Уравнения математичної физики

§ 1.Тема. Деякі ухвали і обозначения.

Визначення. Диференційним рівнянням називається рівняння, що містить похідні невідомої функції. Якщо невідома функція залежить від однієї перемінної, це звичайне диференціальний рівняння, інакше — рівняння у приватних похідних. Визначення. Найвищий порядок похідних невідомої функції, які входять у рівняння, називається порядком рівняння. Визначення. Диференціальний рівняння називається лінійним, якщо похідні і самі невідома функція входить у рівняння лінійним чином. [pic] (1) Нехай обраний любой[pic], де [pic], та її норма: [pic]- диференціальний оператор. [pic] - запис лінійного диф. рівняння з допомогою диф. оператора.

(2) Визначення. Відкрите, чіткий безліч [pic] називається областю. За умовчанням вважатимемо область обмеженою. Через [pic]или [pic] будемо позначати кордон області. Визначення. [pic] - (n-1)-мерное розмаїття P. S в [pic] належить класу [pic] ([pic]), якщо для [pic] і [pic] такі, що: [pic], де [pic] [pic] однозначно проектується на площину [pic], у своїй: D — проекція даного безлічі на площину [pic], [pic] - k раз безупинно дифференцируема в D за всі змінним. [pic] Можна розбити поверхню на частини, у кожному частини можна одну координату висловити через інші безупинно дифференцируемой функцією. [pic] - безліч k раз безупинно дифференцируемых функцій в Q. [pic] - безліч k раз безупинно дифференцируемых функцій в [pic]. [pic], аналогічно [pic]. [pic] - безліч фінітних k раз безупинно дифференцируемых функцій. Аналогічно: [pic].

§ 2. Класифікація лінійних рівнянь у приватних похідних другого порядку. [pic]. [pic] - матриця квадратичной форми. [pic] - n речовинних власних значень матриці A [pic] - кількість позитивних власних значень. [pic] - кількість негативних власних значень. [pic] - кількість нульових власних значень з урахуванням кратности.

1.Если [pic]= n чи [pic]= n, це еліптичне рівняння. Ex: Рівняння Пуассона [pic]. 2. Если [pic] = n — 1, [pic] = 1, чи [pic] = 1, [pic] = n — 1, то рівняння гиперболическое. Ex: [pic] - хвилеве рівняння. Для рівняння Лапласа: [pic] Для хвильового рівняння: [pic] 3. Если [pic], а [pic], то ультрагиперболическое рівняння. Ex: [pic]. 4. Если [pic], то параболическое рівняння. Ex: [pic], і - рівняння теплопровідності. [pic] Визначення. Канонічним виглядом лінійного диференціального рівняння у приватних похідних називається такий її різновид, коли матриця A є диагональной.

Приведение до канонічного виду. 1) y=y (x), то: [pic] Рівняння (1) у новій системі координат: [pic] (1 ") Матриця Якобі: [pic]. Через війну: | | |[pic] | | |.

Ex: [pic] гиперболическое рівняння. [pic] - канонічний вид хвильового рівняння. Зауваження: тип рівняння то, можливо різний у різних точках. § 3.Постановка початкових і крайових завдань для рівнянь у приватних похідних. Завдання Коші для хвильового рівняння: [pic] [pic] Рівняння теплопровідності [pic] [pic] Рівняння Пуассона [pic] Визначення. Якщо малі зміни правій частині рівняння призводять до великим змін у рішенні, то завдання вважається некоректною. [pic] (6) [pic] (7.1) [pic] (7.2) [pic] (7.3) (6)(7.1) — перша крайова завдання, завдання Дирихле. (6)(7.2) — друга крайова завдання, завдання Неймана. (6)(7.3) — третя крайова задача.

Волновое рівняння. [pic] (8) [pic] [pic] (9) [pic] (10) [pic] (11.1) [pic] (11.2) [pic] (11.3) (8) (9) (10) (11.1) — смешанные.

(11.2) задачи.

(11.3) (крайові завдання) [pic] - одиничний вектор зовнішньої нормальний до. На [pic] задаються початкові умови. На бічний поверхні - крайові задачи.

Параболическое рівняння. [pic] (12) [pic] (13) [pic] (14.1) [pic] (14.2) [pic] (14.3) (12) (13) (14.1) — перша, друга, і третя змішані задачи.

(14.2) для уравнения.

(14.3) теплопровідності. (14.1) — за українсько-словацьким кордоном задана температура; (14.2) — заданий теплової потік; (14.3) — заданий теплообмін із навколишньою средой.

§ 4. Рішення змішаних завдань для хвильового рівняння методом Фур'є (поділом змінних). Перша змішана завдання. [pic] (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] (4) [pic] (5) [pic] (6) Власні значення (5) — (6) речовинні, мають кінцеву кратність. [pic] [pic] - изолир. [pic]. [pic] - ортонормированный базис в [pic]. У симетричній матриці власні вектора, відповідні різним власним значенням, попарно ортогональны. Нехай функції [pic] - розкладені по базису [pic] [pic] тоді навіть u (t, x) розкласти по базису [pic]: [pic] Почленно диференціюємо ряд 2 разу: [pic] [pic] (7) Шляхом розкладання рішення на ряди за власними функцій завдання алгебраизуем завдання, отримуємо счётное число звичайних диференційних рівнянь. [pic] (8) [pic] (9) (7) (8) (9) — завдання. Вирішимо однорідне рівняння для (7): [pic] - спільне рішення однорідної рівняння (7) [pic] [pic] (10).

[pic] Через війну: [pic] - приватне рішення неоднорідного рівняння (7). [pic] - спільне рішення рівняння (7). Підставимо (8) і (9) у виконання: [pic] тобто. [pic]. | [pic] |.

Зауваження: не обгрунтована відповідність рядов.

§ 5.Решение змішаних завдань рівняння теплопровідності методом Фур'є (поділу змінних). [pic] (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] (4) [pic] (5) [pic] - власні вектори і власні значення. [pic] [pic] (6) [pic] [pic] - спільне рішення однорідної рівняння (6) [pic] - приватне рішення неоднорідного рівняння (6) [pic] [pic] - спільне рішення рівняння (6). [pic] | [pic] |.

Розглянемо функцію: [pic] [pic] - нескінченно дифференцируема при [pic]. Якщо [pic] з [pic], то: [pic] [pic], і за [pic] функція склеюється як нескінченно гладка. [pic] [pic]-финитная :[pic] [pic] - замикання безлічі, де [pic] відрізняється від 0. [pic]. Введём [pic] - функція n змінних. Властивості [pic]: 1) [pic]- нескінченно дифференцируемая, финитная:

[pic]. 2) [pic] - замкнутий кулю радіуса h з центром в O.

