pic]. Звідси виникає можливість розгляду узагальненої завдання Дирихле для довільних граничних функцій [pic], у своїй можна вимагати задоволення межового умови лише деякою ослабленою форме.

Наприклад, якщо [pic] - область [pic] з досить гладкою кордоном Р, а що межує функція [pic] має сенс тільки точки розриву 1-го роду, можна вимагати задоволення межового умови лише точках безперервності [pic], задля забезпечення одиничності рішення на точках розриву потрібно обмеженість решения.

е) Завдання Неймана.

Поруч із завданням Дирихле декому додатків важливо розглянути так звану другу крайову завдання, чи завдання Неймана:

Знайти гармонійну у сфері [pic] функцію [pic], знаючи значення її нормальної похідною за українсько-словацьким кордоном С:

[pic] (10) і значення [pic] у будь-якій точці [pic] у сфері [pic].

Для визначеності ми припускати, що у (10) розглядається зовнішня нормаль, що означає кут, освічений цієї нормалью з віссю x. Функція [pic] може мати на [pic] кінцеве число точок розриву 1-го роду, функція і його приватні похідні першого порядку передбачаються ограниченными.

Наступна теорема висловлює від нормальної похідною гармонійної функции:

Якщо функція [pic] гармонічна в односвязной області [pic] і безупинна разом із приватними похідними в [pic], то.

[pic], (11) де [pic] - кордон області [pic] позначає похідну у бік нормальний до [pic], а [pic] - диференціал дуги.

З цієї теореми слід, що з разрешимости завдання Неймана необхідно виконання соотношения.

[pic]. (12).

Доводиться одиничність виконання завдання Неймана і за доказі одиничності виконання завдання Неймана можна обмежитися випадком, коли область [pic] є полуплоскость ([pic]z, > 0).

У додатковому припущенні безперервності приватних похідних в.

[pic] вирішення завдання Неймана зводиться до вирішення завдання Дирихле для пов’язаною гармонійної функции.

Дві гармонійні у сфері [pic] функції [pic] і [pic], пов’язані умовами Даламбера-Эйлера називаються сопряженными.

Як ми знаємо, для будь-якої функції [pic]гармонической в односвязной області [pic], можна знайти сполучену із нею гармонійну функцию.

[pic]. Оскільки функція визначається своїми приватними похідними з точністю до постійного доданка, то сукупність всіх гармонійних функцій [pic] пов’язаних із [pic] дає формула:

[pic], (13) де З — довільна справжня постоянная.

Зауважимо, що у многосвязной області [pic] інтеграл (13) по контуру.

[pic], визначає, власне кажучи, багатозначну функцию:

[pic], (14) де [pic] - довільні цілі числа, а [pic] - інтеграли вздовж замкнутих контурів [pic], кожен із яких містить всередині себе одну зв’язну частина кордону [pic]:

[pic]. (15).

Постійні [pic] називаються періодами інтеграла (13) чи циклічними постоянными.

Можна довести, що розв’язання цієї завдання Неймана зводиться до вирішення задачи.

Дирихле для пов’язаною гармонійної функції [pic], де [pic],.

[pic] звуться відповідно силовий функції і потенціалу поля.

Функції [pic] і [pic], які становлять регулярні рішення системы.

Коши-Римана [6]:

[pic], [pic] [pic] (16) мають приватні похідні всіх порядків, тобто. аналітичні функции.

[pic] є рішенням рівняння [pic]. (17).

Умова (17) — умова комплексної дифференцируемости функції [pic].

§ 2. Про завдання Шварца-Пуассона.

а) Інтеграл Шварца для круга.

Як відомо, за даними значенням речовинної (мнимої) частини функції перебуває в точністю до суто мнимого доданка. Аналітичний апарат, дає вираз функції [pic], регулярної у сфері, через значення [pic] на контурі, у разі, коли область є коло радіуса [pic], відомий — це є так званий інтеграл Шварца [6, 8, 9]:

[pic], ([pic], [pic]) (18).

Вважаючи тут [pic], знайдемо для [pic] суто речовинне значення [pic], котрій мнима частина звертається до нуль на початку координат.

Щоб самому отримати рішення, ми повинні додати правій частині довільне нещире число [pic]:

[pic], [pic]. (19).

Відмежуємо в (18) речовинну і мниму частини, оскільки вещественная.

[pic].

часть дасть нам інтеграл Пуассона для [pic] і мнима ж його частина доставляє вираз [pic] через [pic].

Для одиничного кола [pic], має вид:

[pic], (20).

где [pic], [pic] - представляє значення речовинної частини шуканої функції у точці [pic].

б) Інтегральна формула Пуассона.

