Алгебраїчні числа

Алгебраические числа

Курсовая по алгебре.

Введение

.

Первоначальные елементи математики пов’язані з приходом навичок рахунки, що виникають у примітивною формі на порівняно ранніх щаблях розвитку людського суспільства, у процесі трудовий деятельности.

Исторически теорія чисел виникла як безпосереднє розвиток арифметики. У цей час у теорію чисел включають значно ширший потреби, виходять далеко за межі вивчення натуральних чисел. Теоретично чисел розглядаються як натуральні числа, а й безліч всіх цілих чисел, а як і безліч раціональних чисел.

Если розглядати коріння багаточленів: f (x)=xn+a1xn-1+…+an з цілими коефіцієнтами, то звичайні цілі числа відповідають випадку, коли цей багаточлен має ступінь n=1. Існує безліч комплексних чисел природно виділити звані цілі алгебраїчні числа, які становлять коріння багаточленів з цілими коэффициентами.

Изучение властивостей таких чисел становить на утримання однієї з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, званого алгебраїчній теорією чисел. Вона пов’язана вивчення різних класів алгебраїчних чисел.

I. Короткий історичний очерк.

Огромное значення у розвитку теорії чисел мали чудові роботи До. Гаусса (1777−1855). Гаусс поруч із вивченням звичайних чисел почав розглядати як і і арифметику чисел, які отримали назву цілих гауссовских чисел, саме числа виду a+bi, де a і b — звичайні цілі числа. Ці дослідження поклали початку алгебраїчній теорії чисел.

Теория алгебраїчних чисел була побудована роботах Куммера (1810−1893) і Дирихле (1805−1859) і розвинена потім Кронекером (1823−1891), Дедекиндом (1831−1916) і Є.І. Золотаревым (1847−1878). Роботи Лиувилля (1809−1882) і Эрмита (1822−1901) стали основою трансцендентних чисел.

Вопросы апроксимації алгебраїчних чисел раціональними були істотно просунуті в початку століття А. Туэ, потім у 50-х роках на роботах До. Рота.

В нього дедалі більшої уваги фахівців із теорії чисел приваблює алгебраїчна теорія чисел.

Здесь треба назвати роботи Р. Хассе, Є. Гекке, особливо французького математика А. Вейля, результати якої було використано у багатьох теорико-числовых дослідженнях, як, наприклад Д. Берджессом в проблемі про найменшому квадратичном вычете.

К алгебраїчній теорії чисел належить і цікаві роботи радянського математика І.Р. Шафаревича, а як і роботи Б. М. Делонга з теорії кубічних форм.

II. Поле алгебраїчних чисел.

2.1 Поняття числового поля

Естественный й таке важливе підхід до виділення й поглибленого вивчення тих чи інших множин чисел пов’язані з замкнутістю множин чисел щодо тих чи інших действий.

Определение 1: Ми говоримо, що якийсь безліч чисел М замкнуто щодо деякого дії, для будь-яких двох чисел їх М, котрим визначено результат даного дії з нього, число, є цей результат, завжди що належить М.

Пример:

N Безліч натуральних чисел замкнуто щодо складання, т.к. «a, bÎN => (a+b) ÎN.

В відношенні множення безліч N як і замкнуто. Але він перестав бути замкнутим щодо вирахування і розподілу. Действительно:

5, 7 ÎN, але 5−7=-2 ÏN,.

3, 2ÎN, але 3:2=1,5 ÏN.

Множество цілих чисел Z замкнуто щодо складання, вирахування і умножения.

Множество чисел виду 2к, кÎN, замкнуто щодо множення і деления.

2к*2l=2k+l.

2к:2l=2k-l.

В зв’язки України із замкнутістю дій на безлічі виділилися класи числових множеств.

Рассмотрим один їх класів, званих полем.

Определение 2: Безліч чисел М, містять щонайменше двох чисел, називається числовим полем, коли вона замкнуто стосовно дій складання, вирахування, множення і деления.

Последнее означає, що з будь-яких a, b ÎM, повинно бути і a+b, a-b, a*b ÎM. Також нічого для будь-якого aÎM і жодного b¹0 з М, мало виконуватися a: bÎM.

Пример:

Среди найважливіших числових полів найважливішими являются:

поле всіх раціональних чисел;

поле всіх речовинних чисел;

поле всі комплексні чисел.

