Дифференциальные рівняння з розривної правої частью

Глава I.

§ 1. Актуальність темы.

§ 2. Огляд работ.

Глава II Визначення рішення диференціального рівняння з розривної правої частью.

§ 1. Обгрунтування необхідності узагальнення поняття решения.

§ 2. Визначення решения.

Глава III Дослідження стійкості для диференційних рівнянь з розривними правими частинами. 23.

§ 1. Визначення стійкості. Метод функцій Ляпунова. 23.

§ 2. Деякі дані теорії диференційних рівнянь з імпульсним воздействием.

§ 3. Зв’язок аналізованих теорий.

Заключение

.

34 Литература.

Глава I.

§ 1. Актуальність темы.

Актуальність цієї теми значною мірою обумовлена численними додатками теорії диференційних рівнянь з розривними правими частями.

Ряд процесів в механіці, електротехніці та інших областях характеризуються тим, що праві частини диференційних рівнянь, які описують їх динаміку, перетерплюють розриви залежно від того плинного стану процесу. Стандартний приклад такої динамічної системи — механічна система з сухим тертям, коли сила опору може приймати з двох дві протилежні за сигналом значень залежно від напрямку руху. Розглянемо неї подробнее.

Механічна система з сухим трением.

Як зазначено в [3] можна встановити залежність між роботою, витраченої подолання сил тертя і швидкістю руху. Ця залежність виходить цілком різної для випадку руху вантажу маси m в рідини і тертя про якусь тверду поверхню. У першому випадку (випадок «рідкого тертя») робота істотно залежить від швидкості і за зменшенні швидкості зменшується і то, можливо зроблено скільки завгодно малої. У другому разі (випадок «сухого тертя»), навпаки, робота мало залежить від швидкості, і як повільно ні рухали вантаж, необхідно затратити з його переміщення деяку кінцеву і геть певну роботу, тобто. сила тертя навіть за як завгодно малій швидкості має кінцеву величину. Крім цього, враховуючи, що сила тертя завжди спрямована убік, протилежну швидкості, і, отже під час переходу через нуль сила тертя змінює знак на зворотний, в разі «рідкого тертя» отримуємо, що сила тертя без стрибка проходить через нуль і змінює у своїй знак:

У разі «сухого тертя» при швидкості, наближається до нуля, сила непорозуміння з обох сторін прагне різним кінцевим меж (зокрема протилежним за сигналом, але однаковим по абсолютну величину), тобто. при нулі зазнає разрыв:

Т.а. математичні моделі механічних систем з кулоновым тертям, отримані у межах механіки систем абсолютно твердих тіл, представляють собою диференціальні рівняння, праві частини, яких є функціями, розривними щодо узагальнених швидкостей (сила тертя змінюється стрибкоподібно за зміни напрями движения).

Ситуація, така вищеописаної, особливо рясно виникає у системах автоматичного управління: прагнення підвищити швидкодія системи, мінімізувати енергетичні видатки управління, обмежити область можливих змін регульованих параметрів тощо. призводить до управляючим впливам як розривних функцій. Зокрема, такими системами автоматичного управління є системи з перемінної стуктурой і з легкими режимами.

Системи з перемінної структурою і з ковзним режимом.

Дослідження цих систем здебільшого складає основі розвиненого у роботі [3] методу фазового простору. Відповідно до цього методу, стан динамічної системи [pic]-го ладу у будь-який час повністю визначається значеннями [pic] координат. Значення цих координат задають деяку крапку у [pic]-мерном просторі, по осях якого відкладено координати системи. Т.а., кожному нового стану системи відповідають дедалі нових точок простору й зміни станів системи можна соподчинить рух деякою точки, що називається яка зображує точкою, а простір — фазовим простором. При русі системи її координати змінюються. І яка зображує точка описує деяку криву (яка має для даного руху залежність швидкості від координат), що називається фазової траєкторією. По виду цих траєкторій можна будувати висновки про властивості аналізованої динамічної системи, і більше, змінювати їх, деформуючи фазові траєкторії за відповідного виборі управляючих впливів. Рух яка зображує точки характеризується вектором фазової швидкості, направлений дотично до траєкторії в бік движения.

Визначення систем з перемінної структурою дано у роботі [13]. Під системами з перемінної структурою автори розуміють системи, у яких зв’язку між функціональними елементами змінюються тим чи іншим чином, на відміну від систем з фіксованою структурою, у яких сукупність функціональних елементів і характеру перетинів поміж ними залишаються неизменными.

Однією з режимів роботи таких систем є ковзний режим, характерне безкінечною частотою перемикання функцій управління. Ковзний режим виникає, тоді як околиці поверхні, де функція управління зазнає розриви, фазові траєкторії спрямовані назустріч друг другу.

Після влучення на поверхню розриву яка зображує точка неспроможна в протягом будь-якого навіть як завгодно малого, але кінцевого інтервалу часу іти у кожній із траєкторій, прилеглих до цієї поверхні (незалежно від зміщення завжди виникає рух, яке повертає яка зображує точку на поверхню разрыва).

У [7] розглядається ще випадок, коли рішення навпаки неспроможна відвідати відповідний ділянку поверхні розриву (за умов зростання времени):

Що Сковзають режими мають також низку привабливих властивостей з т.з. побудови систем автоматичного управління (часто що сковзають режими спеціально вводять у системи). Один із особливостей, що з незалежністю їхнього капіталу від характеристик керованого об'єкту і можливістю наділити їх бажаними властивостями, і зумовлює широке застосування що ковзають движений.

Т.а., існування теорії релейних систем, систем перемінної структури, реалізація законів оптимального управління, механіки, електротехніки призводять до необхідності вивчення загальної теорії диф. уравн. з розривними правими частинами, котрим у випадку неприйнятні методи класичної теорії диференційних уравнений.

