Декартова система координат на площині (реферат)

РЕФЕРАТ на тему:

" Декартова система координат на площині" .

Зафіксуємо в просторі точку і розглянемо довільну точку.

Радіус-вектором точки по відношенню до точки називається вектор Якщо в просторі, крім точки вибраний деякий базис, то точці можна співставити впорядковану трійку чисел — координати його радіус-вектора.

Означення. Декартовою системою координат в просторі називається сукупність точки і базису.

Точка носить назву початку координатпрямі, що проходять через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями координат. Перша — віссю абсцис, друга — віссю ординат, третя — віссю аплікат. Площини, що проходять через осі координат, називаються координатними площинами.

Означення. Координати радіус-вектора точки по відношенню до початку координат називаються координатами точки в розглядуваній системі координат .

Перша координата називається абсцисою, друга — ординатою, третя — аплікатою.

Детальніше про метод координат можна ознайомитися в п. 3.1.

Означення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори одиничні (довжина кожного дорівнює одиниці) і попарно перпендикулярні. Декартова система координат, базис в якої ортонормований, називається прямокутною декартовою системою координат (ПДСК). В цьому випадку, як правило, вектори базису позначають.

Розглянемо тепер проекцію вектора на координатні осі системи координат (рис.1).

На рис. 1 вектор замикає ламану, тобто.

.

Це означає, що будь-який вектор можна розкласти на суму трьох доданків, що лежать на осях координат. Ці три доданки є проекціями вектора на координатні осі.

Вектори називаються компонентами.

(координатами) даного вектора відносно системи координат.

.

Введемо в розгляд одиничні вектори осей координат. Нехай проекції вектора на координатні осі дорівнюють відповідно. Тоді .

Тому.

(2.1).

Рис. 1.

Якщо в системі координат задано вектор своїм початком і кінцем, то (рис.3).

(2.2).

Рис. 3.

Цей факт доводиться досить легко.

НехайТоді з знаходимо.

що випливає безпосередньо з.

правила віднімання векторів.

Розглянемо дві декартові системи координат: стару і нову Нехай довільна точка, координати якої в цих системах координат позначимо відповідно і Поставимо перед собою задачу виразити через.

вважаючи відомими положення нової системи координат.

відносно старої, тобто вважаючи відомими старі координати нового початку координат і координати нових базисних векторів в старому базисі, що складають матрицю переходу від базису.

до базису.

.

В матриці переходу стовпці - це координати нових базисних векторів.

за старим базисом .

Радіус-вектори точки відносно точок і зв’язані рівністю.

оскільки координати в базисі. Розкладемо кожен член даної рівності за базисом, маючи на увазі, що компоненти і дорівнюють координатам точок і які ми позначили відповідно через і Запишемо рівність в координатній формі.

Рівності представляють закон перетворення координат точки при переході від однієї декартової системи координат до іншої.

Формули переходу від однієї декартової системи координат на площині до іншої можуть бути одержані із.

Розглянемо частинний випадок, коли обидві системи координат — декартові прямокутні (базиси — і Позначимо через кут між векторами і який відраховується в напрямку найкоротшого повороту від до Тоді (рис.4).

Рис.4а Рис.4б.

В розкладі ставиться знак плюс (рис. 4 а), якщо найкоротший поворот від до направлений так само, як найкоротший поворот від до тобто якщо новий базис повернутий відносно старого на кут Знак мінус в розкладі ставиться в протилежному випадку, коли новий базис не може бути одержаний поворотом старого (рис. 4 б). Оскільки.

одержимо.

(2.8).

причому при повороті системи координат береться верхній знак.

Використана література:

1. 1.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука. 1980. — 336 с.

2. 2.Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М.: Наука. 1980. 176 с.

3. 3.Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. -К.: Вища школа., 1993.

4. 4.Рудницький В. Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої математики. — Хмельницький, 1999. — ч.1. — 437 с.