Что стосується безлічі всіх цілих чисел, воно перестав бути числовим полем, бо замкнуто щодо деления.

Существует нескінченно багато числових полів. Нас, у разі цікавить полі алгебраїчних чисел.

2.2 Визначення алгебраического числа.

Существуют різні ознаки, за якими їх загального безлічі Z виділяю ті чи інші підмножини, подвергаемые спеціальному вивченню. З погляду важливого моменту алгебри поняття алгебраического рівняння, природним представляється виділення класів чисел, є корінням алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти яких належать тому чи іншому класу чисел.

Определение 3: Кількість Z називається алгебраїчним, коли вона є коренем якогось алгебраического рівняння з цілими коэффициентами:

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0.

(a0, a1, …, anÎZ; an¹0),.

т.е. выполняется:

anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0.

Числа які є алгебраїчними називаються трансцендентными.

В визначенні алгебраического числа можна припустити, щоб коефіцієнти a0, a1, …, an-1, an були будь-якими раціональними числами, оскільки, помноживши ліву праву частини рівняння на ціла кількість, є загальним кратним знаменником всіх коефіцієнтів, ми маємо рівняння з цілими коефіцієнтами, коренем якого буде наше число.

К алгебраїчним числам належать, зокрема, і всі раціональні числа. Справді, раціональне число z= (p, qÎN) очевидно є коренем рівняння: qx-p=0.

Также всяке значення кореня будь-якого рівня з раціонального числа є алгебраїчним числом. Справді, число z= (p, qÎN) є коренем уравнения:

qxn-p=0.

Существуют та інші алгебраїчні числа, ніж вказане выше.

Пример:

Чиcло z= є алгебраїчним. Справді, споруджуючи в квадрат обидві частини рівності, визначального число z, одержимо: z2=2+2+3. Звідси z2−5=. Споруджуючи в квадрат обидві частини цієї рівності, одержимо: z4−10z2+25=24. Звідси випливає, що число z є коренем наступного уравнения:

x4−10×2+1=0.

Всякое число z=a+bi, яка має компоненти a і b — раціональні числа, є алгебраїчними. Доведемо это.

, (p, q, ÎN).

Из рівності , отримуємо: . Звідси, споруджуючи в квадрат, одержимо: . Отже, я є коренем уравнения:

.

все коефіцієнти якого цілі числа.

В подальшому ми розглядати лише справжні алгебраїчні числа, не надавши цього кожен раз.

Из f (x)=0 слід f (z)j (x)=0, де серед j (x) можна взяти будь-який багаточлен з цілими коефіцієнтами. Отже нічого для будь-якого алгебраического числа z, із усіх цих багаточленів зазвичай розглядають багаточлен найменшої степени.

Определение 4: Кількість n називається ступенем алгебраического числа z, якщо z є корінь деякого багаточлена n-ой ступеня з раціональними коефіцієнтами і існує тотожний не рівного нулю багаточлена з раціональними коефіцієнтами ступеня, меншою ніж n, коренем якого є z.

Если корінь багаточлена n-ой ступеня з цілими раціональними коефіцієнтами z не є коренем жодного тотожний нерівного нулю багаточлена з цілими коефіцієнтами ступеня меншою ніж n, то z може бути коренем і тотожний нерівного нулю багаточлена з раціональними коефіцієнтами ступеня меншою ніж n, тобто. z — алгебраїчне число ступеня n.

Рациональные числа є алгебраїчними числами першого ступеня. Будь-яка квадратическая ірраціональність є алгебраїчне число ІІ-го ступеня, оскільки, будучи коренем квадратичного рівняння з цілими коефіцієнтами, не є коренем будь-якого рівняння 1-го ступеня з цілими коефіцієнтами. Алгебраїчні числа III ступеня часто називають кубічними иррациональностями, а 4-й ступеня биквадратическими иррациональностями.

Пример:

 — алгебраїчне число III ступеня, тобто. кубічна ірраціональність. Справді, їх кількість є корінь багаточлена III ступеня з цілими коефіцієнтами x3−2=0 і перестав бути коренем будь-якого багаточлена 1-ї чи ІІ-го ступеня з цілими коэффициентами.