§ 2. Огляд робіт з теорії диференційних рівнянь з розривними правими частями.

Різноманітним питанням цієї теорії присвячені окремі параграфи і глави в книгах [3,4,7,9], і навіть велика кількість журнальних статей.

Систематичне виклад цієї теорії є у статтях А.Ф. Філіппова. У [16] Філіппов розглянув диф. уравн. з однозначними розривними правими частинами, впровадив поняття рішення довів основні теореми якісної теории.

Різні напрями дослідження релейних диф. уравн. [pic], тобто. таких рівнянь, які мають права частина перестав бути ненпрерывной по x функцій розглянуті у статті [5].

Теорія систем автоматичного управління, описуваних диференціальними рівняннями з розривними правими частинами розглядається у книжках [13, 14, 15]. Діяльність С.В. Ємельянова [13] викладається одне із розділів теорії автоматичесеого управління — теорія систем з перемінної структурою, які належать до класу нелінійних систем автоматичного регулювання, у котрих докладно використовуються що сковзають режими. Що Сковзають режими релейних систем вивчалися Ю.І Неймарком [10], Ю.І. Алимовым [2] і ін. Але вже поява систем з перемінної структурою породило інтерес до теорії що ковзають режимів у релейних системах загального виду [14, 15]. Зміст останніх книжок становлять проблеми, пов’язані з дослідженням систем з розривними управляючими впливами, в [14] наводиться математичний апарат на дослідження розривних динамічних систем, які у «класичній теорії диф. рівнянь. Огляд і основних напрямів теорії диф. рівнянь з разрвными правими частинами наводяться у книзі [17], яка стала основний під час написання дипломної работы.

В усіх життєвих перелічених вище роботах теорія розривних систем полягає в теорії диференційних включень. Нами було зроблено припущення, що це системи можна зводити до системам диференційних рівнянь з імпульсним впливом, теорія яких викладена у [12]. Для цього потрібно дати визначення рішення, стійкості рішення розривної системи себто системи з імпульсним впливом, сформулювати теорему про сталість нульового решения.

Глава II Визначення рішення диференціального рівняння з розривної правої частью.

Тут з лагаются різні визначення рішень диференційних рівнянь з розривними правими частинами, встановлюється зв’язок таких рівнянь з диференціальними включеннями, вказуються умови їхнього применимости.

§ 1. Обгрунтування необхідності узагальнення поняття рішення диференціального уравнения.

Определение1. Рішенням диференціального уравнения.

[pic]= [pic].

с безупинної правої частиною називається функція [pic], яка скрізь на даному інтервалі має похідну і задовольняє цьому уравнению.

Для диференційних рівнянь з розривними правими частинами таке визначення непридатне, як свідчать такі примеры.

Приклад 1.

[pic][pic] При [pic][pic] [pic]=-1 і рішення виражається формулою [pic];

при [pic][pic][pic], рішення [pic]:

Исходя з вимоги безперервності рішення за [pic]:

x (0)=[pic], [pic]. Тому вирішення виражається формулою [pic]. При [pic] похідною [pic] не существует.

Приклад 2. [pic][pic] При [pic] [pic]3, рішення [pic], при [pic] [pic], рішення [pic]: x.

При зростанні [pic] кожне рішення сягає прямий [pic]0. Поле напрямів Демшевського не дозволяє рішенню зійти зі прямий [pic]0 ні вгору, ні вниз. Якщо ж продовжити рішення щодо цієї прямий, то отримувана функція [pic] не задовольняє рівнянню у звичному значенні, т.к. для нее[pic], а права частина рівняння при [pic] дорівнює 1-sign 0=1[pic]0.

Крім цього, рівняння з безупинної правої частиною рівносильне інтегральному уравнению.

[pic].

Що стосується, коли f (t, x) разрывна по t і безупинна по x (приклад 1), рішенням рівняння може бути функції, задовольняють інтегральному рівнянню. І тут, рішення з одного боку від P. S підходять до P. S, і з з іншого боку сходять із P. S (траєкторії «прошивают» поверхность):

S.

Рішення x (t) що потрапляє при [pic] на поверхню розриву P. S, триває однозначно на значення [pic] і близькі до [pic]; перетинаючи P. S рішення задовольняє рівнянню скрізь, крім точки перетину, у якій рішення немає похідною (у першому прикладі P. S — це пряма t=0).

Іншим разом, коли по обидва боки поверхні розриву P. S рішення наближаються до P. S (траєкторії «стикуються» — ковзний режим), це визначення рішення непридатне, т.к. щось свідчить, як продовжиться рішення, попавшее на P. S (приклад 2).

Необхідно було дати таке визначення рішення, яке охопило б ці дві основних випадку і формулювалось б незалежно від розташування ліній і поверхонь разрыва.

§ 2. Визначення решения.

Рассмотрим рівняння чи систему в векторної записи.

[pic],.

(1) з кусочно-непрерывной функцією f у сфері G;[pic], [pic], M — безліч (заходи нуль) точок розриву функції f.

Більшість відомих визначень рішення рівняння (1) може бути викладено так. Для кожної точки [pic] області G вказується безліч [pic] в n-мерном просторі. Якщо точці (t, x) функція f безупинна, то безліч [pic] складається з однієї точки, збігається зі значенням функції f у цій точці. Якщо ж [pic]-точка розриву функції f, то безліч [pic] цікавить те або іншим суб'єктам способом.

Определение2. Рішенням рівняння (1) називається рішення диференціального включения.

[pic],.

(2).

тобто. абсолютно безперервна вектор-функция x (t), певна на інтервалі чи відрізку I, котрій майже скрізь на I.

[pic].

Інакше кажучи, рішення диференціального рівняння (1) визначається як функція, що має похідна [pic] може приймати будь-які значення з деякого безлічі [pic].