[pic]. 3)[pic] Доказ. [pic], З перебуває з умови [pic]. 4) [pic]. Означимо: [pic] [pic][pic] Інтеграл по x нескінченно диференціюємо. [pic] Якщо [pic], то: [pic] Носій функції належить області інтегрування, і: [pic]. Якщо [pic], то [pic]: [pic]. Властивості функції [pic]: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] - срезающая функція. Простір [pic]. Визначення. Нехай [pic]. Назвемо безліч функцій [pic], простором [pic], якщо: — [pic] - вимірні в Q; - [pic] себто Лебега. Запроваджується [pic]. Виконуються все аксіоми скалярного твори. Твердження (без докази). [pic] - повне простір. Запроваджується [pic]. Властивості простору [pic]. Теорему 1. Безліч фінітних нескінченно дифференцируемых функцій скрізь щільно в просторі [pic]: [pic]. Доказ. Безліч східчастих функцій щільно в [pic]. Безліч лінійних комбінацій характеристичних функцій скрізь щільно в [pic]. Довести: будь-яку характеристическую функцію вимірного безлічі можна як завгодно точно апроксимувати финитными функціями. Будь-яке вимірне безліч як завгодно точно то, можливо аппроксимировано відкритими областями. Довести: характеристическую функцію [pic] можна як завгодно точно апроксимувати финитными нескінченно гладенькими функціями. [pic] [pic] Розглянемо [pic] - финитная, нескінченно дифференцируема в [pic]. [pic] Отже, [pic]. [pic] Апроксимація отримана. Теорему 2. Безліч безперервних функцій скрізь щільно у просторі [pic]. Визначення 2. Нехай [pic] й вважається продовженої нулем поза Q [pic]. Скажімо: f — безупинна в среднеквадратичном, якщо [pic]: [pic]. [pic] Теорему 3. Будь-яка функція з [pic] безупинна в среднеквадратичном. Доказ. Нехай [pic]. Нехай [pic] [pic] Оцінимо: [pic] При зсуві supp зсувається не більше кулі радіуса 2a. [pic] [pic] Теорему доведено. Визначення 3. [pic] [pic] - нескінченно дифференцируема, финитна. [pic] Властивості: [pic] [pic] - осреднение функції f.

Теорема 4. [pic] Будь-яка функція з [pic] як завгодно точно аппроксимируема своїми осреднениями — нескінченно дифференцируемыми, финитными в [pic]. Доказ. [pic] Від Q до [pic], від [pic] до [pic] [pic] При [pic].

Возьмем будь-які дві функції: [pic] Визначення. [pic]- безліч функцій, що належать [pic] будь-якою компакте всередині області. [pic] Визначення 1. Нехай [pic] [pic] - обобщённая похідна функції f, якщо [pic] виконується: [pic] (1) Теорему 1. Обобщённая похідна визначається єдиним чином. Доказ. Припустимо гидке: [pic] - обобщённые похідні функції f. [pic] (2) [pic] (3) (2); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (3) — тотожність для [pic] [pic] - що потрібно було довести. Теорему 2. Обобщённые похідні не залежить від порядку диференціювання. Доказ — з інтегрального тотожності (1).

Примеры обобщённых похідних. Ex 1. [pic] За визначенням: [pic] Нехай [pic] і [pic] [pic] |[pic] |.

Ex 2. [pic] Покажемо, що обобщённой похідною немає. Нехай [pic], то: [pic] де [pic] [pic] 1) нехай [pic] носій в [pic], то :

[pic] 2) нехай [pic]: [pic], отже: [pic] Висновок: [pic]. [pic] Висновок: [pic], немає обобщённой производной.

Теорема 3. Нехай [pic] має обобщённую похідну [pic], то: 1. [pic] (4).

[pic] якщо [pic]. 2. Якщо при цьому [pic] [pic] (6) [pic] (7) Доказ. [pic] Виберемо h те щоб [pic] [pic] [pic] Підказка: якщо функція финитна, її носій — всередині області. Якщо функцію помножити на срезающую, то щось изменится.

Теорема 4. [pic] Твердження. Нехай [pic], то [pic] [pic] Нехай [pic] - відкритий компакт, то [pic] для [pic] [pic] [pic].

Теорема 5. Нехай [pic]. [pic] має обобщённые похідні [pic] і [pic], то існує обобщённая похідна [pic].

Пространство Соболєва. Визначення. [pic], така, що [pic] називається простором Соболєва порядку k. [pic] позначення: [pic], [pic] чи [pic]. Введём [pic]. Твердження. [pic] - гильбертово (унитарное, сепарабельное).

Теорема 1. [pic] - повне простір. Доказ. [pic] - фундаментальна в [pic] [pic] [pic]. [pic] - мультииндекс [pic] - то, можливо дорівнює 0. [pic] [pic] в [pic]. [pic] в [pic]. Інтегральне тотожність для [pic]: [pic] З сильної збіжності слід слабка: [pic] [pic] Висновок: простір полное.

Свойства просторів Соболєва. 1. pic] для [pic]. 2. Если [pic], то [pic]. 3. Если [pic], то [pic]. 4. Если [pic], то [pic] якщо [pic], то [pic]. 5. pic] - невырожденное, k раз безупинно дифференцируемое перетворення, який відображає [pic] в [pic]. [pic] і нехай [pic]. Нехай [pic]. Нехай [pic], то [pic]. Твердження. Невырожденная, гладка заміна змінних зберігає приналежність функції простору Соболєва. 6. Обозначим [pic] - куб зі стороною 2a з центром на початку координат. Безліч нескінченно дифференцируемых функцій замикання куба є скрізь щільним в [pic]. [pic]. [pic] Доказ. Раздвинем область, візьмемо [pic] і її апроксимувати послідовністю нескінченно гладких функцій. [pic] (визначена у розтягнутому кубі) [pic] Оцінимо: [pic] [pic] Виберемо [pic] і розглянемо [pic] [pic] Розбивка одиниці. Теорему. Нехай [pic] - обмежена область, нехай [pic] - покриття замикання Q, [pic] - може рівнятися нескінченності. [pic] - відкриті, тоді: існує кінцевий набір [pic] - финитные, нескінченно дифференцируемые в [pic], неотрицательные функції, такі, що: [pic] Використовується для локалізації властивості: U уміє на [pic], розширюємо D на [pic] шляхом домножения на [pic]. Доказ. Візьмемо [pic]. Для [pic] - y покривається безліччю [pic]. Для кожної обраної y побудуємо: [pic] [pic] покривається [pic]. З нескінченного покриття виберемо кінцеве подпокрытие: [pic]. Означимо: [pic]. Означимо: [pic]. Визначимо: [pic]: [pic] Отримали: [pic]. Якщо [pic], то [pic], [pic], і [pic]. Знаменник в 0 не звертається. Збудована [pic] виконується властивість 3. [pic] - виконуються властивості 1 і 2. Теорему про розбивці одиниці доказана.

Теорема про продовження функції. Приватний випадок — продовження з прямокутників. [pic] [pic] Продовження функції з [pic] в [pic]. Лема 1. [pic] [pic] - продовження функції f: [pic] і [pic] 1. Определить функцію. 2. Проверить умова зливу: совпадание значень функції і її похідних по [pic] до k-го порядку. Доказ. Визначимо [pic] (2) Коефіцієнти [pic] з умови: [pic] [pic] (3) [pic] Отже, функція безупинна. Тепер — доказ збіги похідних. [pic] Виконується одне рівняння з (3), і: [pic]. Отже: [pic]. Нерівність (1) очевидно через визначення норми в [pic]. Зауваження: з докази декларативності й властивості (6) просторів Соболєва слід: можна можливість перейти до [pic] - простору Соболєва з виконанням цієї теореми, і (1) теж справедливо. Зауваження: через те, що багато нескінченно дифференцируемых функцій в замиканні куба скрізь щільно у просторі [pic] у тому кубі і з того, що протсранство Соболєва инвариантно щодо невырожденной гладкою заміни переменных.

Лемма 2. [pic] [pic] (4).