Определение 5: Якщо алгебраїчне число енну кількість ступеня z є коренем багаточлена f (x)=xn+b1xn-1+ … +bn (n³1) (1) з раціональними коефіцієнтами, то f (x) називається мінімальним многочленом для z.

Таким чином, мінімальним многочленом для z називається багаточлен найменше з раціональними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом, рівному одиниці, коренем якого є z.

Если замість багаточлена (1) взяти якась інша багаточлен з раціональними коефіцієнтами ступеня n, коренем якого є z, то багаточлен (1) може бути отримано потім із нього розподілом всіх коефіцієнтів на старший член.

Пример:

Минимальным многочленом для є x3−2, оскільки коріння цієї багаточлена перестав бути коренем будь-якого багаточлена ступеня з раціональними коэффициентами.

Теорема 1: Якщо f (x) мінімальний багаточлен алгебраического числа z і f (x) багаточлен з раціональними коефіцієнтами, такий, що F (z)=0, то f (x) дільник F (x), тобто. F (x)=f (x)g (x), де g (x) також багаточлен з раціональними коэффициентами.

Доказательство: Відповідно до відомої теоремі алгебри F (x) можна в виде:

F (x)=f (x)g (x)+r (x).

где g (x) і к (ч) — багаточлени з раціональними коефіцієнтами, причому ступінь r (x) менше ступеня f (x). Оскільки F (x)=0 і f (z)=0, то надаючи x значення z, отримуємо r (z)=0; z — корінь багаточлена r (x) з раціональними коефіцієнтами ступеня, меншою ніж в мінімального для z багаточлена, тобто. меншою ніж ступінь z. Це може лише якщо r (x) тотожний нульовий, отже F (x)=f (x)g (x). Теорему доказана.

Теорема 2: Для будь-якого алгебраического числа z мінімальний багаточлен неприводим над полем раціональних чисел.

Доказательство:

Пусть f (x) — мінімальний багаточлен для z. Припустимо, що f (x) наводимо над полем раціональних чисел, тобто., що f (x)=w (x)j (x), w (x)j (x) — багаточлени з раціональними коефіцієнтами, ступеня меншою, ніж n.

Из рівності w (x)j (x)=f (x)=0 слід, що з цих двох чисел w (x) і j (x), по крайнього заходу одне одно нулю. Нехай наприклад w (x)=0, тоді z — корінь тотожний не рівного нулю багаточлена w (x) з раціональними коефіцієнтами, ступеня меншою, ніж n, тобто. меншою ніж в f (x). І це суперечить з того що f (x) — мінімальний багаточлен для z. Припущення, що f (x) наводимо над полем раціональних чисел, виявилося неправильним, тобто. f (x) неприводим з цього полем. Теорему доказана.

Теорема 3: Якщо z корінь неприводимого над полем раціональних чисел багаточлена F (x) з раціональними коефіцієнтами ступеня n, то z — алгебраїчне число ступеня n.

Доказательство:

Обозначим мінімальний багаточлен для z через f (x). Відповідно до теореми 1: F (x)=f (x)g (x); де g (x) — багаточлен з раціональними коефіцієнтами. Оскільки F (x) неприводим над полем раціональних чисел і f (x) відмінно від постійного, то g (x)=c, де з — раціонально. F (x)=cf (x), тобто. z — алгебраїчне число енну кількість ступеня. Теорему доказана.

Пример:

Пусть p — просте число.

незалежно від простому цілому a (a>1), не рівному p-ой ступеня іншого цілого, є алгебраїчне число ступеня p. Справді, це число є корінь неприводимого над полем раціональних чисел многочлена.

xp-a=0.

Если z — алгебраїчне число ступеня n і f (x) — мінімальний багаточлен для z, усі коріння z1, z2, … zn рівняння f (x)=0, які від z, називають сопряженным з z.

Один з коріння збігаються з z, ставитимемо його за місце, тобто. z=z1.

2.3. Поле алгебраїчних чисел

Теорема 4: Безліч всіх дійсних алгебраїчних чисел є полі, тобто. сума, різницю, твір і приватне двох алгебраїчних чисел a і b (для приватного при b¹0) є алгебраїчними числами.

Доказательство:

Пусть a — корінь багаточлена f (x) ступеня n з цілими коефіцієнтами, коріння якого a1, a2, …, an, a і b — корінь багаточлена j (x) ступеня m з цілими коефіцієнтами, коріння якого b1, b2, … bm (b=b1). Розглянемо многочлен:

F (x)=(x-(ai+bi))=.

