Комплексні числа

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Комплексні числа (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Комплексные числа

Реферат по математиці учениці 8 г класу Ваулиной Світлани.

Муниципальное освітнє учреждение-гимназия 47.

г. Екатеринбург 2000 р.

Введение

Решение багатьох завдань фізики та техніки призводить до квадратним рівнянням з негативним дискриминантом. Ці рівняння немає рішення на області дійсних чисел. Однак рішення багатьох завдань має цілком визначена фізична сенс. Значення величин, які утворюються внаслідок рішення зазначених рівнянь, назвали комплексними числами. Комплексні числа широко використовував батько російської авіації М. Є. Жуковський (1847 — 1921) розробки теорії крила, автором якої є. Комплексні числа і функції від комплексного змінного знаходять застосування в багатьох питань науку й техники.

Цель справжнього реферату ознайомлення з історією появи комплексних чисел, з його діями з комплексними числами, рішення рівнянь з комплексним змінним.

Понятие про комплексних числах

Для рішення алгебраїчних рівнянь недостатньо дійсних чисел. Тож природно прагнення зробити ці рівняння розв’язуються, що у своє чергу призводить до розширенню поняття числа. Наприклад, щоб будь-яке рівняння х+а = в мало коріння, позитивних чисел недостатньо, і тому виникає потреба запровадити негативні числа і нуль.

Древнегреческие математики вважали, що, а = з Україною і = лише натуральні числа, але у практичних розрахунки дві тисячі до нашої ери у Давньому Єгипті та Давньому Вавилоні вже застосовувалися дробу. Наступним важливим етапом у розвитку поняття про кількість було введення негативних чисел — це було зроблено китайськими математиками за 2 століття до нашої ери. Негативні числа застосовував в 3 столітті нашої ери давньогрецький математик Диофант, знав вже правила дій над ними, а 7 столітті нашої ери ці числа детально проанатомували індійські вчені, які порівнювали такі числа з боргом. З допомогою негативних чисел можна було єдиним чином описувати зміна величин. Вже 8 столітті нашої ери було встановлено, що квадратний корінь з позитивного числа має дві значення — позитивне і негативне, та якщо з негативних чисел квадратні коріння витягти не можна: немає такої числа x, щоб х2 = -9. У 16 столітті у зв’язку вивчення кубічних рівнянь виявилося необхідним видобувати квадратні коріння із негативних чисел. У формулі на вирішення кубічних рівнянь містяться кубічні і квадратні коріння. Ця формула безвідмовно чи діє у разі, коли рівняння має один дійсний корінь (наприклад, для рівняння х3+3х-4=0), і якщо вона мала 3 дійсних кореня (наприклад, х3−7х+6=0), то під знаком квадратного кореня чинився негативне число. Виходило, шлях до цих 3 коріння рівняння веде через неможливу операцію вилучення квадратного кореня з негативного числа.

Чтобы пояснити що вийшов парадокс, італійський алгебраїст Дж. Кардано в 1545 запропонував запровадити числа нової природи. Він довів, що систему рівнянь х+у = 10, ху = 40 яка має рішень на безлічі дійсних чисел, має рішення завжди x = 5 , у = 5 , потрібно лише умовитися діяти над такими висловлюваннями з правилам звичайній алгебри і слід вважати, що = -а. Кардано називав такі величини «суто негативними» і навіть «софистически негативними», вважаючи їх марними і прагнув не застосовувати їх. У насправді, з допомогою таких чисел не можна висловити ні результат виміру який-небудь величини, ні зміна цієї величини. Але вже у 1572 р. вийшла книжка італійського алгебраиста Р. Бомбелли, у якому встановлено перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до вилучення їх кубічних коренів. Назва «удавані числа» увів у 1637 г. французький математик і філософ Р. Декарт, а 1777 г. одна з найбільших математиків VIII століття Х. Эйлер запропонував використовувати першу букву французького числа і = (мнимої одиниці), цей символ ввійшов у загальний ужиток завдяки До. Гауссу (1831г).

В течениe 17 століття тривало обговорення арифметичній природи уявностей, можливості дати їм геометричне тлумачення. Поступово розвивалася техніка операцій над комплексними числами. На межі 17−18 століть було побудовано загальна теорія коренів енну кількість ступеня спочатку із негативних, а згодом і з будь-яких комплексних чисел.

В кінці 18 століття французький математик Ж. Лагранж зміг сказати, що математичний аналіз не ускладнюють удавані величини. З допомогою комплексних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференційних рівнянь з їх постійним коефіцієнтом. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, теоретично коливань матеріальної точки в опірної середовищі.

