Алгебраїчна проблема власних значень

Власні значения.

1.

ВВЕДЕНИЕ

Целый ряд інженерних завдань зводиться до розгляду систем рівнянь, мають єдине рішення лише тому випадку, якщо відомо значення деякого входить у них параметра. Цей особливий параметр називається характеристичним, чи власним, значенням системи. З завданнями на власні значення інженер зіштовхується у різних ситуаціях. Так, для тензорів напруг власні значення визначають головні нормальні напруги, а власними векторами задаються напрями, пов’язані з цими значеннями. При динамічному аналізі механічних систем власні значення відповідають власним частотах коливань, а власні вектори характеризують моди цих коливань. При розрахунку конструкцій власні значення дозволяють визначати критичні навантаження, перевищення яких призводить до втрати устойчивости.

Выбор найефективнішого методу визначення власних значень чи власних векторів для даної інженерного завдання залежить від низки чинників, як-от тип рівнянь, число шуканих власних значень та його характер. Алгоритми вирішення завдань за власні значення діляться на дві групи. Итерационные методи дуже зручні і добре пристосовані визначення найменшого і найбільшого власних значень. Методи перетворень подоби кілька складніша, зате дозволяють визначити все власні значення й власні векторы.

В цій роботі розглядатимуться найпоширеніші на методи вирішення завдань за власні значення. Проте спочатку наведемо деякі, основні дані з теорії матричного і векторного числень, у яких базуються методи визначення власних значений.

2. ДЕЯКІ ОСНОВНІ ДАНІ, НЕОБХІДНІ ПРИ ВИРІШЕННІ ЗАВДАНЬ НА ВЛАСНІ ЗНАЧЕНИЯ В загальному вигляді завдання за власні значення формулюється наступним образом:

AX = (X, де A — матриця розмірності n x n. Потрібна знайти n скалярних значень (і власні вектори X, відповідні кожному власними значений.

Основные визначення матричного исчисления.

1. Матриця A називається симетричній, якщо аij = аij, де і, j = 1, 2,.. ., n.

Отсюда слід симетрія щодо диагонали.

аkk, де k == 1, 2,.. ., n. Матрица.

|1 |4 |5 | |4 |3 |7 | |5 |7 |2 |.

является прикладом симметричной.

2. Матриця A називається трехдиагональной, якби її елементи, крім елементів головною метою та прилеглих до неї діагоналей, рівні нулю. Загалом разі трехдиагональная матриця має вид.

| | | | | | | | | | |* |* | | | | | |0 | | |* |* |* | | | | | | | | |* |* |* | | | | | | | |. |. |. |. |. |. | | | | | | | | |* |* |* | | | |0 | | | | |* |* |* | | | | | | | | |* |* |.

Важливість трехдиагональной форми зумовлена тим, деякі методи перетворень подоби дозволяють привести довільну матрицю до цього приватному виду.

3. Матриця A називається ортогональної, если.

АТА = Є, де Ат—транспонированная матриця A, а Е—единичная матриця. Вочевидь, матриця, зворотна ортогональної, еквівалентна транспонированной.

4. Матриці Проте й У називаються подібними, якщо є така несингулярная матриця Р, що справедливе соотношение.

У = Р-1АР.

Основні властивості власних значений.

1. Усі п власних значень симетричній матриці розмірності пХп, що з дійсних чисел, справжні. Це пам’ятати, оскільки матриці, які в інженерних розрахунках, часто бувають симметричными.

2. Якщо власні значення матриці різні, що його власні вектори ортогональны. Сукупність п лінійно незалежних власних векторів утворює базис аналізованого простору. Отже, для сукупності лінійно незалежних власних векторов.

Xi, де і == 1,.. ., n, будь-який довільний вектор у тому просторі можна сформулювати через власні вектори. Таким образом,.

n.

Y = (aiXi. i=1.

3. Якщо дві матриці подібні, їх власні значення збігаються. З подоби матриць A і У слід, что.

У = Р-1АР.

Так как.

АХ = (Х, то.

Р-1АХ = (Р-1Х. Якщо прийняти це Х == РY, то.

Р-1АРY = (Y, а.

ВY == (Y.

Таким чином, матриці A і Не мають однакові власні значення, а й їхні власні вектори пов’язані соотношением.

