Вычисление певного інтеграла методами трапецій і середніх прямоугольников

БІЛОРУСЬКИЙ АГРАРНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

КАФЕДРА ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНИКИ.

КУРСОВА РОБОТА на задану тему «обчислення певного интеграла.

методами трапецій і середніх прямоугольников".

Студента 2-го курсу: Полушкина О. А. Науковий керівник: Севернева Е.В.

Мінськ, 1997.

Введение

математичне обгрунтування і аналіз завдання. 3.

Алгоритм та її опис. 5.

Лістинг програми. 6.

Вихідні дані. Результати підрахунків і аналіз. 8.

Укладання та висновки. 10.

Список літератури. 11.

Введение

математичне обгрунтування і аналіз задачи.

Известно,[pic] що включає певний інтеграл функції [pic] типу [pic] чисельно є площа криволінійної трапеції обмеженою кривими x=0, y=a, y=b і y=[pic] (Рис. 1). Є дві методу обчислення цієї площі чи певного інтеграла — метод трапецій (Рис. 2) і метод середніх прямокутників (Рис. 3).

[pic].

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

[pic].

Рис. 2. Метод трапеций.

[pic].

Рис. 3. Метод середніх прямоугольников.

За методами трапецій і середніх прямокутників відповідно інтеграл дорівнює сумі площ прямокутних трапецій, де підставу трапеції якаабо мала величина (точність), з сумою площ прямокутників, де підставу прямокутника якась мала величина (точність), а висота визначається по точці перетину верхнього підстави прямокутника, яке графік функції повинен перетинати у середині. Відповідно отримуємо формули площ — для методу трапеций:

[pic], для методу середніх прямоугольников:

[pic].

Відповідно цим формулам і складемо алгоритм.

Алгоритм.

[pic].

Рис. 4. Алгоритм роботи програми integral.pas.

Лістинг программы.

Програма написана на Tubro Pascla 6.0 для MS-DOS. Нижче наведено її листинг:

program Integral; uses Crt, Dos; var dx, x1, x2,e, i: real; function Fx (x:real):real; begin Fx:=2+x; {Тут запишіть функцію, для обчислення інтеграла.} end;

procedure CountViaBar; var xx1, xx2:real; c: longint; begin writeln («———————————————————————— «); writeln («—>Метод середніх прямокутників. »); writeln («Усього ітерацій: », round (abs (x2-x1)/e)); i:=0; for c:=1 to round (abs (x2-x1)/e) do begin write («Ітерація », c, chr (13)); xx1:=Fx (x1+c*e); xx2:=Fx (x1+c*e+e); i:=i+abs (xx1+xx2)/2*e; end; writeln («———————————————————————— «); writeln («Інтеграл= «,і); end;

procedure CountViaTrap; var xx1, xx2,xx3:real; c: longint; begin writeln («———————————————————————— «); writeln («—>Метод трапецій. »); writeln («Усього ітерацій: », round (abs (x2-x1)/e)); i:=0; for c:=1 to round (abs (x2-x1)/e) do begin write («Ітерація », c, chr (13)); xx1:=Fx (x1+c*e); xx2:=Fx (x1+c*e+e); if xx2>xx1 then xx3:=xx1 else xx3:=xx2; i:=i+abs (xx2-xx1)*e+abs (xx3)*e; end; writeln («———————————————————————— «); writeln («Інтеграл= «,і); end;

begin writeln («———————————————————————— «); writeln («-=Програма обчислення певного інтеграла=- «); writeln («Запровадьте вихідні значення: »); write («Початкова значення x (x1)= «);Readln (x1); write («Кінцеве значення x (x2)= «);Readln (x2); write («Точність обчислення (e)= «);Readln (e); CountViaBar; CountViaTrap; writeln («———————————————————————— «); writeln («Спасибі використання програми ;^) »); end.

Вихідні дані. Результати підрахунків і анализ.

Нижче наведено результат роботи написаної і откомпилированной программы:

———————————————————————— -=Програма обчислення певного інтеграла=- Запровадьте вихідні значення: Початкова значення x (x1)=0 Кінцеве значення x (x2)=10 Точність обчислення (e)=0.01 ———————————————————————— —>Метод середніх прямокутників. Усього итераций:1000 ———————————————————————— Інтеграл= 7.10 000 0000E+01 ———————————————————————— —>Метод трапецій. Усього итераций:1000 ———————————————————————— Інтеграл= 7.15 000 0001E+01 ———————————————————————— Спасибі використання програми ;^).

Розрахунок перевірявся для функції [pic], а певний інтеграл брався від 0 до 10, точність 0,01.

Через війну розрахунків отримуємо: Інтеграл [pic]. Методом трапецій [pic]. Методом середніх прямокутників [pic].

Також було зроблено розрахунок із точністю 0,1: Інтеграл [pic]. Методом трапецій [pic]. Методом середніх прямокутників [pic].

Укладання та выводы.

Отже очевидно, що з обчисленні певних з дитинства інтегралів методами трапецій і середніх прямокутників це не дає нам точного значення, а лише приближенное.

Чим нижчий задається чисельна значення точності обчислень (підставу трапеції чи прямокутника, залежно від методу), тим точніше результат отримуваний машиною. У цьому, число ітерацій становить назад пропорційне від чисельного значення точності. Отже для більшої точності необхідно більше ітерацій, що зумовлює зростання витрат часу обчислення інтеграла за комп’ютером назад пропорційно точності вычисления.

Використання для обчислення одночасно двох методів (трапецій і середніх прямокутників) дозволило досліджувати залежність точності обчислень при застосуванні обох методов.

Отже при зниженні чисельного значення точності обчислень результати розрахунків з обом методам прагнуть друг до друга і обоє до точному результату.

1. Вольвачев О. Н., Крисевич В. С. Програмування мовою Паскаль для.

ПЕОМ ЄС. Мінськ.: 1989 г.

2. Зуєв Е. А. Мова програмування Turbo Pascal. М.1992 г.

3. Скляров В. А. Знайомтеся: Паскаль. М. 1988 г.