Математика 1 частина

ТЕМА 1. Скалярні і векторні величины.

|ОСНОВНЫЕ |Величини називають скалярными (скалярами), якщо вони після | |ВИЗНАЧЕННЯ |вибору одиниць виміру повністю характеризуються одним | |СКАЛЯРНИХ І |числом. | |ВЕКТОРНИХ |Якщо деяка скалярная величина повністю визначається | |ВЕЛИЧИН. |одним числом, які залежать від вибору осей відліку, тоді| | |чисту скалярной величині чи про істинного | | |скаляре. | | |Якщо деяка скалярная величина визначається одним | | |числом, абсолютна величина якого залежить від вибору | | |осей відліку, та її знак залежить від вибору позитивного | |ВЕКТОР |напрями на вісях координат, тоді говорять про | | |псевдоскалярной величині | | | | | |Розмір називається вектором (векторної), якщо вона | | |визначається двома елементами різної природи: | | |алгебраїчним елементом — числом, показывающим довжину | | |вектора та є скаляром, і геометричних елементом,| | |що вказує напрям вектора. | | |Геометрично прийнято зображати вектор спрямованим | |СКЛАДАННЯ І |відрізком. Знаючи координати початку й кінця вектора [pic] і | |ВІДНІМАННЯ |[pic], можна знайти координати вектора, що визначається цими | |ВЕКТОРІВ |точками [pic], тобто. від координат кінця віднімають координати | | |початку вектора. | | |Складання і віднімання | | |[pic] Складання і віднімання векторів виробляють | | |геометрично (рис. 7). Такий спосіб називають правилом | | |трикутника. | | |Математично складання записують [pic] чи [pic], якщо | | |йдеться про вирахуванні векторів (рис. 7). | | |Якщо просторі поставлено кілька векторів, число | | |яких набагато більше двох, то операцію складання (вирахування) | | |записують як [pic]Геометрически цей спосіб називають | | |правилом багатокутника. | | |Множення вектора на скалярную величину. При множенні | | |вектора [pic] на скаляр (отримують новий вектор [pic], | | |співпадаючий за своїм типом з вихідним, довжина (модуль) | | |якого змінюється в (раз, а напрям збігаються з | | |напрямом вихідного вектора [pic], якщо ((0, чи | | |протилежно вихідному вектору, якщо (< 0. У | | |координатної формі, якщо [pic], то [pic]. | | |[pic]Два однаково спрямованих і паралельних вектора | | |називають коллинеарными. Коллинеарные вектори може бути | | |різною довжини | | |Два вектора [pic]и [pic]называют коллинеарными, якщо | | |є такі два числа (і (, нерівні нулю | | |одночасно, що виконується рівність | | |Три вектора [pic],[pic]и [pic]назовем компланарными, якщо | |КОЛЛИНЕАРНЫЕ І |є такі три числа (, (і (, нерівні | |КОМПЛАНАРНЫЕ |одночасно нулю, що виконується рівність [pic] | |ВЕКТОРИ | | | | |.

ТЕМА 2. Дії над векторами.