Теорема про продовження функції. Пусть[pic] - обмежена область, кордон [pic]. Нехай [pic] ([pic]- область), тоді: [pic] - продовження f, така, що: 1)[pic] 2)[pic] 3)[pic] (5) Зауваження. Лема 1 — розглянуті кубики, в теоремі: з Q на [pic] і всі властивості, як в лемме 1. [pic] Доказ. [pic] У околиці кожної точки кордону: [pic] намалюємо кулю [pic]. нехай у O (z) кордон ставиться рівнянням [pic]. Введём нові перемінні: [pic] - невырожденное перетворення координат. Перетворення: [pic] - всередині простору Соболєва. У що перейде безліч: [pic] Вирізали куб [pic]. [pic] Результат перетворення Праобраз куба [pic] - вигнутий кубик. Складом кордон кубиками Vi і виберемо кінцеве подпокрытие. (Tju)(y) = u (x (y)) (xVj) — перехід від x до y, перехід від y до x: [pic] [pic] Введём: [pic] [pic] якщо [pic].

[pic] [pic] на носіях [pic] звернуться один. [pic] Властивості оператора продовження: 1. F (x) — обмежений оператор; 2. Т.к. [pic] - финитная, то F (x) — финитная на Довести: F (x)=f (x), если [pic]. [pic] Зауваження. Теорему 1 залишається справедливою для просторів [pic] (випливає з докази). Теорему 2. Нехай [pic] - обмежена область [pic], [pic]- скрізь щільно в [pic]. Доказательство.

Розглянемо довільну функцію [pic]. [pic] - обмежена. F-продолжение f. Оскільки F — финитная в, то [pic] [pic].

Сепарабельность просторів Соболєва. Теорему. Нехай [pic] - обмежена область, [pic], тоді :

[pic] - сепарабельное. Построениe счётного скрізь щільного безлічі. Доказ. Розглянемо [pic]; продовження функції f: [pic]. Аппроксимируем функцію F. Безліч фінітних, нескінченно дифференцируемых функцій (з властивостей осреднений) скрізь щільно у просторі фінітних функцій [pic]. Вочевидь: [pic]. Де коефіцієнти: [pic]. Нехай H — сепарабельное гильбертово простір. Визначення. Функції [pic] утворюють ортонормированную систему, якщо [pic], і [pic]. Твердження. У кожному сепарабельном гильбертовом просторі існує ортонормированный базис, тобто. таку систему [pic], що [pic]. Розпад у цій базису єдино, і: [pic]. Рівність Парсеваля.

[pic]. Простір [pic] - сепарабельное гильбертово простір з ортонормированным базисом: можна взяти систему експонент (нормовану). Розпад в сходитися ряд: [pic] Визначимо вид коефіцієнтів Фур'є: [pic] проинтегрируем частинами й одержимо: [pic], де [pic] Отримуємо: [pic] і отже: [pic] F не складно апроксимувати лінійними комбінаціями експонент. Дані безліч — лінійне простір експонент з раціональними коэффициентами.

След функції з Hk (Q). Для функції из[pic] поняття значення на (n-1) — мірною поверхні не визначено. Якщо [pic] задовольняє умовам дифференцируемости, то: визначення сліду функції на (n-1) — мірною поверхні. Розглянемо [pic][pic] -обмежену область, [pic]. [pic] - (n-1) — мірна поверхню, [pic]. Нехай [pic] [pic] [pic]Можно розбити на кінцеве число простих шматків, однозначно проецирующихся на координа тные площини і описывающиеся рівнянням: [pic][pic] [pic] Для будь-який безупинної функції слід — її значення лежить на поверхні, однозначно продолженое по безперервності. [pic] Оскільки f=0 поза області Q, то формулі Ньютона-Лейбница: [pic] Оцінимо: [pic] Обидві частини помножимо на [pic] і проинтегрируем по D: [pic] fфинитная. Оскільки [pic] може бути продовжена в [pic] финитным чином, [pic], причому [pic] [pic] [pic] Існує послідовність [pic] [pic][pic] Звідси випливає фундаментальність послідовності слідів в [pic] [pic]- повне, следовательно[pic] - сходиться, [pic] Перейдём до межі, одержимо: [pic] Твердження. Визначення [pic] залежить від вибору апроксимуючої послідовності [pic]. Доказ. Нехай є дві послідовності [pic] в [pic]. Нехай [pic]. Отже, мають співпадати два краю в [pic]. Розглянемо [pic] Отже: [pic], і [pic]. Якщо функція безупинна в [pic] й належить [pic], її поняття сліду як значення безупинної функції як і краю збігаються. Формула інтегрування частинами. Нехай Qобмежена, [pic]. [pic], [pic] - одиничний вектор зовнішньої нормальний до [pic]. Теорему Реллиха-Гординга. Якщо [pic], то [pic], якщо [pic] сходиться в [pic], то [pic] сходиться в [pic][pic]. Простір Соболєва з великим показником дифференцируемости k компактно вкладено в ространство Соболєва із меншим показником. Нехай [pic]- обмежена, [pic], тоді: [pic] - компактно вкладено в [pic]. Сили-силенної, обмежені в [pic], є предкомпактными в [pic]. Визначення. Предкомпактными називаються такі безлічі, замикання яких компактні. Із будь-якої обмеженою послідовності функцій з [pic] можна вибрати подпоследовательность, сходящуюся в [pic]. Або: Для [pic] можна вибрати [pic], сходящуюся в [pic]. Доказ. 1. Продовжимо функції [pic] финитным чином у ширшу область, [pic]. [pic]. Оператор продовження обмежений, і: [pic]. Т. до. безліч фінітних, нескінченно дифференцируемых функцій скрізь щільно у просторі функцій [pic] з компактними носіями, то без обмеження спільності міркувань вважатимуться, що це функції [pic] - нескінченно дифференцируемы в [pic]. [pic]- з неї вибиратимемо сходящуюся подпоследовательность. Використовуємо перетворення Фур'є: [pic]. [pic]. З огляду на финитности: [pic] Оцінимо за нерівністю Коши-Буняковского: [pic] Властивість. У гильбертовом просторі з обмеженою послідовності можна виділити слабко сходящуюся подпоследовательность. [pic] - слабко сходящаяся в [pic]. [pic] - сходящаяся для будь-який безупинної лінійної функції [pic]. Як [pic] візьмемо функції: [pic] - сходиться [pic] Доведемо, що [pic] - фундаментальна в [pic][pic] [pic] [pic] [pic] Оскільки послідовність [pic] сходиться для будь-яких і обмежена, то тут для інтеграла [pic] застосовуємо теорему Лебега про граничному переході під знаком інтеграла, отримуємо: [pic][pic], де [pic]- радіус кулі. [pic] з теореми Планшереля (у бік) і властивостей перетворення Фур'є: [pic] Вибором R, інтеграл [pic] можносделать як завгодно малим, тобто. :[pic]. Якщо [pic] і k, m — вибрати, то: [pic], і послідовність [pic] - фундаментальна. Формула інтегрування частинами [pic] (1) [pic][pic]- обмежена, [pic]. [pic] (2) [pic] У рівнянні (2) час торкнутися межі при [pic], отримуємо рівняння (1). Простір [pic] Визначення. Назвемо простором [pic][pic] замикання простору фінітних безупинно дифференцируемых функцій в [pic]. [pic]- замикання [pic] в [pic]. Якщо є [pic], то: [pic]. Якщо [pic], то [pic]. Справедливо і зворотне твердження. Теорему. [pic]. pic]- обмежена, [pic]. Визначення. Еквівалентні норми. Нехай H — гильбертово простір зі скалярним твором (., .). Скалярне твір [pic].,. [pic] називається еквівалентним (., .), якщо: [pic] [pic]. З еквівалентності скалярних творів можна скористатися будь-яким. Теорему 2. У просторі [pic] можна запровадити скалярне твір за такою формулою: [pic].