Іноді (2) називають диф. рівнянням з багатозначній правої частиною. Функцію [pic] називають багатозначній функцією, підкреслюючи, що значение[pic]- безліч. Якщо всіх (t, x) множество[pic] складається з єдиною точки, то (2) — звичайне диф. рівняння. Функція [pic] називається однозначної у точці [pic], якщо безліч F[pic] складається з єдиною точки.

Однією з найпопулярніших визначень рішення розривної системи є визначення А. Ф. Филиппова.

А. Опукле доопределение. Застосовно, зокрема, до систем малим запізненням тієї чи іншої роду, і навіть до деяких системам з сухим трением.

Для кожної точки [pic] нехай [pic]- найменше опукле замкнутий безліч, що містить все граничні значення вектор-функции[pic], коли [pic] [pic] Рішенням рівняння (1) називається рішення включення (2) з хіба що збудованим [pic]. Т.к. [pic]- безліч заходи нуль, то, при майже всіх [pic] міра перерізу безлічі [pic] площиною [pic] дорівнює нулю. При таких [pic] безліч [pic] визначено всім [pic][pic]. У точках безперервності функції [pic] безліч [pic] складається з однієї точки [pic] і рішення задовольняє рівнянню (1) у звичному значенні. Якщо ж точка [pic][pic] лежить межах перетинів двох або кількох областей [pic], …, [pic] площиною [pic], то безліч [pic] є відрізок, опуклий багатокутник чи багатогранник з вершинами [pic][pic], [pic], где.

[pic][pic]= [pic][pic].

Усі крапки [pic][pic] ([pic]= 1, …, [pic] зберігають у [pic], але з обов’язково, щоб усе вони були вершинами.

Визначення 3.

Вектор-функция [pic], певна на інтервалі [pic] називається рішенням рівняння (1), якщо вона абсолютно безупинна і якщо майже всіх [pic] нічого для будь-якого [pic] вектор [pic] належить найменшій опуклому замкненому безлічі ([pic]-мерного простору), який містить все значення вектор-функции [pic], коли [pic] пробіга майже всю [pic]- околиця точки [pic] у просторі X (при фіксованому [pic]), тобто. всю околиця, крім безлічі міра нуль.

Таке визначення дає однозначне продовження рішення з поверхні разрыва.

Розглянемо випадок, коли функція [pic] разрывна на гладкою поверхні [pic], задаваемой рівнянням [pic]. Поверхня P. S ділить свою околиця в просторі на області [pic]и [pic]. Нехай при [pic] і наближенні [pic] до [pic]из областей [pic] і [pic] функція має граничні значения.

[pic][pic].

Тоді безліч [pic], про який ідеться в доопределении, А відрізок, який би з'єднав кінці векторів [pic] і [pic], проведених з точки [pic].

(Якщо це відрізок при [pic] лежить з одного боку від площині [pic], дотичній до [pic] у точці, то рішення за цих [pic] переходять із одного боку поверхні [pic] на другую:

Рис. 1.

(Якщо це відрізок перетинається з площиною [pic], то точка перетину є кінцем вектора [pic], визначального швидкість движения.

[pic].

(3) поверхнею [pic] у просторі [pic]:

Рис. 2.

Причому дотичний вектор до P. S [pic], отже [pic]. Це означає, що функція [pic], яка задовольнить рівнянню (3) з доопределения, А вважається рішенням рівняння (1). Зрозуміло, безперервна функція [pic], а її даної частини аналізованого інтервалу часу відбувається на області [pic](или в [pic]) де він задовольняє рівнянню (1), але в решти відбувається за поверхні [pic]и задовольняє рівнянню (3), також вважається рішенням рівняння (1) себто доопределения А.

У рівняння (3) [pic],.

[pic], ([pic]), [pic] - проекції векторів [pic] і [pic] на нормаль до [pic] в точці [pic] (нормаль спрямована убік області [pic]).

Разом про те безліч F (t, x) можна було збагнути інакше. Як) візьмемо довільне обмежений опукле безліч, що містить відрізок J:

Рис. 3.

У цьому на дотичній площині з’являються вектори, які від [pic]; усе веде до того що, що, крім рішення Філіппова виникають і інші решения.

Т.а. визначення (А) А.Ф. Філіппова відповідає мінімального можливого визначенню безлічі F (t, x) серед усіх допустимих. Це зручно стосовно того, що розв’язання себто Філіппова частіше, ніж у сусідніх випадках, має місце одиничність решения.

(Якщо весь відрізок з кінцями [pic] і [pic] лежить на жіночих площині P, то швидкість руху [pic] поверхнею розриву P. S визначається неоднозначно.

При [pic], [pic]имеет місце ковзний режим, про яку йшлося у запровадження. Нехай рівняння ідеального ковзання має вигляд (3). Вираховуючи [pic] для [pic] з умови [pic], знаходимо уравнение.

[pic], (4) з допомогою котрого і доопределяется спрямування змінний режимі (початкові умови для (4) вибираються лежить на поверхні розриву, т. е. S (x (0))=0).

Приклад 3.

Вирішити систему.

[pic].

Будь-яке розв’язання цієї системи рано чи пізно потрапляє безпосередньо [pic]и не може була зійти з неї. Якщо точка М лежить на жіночих осі [pic], то околиці цієї точки вектор [pic], компоненти якого — праві частини системи, приймає два значення: [pic]при [pic], [pic](6,-2) при [pic]. Відкладемо з точки М ці дві вектора і з'єднаємо їх кінці відрізком АВ:

Этот відтинок і буде потрібним безліччю, у якому, за визначенням 3, лежить кінець вектора [pic] для точки М. У той самий час вектор швидкості [pic] має лежати на осі [pic]. Т.к. рішення неспроможна зійти зі неї вгору, ні вниз, отже, кінець вектора лежать у точці перетину відрізка АВ і осі [pic]. Т.а., цей вектор визначається однозначно. Легко підрахувати, що [pic].