|СКАЛЯРНОЕ |Скалярним твором двох векторів [pic]и[pic]называется | |ТВІР |число P. S =|[pic]| |[pic]| сos ([pic]). Ця операція позначається| |ВЕКТОРІВ |[pic]. В частковості, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його| | |довжини, тобто. [pic]. Якщо хтось із перемножаемых векторів | | |одиничний, то: | | |[pic]. | | |І тут результат є проекцію вектора | | |[pic] на напрям одиничного вектора [pic]. Отже, | | |будь-який вектор можна подати як [pic], де [pic] - проекції | | |вектора [pic] відповідно на осі 0х, 0у і 0z. | | |Якщо скалярне твір двох векторів одно нулю, то ці | | |вектори ортогональны. Справді, якщо жодного з векторів | | |не нульової, то визначенню скалярного твори, | | |воно може бути одно нулю тільки тоді ми, коли [pic], тобто.| | |[pic]. | | |[pic]Если вектор представлений через проекції на базисні | | |вектори, то говорять про розкладанні вектора [pic] по | | |ортогональному базису. З малюнка видно, у цьому разі | | |вектор [pic] є головним діагоналлю прямокутного | |РОЗКЛАДАННЯ |паралелепіпеда, ребра якого рівнобіжні осях координат і | |ВЕКТОРА ПО |рівні длинам проекцій вектора [pic] для цієї осі. На цьому ж | |КООРДИНАТНЫМ |малюнка слід, що модуль вектора [pic] чисельно дорівнюватиме | |ОРТАМ. |[pic]. | | |З визначення скалярного твори слід, що кожен | | |вектор, незалежно від типу, можна як: | | |[pic], | | |де [pic], [pic] і [pic]есть скалярне твір вектора | | |[pic] з ортами осей координат. Тоді з останнього рівності | | |маємо | | |[pic] | | |де (, (і (- кути, які становить вектор | | |[pic]соответственно з осями 0х, 0у і 0z. | | | | | |Якщо скалярне твір двох векторів одно нулю, то ці | | |вектори ортогональны. Справді, якщо жодного з векторів | | |не нульової, то визначенню скалярного твори, | | |воно може бути одно нулю тільки тоді ми, коли [pic], тобто.| | |[pic]. | | |Скалярне твір векторів в координатної формі | | |[pic] | | |[pic]. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |ВЛАСТИВОСТІ | | |СКАЛЯРНОГО | | |ПРОИЗВЕДЕНИЯ. | | |СКАЛЯРНЕ | | |ТВІР У | | |КООРДИНАТНОЇ | | |ФОРМЕ | |.

ТЕМА 3. Векторное твір векторів. Змішане твір трьох векторів. |ПРАВИЙ І ЛІВИЙ ДЕ |Лінійно незалежні вектори [pic], [pic] і [pic]образуют | |ТРІЙКИ ВЕКТОРІВ |праву трійку векторів, якщо вони теж мають ті ж самі орієнтацію,| | |як відповідно великий, вказівний і середній палець | | |правої руки, інакше говорять про лівої трійці | | |векторів | | |Три одиничних вектора і, j, k, попарно ортогональные друг| | |одної Ельза й що утворюють праву трійку векторів, називають | | |прямокутної декартовой системою координат. | | |Кутом між векторами [pic]и [pic]называют такий кут (, не| | |переважаючий (, який потрібно повернути вектор [pic], | | |щоб поєднати його з напрямком вектора [pic], початок | | |якого має збігатися з початком [pic]. Угол між | | |векторами позначається ([pic],[pic]) чи ([pic]([pic]). | |ВЕКТОРНОЕ | | |ТВІР | | |ВЕКТОРІВ. |[pic]Под векторным твором векторів [pic]и | | |[pic]понимают вектор [pic], має довжину, і спрямований | | |перпендикулярно до площині [pic], определяемой векторами | | |[pic]и [pic], причому отже вектори [pic],[pic]и[pic] | | |утворюють праву трійку векторів (довжина вектора [pic] | | |чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на | | |вектори [pic] і [pic]как на сторони (це геометричний | | |сенс векторного твори). | | |Векторное твір позначають: [pic]или [pic]. | | |Вочевидь, що [pic] (з визначення векторного | | |твори). [pic]. Векторное твір підпорядковується | | |лише розподільному закону: | | |[pic]. | | | | | |. Змішаним твором векторів [pic], [pic]и | | |[pic]назовем число До, однакову обсягу паралелепіпеда, | | |побудованого цих вектори (рис. 10) і вычисляемое як: | | |[pic] | |ЗМІШАНЕ |Вочевидь, що й [pic], [pic]и [pic] компланарны, то До = | |ТВІР |[pic]=0. | |ТРЬОХ ВЕКТОРІВ |З визначення змішаного твори слід цікавий | | |факт, що твір залежить від порядку прямування | | |векторів в змішаному творі, оскільки обсяг | | |паралелепіпеда (позитивний чи негативний) залежить | | |тільки від розташування цих векторів у просторі (ліва | | |чи права трійка) оскільки є псевдоскаляром. | | |Отже, можна записати | | |[pic] чи [pic]. | | |Це властивість змішаного твори служить обгрунтуванням | | |спрощення записи змішаного твори: | | |[pic]. |.

ТЕМА 4. Пряма лінія на плоскости.