(3) Доказ. [pic] Треба довести: [pic].

(4) Доказ від протилежного. [pic] [pic] Вважатимемо, що [pic], але це отже: [pic] [pic][pic] (по теоремі Реллиха-Гординга) [pic] [pic] Маємо противоречие. Теорема доказана.

Обобщенное вирішення завдання Дирихле для рівняння Пуассона. [pic] Нехай [pic]- вирішення завдання (1)-(2). Візьмемо [pic] і помножимо (1) на [pic], проинтегрируем й одержимо: [pic]. Якщо [pic]- гладка, то: [pic].

(3) Визначення. Функція [pic] називається узагальненим рішенням завдання (1)-(2), для будь-який функції [pic] виконується тотожність (3). При дослідженні узагальнених рішень [pic]. Лема. Існує лінійний обмежений оператор [pic], такий, що [pic]. У цьому [pic] -компактний самосопряжённый позитивний оператор. За визначенням: [pic]. [pic] - антилинейный по [pic]. [pic]. fобмежений, отже застосуємо теорему Рисса: [pic] F — лінійно залежить від u. pic][pic] [pic]. Компактність очевидна по теоремі Реллиха-Гординга. [pic] Самосопряженность доведено. [pic] Теорему. Для будь-який функції [pic] cуществует єдиний [pic] крайової завдання (1) (2). У цьому [pic].

(4) Завдання Дирихле для рівняння Пуассона коректна, тобто. існує єдине рішення безупинно залежить від правій частині. Доказ. [pic].

Собственные значення й власні функції оператора Лапласа. [pic] Визначення. Функція [pic] називається узагальненої власної функцією оператора — з умовами Дирихле, відповідної узагальненому власному значенням, якщо вона задовольняє наступному інтегральному тотожності: [pic][pic] (3) Теорему. 1. Власні значення завдання (1) (2), є речовими, позитивними, ізольованими, мають кінцеву кратність, і :

[pic] 2. Существует ортонормированный базис в [pic] що з власних функцій завдання (1) (2) [pic]. 3. [pic] становить ортонормированный базис в [pic] з еквівалентним скалярним твором: [pic].

(4) Доказ. Інтегральне тотожність (3) можна записати як: [pic], [pic], [pic]. Еквівалентна завдання: [pic] Теорему 1. Якщо [pic] - лінійний обмежений самосопряженный оператор, тоді спектр [pic] - речовинний, і: [pic] Теорему 2. Нехай [pic] - компактний, самосопряженный оператор, тоді [pic] складається з {0} і деякого (кінцевого чи лічильного) безлічі ізольованих власних значень кінцевої кратності: [pic] {0} завжди належить спектру компактного оператора. Теорему 3. Нехай [pic] - копактный, самосопряженный оператор, тоді існує ортонормированный базис у просторі [pic], що з власних функцій цього оператора: [pic]. Для зручності [pic][pic], [pic]. Отже: [pic] - ортонормированная система в [pic]. Оскільки [pic] скрізь щільно в [pic], то [pic] утворює ортонормированный базис в [pic]. [pic] Отже: [pic] утворює ортонормированный базис в [pic]. Розглянемо завдання: [pic].

(1) де [pic] Крайові умови: [pic].

(2) [pic].

(3) [pic].

(4) [pic] [pic].

(5) [pic].

(6) [pic].

(7) [pic].

(8) [pic].

(9) Теорему 1. Якщо однорідна крайова завдання має єдине тривіальне рішення, то неоднорідне неоднорідна крайова завдання (1) (2) має єдине рішення для [pic]. 2. Якщо (3) (4) має нетривиальное рішення, то (1) (2) можна залагодити тоді навіть тільки тоді ми, коли [pic] нічого для будь-якого w, що є рішенням (5) (6) 3. Завдання (3) (4) і (5) (6) мають однакове число лінійно незалежних решений.

Теорема Фредгольма. Розглянемо рівняння [pic].

(10) [pic].

(11) [pic].

(12) де I — одиничний оператор в H, З — компактний оператор в H. 1. Якщо однорідне рівняння (11) має єдине тривіальне рішення, то тут для [pic] існує єдине рішення рівняння (10). 2. Якщо рівняння (11) має нетривиальное рішення, то рівняння (10) вирішується тоді й тільки тоді, коли [pic]. 3. [pic].

Оценим член: [pic] [pic] [pic] [pic] - компактно. [pic].

(13) [pic].

(14) Вивчимо член: [pic] Отже: [pic].

(15) (1) (2) [pic].

(16) (3) (4) [pic].

(17) (5) (6) [pic].

(18) Доведена перша частина теореми. Нехай (3) (4) має нетривиальное рішення, тоді [pic] Тобто. [pic] Теорему доказана.

Разложение виконання завдання Дирихле для рівняння Пуассона до кількох по власним функцій. [pic]- обмежена (1) [pic].

(2) [pic] (3) [pic] в [pic] [pic] [pic] Конечноразностные оператори. Мета: Апроксимація узагальнених похідних конечноразностными операторами. [pic] Нехай [pic]- финитная в Q: [pic] (1) Аналог формули інтегрування частинами: [pic] Означимо: [pic]. Теорему. Нехай [pic], тоді: 1) якщо [pic], де [pic], то :

[pic] (3) і навіть :

[pic] (4) 2) Якщо [pic], то: [pic] Доказательство.(1ая частина теореми) З теорем про апроксимації функції f і її обобщённой похідною осреднениями функції f і її узагальненої похідною сооответственно слід, що досить довести частина теореми для финитной нескінченно диффреренцируемой функції. [pic] [pic] (3) [pic].

(4) [pic] [pic] [pic] - доведено (3) [pic] (застосувавши нерівність Коши-Буняковского) [pic] [pic] По теоремі Фубини маємо нерівність: [pic] [pic] Доказ. (2-ая частина.) [pic] Отже: [pic] Доказ теореми 2. Нехай [pic][pic]- обмежена, односвязная область. [pic]. Q — симетрично щодо [pic], тобто. якщо [pic], то [pic]. [pic] Означимо: [pic] Теорему 2. Нехай [pic], тоді: 1) якщо [pic], де [pic], то :

[pic] 2) якщо [pic], то: [pic] Вказівка. Аби довести розглянути :

[pic] За визначенням обобщённой похідною в (1) отримуємо: [pic], тоді: [pic] Локальна гладкість обобщённых рішень. [pic] [pic] обмежена. Узагальнена рішення: [pic], [pic] (3) Теорему 1. Для будь-якого [pic] узагальнена рішення u завдання (1) (2) [pic] незалежно від гладкості кордону, якщо права частина з [pic], то узагальнена рішення теж гладко. Доказ. [pic][pic] [pic] Досить довести, що [pic] у кожному з куль: [pic]. Означимо [pic]. Як v для (3) візьмемо: [pic] - финитная, нескінченно дифференцируемая. [pic], v можна використовувати як пробна: Підставимо v в (3): [pic] (множення u на срезающую функцію для локалізації властивості в кулі) [pic] (4) Введём конечноразностный оператор. Нехай [pic]. [pic]. [pic] (5) Уявімо (5) як: [pic]. Оцінимо: [pic] По нерівності Коши-Буняковского: [pic] [pic], де [pic]. Підставляємо у виконання як пробної функції: [pic] Результат: [pic] [pic].