Х = Р Y.

4. Помноживши власний вектор матриці на скаляр, одержимо власний вектор тієї ж матриці. Зазвичай, усе власні вектори нормують, розділивши кожен елемент власного вектора або з його найбільший елемент, або у сумі квадратів від інших элементов.

3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДИ РЕШЕНИЯ.

Пожалуй, найочевиднішим засобом для вирішення завдання за власні значення був частиною їхнього визначення із системи уравнений.

(A — (E) Х == 0, має ненульове рішення у випадку, якщо det (A — (E)=0. Розгорнувши визначник, одержимо багаточлен п-й ступеня щодо (, коріння якого і буде власними значеннями матриці. Для визначення коренів можна скористатися будьяким зі методів, описаних у Пророчих гол. 2. На жаль, в завданнях за власні значення часто зустрічаються кратні коріння. Оскільки итерационные методи, у випадках не гарантують отримання рішення, то визначення власних значень слід користуватися іншими итерационными методами.

Определение найбільшого власного значення методом итераций.

На рис. 1 показано блок-схема найпростішого итерационного методу відшукання найбільшого власного значення системы.

AХ = (Х.

Процедура починається з пробного нормованого вектора X (0). Цей вектор збільшується зліва на матрицю A, і результати прирівнюється твору постійної (власне значення) і нормированному вектору X (0). Якщо вектор X (0) збігаються з вектором X (0), то рахунок припиняється. У протилежному такому випадку новий нормований вектор використовують у ролі вихідного і весь процедура повторюється. Якщо процес сходиться, то постійний множник відповідає істинному найбільшому власному значенням, а нормований вектор — відповідному власному вектору. Швидкість збіжності цього итерационного процесу залежить від цього наскільки вдало обраний початковий вектор. Якщо він близький до справжнього власному вектору, то ітерації сходяться нас дуже швидко. На швидкість збіжності впливає ще й ставлення величин двох найбільших власних значень. Якщо цей показник близько до одиниці, то відповідність виявляється медленной.

Рис. 1. Блок-схема алгоритму иитерационного методу вирішення завдань за власні значения.

Приклад 1.

Исследуем трехосное напружене стан елемента тіла, що був на малюнку 2. Матриця напруг йому має вид.

|10 |5 |6 | | |5 |20|4 | * 106 Н/м2 | |6 |4 |30| |.

Малюнок 2. Трехосное напружене стан елемента тела.

Якщо з те, що руйнація станеться за максимального напрузі, необхідно знати величину найбільшого головного напруги, яке відповідає найбільшому власному значенням матриці напруг. Для перебування цього напруги скористаємося методом ітерації Нижче приведено програма для ЕОМ, з допомогою якої итерационная процедура здійснюється до того часу, поки різницю між власними значеннями, обчисленими в послідовних ітераціях, стане менш 0,01%. У програмі використані дві підпрограми — GMPRD з пакету програм для наукових досліджень про фірми IВМ, службовець для перемножения матриць і NORML, нормирующая власні вектори по найбільшому элементу.

{********************************************************** ************}.

Программа визначення власних значень Програма дозволяє визначити найбільше головне напруга (власне значення) для даного трехосного напруженого стану. Застосовується метод ітерацій. Рахунок припиняється, коли зміна власного значення стає менш 0,01 відсотка чи число ітерацій перевищує 50.

{********************************************************** ************} DIMENSION S (3,3), X (3), R (3) S (1,1) = 10. E06 S (1,2) = 5. ЕО6 S (2,1) = S (1,2) S (1,3) = 6. E06 S (3,1) = S (1,3) S (2,2) = 20. E06 S (2,3) = 4. E06 S (3,2) = S (2,3) S (3,3) = З0. Е06 X (1) = 1. Х (2) = 0.0 Х (3) = 0.0 XOLD = 0.0 I = 0.

WRITE (6 100) WRITE (6 101) WRITE (6 102) WRITE (6 100) WRITE (6 104) I, X (1), X (2), X (3) DO 1 1=1,50 CALL GMPRD (P.S, X, R, 3, 3, 1) DO 2 J=1,3.

2 X (J) = R (J) CALL NORML (XLAM, X) WRITE (6,103) I, XLAM, X (1), X (2), X (3) IF (ABS ((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3.

