Методы рішення некоректно поставлених задач

Серед математичних завдань виділяється клас завдань, вирішення яких нестійкі до малих змін вихідних даних. Вони характеризуються тим, що як завгодно малі зміни вихідних даних можуть спричинить довільно великим змін рішень. Завдання такого типу, сутнісно, є погано поставленими. Вони належать до класу некоректно поставлених задач.

Швидко що зростає використання обчислювальної техніки вимагає розвитку обчислювальних алгоритмів на вирішення широких класів завдань. Але треба розуміти під «рішенням» завдання? Яким вимогам повинні задовольняти алгоритми перебування «рішень «?

Класичні концепції, й постановки завдань не відбивають багатьох особливостей можна зустріти практично завдань. Ми покажемо це примере.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних уравнений.

Az=u,.

где z — шуканий вектор, і — відомий вектор, А ={aij} — квадратна матриця із елементами aij. Якщо цю систему невырожденная, т. е. detA? 0, вона має єдине рішення, що можна знайти по відомим формулам Крамера чи іншими способами.

Якщо цю систему вырожденная, вона має рішення (притому не єдине) лише за виконанні умов разрешимости, які з рівностей нулю зіответствующих визначників. Отже, як вирішити систему, треба перевірити, вырожденная вона чи ні. І тому потрібно обчислити визначник системи detA. Якщо п — порядок системи, то тут для обчислення detА потрібно виконати близько п3 операцій. З якою б точністю ми виробляли обчислення, при досить великому значенні п, внаслідок накопичення помилок обчислення, ми маємо очікувати значення detА, скільки завгодно відмінне від істинного. Тому бажано мати (побудувати) такі алгоритми знаходження рішення системи, які вимагають попереднього з’ясування вырожденности чи невырожденности системы.

З іншого боку, в практичних завданнях часто права частина u і елементи матриці А, т. е. коефіцієнти системи рівнянь, відомі нам наближено. У цих випадках замість системи, ми маємо справу із певною інший системою A1z=u1 такий, що ||А1— А||U безупинно, взаємно однозначне й безліч Fo компактно на F, то зворотне відображення Uo>Fo безлічі Uo на безліч Fo також безперервно за метриці простору F.

Доказ. Нехай z — елементи безлічі F (z?F), а u—элементы безлічі U (u?U). Нехай функція u=?(z) здійснює пряме відображення F>U, а функція z=?(u)—обратное відображення U>F.

Возьмем довільний елемент u0 з Uo. Покажемо, що функція ?(u) безупинна на u0. Припустимо, що це не так. Тоді існує число ?1 > 0, що з будь-якого? > 0 знайдеться елемент и1 з Uo, котрій ?U (и1, и0).