Я. Бернуллі застосував комплексні числа для обчислення з дитинства інтегралів. Хоча у перебігу 18 століття з допомогою комплексних чисел було вирішено багато запитань, зокрема і прикладні завдання, пов’язані з картографією, гидродинамикой тощо. буд., але ще був суворо логічного обгрунтування теорії цих чисел. Тому французький вчений П. Лаплас вважав, що результати, одержувані з допомогою мнимих чисел, — лише наведення, які отримують характер справжніх істин лише після підтвердження прямими доказами. Наприкінці 18- початку 19 століть отримали геометричне тлумачення комплексних чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган і німець До. Гаусс незалежно друг від друга запропонували зображати комплексне число z=a+bi точкою М (а, b) на координатної площині. Пізніше виявилося, що ще зручніше зображати число не самої точкою М, а вектором ОМ, що йде у цю точку з початку координат. За такої тлумаченні додаванню і віднімання комплексних чисел відповідають ці самі операції над векторами.

Геометрические тлумачення комплексних чисел дозволили визначити багато поняття, пов’язані з функціями комплексного змінного, розширило область їх застосування. Стало ясно, що комплексні числа корисні у багатьох питань, де починають працювати з величинами, які зображуються векторами на площині: щодо течії рідини, завдань теорії пружності, в теоретичної електротехніці.

Большой внесок у розвиток теорії функцій комплексного змінного внесли росіяни й радянські вчені: Р. И. Мусхелишвили займався її додатками до теорії пружності, М. В. Келдиш і М.А. Лаврентьєв — до аеродинаміці і гідродинаміці, М. М. Боголюбов і В. С. Владимиров — до проблем квантової теорії поля.

Действия з комплексними числами

Рассмотрим рішення квадратного рівняння х2 +1 = 0. Звідси х2 = -1. Кількість x, квадрат якого дорівнює -1, називається мнимої одиницею і позначається і. Отже, i2 = -1, звідки і =. Рішення квадратного рівняння, наприклад, х2 — 8х + 25 = 0, можна записати так: x = 4 = 4 = 4 = 4 3 = 4 3i.

Числа виду 4+3i і 4−3i називають комплексними числами. Загалом вигляді комплексне число записується, а + bi, де a і bсправжні числа, а і - мнима одиниця. Кількість, а називається дійсною частиною комплексного числа, bi-мнимой частиною отого числа, bкоефіцієнтом мнимої частини комплексного числа.

Сложение комплексних чисел. Сумою двох комплексних чисел z1 = a + bi і z2 = з + di називається комплексне число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi і a-bi називаються сполученими. Їх сума дорівнює дійсному числу 2а, (а+bi) + (а-bi) = 2а. Числа а+bi іa-bi називаються протилежними. Їх сума дорівнює нулю. Комлексные числа рівні, якщо рівні їх справжні частини й коефіцієнти мнимих частин: а+bi = c+di, якщо a = з, b = d. Комплексне число одно нулю тоді, що його справжня частина, й коефіцієнт мнимої частини рівні нулю, тобто. z = a + bi = 0, якщо a = 0, b = 0. Справжні числа є приватним випадком комплексних чисел. Якщо b = 0, то a + bi = a — дійсне число. Якщо, а = 0, b 0, то a + bi = bi — суто нещире число. Для комплексних чисел справедливі переместительный і сочетательный закони складання. Їх справедливість випливає з те, що складання комплексних чисел сутнісно зводиться до додаванню дійсних частин 17-ї та коефіцієнтів мнимих частин, що є дійсними числами, котрим справедливі зазначені закони.

Вычитание комплексних чисел окреслюється дію, зворотне додаванню: різницею двох комплексних чисел a + bi і з + di називається комплексне число x + уi, що у сумі з вычитаемым дає зменшуване. Звідси, з визначення складання і рівності комплексних чисел одержимо два рівняння, у тому числі знайдемо, що x = з, у = b-d. Отже, (а+bi) — (c+di) = (a-c) + (b-d)i.

Произведение комплексних чисел z 1= a + bi і z2 = з + di називається комплексне число z = (ac-bd) + (ad + bc) i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc) i. Легко перевірити, що множення комплексних чиcел можна виконувати як множення багаточленів заміняючи i2 на -1. Для множення комплексних чисел також справедливі переместительный і сочетательный закони, і навіть розподільний закон множення стосовно додаванню.

Из визначення множення одержимо, що твір пов’язаних комплексних чисел одно дійсному числу: (a + bi)(a — bi) = a2 + b2.

Деление комплексних чисел, крім розподілу на нуль, окреслюється дію, зворотне множенню. Конкретне правило розподілу одержимо, записавши приватне як дробу і помноживши чисельник і знаменник цієї дробу на число, пов’язана зі знаменником: (a + bi):(c + di) = = = + і.