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|На площині, зауважимо, може бути задано лише двухмерные,| |НА ПЛОЩИНІ |чи плоскі перетворення. | | |Рівняння [pic], що пов’язує дві перемінні x і y | | |називається рівнянням лінії L у вибраній пласкою системі | | |координат, якщо координати будь-який точки лінії L | | |задовольняють рівнянню, а будь-які інші координати точок, | | |котрі належать до лини L, не задовольняють зазначеному | | |рівнянню. | | |За визначенням лінія — це є співвідношення, що пов’язує | | |координати точок деякою області простору, і то | | |лише координати. Рівняння є | | |аналітичну запис рівняння будь-який пласкою лінії. | | | | | |[pic]. | |РІВНЯННЯ ПРЯМОЙ|Если замість [pic]подставить його чисельна значення, від | |З ЗАДАНОЇ |одержимо відоме рівняння прямий | |ТОЧКОЮ І |[pic]. | |КОТРІ СПРЯМОВУЮТЬ |Відомо, що рівняння прямий має вигляд: | |ВЕКТОРОМ |[pic]. | | |За умовою завдання k заданий. Крапка M (x0, y0) повинна також | | |належати шуканої прямий і за визначенням лінії, | | |звертати рівняння прямий в тотожність. Скористаємося цим правилом і| | |підставимо значення x0 і y0 в рівняння, одержимо: | | |[pic]. | | |У цьому рівнянні невідомо b. Елементарним | | |перетворенням з останнього рівняння одержимо | | |[pic]. | | |Знайдене b підставимо в рівняння й остаточно | |РІВНЯННЯ ПРЯМОЙ|[pic]. | |ПО ДВОМ ТОЧКАМ |Рівняння є рівнянням прямий, що проходить через | | |цю крапку у заданому напрямі. | | | | | |Невідомий k — кутовий коефіцієнт нахилу лінії по | | |відношення до позитивному напрямку 0X. Проте, знаючи | | |загальний вигляд рівняння прямий ([pic]) та враховуючи, що обидві | | |точки розташовані на півметровій шуканої лінії, можна скласти | | |таку систему: | | |[pic], | | |де [pic] - координати точок M1 і M2 відповідно, | | |(відомі), а k і b — шукані невідомі. Віднімаючи з | | |першого рівняння друге, висловимо k, | | |[pic]. | | |Підставимо знайдене k у будь-яку довільну з рівнянь і визначимо b | | |[pic]. | | |Підставимо знайдені k і b в рівняння прямий | | |[pic]. | | |Перетворимо останнє рівняння | | |[pic] | | |й остаточно | | |[pic]. | | |Дане рівняння називається рівнянням прямий, що проходить | | |за два точки. |.

ТЕМА 5. Пряма і площину у просторі. |РІВНЯННЯ | Будь-яка | |ПЛОЩИНІ. |поверхню є геометричне місце точок, її | | |складових, певне рівнянням | | |[pic] | | |Інакше кажучи, всі крапки, які | | |задовольняють цьому рівнянню, будуть | | |належати поверхні. | | |нехай у просторі XYZ задана | | |площину (і до неї у точці K проведемо | | |вектор нормальний [pic]. Оскільки площину (| | |орієнтована довільно у просторі, | | |то вектор [pic] становитиме з осями x, y, z кути (, | | |(і (відповідно. | | |Виберемо на площині (точку M, не збігається з K і | | |зв'яжемо з цим точкою вектор [pic]. Вочевидь, що [pic], де| | |(- модуль вектора [pic], з рівняння отримуємо [pic]. | | |Отримуємо нормальне рівняння площині: [pic]. | | |Проте, якщо уявімо вектор [pic] як [pic], а вектор | | |[pic] [pic], тоді підставивши отримані висловлювання, отримуємо| | |[pic] | | |Знаючи, що з будь-який точки, що належить площині, з | | |координатами (A, B. C) можна визначити направляючі косинуси | | |[pic] | | |з урахуванням яких можна рівняння перетворити | | |[pic], | | | | | |відомим, як рівняння площині. | | | | | |Прямий лінією назвемо те що двох площин в | | |просторі. Визначення можна записати математично як | | |[pic]. | | |Нехай площині (і ((рис. 6) задано рівняннями: | | |[pic] | | |і | | |[pic], | | |де [pic]; [pic], [pic] | | |система з цих рівнянь: | | |[pic] Рівняння називаються загальними рівняннями прямий | | |в | | |просторі, записаними в векторної формі. | | | | |ПРЯМА ЯК | | |ТЕ ЩО ДВОХ| | |ПЛОСКОСТЕЙ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |ВЕКТОРНОЕ | | |РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ| | | | |.