Т.а., зв’язок теорій рівнянь (1) з розривної правої частиною з теорією диф. Включений (2) очевидна. Маючи рівняння (1) з розривної f (t, x) необхідно замінити значення [pic] у точці розриву [pic] деяким безліччю. Це безліч має бути обмеженим, опуклим, замкнутим. Крім цього він повинен охоплювати всі граничні значення [pic]при (t, x)[pic]. Після такого заміни (для будь-який точки розриву) замість (1) отримуємо диф. включення (2), у якому багатозначна функция[pic] задовольняє переліченим требованиям.

Проте, деяких випадках безліч [pic] в (2) в точках розриву функції [pic] не можна визначити, знаючи лише значення функції [pic] в точках її непрерывности.

Приклад 4.

У механічної системі з сухим трением:

[pic],.

[pic]масса тіла, [pic]его відхилення, [pic]упругая сила, [pic]сила тертя, що є нечетной і розривної при [pic]=0 функцією швидкості [pic], [pic]-внешняя сила. Тертя спокою [pic] може приймати будь-які значення між своїм найбільшим і найменшим значеннями [pic] і -[pic]. Якщо [pic]=[pic][pic], то застосовно доопределение [pic]. Якщо ж [pic]>[pic][pic], то рух з травня нульової початковій швидкістю залежить не тільки від значень функції в західних областях її безперервності, а й від величини [pic]. Доопределение, А тоді незастосовно. У обох випадках систему можна записати як включення (2). Безліч [pic] при [pic]- точка, а при v=0 — відрізок, довжина якої від [pic].

Отже, безліч [pic] який завжди визначається граничними значеннями функції [pic]из (1), і взагалі разі це безліч треба ставити, використовуючи якісь інформацію про аналізованої системе.

Необхідність охопити такі призводить до наступному способу побудови безлічі F (t, x).

Розглянемо систему.

[pic],.

(6).

де [pic], вектор-функция [pic] безупинна за сукупністю аргументів, а скалярні чи векторні функції [pic] разрывны відповідно на безлічах [pic], i=1,…, r, що мати загальні крапки й навіть збігатися. У кожній точці (t, x) розриву функції [pic]задается замкнутий безліч [pic]- безліч можливих значень аргументу [pic] функції [pic]. Передбачається, що з [pic] аргументи [pic]и [pic]могут незалежно друг від друга пробігати відповідно безлічі [pic]и [pic]. Зазвичай, це умова виконано, якщо функції [pic]и [pic] описують різні незалежні складові (блоки) фізичної системи. У точках, де функція [pic] безупинна, безліч [pic] складається з однієї точки [pic]. У точках, розриву функції [pic] необхідно, щоб безліч [pic] містив всі крапки, граничні для точок кожній із послідовностей виду [pic], де [pic] k=1,2,…(или [pic], де [pic][pic] k=1,2,…). Зажадаємо, щоб безліч [pic] було опуклим (якщо [pic] - скалярная функція, то [pic]- відрізок чи точка).

Пусть.

[pic] (7) безліч значень функції [pic], коли t, x постійні, а [pic] незалежно друг від друга пробігають відповідно безлічі [pic].

Визначення 4.

Рішенням диф. уравн. (6) називають рішення диф. включення (2), де [pic](или [pic], де [pic]- найменше опукле безліч, що містить безліч [pic]).

Приватними випадками такого способу побудови функції F (t, x) є як доопределение Однак і викладені нижче Б і В.

Б. Доопределение методом еквівалентного уравнения.

(управления).

Застосовується до рівнянням виду (6), де f — безперервна вектор-функция, [pic] - скалярная функція, розривна лише з гладкою поверхні [pic]1,…, r. Допускоются перетину і навіть збіги цих поверхностей.

У точках, що належать однієї або одночасно кільком поверхноостям, наприклад [pic],…, Sm ([pic], вважають (якщо рішення не може зійти відразу з такою поверхні чи з перетину цих поверхностей).

[pic], (8).

де еквівалентні управління [pic] визначаються, щоб вектор [pic] в (8) стосувався поверхонь [pic],…, Sm і щоб значення [pic]содержалось в відрізку з кінцями [pic], де [pic] - граничні значення функції [pic] по обидва боки поверхні [pic], i=1,…, m. Т.а., функції [pic] визначаються із системи уравнений.

[pic].

Визначення 5.

Рішенням (6) називається абсолютно безперервна вектор-функция, яка поза поверхонь [pic] задовольняє рівнянню (6), але в цих поверхнях та його перетинах — рівнянням виду (8) (при майже всіх t).

Наприклад, у разі [pic] кінець вектора [pic] лежить на жіночих перетині дотичній до P. S у точці x з дугою abc, яку пробіга кінець вектора f (t, x, u), коли u змінюється від [pic]до [pic]:

Рис. 4.

З геометричній погляду, метод еквівалентного управління предполаглет заміну разрывного управління за українсько-словацьким кордоном розриву, де вона не визначено, ненпрерывным управлінням, яке спрямовує вектор швидкістю просторі станів системи вздовж перетину поверхонь розриву. Наприклад, у системі з одного поверхнею розриву [pic] перебування цього вектора у певній точці (t, x) потрібно побудувати годограф f (t, x, u), змінюючи скалярне управління [pic], і знайти точку його перетину з дотичній площиною. Крапка перетину визначає [pic] диф. рівняння (8) (для r=1 (8) набуде вигляду [pic][pic]).

Рівняння (6), доопределенное указаным чином, зводиться до диф. включенню [pic]. Безліч [pic] склала (7), де [pic] - відрізок з кінцями [pic] і [pic]; тим [pic], які безупинні у точці (t, x), [pic] є точкою [pic].

