Методи інтегрування (реферат)

Методи інтегрування Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпа­дає із змінною інтегрування.

Розглянемо, наприклад, інтеграл (x2+l)dx. В цьому ви­падку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу.

udu=- cos +С Заданий невизначений інтеграл)dx можна знайти, якщо якимось чином вдається звести його до одного із табличних ін­тегралів.

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегруван­ня, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.

Ознайомимось з основними методами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод базується на рівності $$\text{dx}=\frac{1}{a}d(\text{ax}+b),\text{де}а\text{та}b$$ сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб­личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад. Знайти інтеграли.

а) $$(x+3{)}^8\text{dx}-$$ b) $$\text{cos}\frac{x}{2}\text{dx}-$$ с) $$\sqrt[5]{(3x-7{)}^2\text{dx}\text{.}}$$.

Розв’язування.

а) $$(x+3{)}^8\text{dx}=(x+3{)}^{8}d(x+3)=\frac{(x+3{)}^{8+1}}{8+1}+C$$.

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;

b) $$\text{cos}\frac{x}{2}\text{dx}=\frac{1}{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\text{cos}\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=2\text{sin}\frac{x}{2}+C$$.

У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½.

с) $$\sqrt[5]{(3x-7{)}^2}\text{dx}=\frac{1}{3}(3x-7)=\frac{1}{3}\frac{(3x-7{)}^{\frac{2}{5}+1}}{\frac{2}{5}+1}+C=\frac{5}{\text{21}}(3x-7{)}^{\frac{7}{5}}+C$$.

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргу­менти степеневої функції u2/5 = (3x — 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (­- 7).

Метод підстановки (заміни змінної).

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла)dx зробити підстановку x = тоді має місце рівність.

$$f(x)\text{dx}=f\left[(t)\right]{}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$.

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому требащоб функція х — мала обернену t = .

Приклад. Знайти інтеграл.

$$I=\frac{x^2\text{dx}}{\sqrt{\text{25}-x^2}}$$.

Розв’язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді.

$$\sqrt{\text{25}-x^2}=\sqrt{\text{25}-\text{25}{\text{sin}}^{2}t}=5\text{cos}t,\text{dx}=(5\text{sin}t{)}^{\text{'}}\text{dt}=5\text{cos}t\text{dt}$$.

Отже, одержимо.

$$I=\frac{\text{25}{\text{sin}}^{2}t5\text{cos}t\text{dt}}{5\text{cos}t}=\text{25}{\text{sin}}^2\text{dt}=\frac{\text{25}}{2}(1-\text{cos}2t)\text{dt}=\frac{\text{25}}{2}\left(\text{dt}-\text{cos}2\text{tdt}=\frac{\text{25}}{2}t-\frac{\text{25}}{4}\text{sin}2t+C\right)$$.

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

$$\text{sin}2t=2\text{sin}t\text{cos}t=2\frac{x}{5}\frac{1}{5}\sqrt{\text{25}-x^2}$$.

Отже, $$\begin{array}{c}I=\frac{\text{25}}{2}\text{arcsin}\frac{x}{5}-\frac{\text{25}}{4}\frac{2x}{\text{25}}\sqrt{\text{25}-x^2}+C=>\\ =>I=\frac{\text{25}}{2}\text{arcsin}\frac{x}{5}-\frac{x}{2}\sqrt{\text{25}-x^2}+C\end{array}$$.

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t =) тоді має місце.

рівність $$f\left[(x)\right]{}^{\text{'}}(x)\text{dx}=f(t)\text{dt}$$.

Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t =).

Приклад. Знайти $$x\sqrt{x-3\text{dx}}$$.

Розв’язування. Нехай $$\sqrt{x-3}=t$$ тоді $$x-3=t^2=>x=3+t^2,\text{dx}=2\text{tdt}\text{.}$$.

Тому $$x\sqrt{x-3\text{dx}}=(t^2+3)t2t\text{dt}=2(t^4+3t^2)\text{dt}=2t^4\text{dt}+6t^2\text{dt}=\frac{2}{5}{t}^5+\frac{6}{3}{t}^3+C=\frac{2}{5}\sqrt{(x-3{)}^5}+2\sqrt{(x-3{)}^3}+C$$.

Метод інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u (x), v = v (x).

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

d (uv) = udv + vdu.

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо.

$$d(uv)=u\text{dv}+v\text{du}$$.

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо.

$$uv=u\text{dv}+v\text{du}$$.

Отже, одержали формулу.

$$u\text{dv}=uv-v\text{du}$$.

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє знаходження інтеграла $$u\text{dv}$$

звести до зна­ходження інтеграла.

$$v\text{du}$$

. При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл.

$$u\text{dv}$$.

Приклад. Знайти $$\text{In}x\text{dx}$$.

Розв’язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді $$\text{du}=\frac{\text{dx}}{x},$$ v = x.

За формулою інтегрування частинами (4) одержимо.

$$\text{Inx}\text{dx}=x\text{Inx}-\text{dx}=x\text{Inx}-x+C$$.

Література:

Барковський В.В., Барковська Н. В. Вища математика для економістів — Київ: ЦУЛ, 2002 — 400 с. Серія: Математичні науки.