ТЕМА 6Матрицы і визначники. |МАТРИЦІ І |Матрицею A називається будь-яка прямокутна таблиця, | |ОПЕРАЦІЇ НАД |що складалася з чисел [pic], котрі називають елементами | |НИМИ |матриці і позначається | | |[pic] Якщо вираженні (1) [pic], то говорять про | | |квадратної матриці, і якщо [pic], про прямокутної. | | |Сумою двох матриць [pic] і [pic] називається матриця З, у | | |якої [pic], і записують [pic]. | | |Твором матриці [pic]на число [pic] називається така | | | | | |матриця З = (cij), що має (cij) = (kaij). | | |Якщо матриця A не нульова, тобто. існує хоча б тільки | | |[pic] елемент матриці A, відмінний від нуля, тоді завжди | | |можна вказати натуральне число [pic] таке, що 1) у | | |матриці A є мінор [pic]го порядку [pic]; 2) всякий | | |мінор матриці A порядку [pic] і від нульовий, тоді | | |число [pic], що має зазначеними властивостями називається | | |рангом матриці A і позначається [pic]. З визначення | | |випливає, що 1) ранг будь-який прямокутної матриці ні| | |перевищувати, ніж мінімальний розмір матриці. Якщо матриця | | |квадратна, то ранг може бути більше, ніж розмір | | |матриці. Математично це можна зробити висловити так [pic] 2) якщо| | |все елементи матриці A рівні нулю, т. е. [pic], то ранг | | |цієї матриці теж нульовий [pic]. | | | | | |Визначником n-го порядку називається число [pic] однакову | | |алгебраїчній сумі [pic], де [pic] є алгебраїчні | | |доповнення елемента [pic], а [pic]- є відповідні | |ВИЗНАЧНИКИ ЇХ |мінори, тобто. визначники (n-1)-го порядку, отримувані з| |ВЛАСТИВОСТІ |вихідного означника викреслюванням першого рядка чудово і n-го | | |шпальти, перетнутися яких міститься елемент [pic]. | | |Кількість рядків (чи шпальт) в определителе називається | | |порядком означника | | |Рішенням системи називається сукупність з n чисел (с1, | | |с2, …, сn), які, будучи подставленными до системи на | | |місце невідомих x1, x2, …, xn, звертають все рівняння | | |системи в істинні рівності | | |Систему рівнянь, має хоча одне рішення, називають | |СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ|совместной, систему, яка має рішень, — несовместной. | |РІВНЯНЬ. |Рішення [pic] і [pic] вважають різними, якщо хоча одне| | |з чисел [pic] не збігаються з відповідним числом [pic] | | |Якщо спільна система має єдине рішення, вона | | |називається определнной; якщо спільна система має по | | |крайнього заходу два різних рішення, вона називається | | |невизначеною. | | |Формули Крамера [pic]. | | |Метод Гаусса. | | |Нехай, А — невырожденная матриця, тобто det A? 0, і, | | |отже, вона не має зворотний матрицю А-1. Помноживши обидві | | |частини на А-1 зліва, отримуємо: | | |А-1 (А Х) = А-1 У? (А-1 А) Х = А-1 У? Є Х = А-1 У, то | | |є Х = А-1 У це і є дані рішення системи (14). | | |Справді, підставивши (16) в (14), одержимо, А (А-1 У) = | | |(А-1 А) В = Є У = У. |.