1. XOLD = XLAM 3 WRITE (6,100).

100 FORMAT (1X 54C «- «»)) 101. FORMAT (2X ‘ITERATION', ЗХ ‘ITERATION',.

11X,‘EIGENVECTOR ") 102. FORMAT (3X «NUMBER », 6X, «(N/M**2)', 5X, ‘X (1)',.

6X, «X (2) », 6X,'X (3)') 103 FORMAT (1X, I5,7X, E12.5,3F10.5) 104 FORMAT (1X, I5,19X, 3F10.5).

STOP.

END.

{******************************************************** **************}.

SUBROUTINE NORML (XL, X).

DIMENSION X (3) {******************************************************** **************} Підпрограма norml. Ця підпрограма знаходить найбільший із трьох елементів власного вектора і внормовує власний вектор у цій найбільшому елементу. {******************************************************** **************}.

# FIND THE LARGEST ELEMENT.

XBIG = X (1) IF (X (2).GT.XBIG)XBIG=X (2) IF (X (3).GT.XBIG)XBIG=X (3).

# Нормування по XBIG X (l) = X (1)/XBIG X (2) = X (2)/XBIG X (3) = X (3)/XBIG XL = XBIG RETURN END {******************************************************** **************} Результат роботи програми отримуємо в виде:

| Номер |Власне| Власний вектор| |Ітерації | | | | |Значення | | | |(N / M ** | | | |2) | | | | | X | X | X (3) | | | |(1) |(2) | | |0. | |1.0000|0. |0. | | | |0 | | | | |0.10 000 Є |1,0000|0.50 000 |0.60 000 | | |08 |0 | | | | |0.26 000Е 08|0.6192|0.66 923 |1.0 | | | |3 | | | | |0.36 392Е 08|0.4269|0.56 278 |1.0 | | | |7 | | | | |0.34 813Е 08|0.3758|0.49 954 |1.0 | | | |3 | | | | |0.34 253Е 08|0.3578|0.46 331 |1.0 | | | |1 | | | | |0.34 000Е 08|0.3498|0.44 280 |1.0 | | | |4 | | | | |0.33 870Е 08|0.3458|0.43 121 |1.0 | | | |0 | | | | |0.33 800Е 08|0.3436|0.42 466 |1.0 | | | |2 | | | | |0.33 760Е 08|0,3424|0.42 094 |1.0 | | | |0 | | | | |0.33 738Е 08|0.3417|0.41 884 |1.0 | | | |1 | | | | |0.33 726Е 08|0.3413|0.41 765 |1.0 | | | |2 | | | | |0.33 719Е 08|0,3411|0.41 697 |1.0 | | | |0 | | | | |0.33 714Е 08|0.3409|0.41 658 |1.0 | | | |3 | | | | |0.33 712Е 08|0.3409|0.41 636 |1.0 | | | |1 | | |.

Отметим, що з досягнення необхідної точності знадобилося 14 итераций.

Визначення найменшого власного значення методом ітерацій У окремих випадках доцільно шукати найменше, а чи не найбільше власне значення. Це можна зробити, попередньо помноживши вихідну систему на матрицю, зворотний A:

А-1АX=(А-1X. Якщо обидві частини цієї співвідношення помножимо на 1/(, то получим.

1/(Х = A-1X.

Ясно, що то це вже інше завдання на власне значення, на яку воно одно 1/(, а аналізованої матрицею є A-1. Максимум 1/(, характеризується найменшому (. Отже, описана вище итерационная процедура можна використовувати визначення найменшого власного значення нової системы.

Определение проміжних власних значень методом итераций Найдя найбільше власне значення, можна визначити таке його по величині, замінивши вихідну матрицю матрицею, що містить лише решта власні значення. Використовуємо при цьому метод, званий методом исчерпывания. Для вихідної симетричній матриці A з вагомим ім'ям найбільшим власним значенням (1 і власним вектором X1 можна скористатися принципом ортогональности власних векторів, т. е. записать.

ХiT Хj =0 при ij і ХiT Хj =1 при i=j. Якщо утворити нову матрицю A* відповідно до формулой.

A* =A-(1Х1 Х1T, що його власні значення й власні вектори будуть пов’язані соотношением.