Права частина (8) є вектор з кінцем у точці перетину безлічі [pic]с дотичній до перетинанню поверхонь [pic],…, Sm. На рис. 4 безліч [pic] - дуга abc, а права частина (8) — вектор xb.

Доопределение І було обгрунтоване тільки до скалярного випадку (u — скалярная функція) й з допомогою граничних переходів приватних випадків неидеальностей, доопределение Б застосовно у разі векторної розривної динамічної системи (тобто. котра управляє впливу долучені до різних точок об'єкту і управління u є векторної величиною), описуваної уравнениями.

[pic].

(9) x, f — n-мерные векторы-столбцы, [pic] - координати системи, [pic]- безперервні функції всім аргументів ([pic]), u — m-мерный векторстовпець, кожна компонента якого [pic] зазнає розриви на поверхні [pic]:

[pic] i=1, …, m, [pic], [pic] ([pic]),[pic] - безперервні функції. Якщо покласти [pic], то [pic].

Для доопределения рівнянь ідеального ковзання використовують метод еквівалентного управління [7]: в рівняння моделі (9) замість [pic] підставити [pic], що є рішеннями уравнения.

[pic], де рядки матриці G={[pic]} розмірності [pic] є градиентами функцій [pic]. Вочевидь, що з початковому значенні [pic] з умови (10) подальше рух відбуватиметься за траєкторіям, лежачим на різноманітті S (x)=0.

Приклад 5.

Одержати рівняння ковзання для розривної системы:

[pic].

У будь-якій точці прямий розриву S=0 (тобто. при [pic]) виконуються умови виникнення ковзаючого режиму [pic], а рівняння методу еквівалентного управління (10) має вид:

[pic].

Знайдемо еквівалентну управління з рівняння [pic], звідки [pic], підставимо їх у перше рівняння системи (враховуючи [pic]): [pic].

Замечание.

Метод Філіппова, застосований до аналізованої системі, відповідно до (4) призводить до рівнянню [pic] руху по прямий S=0.

У. Загальне дополнение.

Воно застосовується до рівнянням виду (6), де функція f безупинна по t, x, [pic], а кожна гілка функцій [pic] разрывна лише з поверхні [pic], i=1,…, r.

Нехай [pic]и [pic] самі, що у Б, а [pic] - найменше опукле замкнутий безліч, що містить безліч [pic].

Визначення 6.

Рішенням рівняння (6) називається рішення включения.

[pic].

(10).

Рух поверхнею розриву P. S (S (x)=0) може відбуватися лише зі швидкістю [pic], де K (t, x) — те що безлічі з площиною, дотичній до P. S у точці x. На рис. 4 безліч [pic]- найменше опукле замкнутий безліч, що містить дугу abc. Якщо це дуга лежать у однієї площині, то безліч [pic] - сегмент між цієї дугою і його хордою, заштрихований малюнку, а K (t, x) — відрізок, є перетином цього сегмента з дотичній до P. S у точці x.

Якщо функція f нелінійна по [pic], то, власне кажучи, безліч K (t, x) містить понад однієї крапки й швидкість руху по P. S визначається неоднозначно.

Порівняння определений.

Порівняємо визначення А, Б, В.

Рівняння (6) можна записати як (1) і застосувати щодо нього визначення А. Т.к. у своїй множнство [pic] містить безлічі [pic] і [pic] з (2) і (7), то кожне рішення, у сенсі визначення Проте й кожне рішення, у сенсі визначення Б є ж рішенням сенсі визначення У. Назад, власне кажучи, не так: на рис. 4 безліч F — хорда ac, [pic] - дуга abc, [pic]- заштрихований сегмент.

Якщо ж функція f линейна по [pic], то [pic] та засобами визначення Б і У збігаються. Якщо, ще, все поверхні [pic] різняться в точках їх перетину вектори нормалей лінійно незалежні, то безлічі F, [pic]и [pic]совпадают, тоді збігаються і всі три визначення А, Б, В.

Глава III.

Дослідження стійкості для диференційних рівнянь з розривними правими частями.

§ 1.Определение стійкості. Метод функцій Ляпунова.

Теорія стійкості створена 90-ті роки 19 в. А. М. Ляпуновым (в 1892 р. з’явилася знаменита докторська дисертація «Загальна завдання про стійкості руху»). Ця теорія знайшла широке застосування у математиці, механіці, техніці, а й у хімії, термодинаміці, синергетики. Дуже бльшую роль грає рішення прроблемы стійкості руху на небесної механіці. На теорії Ляпунова базується сучасна наука про польоті штучних супутників Земли.

Визначення стійкості й асимптотической стійкості рішень диф. рівнянь з безупинної правої частиною наводиться, наприклад, в [4]. Теорія стійкості руху займається дослідженням впливу збурюючих факторів на рух матариальной системи (під возмущающим фвкторами розуміють сили, не учитываемые під час написання руху унаслідок їх дрібниці проти основними силами); стійкість по Ляпунову — це близькість законів зміни стану у часі для невозмущенного і обуреного рухів. Зводячи питання стійкості невозмущенного руху стосовно питання про стійкості становища рівноваги, А. М. Ляпунов пов’язував факт стійкості чи нестійкості з наявністю функції V (t, x) — функції Ляпунова, похідна якій із часу, узята відповідно до системи диф. рівнянь, має певні властивості. Метод функцій Ляпунова одна із найбільш ефективних методів дослідження систем автоматичного управління. Значення цього далеко ще не исчкрпывается можливістю встановлення факту стійкості чи нестійкості досліджуваної системи. Однак у даної роботі обмежимося лише этим.

Метод функцій Ляпунова переноситься і випадок розривної правій частині системы.

[pic].

(1).