ТЕМА 7. Межа функції. |ПОНЯТТЯ ФУНКЦИИ.|Если деякому безлічі значень [pic] поставлено по | | |певному правилу F у взаимнооднозначное відповідність | | |деяке безліч [pic], тоді кажуть, що у | | |безлічі [pic]определена функція [pic]. Безліч | | |[pic]называется областю зміни функції, безліч | | |[pic]- областю визначення функції. Така функція | | |називається однозначної. | | |Якщо деякому безлічі значень [pic] поставлено по | | |певному правилу F кілька значень з багатьох | | |[pic], тоді кажуть, що у безлічі [pic]задана | | |багатозначна функція. | | |Щоб позначити, що [pic]есть функція от[pic], | | |використовують такі види записи: [pic]; [pic]; [pic] і | | |т.д. | | |Якщо неможливо висловити [pic], тоді кажуть, що задана | | |неявна функція і записують: [pic]; [pic]; [pic] і | | |т.д. | | |якщо треба виділити деяке приватне значення функції, | |ЧИСЛОВА |відповідне якомусь конкретному значенням [pic], | |ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда записують: [pic]. | |ТЬ. МЕЖА |Якщо кожному натуральному n по якомусь відомому | |ЧИСЛОВОЇ |правилу поставлено відповідність певна кількість [pic], | |ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОС|тогда кажуть, що задана послідовність [pic], яка| |ТІ. |позначається як [pic] Правило, яким формується | | |послідовність [pic], позначається як [pic] і | | |називається загальною кількістю послідовності. Кількість [pic] | | |назвемо межею последовательности[pic] при | | |[pic]стремящимся до [pic], для будь-якого позитивного, | | |наперед заданого числа (, визначального околиця точки | | |A, можна вказати таку (, що з будь-якого [pic], чудового | | |от[pic] з відрізка [pic] значень функції [pic] належить| | |[pic] і це записують як [pic]. | | |Последовательность[pic]называется нескінченно великий, якщо | | |нічого для будь-якого числа [pic] знайдеться номер N, такий що з всіх| | |[pic] виконується нерівність [pic]. Геометрично це | | |позначає, що якою великою номер числа | | |послідовності ми взяли, то завжди знайдеться число, | | |те що цієї послідовності, пояснення, що правіше | | |обраного, якщо послідовність складена з | | |позитивних чисел, чи лівіше, якщо послідовність | | |складена із негативних. Це записують [pic], чи | | |[pic]. | | |Послідовність [pic]называется нескінченно малої, якщо | | |[pic] | | |ТЕОРЕМА: Щоб последовательность[pic]сходилась до | | |числу A необхідне й досить, щоб выполнилось | | |рівність [pic], де [pic]. | |МЕЖА ФУНКЦІЇ |Ця теорема дає зв’язок між межею сходящейся | | |послідовності і малими. | | |Функції [pic]называется безупинної при [pic]или у точці | | |[pic], якщо виконується [pic]. А оскільки функція у своїй | | |повинна бути безперервною у точці [pic], те має бути | | |справедливо [pic]. | | |Функція [pic] називається безупинної у точці [pic], якщо | | |всім позитивних, як завгодно малих (можна вказати | | |таке позитивне число [pic], котрій виконується | | |нерівність [pic] всім [pic] з відрізка [pic]. |.

ТЕМА 8. Похідна. |ПОХІДНА, ЇЇ | | |ВЛАСТИВОСТІ І |Якщо ставлення [pic] має межа при | |ГЕОМЕТРИЧЕС-КИЙ |[pic] цю межу називають | |СЕНС. |похідною функції [pic] при заданому | | |значенні [pic]и записують | | |[pic]. | | |Похідна функції [pic] у точці [pic] чисельно дорівнює | | |тангенсу кута, що становить дотична до графіка | | |цієї функції побудованої на точці [pic] з позитивним | | |напрямком із віссю [pic] | | |З визначення ясно — у разі убутній функції | | |похідна негативною. Це тим, що [pic], | | |если[pic]будет негативним. У цьому властивості похідною | | |грунтується дослідження поведінки функції на зростання | | |(убування) на заданому відрізку. | | | | | |Похідна алгебраїчній суми дорівнює алгебраїчній сумі| | |похідних. [pic]. | | |Похідна твори дорівнює [pic]. | | |Якщо функція [pic] має у точці [pic] похідну [pic] і | |ДИФЕРЕНЦІАЛ. |функція [pic] має у точці [pic] похідну [pic], тоді | | |складна функція [pic] має у точці [pic] похідну, | | |рівну [pic] | | |Якщо [pic] має у точці [pic] похідну, відрізняється від | | |нуля, тоді цієї точці зворотна функція [pic] також має| | |похідну і має місце співвідношення [pic]. | | |Дифференцируя похідну першого порядку, можна отримати роботу | | |похідну другого порядку, а, дифференцируя отриману | | |функцію, отримуємо похідну третього порядку й т.д. | | |Приклад 1. [pic]; [pic]; [pic]; …; [pic]; [pic]. | | |Приклад 2. [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Оскільки | | |[pic], можна припустити, що в разі функцію | | |можна диференціювати нескінченну кількість разів. | | |Приклад 3. [pic]. [pic]. Як у другому прикладі, ця | | |функція дифференцируема нескінченну кількість разів. | |ПОХІДНА |Приклад 4. [pic]. [pic]; [pic]; [pic]; … | |ВИЩИХ ПОРЯДКІВ |[pic]; …Відповідно до наведених прикладів, різні | | |функції поводяться неоднаково при багаторазовому | | |дифференцировании. Одні мають кінцеве кількість | | |похідних вищих порядків, інші - переходять самі в | | |себе, а треті, хоч і дифференцируемы нескінченне | | |кількість раз, але породжують нові функції, які від | | |вихідної. Але всі сформульовані теореми про похідних| | |перших порядків виконуються для похідних вищих | | |порядків. |.

