Послідовності та їхні границі (реферат)

Реферат на тему:

Послідовності та їхні границі.

Означення. Послідовністю називається множина чисел {xn} =.

= x1, x2,…, xn,…, яка підпорядковується певному закону.

Числова послідовість може бути як скінченною, так і нескінченною.

Приклади послідовностей.

1. {xn} = 0, 1, 4, 9, 16, …

Тут загальний член послідовності {xn} заданий формулою xn = n2.

2. $$\left\{x_n\right\}=\left\{\text{10}+\frac{1}{n}\right\}=\text{10}\frac{1}{2}-\text{10}\frac{1}{3}-\text{10}\frac{1}{4}-\text{.}\text{.}\text{.}$$.

1. 3.xn — n-е за порядком просте число, тобто.

x1=1- x2=2- x3=3- x4=5- x5=7- x6=11-…

Означення. Число A називається границею послідовності {xn}, якщо для довільного числа -0 знайдеться такий номер N, починаючи з якого всі члени послідовності потрапляють у кіл числа A .

Використовується запис $$A=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{x}_n$$ .

За допомогою кванторів існує") та для всіх") останнє означення можна записати так:

$$A=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{x}_n$$ (>0)(n>Nxn| <

Приклад. Розглянемо послідовність $$\left\{x_n\right\}=\left\{\text{10}+\frac{1}{n}\right\}$$. Її границею є число 10. Зокрема, для 1 номер N дорівнюватиме 10, оскільки.

|A-x11|=|10−10−1/11|<0,1= |A-x12|=|10−10−1/12|<0,1=. .

Для 02 таким номером буде N=50 і так далі.

Послідовність xn=n2 границі не має. Не має границі також послідовність 1,1- 2,1- 1,01−2,01−1,001-…

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, границею якої є число нуль, називається нескінченнно малою.

Приклад. Нехай $$x_n=\frac{3}{n^2}$$. Очевидно, що $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{x}_n=0$$ ., тобто xn — нескінченно мала послідовність.

Наведена нижче теорема описує властивості границь послідовностей.

Теорема. Якщо послідовності {xn} та {yn} збіжні, і $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{x}_n=\text{A},\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}{y}_n=B\\ \end{array}$$, то послідовності {xn ± yn}, {xn } також є збіжними, причому.

$$\begin{array}{c}\pm y_n)=\text{A}\pm B\\ \begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}(x_n\\ \end{array}$$, $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}(x_n{y}_n)=\text{A}B\\ \end{array}$$ .

Якщо Bто послідовність $$\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}$$ є збіжною, і $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}\\ \end{array}$$ .

Приклади.

1. 1.Знайти $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(\text{10}+\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{3}{n^2}\right)$$ .

Це послідовність вигляду {xn. Згідно з теоремою.

$$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(\text{10}+\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{3}{n^2}\right)=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(\text{10}+\frac{1}{n}\right)\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(2-\frac{3}{n^2}\right)=\text{10}2=\text{20}$$ .

1. 2.Знайти $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n+5}{4n}$$ .

Маємо послідовність вигляду $$\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}=\left\{\frac{n+5}{4n}\right\}$$, у якій як послідовність {xn}={n+5}, так і послідовність {yn}={4n} не є збіжними. Для того, щоб застосувати попередню теорему, потрібно спершу виконати штучний прийом: поділити як чисельник, так і знаменник на n .

$$\frac{n+5}{4n}=\frac{1+\frac{5}{n}}{4}$$ .

Тепер $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n+5}{4n}=\frac{\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\left(1+\frac{5}{n}\right)}{\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}4}=\frac{1+0}{4}=\frac{1}{4}$$ .

1. 3.Знайти $$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n^2+3n-5}{2n^2-n}$$.

$$\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{n^2+3n-5}{2n^2-n}=\begin{array}{c}\\ l\text{im}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{1+\frac{3}{n}-\frac{5}{n^2}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1+0+0}{2-0}=\frac{1}{2}$$ .

Розглянемо дві числові послідовності спеціального вигляду.

Приклад. Задано арифметичну прогресію:

{an} = a1, a1+d, a2+d, a1+3d,…

Величина d називається різницею прогресії. Загальний член an арифметичної прогресії обчислюють за формулою an=a1+(n-1)d. Сума перших членів прогресії $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n$$ .

Наприклад, для прогресії {xn} =2- 12- 32- 42-.. .

an = 2+10(n-1) = 10n-8.

$$S_n=\frac{22+\text{10}(n-1)}{2}n=5n^2-3n$$.

Очевидно, що будь-яка арифметична прогресія є розбіжною послідовністю.

Приклад. Задано геометричну прогресію.

b1- b1qb1q2- b1q3-.. .

Величина q називається знаменником геометричної прогресії. Загальний член прогресії має вигляд bn=b1qn-1. Сума перших членів прогресії $$S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}$$. (3.1).

Наприклад, для прогресії 1- ½- ¼- 1/8-…-1/16-... загальний член bn=12)n-1, а сума n перших членів — $$S_n=1\frac{1-{\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)}^n}{1-\left(\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\right)}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$, зокрема, S2=3/2.

При |q| < 1 послідовність b1- b1qb1q2- b1q3- … є нескінченно малою. Така послідовність називається нескінченою геометричною прогресією.

Сума всіх членів нескінченної (нескінченно спадної) геометричної прогресії.

$$S=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{S}_n=\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{b}_1\frac{1-q^n}{1-q}=b_1\frac{1-\begin{array}{c}\\ \text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{q}^n}{1-q}=b_1\frac{1}{1-q}$$ (3.2).

Приклад. Сума всіх членів прогресії 1- ½- ¼- 1/8-.. .

$$S=1\frac{1}{1-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=2$$ .

Приклад. Сума всіх членів прогресії 1- -½- ¼- -1/8-.. .

$$S=1\frac{1}{1+\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\frac{2}{3}$$ (тут q = - ½).