(6) З огляду на 2-ой частини теореми 1 (див. стор. …): [pic]. u має обощённые похідні [pic]. Узагальнення Теореми у разі довільній гладкості правій частині. Теорему 2. Нехай [pic] - обмежена, [pic] - узагальнена вирішення завдання (1) (2), тоді: [pic]. Гладкість обобщённых рішень еліптичних завдань поблизу кордонів. [pic].

(1) [pic].

(2) [pic] [pic].

(3) Теорему 1. Нехай [pic] - обмежена область: [pic] [pic] - узагальнена рішення (1) (2), тоді [pic]. Доказ. [pic] [pic] Довести, що [pic]. нехай у околиці X і Y кордон створюється рівнянням: [pic] Не обмежуючи спільності міркувань вважатимемо, що кордон пласка. Введём срезающую функцію: [pic] [pic] Підставимо v в (3), одержимо: [pic] (4) Введём конечноразностный оператор. Нехай [pic]. [pic]. У цьому: [pic]. [pic] (5) Уявімо (5) як: [pic]. Через нерівність Коши-Буняковского, одержимо: [pic], де [pic]. Підставляємо у виконання як пробної функції: [pic] [pic] З огляду на 2-ой частини теореми 1 (див. стор. …): [pic]. u має обощённые похідні [pic]. Лема. Нехай [pic] - узагальнена рішення (1) (2), тоді: [pic] - обмежена, отже u задовольняє рівнянню (1) майже скрізь в Q. Вважатимемо: [pic]. [pic] [pic] Отже: [pic]. Теорему 2. Нехай [pic] - обмежена область, [pic] - узагальнена вирішення завдання (1) (2), тоді: [pic]. Теорему «вкладення «Соболєва. [pic]- обмежена область, [pic], отже [pic] -безупинно вкладено. Визначення. Безперервність оператора накладення — це [pic] майже скрізь в Q. [pic].

(1) Доказ (теореми). [pic], де [pic], якщо [pic], і: [pic].

(2) Доказ (1) ітиме з докази (2) і [pic].

(3) Нехай (3) доведено для будь-який финитной, гладкою [pic], то цьому випадку теорема справедлива для [pic]. [pic]; [pic]; слід фундаментальність: [pic] [pic] [pic].

(4) (Зауваження. Межа себто майже скрізь: [pic] п.в. Залишається довести (3) для будь-яких фінітних, нескінченно дифференцируемых в функцій. [pic] Перетворення Фур'є: [pic], де [pic]. [pic] помножимо і розділимо на [pic] і застосуємо нерівність Коши-Буняковского. [pic] [pic] Доведемо, що інтеграл конечен: [pic] [pic] Де [pic]. Теорему повністю доведено. Обобщённые і класичні рішення. [pic].

(1) [pic].

(2) Функція [pic] - називається класичним рішенням завдання (1) (2), якщо вона задовольняє рівнянню (1) і крайовим умовам (2). Теорему 1. Якщо [pic], то узагальнена рішення [pic] має такими властивостями: [pic]. Доказ. Нехай [pic], тоді: [pic] Теорему 2. Нехай [pic] - обмежена область; [pic], тоді узагальнена рішення [pic]. Доказ. [pic] Теорему 3. Нехай [pic] - обмежена область; [pic], тоді узагальнена рішення [pic] і є класичним рішенням завдання Дирихле для рівняння Пуассона. Доказ. [pic], отже скрізь в Q задовольняє рівнянню (1) і умові (2). Теорему 4. Нехай [pic] - узагальнена власна функція оператора [pic] з однорідними умовами Дирихле, тоді: [pic]. Доказ. [pic] Якщо [pic] [pic] По теоремі вкладення: [pic].

Задача Неймана для рівняння Пуассона. [pic] Визначення. Функція називається узагальненим рішенням завдання (1) (2), якщо: [pic].

Пусть [pic] - обмежена область. Теорему 1. Завдання (1) (2) можна залагодити тоді й тільки тоді, коли права частина рівняння (1) ортогональна константам, тобто: [pic]. Лема. Існує лінійний обмежений оператор, такий, що: 1)[pic] 2) [pic] - компактний, самосопряженный, позитивний оператор. Доказ — аналогічно. [pic] Розглянемо однорідне рівняння: для однорідної завдання (1) (2) [pic] має нетривиальное рішення. За визначенням узагальненого рішення: [pic] [pic] Теорему доказана.

Рассмотрим рівняння: [pic] [pic] Теорему 2. 1. Якщо завдання (3) (4) має єдине рішення, то завдання (1) (2) також має єдине рішення для [pic]. 2. Якщо завдання (3) (4) має нетривиальное рішення, то завдання (1) (2) можна залагодити тоді й тільки тоді, коли [pic], де w — рішення однорідної пов’язаною завдання. 3. Розмірності підпросторів рішення завдань (3) (4) і (5) (6) збігаються і конечны.

Задача Неймана: [pic] Розглянемо завдання за власні значення: [pic]Теорема 3. 1. Власні значення оператора Лапласа з «- «з умовами Неймана речові, конечнократные, неотрицательные і полягає з таких чисел: [pic]. 2. Відповідні власні функції [pic] становлять ортонормированный базис в [pic]. 3. [pic] становлять ортонормированный базис в [pic]. Доказ. [pic] Перша частина теореми доведено. По Гильберту-Шмидту будується [pic] - ортогональный базис в [pic] і нехай [pic]. [pic] [pic] - ортонормированный базис в [pic]. Теорему 3 доведено. Завдання Дирихле — однозначна разрешимость.

Теорема 4 про гладкості виконання завдання Неймана. Нехай [pic] - права частина рівняння. Нехай [pic] - узагальнену рішення завдання (1) (2), тоді: [pic] Доказ — аналогічно теоремі 3.

Теорема 5. Нехай кордон [pic]; нехай права частина [pic]. [pic] - узагальнену вирішення завдання (1) (2), тоді: [pic].

Теорема 6. Нехай кордон [pic]; права частина — [pic]; [pic] - узагальнену рішення завдання (1) (2), тоді: [pic]. Доказ. Узагальнене рішення: [pic] для [pic]. [pic] Рівняння (1) виконується майже скрізь в Q, і: [pic].

Метод Ритца. Суть: зведення бесконечномерного випадку до конечномерному. Розглянемо: [pic], де: l (u) — лінійний, обмежений функціонал в [pic]. Знайдемо мінімум квадратичного функціоналу: [pic] [pic]- кінцеве число. Знайдеться [pic] така, що: [pic] - минимизирующая послідовність. [pic], такий, що: E (u)=d. u — здатний мінімізувати елемент. Теорему 1. Існує єдиний [pic], здатний мінімізувати функціонал E. У цьому цьому будь-яка минимизирующая послідовність є сходящейся до елементу u: [pic]. Доказ. Візьмемо будь-яку минимизирующую послідовність. Вочевидь: [pic] Почленно сплюсуємо співвідношення з «+ «і з «- «: [pic] Доведено: послідовність [pic] - фундаментальна у його просторі, отже: [pic] і, отже: [pic]. Доведено: якщо [pic] - минимизирующая послідовність, вона сходиться до мінімального елементу. Доказ одиничності від протилежного: нехай є другий мінімальний елемент; складемо минимизирующую послідовність: [pic]. Вона не сходиться, отже, другий мінімальний елемент не существует.