Завдання Дирихле про визначення значень гармонійної функції всередині кола, якщо відомі її значення за українсько-словацьким кордоном, вирішується, як відомо, інтегралом Пуассона:

[pic], (21) де [pic] - полярні координати точки, де шукається значення рішення; [pic] - радіус окружності і [pic] - функція полярного кута [pic], дає граничні значення [pic] [9].

Можна перевірити розкладанням до кількох Тейлора, что.

[pic],.

([pic], [pic]).

Тому [pic] представима рядом:

[pic].

[pic] (22) де [pic] і [pic] - коефіцієнти Фур'є [pic]:

[pic]; [pic]; [pic].

У центрі окружності при [pic] ми получаем:

[pic] (23).

Рівність (23) — теорема Гаусса у тому, що значення гармонійної функції у центрі окружності є середнім арифметичне її значень на самої окружности.

в) Інтеграл Пуассона для зовнішності круга.

Знайти функцію, гармонійну обмежену поза окружності [pic] і приймаючу самісінькому окружності задані значення [9]:

[pic], [pic] ([pic]).

Покажемо, що потрібну функцію [pic] то, можливо представлена інтегралом типу Пуассрна, що може бути отримано з (1).

Нехай [pic], а [pic], Функція [pic], гармонійна поза окружності [pic], піде на функцію [pic], гармонійну всередині кола радіуса [pic], приймаючу з його кордоні значения.

[pic].

За формулою (1) вона при [pic] представима інтегралом Пуассона:

[pic].

Якщо цього рівність підставити замість [pic] і [pic] їх висловлювання через [pic] і [pic] і замінити зміну інтегрування, поклавши [pic], то ми матимемо формулу Пуассона для зовнішності окружности:

[pic], (24) вирішальну це завдання. Вона відрізняється від (1) лише, що [pic] і [pic] змінилися місцями, отже ядро інтеграла (4) відрізняється від ядра інтеграла Пуассона (1) лише знаком.

Розпад шуканої функції в тригонометричний ряд, такий ряду.

(22), що становить її поза окружности:

[pic]. (25).

Якщо (25) [pic]([pic], одержимо теорему Гаусса для зовнішності окружности:

[pic],.

(26) тобто. значення гармонійної функції на нескінченності є середнім арифметичне значень на граничной окружности.

р) Завдання Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

Аналітичний апарат, дозволяє гармонійну функцію всередині верхньої напівплощини по відомим граничним значенням її речовинної осі, можна з інтеграла Пуассона шляхом перетворення кола [pic] площині [pic] на верхню полуплоскость [pic] з допомогою функции.

[pic].

Граничні значення на окружності [pic] перейдуть у граничні значення на речовинної осі і ми матимемо потрібну формулу як [1]:

[pic], ([pic]) (27).

При неточних графічних розрахунках формулу (27) зручніше вживати будь-якому іншому вигляді, узявши за зміну інтегрування не [pic], а кут [pic], який утворює пряма [pic] з перпендикуляром [pic] до осі [pic], опущеним з точки [pic], имеем:

[pic], [pic] й остаточно имеем:

[pic]. (28).

буд) Завдання Дирихле для кругового кольца.

Граничні значення гармонійної функції [pic] на окружності кільця [pic] ми припускати заданими у вигляді функцій від полярного кута [pic] і позначимо їх відповідно через [pic] і [pic].

Сполучена з [pic] гармонійна функція [pic] пропускатимуть кажучи, не однозначної, і фкп [pic] складатиметься з двох доданків: однозначної складової, здатної бути розкладеної до кількох Лорана в кільці, і логарифм [pic] з речовинним коэффициентом:

[pic], [pic]. (29).

Відокремлюючи речовинну і мниму частини, ми матимемо рішення поставленого завдання — завдання Дирихле в кільці, але тут підсумовується негаразд просто.

Існує більш компактна і ефективна формула — інтегральна формула Вилля для кругового кільця [2], [3].

§ 3. Інтегральна формула Анрі Вилля — проблема Дирихле для кругового кільця (1912).

нехай у площині комплексного змінного [pic] дано кругова кольцо.

[pic], обмежений окружностями.

[pic], [pic], де заданий позитивне число [pic]0.

Якщо [pic], то [pic] і [pic] - дві інтегральні формули Пуассона для заданих трехсвязных областей.

Якщо [pic], то.

[pic].

[pic], де [pic], [pic] (Шварц, 1869),.

[pic], [pic] (Вилля, 1921), (96).

[pic], [pic] (Александров-Сорокин, 1972),.

Формулу (87) назвемо інтегральними формулами Дирихле-Чизотти для розглянутих областей [pic], а формули (88) — інтегралами типу Шварца, а реальні й удавані частиною, і функції [pic] - інтегральними формулами типу Пуассона.

Аналогічні формули ми одержимо й для неконцентрического кругового кільця, й у зовнішності [pic] і [pic] окружностей [4].

