Математический аналіз. 
Регрессия

y=a рівняння регрессии.

Таблица 1.

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.20 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|.

[pic].

Оцінка значимості коефіцієнтів регресії. Ставиться та перевіряється гіпотеза — про тому, що справжнє значення коефіцієнта регрессии=0. Для перевірки гіпотези використовується критерій Стьюдента. [pic][pic] к-т є значимим і нульову гіпотезу отвергаем.

График 1.

[pic].

[pic]- рівняння регрессии Таблица 2.

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.20 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|.

[pic] Запишемо матрицю X [pic] [pic].

Система нормальних рівнянь. [pic].

Оцінка значимості коефіцієнтів регресії. Для перевірки нульової гіпотези використовується критерій Стьюдента.

[pic] [pic] [pic].

[pic] [pic][pic] Коефіцієнт ai є значимості, т.к. потрапляв в интервал.

Перевірка адекватності моделі критерієм Фішера. [pic] [pic] [pic][pic] [pic] [pic].

Критерій Фишера.

[pic] [pic] звідси лінія регресії адекватна отраксает вихідну інформацію, гіпотеза — про рівність мат. Очікувань отвергается.

Перевірка адекватності моделі за коефіцієнтом детермінації чи множинна корреляция.

[pic] [pic] регрессионная модель адекватна Коефіцієнт множинної кореляції: [pic].

[pic].

Таблица 3.

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |y |1.35 |1.09 |6.46 |3.15 |5.80 |7.2 |8.07 |8.12 |8.97 |10.66|.

Приведем квадратне рівняння до лінійної формі: [pic]; [pic] [pic] Запишемо матрицю X. [pic].

Составим матрицю Фішера. [pic].

[pic] [pic]Система нормальних рівнянь. [pic] Вирішимо її методом Гаусса. [pic] Рівняння регресії має вигляд: [pic].

Оцінка значимості коефіцієнтів регресії. Для перевірки нульової гіпотези використовуємо критерій Стьюдента. [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].

[pic][pic] [pic][pic] [pic] [pic] Коефіцієнти [pic] значимі коэффициенты.

Перевірка адекватності моделі критерієм Фишера.

[pic] [pic].

[pic] [pic] [pic] гіпотеза — про рівність математичного очікування отвергается.

Перевірка адекватності моделі за коефіцієнтом детермінації чи множинної кореляції. Коефіцієнт детермінації: [pic] [pic]- регрессионная модель адекватна. Коефіцієнт множинної кореляції [pic].

Таблица 4.

|x|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |y|0,75|1,8|2,9|4,1|5,|6,|7,|8,5|9,|10,| | | |7 |9 |1 |23|35|47|9 |71|83 |.

График 2.

[pic].

Таблица 5.

|x |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |y |16.5|20.8|25.8|31.6|38.3|45.8|54|63.0|72.|83.53| | |7 |1 |5 |9 | | | |5 |9 | |.

Графік 3.

[pic].

Використання регресійної моделі [pic]для прогнозування зміни показателя.

[pic] Оцінка точності прогнозу. [pic].

Построим довірчий інтервал для рівня надійності. [pic] [pic].

С ймовірністю 0,05 цей інтервал покриває справжнє значення прогнозу [pic].

График 4.

[pic].

[pic].

Оцінка точності періоду. [pic] Побудуємо довірчий інтервал. [pic].

Графік 5.

[pic].