Пусть [pic] становлять лінійно незалежну систему функцій, лінійна оболонка якої щільна в [pic], тобто. повна система, отже: [pic] то, можливо аппроксимирован [pic]. Означимо через [pic] - конечномерное підпростір [pic], натягнуте на перші k функцій [pic]. Розглянемо [pic] - завдання зводиться до конечномерной. [pic], і E (.) то, можливо подано у вигляді функції k змінних; позначимо її: [pic] Необхідна умова экстремума: [pic], тоді: [pic], де i=1,…, k. (1) Система алгебраїчних рівнянь (1) має єдине рішення, т.к. її визначник (Грама) різниться від 0. [pic] Означимо рішення [pic], і: [pic]- монотонно невозрастающая послідовність мінімальних значень функціоналу. [pic]- послідовність Ритца. Теорему 2. Послідовність Ритца є яка мінімалізує, і, отже, сходиться до минимизирующему елементу u: [pic]. Доказ. Т.к. [pic] скрізь щільна в [pic], то: [pic], такі що: [pic]. Розглянемо значення [pic]: [pic] Отже: [pic], і за: [pic]. Теорему 3. [pic] є мимимизирующим елементом для функціоналу E (u) тоді навіть тільки тоді ми, коли [pic] Доказ. Необхідність: нехай u — здатний мінімізувати елемент; візьмемо [pic], то: [pic], т.к. u — здатний мінімізувати. Означимо через [pic]. Необхідна умова экстремума: [pic]. [pic] [pic] що потрібно було довести. Достатність: нехай виконується (2), то розглянемо: [pic], тобто. [pic] u — здатний мінімізувати елемент, що потрібно було довести. Висновки. 1. Існує єдиний здатний мінімізувати елемент — межа яка мінімалізує послідовності (послідовності Ритца). 2. Мінімізація функціоналу пов’язані з узагальненим рішенням крайової завдання. 3. Метод Ритца можна використовуватиме рішення еліптичної задачи.

[pic] [pic] Приклади. 1. [pic] [pic] [pic] [pic]- інтегральне тотожність (4) (4) визначає узагальнену вирішення завдання Дирихле для рівняння Пуассона. [pic].

Теорема 4. 1. Існує єдиний [pic], здатний мінімізувати функціонал в [pic]; [pic]- минимизирующая послідовність [pic] 2. Послідовність Ритца для функціоналу (3) в [pic] є яка мінімалізує. 3. [pic]является яка мінімалізує для функціоналу (3) тоді й тільки тоді, коли u є узагальненим рішенням завдання (5)-(6).

2. Завдання Неймана. Будь-яке рішення такого завдання дорівнює сумі допомоги приватного неоднорідного і спільного однорідної рішення. Шукатимемо рішення з [pic], де [pic] - замкнутий підпростір простору [pic]. Узагальнене вирішення завдання (7)-(8): [pic] Якщо u=v=const, то илевая і права частини не зміняться і: [pic]. Рішення є і єдино. [pic] Будемо думати: [pic], тогда:

Теорема 5. 1. Існує єдиний [pic], здатний мінімізувати функціонал в [pic]; [pic]- минимизирующая послідовність [pic] 2. Послідовність Ритца для функціоналу (10) в [pic] є яка мінімалізує. 3. [pic]является яка мінімалізує для функціоналу (10) тоді й тільки тоді, коли u є узагальненим рішенням завдання (7)-(8).

Изучение класичних рішень еліптичних завдань. § 1. Формула Гріна. [pic]- обмежена область; [pic] [pic] [pic] Віднімемо з першого друге: [pic].

Интегральное уявлення похідною. Визначення. Фундаментальна рішення рівняння Лапласа: [pic] Слідство. [pic] Теорему 1. Нехай [pic] - обмежена область з кордоном класу [pic]. Нехай [pic], тоді: [pic] Доказ. Розглянемо: [pic] — область без кулі. [pic] [pic].

[pic].

Обозначим: [pic] Треба довести, що: [pic]. Означимо: [pic] де: [pic] - площа поверхні одиничної сфери у n-мерном просторі. З огляду на, що: [pic].

[pic] Означимо: [pic] [pic].

Первая теорема про середньому. Визначення. Функція u називається гармонійної у сфері Q, якщо вона задовольняє в цій галузі рівнянню Лапласа. Нехай u (x) — гармонійна в [pic]. Dобмежена область [pic]. [pic] Теорему 1. Нехай [pic] - гармонійна функція в Q, і нехай: [pic], тоді :[pic] Значення гармонійної функції у центрі сфери одно середньому арифметичному її значень за українсько-словацьким кордоном сфери. Доказ. [pic] Означимо: [pic] [pic] [pic].

Вторая теорема про середньому. Нехай [pic] - гармонійна в Q функція; [pic], тоді: [pic] Доказ. [pic] [pic] [pic] [pic], що потрібно було доказать.

Принцип максимуму. Теорему. [pic]- обмежена, зв’язкова; u (x) — гармонійна в Q, безперервна в [pic], [pic], тоді: [pic] Доказ. Припустимо гидке: [pic], [pic]. Тоді доведемо, що у довільній точці області значення функції U збігаються з M, тобто. u-const. Візьмемо [pic] і з'єднаємо ламаної l точки Y і Z. Кроєм ломанную кінцевим числом куль: [pic]. Кулі такі: [pic] і [pic], причому: [pic], [pic]. [pic] [pic] Якщо [pic], то: [pic], [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Теорему доказана.

Единственность класичного виконання завдання Дирихле для рівняння Пуассона.

[pic] [pic].

(1) [pic] [pic].

(2) [pic] - це гарантує існування рішення. [pic] Теорему. Завдання (1) (2) може мати трохи більше одного класичного рішення. Доказ. Припустимо гидке: нехай є дві класичних рішення: [pic]. Це отже: [pic] [pic] (3) [pic] [pic] (4) [pic] [pic] (5) [pic] [pic] (6) [pic] [pic] (7) [pic] [pic] (8) [pic] Отже: [pic] і [pic] Отже, якщо є два рішення, всі вони рівні одна одній. Що й вимагалося доказать.

Обобщенные рішення смешаной завдання для хвильового рівняння. [pic] [pic] (1) [pic].

(2) [pic] [pic].

(3) [pic] [pic].

(4) [pic] [pic] [pic] позначення: [pic]; [pic]. [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]: [pic], [pic] Помножимо обидві частини на v і проинтегрируем по циліндру: [pic][pic] (5) Хоча узагальнену рішення — загальне поняття, але класичне рішення може бути узагальненим. Визначення. Узагальнене рішення — функція u з [pic] - називається узагальненим рішенням завдання (1)-(4), якщо [pic] [pic] й у [pic], такого, що [pic] і [pic] виконується інтегральне тотожність (5).

Существование узагальненого рішення першої змішаної завдання для хвильового рівняння. [pic] [pic] (1) [pic].

(2) [pic] [pic].

(3) [pic] [pic].

(4) [pic], [pic] [pic] [pic] [pic].

(6) [pic].

(7) [pic]- обмежена область; [pic] [pic] [pic], [pic], …, [pic] [pic] - базис, тоді: [pic] [pic] [pic] де: [pic] [pic] По теоремі Фубини: [pic] [pic] [pic](8) Теорему. [pic] [pic] [pic] ряд (8) сходиться у просторі [pic] з сумою цього самого ряду є узагальненим рішенням завдання (1)-(4). У цьому має місце оцінка: [pic] (9) Доказ. Перший этап.

Нехай: [pic] Доведемо, тоді рішення u (x, t) має вид:

[pic] [pic] (10) [pic].

(11) [pic].

(12) [pic] при майже всіх t [pic]. [pic].