Розглянуті вище формули (86) — (88) — дуже ефективні, коли [pic] - правильні багатокутники (формули Кристоффеля-Шварца-Дирихле для розглянутих областей).

Зауваження 1. Оскільки задані функції [pic] - є швидко сходящимися рядами (див. § 3, формули (37) — (48)), усі розглянуті інтегральні формули з успіхом використовувати й для наближеного рішення відповідних граничних задач.

Зауваження 2. Оскільки вирішення завдання Неймана зводиться до вирішення завдання Дирихле для пов’язаною однозначної гармонійної функції, ми розглянули тільки завдання Дирихле.

Зауваження 3. Класичні крайові завдання є приватними випадками задачи:

Знайти регулярне у сфері [pic] рішення еліптичного уравнения.

[pic], (97) задовольняють за українсько-словацьким кордоном [pic] условию.

[pic], (98) де [pic] - похідна по деякому напрямку, а [pic] - задані безперервні на [pic] функції, причому [pic] скрізь на [pic] и.

1. при [pic], [pic] - завдання Дирихле;

2. при [pic], [pic] - завдання з косою похідною, яка перетворюється на завдання Неймана, якщо напрям [pic] співпаде з напрямком по нормали.

1. М. А. Лаврентьев, В. В. Шабат. «Методи теорії функції комплексного змінного ». М. 1965. 2. Х. Т. Тлехугов. «Формула Чизотти для кругового кільця ». Праці ВЦАН Груз.

РСР 1973. т. XII вып.I, стр.218−222. 3. Д. А. Квеселава, Х. Т. Тлехугов. «Формула Чизотти для многосвязных кругових областей ». ВЦАН Вантаж. РСР 1977. т. XVI, вып. I, стр.256−260. 4. Х. Т. Тлехугов. «Формула Чизотти для (n+1) — зв’язкових нескінченних областей ». Праці ВЦАН Вантаж. РСР 1980. т. XX вып.I, стр.219−224. 5. И. А. Александров, А. С. Сорокин. «Завдання Шварца для многосвязных областей » .

СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970−1001. 6. А. В. Бицадзе. «Основи ТАФКП ». М. 1984. 7. Н. И. Ахиезер. «Елементи теорії еліптичних функцій ». М. 1970, стр.9−34;

179−190; 224−229. 8. В. И. Смирнов. «Курс вищої математики ». т.3 частина друга, вид. 6. М.

1956, стр.182−184. 9. Л. В. Канторович, Крилов. «Наближені методи вищого аналізу ». М.-Л.,.

1962, стр.584−645. 10. Ф. Д. Гахов. «Крайові завдання ». М. 1977. вид. 3. 11. И. И. Привалов. «Граничні властивості аналітичних функцій ». М.-Л. 1950. 12. Математична енциклопедія. т.1−5. 1977;85. 13. В. А. Змарович. «Про структурних формулах теорії спеціальних класів АФ » .

Вісті Київського по-літехнічного інституту. т.15, стр.126−148. 14. Х. Т. Тлехугов. «Про застосування формули Чизотти до наближеному відображенню з особливою нормировкой ». Повідомлення АН Вантаж. РСР, 1981. т.101. 1., стр.21;

24. 15. Х. Т. Тлехугов. «Про наближеному конформном відображенні методом розтяги ». Вісті АН Азер. РСР, 1977. 5., стр.37−40. 16. Х. Т. Тлехугов. «Застосування формули Чизотти до наближеному відображенню » .

Повідомлення АН Вантаж. РСР, 1974. т.73. 3., стр538−540. 17. Н. И. Мусхелишвили, Д. З. Авазошвили. «Сингулярні і інтегральні рівняння ». М. 1956. 18. С. Г. Михлин. «Інтегральні рівняння ». ОГИЗ. М.-Л. 1947. 19. Бейтмен і Эрдейн. «Вищі трансцендентні функції «. М. 1967. стр. 294. 20. Градштейн, Рижик. «Таблиці з дитинства інтегралів і літературних творів ». М. 1962. стр.931;

935. 21. М. Абрамович, И.Стиган. «Довідник спеціальними функцій ». М.

" Наука ", 1979. стр.442−445. 22. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф.Леш. «Спеціальні функції «. М. 1968. стр.120−143. 23. Д. А. Квеселова, Х. Т. Тлехугов. «Формула Дини-Шварца для кругового кільця ». Праці ПЦ. АН Вантаж. РСР, т.12. вып.1, 1973, стр.214−219. 24. Н. И. Мусхелишвили. «Сингулярні інтегральні рівняння ». М. 1962. стр.245−269.

———————————;

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

(40).

(47).

(53).

[pic].

(54).

(55).

(56).

(59).

(71).

[pic].

[pic].

[pic].

(86).

(88).

[pic].

(89).

[pic].

(92).

(95).

[pic].