Як засвідчили першому розділі, рівняння (1) зводяться до диф. включениям.

[pic].

(2).

Для диф. включень є типу стійкості: стійкість і слабка устойчивость.

Визначення 1.

Рішення [pic] диференціального включення (2) називається стійким (відповідно слабко стійким), для кожного [pic] існує [pic], що кожного такого [pic], що [pic], кожне рішення (відповідно деяке рішення) [pic] з початковим умовою [pic] при [pic] є і задовольняє неравенству.

[pic] ([pic]).

Асимптотическая стійкість і слабка асимптотическая стійкість визначаються аналогічно, але з додатковим умовою [pic].

Приклад 1.

[pic]([pic]). Рішення [pic]асимптотически стійко. При [pic] будь-яке інше рішення сягає становища рівноваги x=0 за кінцеве час, а при [pic] за нескінченне время.

Приклад 2.

[pic], F (x) — відрізок з кінцями kx і mx. [pic]- рішення. Для інших рішень имеем.

[pic] При [pic] асимптотически стійко, при [pic] стійко, при [pic] слабко асимптотически стійко, при [pic] неустойчиво.

Для диф. рівнянь з безупинної правої частиною відомі теореми Ляпунова про сталість про асимптотической стійкості [4]. Діяльність [17] сформульовані подібні теореми для розривних систем (1). Для таких рівнянь функція Ляпунова V (t, x) може належати [pic].

Для функції [pic] (тобто. є безперервні производныепервого порядку) визначаються верхня і нижня похідні з диф. включення (2):

[pic].

При майже всіх t похідна [pic]существует і задовольняє включенню (2). За цих t существует.

[pic] (3).

Теорему 1.

нехай у замкнутої області D ([pic]) всім [pic] - непорожнє, обмежений, замкнутий, опукле безліч й третя функція [pic]-непрерывна по t, x; [pic] і є функції [pic], для которых[pic].

Тоді: 1) Якщо [pic] в D, те решіння [pic] включення (2) устойчиво.

2) Якщо, ще, існують функції [pic] [pic] причому [pic],.

[pic], ([pic]),[pic], те решіння [pic] асимптотически устойчиво.

Відомі докази цих тверджень для диф. рівнянь [4] залишаються справедливими й у диф. включень; у своїй з оцінки згори функції V (t, x (t)) використовують співвідношення (3).

Теорему 2.

Якщо виконані умови теореми 1, але заміняючи [pic], те решіння [pic] слабко стійко у разі 1) і найгірш асимптотически стійко у разі 2).

Доказ теореми 2 наведено в [17].

Розглянемо тепер випадок, коли функція Ляпунова [pic], але задовольняє умові Липшица на околиці кожної точки області D. Тоді для будь-який абсолютно безупинної функції x (t), отже, і нічого для будь-якого рішення, складна функція V (t, x (t)) абсолютно безупинна і майже скрізь має похідну по t. Проте рішення може протягом цілого деякого проміжку часу йти лінії чи поверхні, де grad V немає, і похідну dV/dt, не можна, як у [pic], явити у виде.

[pic].

Для [pic]:

[pic]. (4).

Що стосується функції V (t, x), задовольняє умові Липшица, верхню і нижню похідні [pic] від функції V з включення (2) можна з’ясувати, як sup і inf правій частині (4) за всі [pic]. Тоді теореми 1и 2 сохраняются.

Приклад 3.

Якщо [pic], не можна нехтувати відшуканням dV/dt на лініях поверхнях розриву функції f (t, x) навіть тоді доопределения А.

[pic].

[pic].

Але цього замало до застосування теореми 1, т.к. похідні [pic] разрывны на вісях координат, тобто. там-таки, де разрывны праві частини системи. На осі Ox при доопределении А:

[pic].

[pic], й умови теореми 1 не виконані. Той-таки результат виходить за такою формулою (4) при h=0:

[pic].

Т.к. на осі Ox маємо [pic], то рішення з осі видаляються від точки (0, 0) зі швидкістю 1 і рішення [pic] неустойчиво.

§ 2. Деякі дані теорії диференційних рівнянь з імпульсним воздействием.

При математичному описі еволюції процесів з короткочасними обуреннями часто тривалістю обурення нехтують і вважає, що це обурення носять «миттєвий» характер. Така ідеалізація призводить до необхідності досліджувати динамічні системи з розривними траєкторіями чи, як його ще називають, диф. уравн. З імпульсним воздействием.

Визначення таких систем наведено [12], вони задаються а) системою диф. уравн.

[pic].

(5) б) деяким безлічам Ft, заданим в розширеному фазовому просторі, в) оператором At, заданим на безлічі Ft і отображающем його за безліч [pic].

Сам процес відбувається так: яка зображує точка [pic], відійшовши від точки (t0, x0), рухається за дзвоновидною кривою {t, x (t)}, обумовленою рішенням x (t) = x (t, t0, x0) системи рівнянь (1). Рух у цій кривою здійснюється досі часу t = t1 > t0, куди точка (t, x (t)), зустрічається з безліччю Ft (потрапляє у точку безлічі Ft). У час часу t = t1 точка Pt «миттєво» перекидається оператором At з становища [pic] у безвихідь [pic]и рухається далі за кривою {t, x (t)}, яка описується рішенням [pic] системи рівнянь (1). Рух по зазначеної кривою відбувається досі часу t2 > t1, у якій точка Pt знову зустрічається з безліччю Ft. Саме тоді під впливом оператора At точка Pt миттєво перескакує з цього становища [pic] в [pic]и рухається далі за кривою {t, x (t)}, описуваної рішенням [pic] системи рівнянь (1), до нової зустрічі з безліччю Ft і т.д.

Сукупність співвідношень а) — в) називають системою диф. рівнянь з імпульсним воздействием.