Доведено: якщо [pic], то: [pic] - рішення. [pic] Другий етап. [pic] то: [pic] -узагальнену рішення змішаної завдання. Третій етап. Доведемо, що рішення змішаної завдання зі спеціальним правої частиною сходяться до узагальненому рішенню. Здійснюється граничний перехід: Оцінимо [pic] та його похідні: [pic] [pic] Доведемо, що послідовність фундаментальна. Нехай N>M; розглянемо: [pic] [pic] [pic] Отже [pic] -фундаментальна в [pic] - повному, тобто. [pic]. [pic] Треба довести, що u — узагальнену рішення, якщо [pic] -узагальнену рішення. [pic] [pic]; за переходу до межі одержимо: [pic].

Единственность узагальненого рішення першої змішаної завдання для хвильового уравнения.

[pic] [pic].

(1) [pic].

(2) [pic] [pic].

(3) [pic] [pic].

(4) [pic] [pic] [pic] [pic].

Теорема 1. Завдання (1) — (4) може мати трохи більше одного обобщённого рішення. Доказ. Досить переконається, що однорідна завдання матиме єдине рішення. [pic] Візьмемо: [pic] где:[pic] - довільна, [pic]. [pic] Інтегральне тотожність придбає такий вигляд: [pic] [pic]Теорема доказана.

Анизотропные простору Соболєва. Визначення. Анізотропним простором Соболєва [pic] називається безліч функцій [pic]. Запроваджується скалярне твір: [pic] (1) Властивості просторів: Теорему. Простір [pic] -повно. Доказ. Фундаментальна послідовність, перехід до межі в інтегральному тотожність. Нехай [pic] через [pic]. Теорему 2. [pic].

Теорема 3. [pic]-сепарабельно. Доказ — продовження функції до финитной.

Теорема 4. [pic] [pic] скрізь щільно в [pic]. Візьмемо [pic] [pic] [pic] Теорему 5. Для [pic] можна визначити слід: [pic][pic] і навіть: [pic].

Узагальнені рішення змішаної завдання для.

рівняння теплопровідності. [pic] [pic] Визначення. Узагальнене рішення [pic]- називається узагальненим рішенням завдання (1)-(3), якщо [pic]: [pic] виконується інтегральне тотожність (4).

Существование узагальненого рішення першої змішаної завдання для рівняння теплопровідності (метод Фур'є, метод поділу змінних). [pic] [pic]- власні значення; [pic] - ортогональный базис в [pic]; [pic] - ортонормированный базис в [pic]. Вважатимемо: [pic] [pic] при майже всіх t интегрируема з квадратом в [pic]. Рівність Парсеваля: [pic] f-измерима і [pic] за нерівністю Гельдера. [pic]. По теоремі Лебега можна зліва і правих проинтегрировать по t і щось поміняти місцями [pic]. [pic] Рішення має вигляд: [pic] Треба довести відповідність в [pic].

Теорема. [pic] ряд (6) сходиться у просторі [pic] до деякою функції [pic], що є узагальненим рішенням завдання (1)-(3). У цьому: [pic] Доказ. Перший етап. Припустимо, що права частина рівняння має вигляд: [pic], а початкова функція: [pic]. Розглянемо: [pic] [pic] [pic] -інтегральне тотожність выполняется.

Второй етап. [pic] Третій етап. Доказ фундаментальності послідовності [pic]. Оцінимо модуль: [pic] Інтегруємо зліва і правих: [pic] [pic] Отже: послідовність фундаментальна і її сходиться: [pic] [pic] Переходимо до межі: [pic] Треба довести, що u — задає вирішення завдання. [pic] При перехід до межі виконується інтегральне тотожність: [pic] Теоремі доведено. З цієї теореми годі було единственность.

Единственность узагальненого рішення змішаної завдання для рівняння теплопровідності. [pic] Теорему. Завдання (1)-(3) може мати трохи більше одного узагальненого рішення. Доказ. Нехай [pic] -узагальнені рішення, оценим[pic]. [pic] [pic] - додана гладкість по t. [pic] Умови, що накладалися на v: [pic]. [pic] [pic] [pic].

Формула Кирхгофа. Додаткові позначення: нехай є [pic], [pic] - фіксується. Означимо: [pic]- конус з вершиною в [pic]. [pic] Візьмемо довільну [pic]. Означимо: [pic] [pic]. Виберемо [pic] і розглянемо: [pic] - поза циліндра, але в середині конуса. Означимо через [pic] - частина конічній поверхні, обмеженою [pic]: [pic] [pic] [pic] [pic] - двічі безупинно дифференцируема у відкритому конусі. У цьому: [pic] - замикання конуса. Зауваження: [pic] - хвильової оператор. Розглянемо допоміжну функцію: [pic]. Розглянемо: [pic]. Зауважимо: [pic]. Надалі: x належить малому конусу з нарізаним циліндром. Проинтегрируем ліву праву частини тотожності по [pic]: [pic], де: — одиничний вектор зовнішньої нормальний до кордону області. Розіб'ємо цей інтеграл на 3 інтеграла: [pic]; потім [pic]. Розглянемо на конічній поверхні [pic] інтеграл [pic] Обчислимо всі приватні похідні функції v по [pic] і з напрямку зовнішньої нормальний до: [pic] [pic] [pic] Знаючи, що [pic], одержимо: [pic], де: [pic]. Висновок: [pic]. Розглянемо [pic], знаючи, що з [pic]. [pic] Перехід до межі: [pic].

Вычислим: [pic] [pic] - внутрішня нормаль до циліндру. Т.к. u — безупинно дифференцируема лежить на поверхні, то: [pic] [pic] враховуючи: [pic] на циліндричною поверхні. [pic] З огляду на оцінки: [pic] Одержимо: [pic] [pic][pic][pic] [pic] [pic] [pic] Отримано формула Кирхгофа:

(1) | [pic] |.

Заміна змінних (щоб легше було диференціювати по t): [pic] [pic]Продифференцировано перше слагаемое:

[pic] [pic] Геометричний сенс формули. 1. У у перших двох інтеграли виробляється інтегрування щодо кордону підстави конуса — тривимірної сфері. 2. У третьому интеграле виробляється інтегрування по підставі конуса — тривимірному кулі. 3. Значення даламбериана обчислюється інтегруванням по бічний поверхні конуса. СЕНС. Двічі дифференцируемая функція u (x, t) виражається через значення перших похідних на сфері (кордоні підстави конуса) і її даламбериан на бічний поверхні конуса.