ТЕМА 9. Екстремум функції. |ЗРОСТАННЯ |Функція називається зростаючій на деякому проміжку | |(УБУВАННЯ) |[pic], якби цьому проміжку більшого значенням | |ФУНКЦІЙ |незалежної перемінної відповідає великої ваги | | |функції, тобто. якщо [pic] і [pic] [pic], то виконується | | |[pic]. | | |Функція називається убутній на деякому проміжку [pic],| | |якби цьому проміжку більшого значенням незалежної | | |перемінної відповідає менше значення функції, тобто. | | |якщо [pic] і [pic], [pic], то [pic]. | | |Якщо функція визначна і безупинна на деякому відрізку | | |[pic] і кінцях відрізка має знак, то, на зазначеному | | |відрізку цю функцію має по вкрай мері хоча б одну | | |точку, у якій [pic]. | | | | | |Функція [pic] сягає свого максимуму у точці [pic], | | |коли його значення на околиці цієї точки менше, ніж | |ЕКСТРЕМУМ |значення функції у цій самій точці [pic]. | |ФУНКЦІЇ |Функція [pic] сягає свого мінімуму у точці [pic], якщо| | |його значення на околиці цієї точки більше, ніж значення | | |функції у цій самій точці [pic]. | | |Правило пошуку екстремальних точок | | |1. Знаходимо область визначення функції [pic]. | | |2. Знаходимо похідну функції [pic]. | | |3. Визначаємо критичні точки [pic] з її першої | | |похідною. | | |4. Досліджуємо [pic] на знак зліва і від знайдених | | |точок. | | |5. Якщо зліва точки [pic], а справа [pic], тоді | | |кажуть, що вищу точку [pic] є точкою максимуму. | | |6. Якщо зліва точки [pic], а справа [pic], тоді | | |кажуть, що вищу точку [pic] є точкою мінімуму. | | |7. Якщо [pic] зліва і від критичної позначки не змінює| | |знак, то кажуть, що [pic] є точкою перегину | | |функції. | | |Якщо функціями [pic] і [pic] безупинні при [pic], де [pic]-| | |деяке позитивне число, не на нуля і | | |досить маленьке, і мають безперервні похідні в | | |зазначеної точці, і навіть [pic] не звертається до нуль при | | |вирахуванні зазначених умов, можна буде сформулювати | | |таку теорему. | |ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ|Теорема Коші. Якщо за дотриманні припущень | | |щодо функцій [pic] і [pic] ставлення [pic] | | |прагне деякому числу при [pic], тоді до такого | | |ж числу прагнутиме ставлення функцій [pic]. | | |Ця теорема дозволяє формулювати правило Лопиталя. При | | |розкритті невизначеності виду [pic] можна функцію | | |чисельника [pic] і знаменника [pic] замінити їх | | |похідними [pic] і [pic], відповідно, і | | |розглядати межа [pic] замість [pic] у зазначеній точці. |.

ТЕМА 10 | | |.

ТЕМА 11 | | |.

ТЕМА 12 | | |.

ТЕМА 13 | | |.

ТЕМА 14 | | |.

ТЕМА 15 | | |.

———————————;

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

M.

(.

K.

n.

(.

(.

(.

z.

y.

x.

x+(x.

x.

???x.

y.

C.

(.

B.

A.

(f.

(x.

[pic].

[pic].