Криву {t, x (t)} описувану точкою Pt називають інтегральної кривою, а функцію x = x (t), яка задає цю криву — рішенням системи (1).

Систему диф. рівнянь з імпульсним впливом (сукупність співвідношень а) — в)) можна записати на більш компактній форме:

[pic].

(6).

Т.а., рішення системи рівнянь (2) [pic] - це функція, яка задовольнить рівнянню (5) поза безлічі Ft і має розриви першого роду живуть у точках Ft зі скачками.

[pic].

[pic] - стан системи доі після стрибка в останній момент часу t1.

Залежно від характеру імпульсного впливу виділяють кілька видів таких рівнянь. Розглянемо систему з нефиксированными моментами імпульсного впливу, тобто. системи, котрі піддаються імпульсному впливу в останній момент влучення яка зображує точки Pt на задані поверхні [pic] розширеного фазового простору. Тоді система (6) прийме вид:

[pic].

(7).

Стійкість в системах з нефиксированными моментами імпульсного воздействия.

Визначення 2.

Рішення x (t) системи рівнянь (7), певне попри всі t? t0, називається стійким по Ляпунову, для довільних чисел [pic] і [pic] існує число [pic], що з іншого рішення y (t) рівнянь (7) речей [pic], що можна, что[pic] попри всі t? t0 таких, що [pic], де [pic] - моменти перетину інтегральної кривою рішення x (t) поверхонь [pic].

Визначення 3.

Рішення x (t) системи рівнянь (7) називається асимптотически стійким, коли вона стійко у певному вище сенсі програми та якщо вказати така кількість [pic], що з іншого вирішення цієї системи рівнянь, задовольняючого нерівності [pic] має місце граничне рівність: [pic].

Питання дослідження стійкості деякого рішення рівняння (7), як у разі звичайних диф. рівнянь, можна зводити до питання дослідження стійкості тривіального рішення деякою нової виборчої системи рівнянь з імпульсним впливом. Цю процедуру описано на [12], у яких одержимо систему диф. уравн. з імпульсним воздействием:

[pic].

(8) де [pic] тобто. рішення x=x (t) системи (7) перейшов у становище рівноваги системи (8).

Питання стійкості нульового рішення системи (8) можна вирішити з допомогою прямого методу Ляпунова (метод функцій Ляпунова).

Теорему 3.

Якщо існує положительно-определенная функція, яка задовольнить в деякою області D неравенствами.

[pic] (9) то тривіальне рішення системи рівнянь (8) устойчиво.

Якщо ж замість другого з нерівностей (9) зажадати, щоб виконувалося неравенство.

[pic] всім [pic]- безперервна при [pic] функція, [pic], то нульовий рішення рівнянь (8) асимптотически устойчиво.

Приклад 4.

Досліджувати питання стійкості нижнього становища маятника, підданого імпульсному впливу, динаміка якого описується уравнениями:

[pic],.

[pic].

Як функції Ляпунова візьмемо повну механічну енергію невозмущенного маятника [pic] знаходимо [pic].

Незалежно від властивостей поверхонь [pic] виконуються умови теореми (3), отже, нульовий рішення вихідної системи рівнянь устойчиво.

§ 3. Зв’язок аналізованих теорий.

Теорія систем з розривної правої частиною може бути зведено до теорії диф. рівнянь з імпульсними обуреннями, саме до систем з нефиксированными моментами імпульсного впливу, визначення яких дали в § 2.

Нехай задана система.

[pic].

(10) де функція f (t, x) зазнає розрив лежить на поверхні P. S: S (t, x)=0. Тоді безлічі [pic], які фігурують у визначенні імпульсної системи, для системи (10) приймуть вид:

[pic] де оператор [pic] рухається за закону.

[pic].

Якщо S (t, x)=0 вирішується щодо t: [pic], то систему (10) можна записати в виде:

[pic] (11).

Друге рівняння системи (11) дає можливість рішенню рівняння (10) була зійти з поверхні розриву. Т.а., диф. рівняння з розривної правої частиною можна піддати імпульсному впливу в останній момент проходження яка зображує точки поверхні разрыва.

Рішення X (t) системи (10), зведеної до системи (11) будуватиметься так. Нехай поставлено початкова умова [pic]. Тоді для [pic] функція X (t) збігаються з рішенням системи (10) за умови [pic] Для [pic] функція X (t) збігаються з рішенням системи (10) за умови [pic]; для [pic] - з рішенням системи (10) за умови [pic] тощо. Кожне рішення x (t) являтиме безперервну функцию.

Але вказаний спосіб побудови рішення системи (10) Демшевського не дозволяє доопределить f (t, x) лежить на поверхні розриву (як із доопределениях А, Б, У), оскільки здійснюється перескок [pic]через поверхню [pic]. У цьому вся разі система (10) зводиться до диф. включению.

[pic].

(12) де М — безліч точок перетину інтегральної кривою поверхонь розриву [pic] в моменти [pic].

Тоді рішення x (t) ([pic]) диф. включення (12) стійко по Ляпунову, для довільних чисел [pic] існує число [pic], що з іншого рішення [pic] включення (12) речей, що [pic]следует, що [pic] попри всі [pic] таких, що [pic], де [pic] - моменти перетину інтегральної кривою рішення x (t) поверхонь [pic].

Теорему 4. Досить значного умова відсутності биття решений.

Нехай при [pic] функції [pic]2, 3,… безупинні, а функції [pic] задовольняють умові Липшица, т. е.

[pic] попри всі i=1, 2, …, [pic], і неравенству.

[pic]. Тоді, якщо число h досить мало, то інтегральна крива будь-якого рішення системи рівнянь (8) x (t), певного попри всі [pic] і лежачого в области.

[pic], перетинає кожну поверхню [pic] лише одне раз.

Доказ цієї теореми наведено в [12].

