Загальні властивості неперервних функцій (реферат)

Загальні властивості неперервних функцій Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Функція $$u=f(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$$, визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f (х). Функція f (х), неперервна на [а, b], є обмеженою.

Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область D відкрита. Наприклад, у = $$\frac{1}{x}$$ неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.

Теорема 4. (про знак функції). Якщо функція $$u=f(M)$$ неперервна в точці А $$(a_1,a_2,\text{.}\text{.}\text{.},a_n)$$ і f (А) /= 0, то функція в до­статньо малому околі точки, А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f (а) /= 0, то функція в достатньо малому околі точки, а зберігає знак.

Дійсно, нехай $$\underset{x->0}{\text{lim}}f(x)=f(a)/=0$$, наприклад, f (а) > 0. Покажемо, що для будь-якого $$$$ > 0 можна знайти таке $$$$ > 0, що для всіх х $$$$ (а — $$$$, а + $$$$) виконується нерівність f (х) > 0.

Побудуємо $$$$ -окіл точки, а і $$$$ -окіл точки f (а) (рис. 3.75).

Якщо взяти $$$$ = min (h1 h2), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2 $$$$ і 2 $$$$ такий, що f (х) > 0.

Теорема 5 (про корінь функції). Якщо функція $$u=f(M)$$ визначена і неперервна в деякій однозв’язній області D, причому в цій області дві точки, А (а1 а2, …, аn) і В (b1, b2, …, bn), в яких функція набуває значень різних знаків:

f (А) < 0, f (В) > 0,.

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f© = 0.

Введемо поняття однозв’язної області. Множина точок простору Е" називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 <= t <= Т за допомогою системи функцій.

$$\{\begin{array}{c}{x}_1={}_1(t),\\ x_2={}_2(t),\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n={}_n(t)\end{array}$$.

неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.

Якщо точка М0 ($${}_1$$, (t0), $${}_2(t_0)$$ ,…, $${}_n(t_0))E_n$$ збігається з точкою $$M_{Т}({}_1(T),{}_2(T),\text{.}\text{.}\text{.},{}_n(T))E_n$$, то крива називається прос­тою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями х = х (t), y = y (t) (5.18).

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площи­ні, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв’язною. Для утворення однозв’язної обла­сті необхідно розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області - внутрішню і зовнішню.

Область D на площині називається однозв’язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв’язні, а область в — неоднозв’язна. Поняття зв’язної і однозв’язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.

Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чи­ном: якщо у = f (х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента на­буває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка $$$$ така, що f ($$$$) = 0.

Точка $$$$ називається коренем (нулем) функції f (х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).

На рис. б — три корені, а на рис., a — один.

Теорема 6 (про проміжне значення). Якщо функція $$u=f(M)$$ неперервна в зв’язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f (М1) і f (М2), існує принаймні одна така точка М3, яка лежить всередині D, що.

f (М3) = С Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:

якщо у = f (х) неперервна у проміжку $$l,d$$ і набуває різних значень у двох точках, а і b сегмента [а, b] $$$$ $$l,d$$ f (a) = А і f (b) = В, то для будь-якого С, що лежить між, А і В, А < С < В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така точка $$$$, що С = f ($$$$).

Доведення. Нехай, А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f (х) — С.

Для цієї функції.

$$Н(a)=f(a)-C=A-C<\mathrm{0,}$$.

$$H(b)=f(b)-C=B-C>0$$.

Функція Н (х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f (х) і сталої $$$$ (х)= С. Отже, до функції Н (х) застосована теорема про корінь. Тоді на [а, b] існує точка $$$$ така, що Н ($$$$) = 0, тобто.

$$f()-C=0$$.

Звідси.

$$f()=C$$.

що й треба було довести.

Теорема 7 (про найменше і найбільше значення). Якщо функція $$u=f(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)$$ неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m <= f (X) <= M.

Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х1 $$$$ D, в якій функція f (X1) набуває найменшого значення f (Х1) = ті принаймні одна точка Х2 $$$$ D, в якій функція набуває найбільшого значення f (Х2) = М.

Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна на [а, b], то вона обмеже­на, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними чи­слами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції на сегменті [а, b].

m <= f (x) <= M.

На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки $${х}_1^0$$ і $${х}_1^1$$ такі, що.

$$f(x_1^0)=f(x_1^1)=m$$.

і одна точка х2, в якій f (х2) = М.

Теорема 8 (Кантора). Якщо функція $$u=f(Х)$$ неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.

Теорему наводимо без доведення.