Теорія ймовірностей та математична статистика

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ СТАТИСТИКИ, ОБЛІКУ ТА АУДИТУ БІЛОЦЕРКІВСЬКИЙ КОЛЕДЖ ФІНАНСІВ, ОБЛІКУ ТА АУДИТУ Кафедра інформаційних систем та технологій КОНТРОЛЬНА РОБОТА З ПРЕДМЕТУ Математика для економістів Теорія ймовірностей та математична статистика Студентки заочної форми навчання Гребень Олени Геннадіївни Викладач Дядченко Людмила Вікторівна м. Біла Церква

2015 р.

Завдання 1

Із 20 банків 10 розташовані за межами міста. Для дослідження випадково обрано 5 банків. Яка ймовірність того, що серед обраних у межах міста виявиться 3 банки?

Розв’язок. Для розв’язку скористаємося формулою визначення кількості сполучень:

де n — кількість елементів множини,

k — кількість елементів сполучення.

Усього наслідків тут — кількість сполучень із 20 банків по 5. Тих, що сприяють події - наслідків обрання трьох банків у межах міста і одночасно наслідків обрання двох банків за межами міста. Тоді шукана ймовірність є:

Відповідь. Ймовірність того, що серед п’яти обраних банків у межах міста виявляться три становить 34,83%.

Завдання 2

Дано закон розподілу випадкової величини Х

1. Знайти та зобразити графічно функцію розподілу.

2. Знайти М (х), середнє квадратичне відхилення.

Розв’язок. Знайдемо. Оскільки

то 0,002+0,007+0,012+0,022+0,001(2+у)=1,

0,001(2+у)=1−0,043,

2+у=0,957/0,001,

у=955.

Отже, .

1. Знайдемо :

Компактно матиме запис:

Графік функції розподілу F (x) зображено на мал.1.

2. Знайдемо математичне сподівання:

Мал.1. Графік функції розподілу F (x)

3. Обчислимо середнє квадратичне відхилення: ,

Відповідь: математичне сподівання рівне 10,855, середнє квадратичне відхилення — 0,772.

Завдання 3

Дано функцію розподілу величини Х Знайти щільність розподілу ймовірностей f (x), обчислити М (х), D (x), побудувати графіки функцій f (x), F (x).

Розв’язок. 1. Знайдемо щільність розподілу ймовірностей

2. Обчислимо М (х):

Обчислимо D (x):

Проінтегруємо почленно:

3. Побудуємо графіки функцій f (x), F (x).

Мал.2. Графік функції розподілу F (x)

Мал.3. Графік щільності розподілу f (x)

Відповідь. Математичне сподівання М (х) рівне 2,0, дисперсія D (x)=0,5, щільність розподілу ймовірностей

Завдання 4

ймовірність випадкова величина відхилення Закон неперервної випадкової величини Х задано щільністю ймовірностей Знайти а. Побудувати графіки функцій f (x), F (x).

Розв’язок. 1. Значення сталої а визначаємо з умови нормування:

При знайденому значенні а щільність ймовірностей буде мати вигляд:

2. Функція розподілу ймовірностей визначається інтегруванням:

Записуємо загальний вигляд функції F (x):

Графіки функцій розподілу ймовірностей та її щільності показані на малюнках 4 та 5.

Мал.4. Графік функції розподілу F (x)

Мал.5. Графік щільності розподілу f (x)

Відповідь. а = 0,5.