Теорему 5.

Якщо рішення x (t) включення (12), певне попри всі [pic] стійко по Ляпунову, воно є усталеним і системи (8). Правильно і обратное.

Доказательство.

Нехай виконані умови теореми 4, тобто. виключимо випадок биття рішення рівняння (8) про поверхні [pic].

Рішення x (t)=0 включення (12) стійко. Доведемо, що буде стійким і системи (8).

Для диф. включення (12) існує определенно-положительная функція V (t, x), яка задовольнить неравенству.

[pic]. При майже всіх t похідна [pic]существует і задовольняє включенню (12). За цих t існує и.

[pic], тобто. виконано перше нерівність теореми 3.

Т.к. [pic] де M — безліч точок перетину інтегральної кривою поверхонь розриву [pic] в моменти [pic], то зазначена функція V (t, x), задовольнятиме й другому нерівності :

[pic].

Т.а., виконані умови теореми 3 і рішення x (t)=0 системи (8) устойчиво.

Назад доводиться аналогично.

Заключение

.

У зв’язку з теорією релейних систем, систем з перемінної стуктурой, реалізацією законів оптимального управління та інших розривних систем управління вивчається загальна теорія розривних систем. Ця теорія перегукується з завданням механіки, де вивчалися системи з сухим тертям в працях П. Пенлеве (1895 р. «Лекції про терті») і Апелю П.

Теоретично систем з розривної правої частиною враховуються як інженернофізичні, і суто математичні міркування. Ця теорія забезпечує можливість математичного дослідження зазначених систем, т. е. включає стандартні теореми існування рішень, їх проджолжимости, теореми якісної теорії. У другій главі наведено визначення рішення розривних систем А.Ф. Філіппова. Як відзначалося, визначення відповідає мінімального можливого побудові безлічі F (t, x) серед всіх допустимих. Крім визначення Філіппова є та інші визначення рішень розривних систем і диф. включень: Айзермана і П’ятницького [1] Викторовского [6], Матросова [8].

Теорія систем з розривними правими частинами полягає в теорії диференційних включень, розвиненою Маршо і Зарембой (1934 р.), потім доповненої численними авторами, зокрема Важевским (1961 р.) та інших. Зв’язок цих теорій зазначена в § 2 глави II. У третій главі ці системи зводяться до систем диференційних рівнянь з імпульсним впливом. Сформульована і доведено теорему про сталість таких систем.

1. Айзерман М. А., П’ятницький Є. З. Основи теорії розривних систем I, II. -.

Автоматика і телемеханіка, 1974, № 7, 33−47, № 8, 39−61. 2. Алімов Ю. І. Про стійкості загалом рівноважного стану нелінійних систем автоматичного регулювання. — Вісті вузів, Радиофизика,.

1959, 2, № 6. 3. Андронов А. А., Вітт А.А., Хайкин Р. Э. Теорія коливань. — М.:

Физматгиз, 1959. 4. Барбашин Е. А. Введення ЄІАС у теорію стійкості. — М.: Наука, 1967. 5. Барбашин Е. А., Алімов Ю.І. Ктеории релейних диференційних уравнений.

— Вісті вузів, сірий. матем., 1962, № 1, 3−13. 6. Викторовский Е. Е. Про одного узагальненні поняття інтегральних кривих для разрывного поля напрямів. — Математичний збірник, 1954, 34, № 2,.

213−248. 7. Гелиг А. Х., Леонов Р. А., Якубович В. А. Стійкість нелінійних систем з неединственным станом рівноваги. — М.: Наука, 1978. 8. Матросів В. М. Про диференційних рівняннях і неравенствах з розривними правими частинами I, II. — Диф. уравн., 1967, 3, № 3, 395−409; № 5, 869;

878. 9. Неймарк Ю.І. Метод точкових відбиття теоретично нелінійних коледаний. -.

М.: Наука, 1972. 10. Неймарк Ю.І. про змінний режимі релейних систем автоматичного регулювання. — Автоматика і телемеханіка, 1957, 18, № 1. 11. Рожко В. Ф. Стійкість по Ляпунову в розривних динамічних системах.

— Диф. уравн., 1975, 11, № 6 1005−1012. 12. Самойленко А. М. Пересчук Н.А. Системи диф. уравн. з імпульсним обуренням. М.: Наука, 1987. 13. Терия систем з перемінної структурою / Під ред. Ємельянова З. У. — М.:

Наука, 1981. 14. Уткін В.І. Що Сковзають режими в завданнях оптимізації та управління. — М.:

Наука, 1981. 15. Уткін В.І. Що Сковзають режими і застосування в системах з перемінної структурою. — М.: Наука, 1974. 16. Філіппов А.Ф. Диференціальні рівняння з розривної правої частиною. -.

Математичний збірник, 1960, 51, № 1, 99−128. 17. Філіппов А.Ф. диференціальні рівняння з розривної правої частиною. -.

М.: Наука, 1985. 18. Філіппов А. Ф. Система диф. уравн. з кількома розривними функціями. -.

Математичні нотатки, 1980, 27, № 2, 255−266. 19. Філіппов А.Ф. Стійкість для диф. уравн. з розривними і багатозначними правими частинами. — Диф. уравн., 1979, 15, № 6, 1018−1027.

———————————- ueq.

x.

y.

V.

Fтр

V.

Fтр Поверхность разрыва Поверхность разрыва.

x.

t.

t.

[pic].

[pic].

S.

P.

x.

f ;

f +.

G ;

f +.

G ;

f ;

P.

f 0.

x.

S.

f +.

f ;

P.

x.

S.

x1.

A.

f ;

f +.

C.

M.

— 2.

x.

B.

a.

c.

b.

G+.

G ;

S.

x.

xn.

(x, t).

u — (t, x).

x1.

u + (t, x).