Задача Коші для хвильового рівняння. Означимо: [pic] Визначення. Функція u (x, t), така, що: 1) [pic] - двічі безупинно дифференцируемая на [pic]; 2) [pic] - одного разу безупинно дифференцируемая в замиканні цього безлічі; називається класичним рішенням завдання Коші для хвильового рівняння, якщо: [pic] Нехай n=3. Означимо: [pic] За формулою Кирхгофа функція u (x, t) виражається нічого для будь-якого конуса [pic] через функції [pic] у тому конусі. Функція u (x, t) однозначно визначається функціями [pic] у кожному конусі і, отже, в полупространстве. Теорему одиничності. Завдання Коші (2)-(3) неспроможна мати більше рішення. Питання існування. Якщо класичне рішення існує, воно задається формулою Кирхгофа (4): [pic] Отже, питання існуванні класичного решения сводится до пошуку умов, що накладаються на функції [pic], у яких функція, що стоїть у правій частині формули (4), розв’язує це завдання. Отримано лише достатня умова. Попередні міркування. Введемо функцію: [pic] Є [pic]. До кожного [pic] визначається [pic] як інтеграл. Виробляється дослідження [pic]. Лема 1. Нехай функція g і всі її похідні по просторовим змінним безупинні до порядку k: [pic], тоді: 1) функція і всі її похідні до порядку k по x і t безупинні на безлічі [pic]: [pic] 2) для [pic] і [pic] функція [pic] задовольняє однорідному хвильовому рівнянню при і наступним условиям:[pic] Доказ. У (5) час торкнутися нової перемінної, тоді: [pic] Звідси випливає перше твердження леми. Застосуємо [pic] до [pic], тоді: [pic] Підставимо t=0: [pic]. Візьмемо похідні по t від [pic]: [pic]. Розглянемо похідну при t=0: [pic] Перетворимо друге складова: [pic] позначимо: [pic] тоді (7) набуде вигляду: [pic]. Використовуємо її обчислення другий похідною за часом: [pic] [pic] Предствляя цей об'ємний інтеграл як повторного інтеграла: спочатку по сфері, та був від 0 до t, одержимо рівність: [pic] - внаслідок формули (6) справедливо останнє рівність. Лема доведено. Теорему 2. Нехай: [pic] - тричі безупинно дифференцируемая в [pic]: [pic]; [pic] - двічі безупинно дифференцируема в [pic]: [pic]; [pic] - безупинні: [pic]; тоді: вирішення завдання Коші (2)-(3) є і дається формулою Кирхгофа (4). Доказ. Розглянемо друге складова: [pic] з леми 1 є: [pic] Розглянемо перше складова [pic]. T.к. [pic], то: [pic] [pic] [pic] Початкові умови: [pic]; [pic]. Розглянемо: [pic], де: [pic] - позначення. З огляду на леми 1 G і всі її похідні по x і t до другого порядку включно безупинні на безлічі [pic]. Функція G задовольняє: [pic] Перейдемо до F. F безупинна разом з усіма похідними по x до другого порядку включно у сфері [pic], і її перша похідна за часом безупинна у цій галузі. Обчислимо похідну F по t: [pic] але: [pic], і: [pic] Слід: [pic]. [pic] - задовольняє хвильовому рівнянню: [pic] [pic] - задовольняє однорідним початкових умов: [pic] Остаточно: [pic] - задовольняє хвильовому рівнянню [pic] і початковим умовам: [pic]. Зауваження. Доказ теореми про існування і одиничності класичного виконання завдання Коші у разі, коли n=3, спиралося на інтегральне уявлення функції як формули Кирхгофа. Формули, аналогічні формулі Кирхгофа, можна вивести для довільного числа просторових змінних. Ці формули дають вираз досить гладкою функції u (x, t) через її перші похідні і даламбериан в конусі. Користуючись цим поданням, можна узагальнити ці теореми існування й одиничності для довільного числа змінних (n>3). Зауваження. Формули, аналогічні формулам Кирхгофа для n=1 і n=2, можна з n=3 методом спуска.

Метод спуску (що з формули Кирхгофа отримати формули Пуассона і Даламбера). [pic] Треба отримати формулу Кирхгофа для n=2 — формулу Пуассона. позначення: [pic] Перетворимо інтеграли: [pic] [pic] Розглянемо: [pic] Замінимо [pic]. Одержимо формулу: [pic] Отримано формула Пуассона: [pic] Формула Даламбера: [pic] Означимо: [pic]. Введём фундаментальне рішення рівняння теплопровідності: [pic] Властивості U для рівняння теплопровідності. 1. pic] 2. Если U продовжити тотожний 0 при [pic], така функція [pic] - нескінченно дифференцируема. [pic] Доказ. Якщо виписувати похідні функції U, вийде раціональна функція, помножена на експонентові, експонента прагне 0 швидше будь-який раціональної функції, отже, межі усі рівні 0, і отримана нескінченна гладкість. 3. pic] Доказ. [pic] Як вправи: [pic]. 4. pic] де [pic] - формула уявлення виконання завдання Коші для рівняння теплопровідності. Додаткові позначення. Нехай [pic], нехай u, Lu — обмежені в смузі. Введём [pic], що має властивістю: [pic] [pic] - використовуються срезающие функції. [pic] n — розмірність постранства [pic]. N — визначає область інтегрування. Вважатимемо: [pic] - інтегрування по циліндру. [pic] Спочатку розглянемо інтеграл: [pic] Можна застосувати теорему Лебега про граничному переході під знаком інтеграла: [pic] Т.к. [pic], то [pic] произведём заміну [pic], тоді [pic] [pic] [pic]. Якщо доведемо, що інші межі дають 0. Формула Пуассона: [pic] [pic] Можна познаходити вирішення завдання Коші для рівняння теплопровідності: Розглядається завдання: [pic] (1) [pic] (2) Якщо рішення з аналізованого класу існує, воно представляється формулою: [pic]. У означеному класі рішень завдання Коші для рівняння теплопровідності може мати трохи більше 1 рішення. [pic][pic] [pic] [pic] Застосуємо теорему Лебега про граничному переході під знаком інтеграла (необхідно, щоб усе елементи послідовності були обмежені інтегральної функцією). [pic] де: [pic]. Подынтегральная функція обмежена. Оскільки: [pic], то: [pic] Заміна :[pic]. [pic], а інтеграл [pic] - сходитися. Зроблено обмеження интегрируемой функцією. Можна застосовувати теорему Лебега про граничному переході. Теорія Фредгольма. (в Гильбертовом чи Банаховом просторі). Розглянемо компактний оператор [pic] гильбертово простір. Вивчаємо рівняння :

[pic] (1) однорідне рівняння [pic] (2) однорідне пов’язана рівняння [pic] (3) Теорему Фредгольма. Теорему. 1. Якщо однорідне рівняння (2) має єдине тривіальне рішення, то неоднорідне рівняння (1) має єдине рішення для будь-який правої частини з гильбертова простору H. 2. Якщо рівняння (2) має нетривиальное рішення, тоді неоднорідне рівняння (1) вирішується тоді й тільки тоді, коли права частина рівняння (1) ортогональна всім рішенням рівняння (3): [pic]. 3. Розмірність ядра оператора [pic] дорівнює розмірності оператора [pic] і кінцева. [pic]. Введём: [pic], тоді [pic]. Лема 1. [pic], [pic]. Доказ. Припустимо гидке: [pic]. Ядро — замикає лінійне підпростір. [pic] Отже одиничний кулю відображається він (в некомпактное безліч), а оператор компактний. Ядро — замикання бесконечномерного підпростору Гильбертова простору. Маємо протиріччя, котрий доводить теорему. Лема 2. [pic], [pic] - замкнуті в підпросторі. Доказ. Нехай [pic]. Доведемо, що [pic]. [pic]. Розкладемо [pic] на ортогональные складові. [pic][pic], де [pic]. Отже: [pic]. 1). [pic] - обмежена послідовність, отже можна вибрати подпоследовательность [pic] таку, що [pic]- сходящаяся. Тоді: [pic]. І тут [pic] сходиться в H. [pic]. 2). [pic] - необмежена. Можна вибрати подпоследовательность [pic] таку, що: [pic], тоді: [pic], [pic]. [pic], [pic], [pic] З збіжності слід, що ненульові елементи належать ядру і ортогональному доповнення: [pic]. Лема 3. [pic] Доказательство.(первая частина) Нехай [pic], тоді: [pic]. Отримали: [pic]. Нехай [pic], тоді: [pic]. [pic]. Отже: [pic]. Введём позначення: [pic] Лема 4. [pic]. Доказ. Припустимо гидке: нехай такого k немає. [pic]. Візьмемо n.