Нестандартний аналіз

Нестандартний аналіз виник у 1960 року, коли Абрахам Робінсон, фахівець із теорії моделей, зрозумів, як методи математичної логіки дозволяють виправдати класиків математичного аналізу XVII і XVIII ст., поставивши на сувору основу їх міркування, використовують «нескінченно великі» і малі величини. Отже, йшлося щодо якихось нових «нестандартних» методах, які мають нічого спільного з традиційною математикою, йдеться про розвитку нових засобів всередині стандартної (теоретикомножинної) математики.

Нестандартний аналіз був би цікавим курйозом, якби єдиним його додатком було обгрунтування міркувань класиків математичного аналізу. Ця людина виявилась корисним і за розвитку нових математичних теорій. Нестандартний аналіз можна порівняти з мостом, перекинутим через річку. Будівництво мосту не розширює доступною нам території, але скорочує шлях із одного берега в інший. Подібною нестандартний аналіз робить докази багатьох теорем короче.

Проте, можливо, головне, значення нестандартного аналізу полягає у іншому. Мова нестандартного аналізу виявився зручним засобом побудови математичних моделей фізичних явищ. Ідеї та художні засоби нестандартного аналізу можуть бути важливою частиною цьогорічного майбутньої фізичної картини світу. У будь-якому разі вже нині багато фахівців по математичної фізиці активно використовують нестандартний аналіз у своїй работе.

Кілька прикладів нестандартного анализа:

Приклад 1. Обчислимо похідну функції [pic]. Дамо аргументу x прирощення dx, перейшовши від точки x до точки x+dx. З’ясуємо де, наскільки при цьому змінилося значення функции[pic]. У точці x воно дорівнювало [pic]. У точці [pic] воно дорівнює [pic][pic][pic]. Отже, воно змінилося на [pic]. Ставлення приращения[pic] [pic] функції [pic] до збільшенню [pic]аргумента[pic] равно.

[pic][pic].

Якщо [pic][pic]бесконечно мало, то членом [pic] у сумі [pic] можна знехтувати, і бажана похідна дорівнює [pic].

Приклад 2. Обчислимо аналогічним чином похідну функції [pic][pic]. Прирощення [pic]равно [pic][pic]; приватне [pic][pic]равно[pic].

[pic].

[pic]Взяв [pic]бесконечно малим, отримуємо, що похідна равна.

[pic].

Приклад 5. Побудова незмірного безлічі. Кожне дійсне число [pic], що задовольнить нерівності [pic], разлагаем на нескінченну двійкову дріб; задля забезпечення однозначності забороняємо розкладання з нескінченним числом які йдуть поспіль одиниць. Фіксуємо довільне нескінченно велике натуральне число[pic] і відбираємо ті справжні числа, у яких [pic]-й член розкладання дорівнює одиниці; безліч всіх відібраних в такий спосіб дійсних чисел незмірно по Лебегу.

Якщо приклади 1 і 2 хоч і можуть шокувати нас наївною нестрогостью, та все ж певною мірою відповідають інтуїції, то приклад 5 представляється просто абракадаброй.

Нестандартний аналіз, проте, майже всі складається з як і абракадабри, має у ньому точний математичний сенс. Він дає змогу, в частковості, з новою погляду оцінити багато міркування класиків математичного аналізу, удавані нестрогими, але що призводять до успіху, і шляхом відносно невеликих уточнень зробити їх задовольняючими сучасним критеріям строгости.

ЩО ТАКЕ НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ?

Одне з найпринциповіших моментів нестандартного аналізу у тому, що нескінченно малі розглядаються не як перемінні величини, бо як величини постійні. Досить розкрити будь-який підручник фізики, щоб подибати нескінченно малі збільшення, нескінченно малі обсяги тощо. п. Всі ці величини мисляться, зрозуміло, не як перемінні, а просто дуже маленькі, майже рівні нулю.

Отже, мова може бути про нескінченно малих числах. Яка кількість слід називати нескінченно малим? Припустимо, що це позитивне число[pic], коли вона найменше позитивних чисел. Легко зрозуміти, що таке не буває: якщо [pic] більше нуля, воно одна із позитивних чисел, тому наше визначення вимагає, щоб число [pic] було менше себе. Тому зажадаємо, щоб [pic] була найменшою в безлічі позитивних чисел. На числової осі таке [pic] має изобразиться самої лівої точкою безлічі [pic]. На жаль числа [pic] з зазначеними властивостями також немає й можуть бути неспроможна: число [pic] буде позитивним числом, меншим [pic] .

Більше точне визначення безкінечною дрібниці числа [pic]>0 [pic], яку ми використовуватимемо в[pic]дальнейшем таке. Будемо складати число [pic] із собою, одержуючи числа [pic]+[pic] тощо. буд. Якщо всі отримані числа виявляться менше 1, то число [pic]и називатиметься нескінченно малим. Інакше кажучи, якщо [pic] нескінченно мало, то скільки знову відкладай відрізок довжини [pic] вздовж відрізка довжини 1, остаточно не дойдёшь. Наше вимогу до нескінченно малому [pic] можна переписати у такому форме[pic].