Лінійна залежність і незалежність розв «язків. 
Загальний розв» язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку (реферат)

Реферат на тему:

Лінійна залежність і незалежність розв’язків. Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку

Визначення. Функції $$y_1(x),y_2(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ називаються лінійно залежними на відрізку $$\left[a,b\right]$$ якщо існують не всі рівні нулю сталі $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ такі, що при всіх $$x\left[a,b\right]$$.

$$C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x)0\text{.}$$.

Якщо ж тотожність справедлива лише $$C_1=C_2=\text{.}\text{.}\text{.}=C_n=0$$, то функції $$y_1(x),y_2(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ називаються лінійно незалежними.

Приклад 3.1.1. Функції $$\mathrm{1,}x,x^2,\text{.}\text{.}\text{.},x^{n-1}$$ — лінійно незалежні на будь-якому відрізку $$\left[a,b\right]$$, тому що вираз $$C_1+C_{2}x+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}^{n-1}=0$$ є многочленом ступеню $$(n-1)$$ і має не більш, ніж $$(n-1)$$ дійсних коренів.

Приклад 3.1.2. Функції $$e^{{}_{1}x},e^{{}_{2}x},\text{.}\text{.}\text{.},e^{{}_{n}x}$$, де всі $${}_i$$ — дійсні різні числа — лінійно незалежні.

Приклад 3.1.3. Функції $$\mathrm{1,}\text{sin}x,\text{cos}x,\text{.}\text{.}\text{.},\text{sin}\text{nx},\text{cos}\text{nx}$$ — лінійно незалежні.

Теорема (необхідна умова лінійної незалежності функцій). Якщо функції $$y_1(x),y_2(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ — лінійно залежні, то визначник $$W\left[y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)\right]$$, який називається визначником Вронського, тотожно дорівнює нулю при всіх $$x\left[a,b\right]$$ ,.

$$\begin{array}{c}{y}_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)\\ y{\text{'}}_1(x)y{\text{'}}_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}y{\text{'}}_n(x)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ y_1^{(n-1)}(x)y_2^{(n-1)}(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n^{(n-1)}(x)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ W\left[y_1,\text{.}\text{.}\text{.},y_n\right]=\\ \end{array}$$.

Доведення. Нехай $$y_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)$$ — лінійно залежні. Тоді існують не всі рівні нулю сталі $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ такі, що при $$x\left[a,b\right]$$ буде тотожно виконуватися: $$C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x)0\text{.}$$.

Продиференціювавши $$(n-1)$$ -раз, одержимо.

$$\begin{array}{c}{C}_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x)=0\\ C_{1}y{\text{'}}_1(x)+C_{2}y{\text{'}}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{n}y{\text{'}}_n(x)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{y}_1^{(n-1)}(x)+C_2{y}_2^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n^{(n-1)}(x)=0\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Для кожного фіксованого $$x\left[a,b\right]$$ одержимо лінійну однорідну систему алгебраїчних рівнянь, що має ненульовий розв’язок $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$. А це можливо тоді і тільки тоді, коли визначник системи дорівнює нулю, тобто $$W\left[y_1,\text{.}\text{.}\text{.},y_n\right]0$$ при всіх $$x\left[a,b\right]$$ .

Теорема (достатня умова лінійної незалежності розв’язків). Якщо розв’язки лінійного однорідного рівняння $$y_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)$$ — лінійно незалежні, то визначник Вронського $$W\left[y_1,\text{.}\text{.}\text{.},y_n\right]$$ не дорівнює нулю в жодній точці $$x\left[a,b\right]$$ .

Доведення. Припустимо, від супротивного, що існує $$x_0\left[a,b\right]$$, при якому $$W\left[y_1(x_0),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x_0)\right]=0$$. Оскільки визначник дорівнює нулю, то існує ненульовий розв’язок $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$ лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{C}_1^0{y}_1(x)+C_{{}_2}^0{y}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^0{y}_n(x)=0\\ C_{{}_1}^{0}y{\text{'}}_1(x)+C_{{}_2}^{0}y{\text{'}}_2(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^{0}y{\text{'}}_n(x)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_{{}_1}^0{y}_1^{(n-1)}(x)+C_{{}_2}^0{y}_2^{(n-1)}(x)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{{}_n}^0{y}_n^{(n-1)}(x)=0\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Розглянемо лінійну комбінацію $$y=C_{{}_1}^0{y}_1(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}{C}_{{}_n}^0{y}_n(x_0)$$ з отриманими коефіцієнтами.

У силу третьої властивості ця комбінація буде роз’язком. У силу вибору сталих $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$, розв’язок буде задовольняти умовам.

$$y(x_0)=\mathrm{0,}y\text{'}(x_0)=\mathrm{0,}\text{.}\text{.}\text{.}{y}^{(n-1)}(x_0)=0\text{.}$$.

Але цим же умовам, як неважко перевірити простою підстановкою, задовольняє і тотожний нуль, тобто $$y(x)0$$. І в силу теореми існування та єдиності ці два розв’язки співпадають, тобто $$C_{{}_1}^0{y}_1(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}{C}_{{}_n}^0{y}_n(x_0)0$$ при $$x\left[a,b\right]$$, або система функцій $$y_1(x)y_2(x)\text{.}\text{.}\text{.}{y}_n(x)$$ лінійно залежна, що суперечить припущенню. Таким чином $$W\left[y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)\right]/=0$$ у жодній точці $$x_0[a,b]$$, що і було потрібно довести .

На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.

Теорема. Для того щоб розв’язки лінійного однорідного диференціального рівняння $$y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)$$ були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського не дорівнював нулю в жодній точці $$x\left[a,b\right]$$, тобто $$W\left[y_1(x),\text{.}\text{.}\text{.},y_n(x)\right]/=0$$ .

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння.

$$a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_n(x)y=0$$.

є лінійна комбінація $$n$$ — лінійно незалежних розв’язків $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{y}_i(x)$$ .

Доведення. Оскільки $$y_i(x),i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}n$$ є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація також буде розв’язком.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто вибором сталих $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ можна розв’язати довільну задачу Коші.

$$y(x_0)=y_0,y\text{'}(x_0)=y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.}{y}^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}\text{.}$$.

Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{C}_1{y}_1(x_0)+C_2{y}_2(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n(x_0)=y_0\\ C_{1}y{\text{'}}_1(x_0)+C_{2}y{\text{'}}_2(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{n}y{\text{'}}_n(x_0)=y_o^{\text{'}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{y}_1^{(n-1)}(x_0)+C_2{y}_2^{(n-1)}(x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{y}_n^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

має єдиний розв’язок $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$. І лінійна комбінація $$y=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_{{}_i}^0{y}_i(x)$$ є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде задовольняти довільно обраним умовам Коші.

Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює порядку рівняння.

Це випливає з попередньої теореми, тому що будь-який розв’язок виражається через лінійну комбінацію $$n$$ — лінійно незалежних розв’язків.

Визначення. Будь-які $$n$$ -лінійно незалежних розв’язків лінійного однорідного рівняння $$n$$ -го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.