А*Xi =(iXi.

Из наведеного вище висловлювання для матриці A* слід, что.

A* Хi = AХi -(Х1 Х1TXi.

Здесь при і = 1 властивість ортогональности дозволяє привести праву частина до виду.

A Х1 — (1 Х1.

Но з визначення власних значень матриці A цей вислів має рівнятися нулю. Отже, власне значення (1 матриці A* одно нулю, проте інші її власні значення збігаються зі своїми значеннями матриці A. Отже, матриця A* має власні значення 0, (2, (3,.. ., (n відповідні власні вектори Х1, Х2, Хз,... … Хn. Через війну виконаних перетворень найбільше власне значення (1 було вилучено, і тепер, щоб знайти таке найбільше власне значення (2, можна застосувати до матриці A* звичайний итерационный метод. Визначивши (2 і Х2, повторимо весь процес, використовуючи нову матрицю A**, отриману з допомогою A*, (2 і Х2. Хоча здавалося б здається, що цей процес повинен швидко призвести до мети, вона має суттєві недоліки. За виконання кожного кроку похибки у визначенні власних векторів будуть позначатися на точності визначення наступного власного вектора і викликати накопичення помилок. Тому описаний метод навряд чи застосуємо перебування більш як трьох власних значень, починаючи з найбільшого чи найменшого. Якщо потрібно отримати більше число власних значень, слід користуватися методами перетворення подобия.

4. ВИЗНАЧЕННЯ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ МЕТОДАМИ ПЕРЕТВОРЕНЬ ПОДОБИЯ Метод перетворень подоби діє з метою отримати гроші з вихідної матриці нову з тими самими власними значеннями, а більш простого виду. Вочевидь, найкращим спрощенням було б приведення матриці до суто диагональному виду, позаяк у цьому випадку власні значення просто відповідали б елементам матриці, хто стоїть на головною діагоналі. До жалю, більшість методів перетворення Демшевського не дозволяє цього, і сьогодні доводиться задовольнятися приведенням матриці до трехдиагональной форме.

Метод Якоби.

Метод Якобі дозволяє привести матрицю до диагональному виду, послідовно, виключаючи все елементи, які стоять поза головною діагоналі. До жалю, приведення до суворо диагональному виду вимагає нескінченно значної частини кроків, оскільки створення нової нульового елемента дома однієї з елементів матриці часто веде до появи ненульового елемента там, де раніше був нуль. Насправді метод Якобі розглядають, як итерационную процедуру, який у принципі дозволяє досить близько підійти до діагональної формі, щоб це перетворення можна було закінченим. Що стосується симетричній матриці A дійсних чисел перетворення виконується з допомогою ортогональних матриць, здобутих у результаті обертанні у справжній площині. Обчислення здійснюються так. З вихідної матриці А утворюють матрицю A1 == Р1АР1T. При цьому ортогональна матриця Р1 вибирається те щоб в матриці А1 з’явився нульової елемент, стоїть поза головною діагоналі. Потім з А1 з допомогою другий перетворюючої матриці Р2, утворюють нову матрицю A2. У цьому Р2, вибирають те щоб в A2 з’явилася ще одна нульової внедиагональный елемент. Цю процедуру продовжують, прагнучи, щоб у кожен крок в нуль звертався найбільший внедиагональный елемент. Перетворююча матриця реалізації зазначеної операції у кожен крок конструюється так. Якщо елемент аkl матриці Ат-1 має максимальний розмір, то Рт соответствует.

Pkk = Pll = co (,.

Pkl = - Plk = sin (,.

Pii = 1 при і k, l, Pij = 0 при і j.

Матриця Ат надто відрізнятиметься від матриці Am-1 лише рядками і стовпчиками з номерами k і l. Щоб елемент аkl (m) дорівнював нулю, значення (вибирається так, чтобы.

2 akl (m-1) tg 2 (= ————————————-. akk (m-1) — all (m-1).

| | | | | | | k| | | | | | | l| | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Co (|.|.|.|.|.|.|sin | | | | |k| | | | | | | | | | | | | | |(| | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | |Pm = | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | |- sin| | | | | | |Co | | | | |l| | | | | | | |(| | | | | | |(| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1| |.

Значення (укладено в интервале.

((.

— —.