= (x-a1-b1) (x-a1-b2) … (x-a1-bm).

(x-a2-b1) (x-a2-b2) … (x-a2-bm).

— - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ;

(x-an-b1) (x-an-b2) … (x-an-bm) (2).

Если у цьому творі зробити яку завгодно підстановку величин a1, a2, …, an, то деякі рядки переставляється місцями, але твір загалом не зміниться. Це означає, що F (x) — симметрический багаточлен стосовно b1, b2, … bm. У цілому F (x) — симметрический багаточлен від двох систем аргументів: a1, a2, …, an і b1, b2, … bm.

Согласно відомим теоремам про симетричних многочленах, коефіцієнти багаточлена F (x) можуть бути виражені раціонально через елементарні симметрические функції від a1, a2, …, an і b1, b2, … bm, тобто. через цілі коефіцієнти, f (x) і j (x). Це означає, що коефіцієнти F (x) раціональні, і, отже, число a+b=a1+b1, що є, як і безпосередньо це випливає з формули (2), коренем F (x), є алгебраїчне число.

Для докази, що твір двох алгебраїчних чисел a і b є алгебраїчне число, досить, аналогічна тій, як це було хіба що зроблено багаточлена (2), розглянути многочлен:

F (x)=(x-aibi) (3).

Этот багаточлен має у ролі однієї зі своїх коренів a1b1=ab.

Пусть b — корінь багаточлена j (x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi — цілі числа). Тодіb є коренем багаточлена з цілими коэффициентами.

j (-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при b¹0 корінь багаточлена xnj ()=b0+b1x+ … bnxn. Отже, разом із b алгебраїчними числами єb і .

Разность то, можливо представленій у вигляді a+(-b), тобто. як суми двох алгебраїчних чисел. При b¹0 приватне , будучи твором двох алгебраїчних чисел, є як і алгебраїчне число.

Если ступеня алгебраїчних чисел a і b рівні m і n, то, взявши у ролі f (x) і j (x) відповідні мінімальні багаточлени будемо в (2) і (3) мати багаточлени ступеня mn, і ab алгебраїчні числа ступеня, не більшої, ніж mn. Багаточлени j (x), j (-x), і xn однаковою ступеня, отже, b, -b, — алгебраїчні числа одному й тому мірі, звідки слід, як і a-b і мають ступеня максимум, ніж mn. Теорему доказана.

Пример:

1) і алгебраїчні числа ІІ-го ступеня, а  — алгебраїчне число 4 ступеня. Справді, якщо a=, то a2=5+, 24−10a2+1=0, тобто. a корінь багаточлена f (x)=x4−10×2+1 з цілими коефіцієнтами, і f (x)=(x-)(x-)(x+)(x+) (4).

Из теореми одиничності над полем раціональних чисел множники f (x) повинні бути твором якихось множників правій частині рівності (4). Легко бачити, що з цих множників не можна скласти багаточлен з раціональними коефіцієнтами ступеня меншою, ніж 4, тобто. f (x) — неприводимый над полем раціональних чисел багаточлен, отже, відповідно до теоремі 3,  — алгебраїчне число 4-й степени.

2) a= і b=, як бачити, це алгебраїчні числа 6-ї ступеня, а твір ab= — алгебраїчне число 3-й степени.

III. Раціональні наближення алгебраїчних чисел.

3.1. Теорему Лиувилля.

Алгебраические числа що неспроможні мати занадто хороших раціональних наближень: похибка при заміні алгебраического числа раціональної дробом може бути досить низька усе своєю чергою тоді як величиною, зворотної знаменника раціональної дроби.

Для алгебраического числа 1-го ступеня існує стала c>0, така, що з будь-який раціональної дробу , відмінній від a, виконуватиметься неравенство:

(5).

Для алгебраического числа ІІ-го ступеня можна підібрати c>0, таке, що з будь-який раціональної дробу, матиме місце неравенство:

(6).

В 1844 р., французьким математиком Лиувиллем, уперше було доведено загальна теорема:

Теорема 5: Для будь-якого дійсного алгебраического числа a ступеня n можна підібрати положительноеc, залежне тільки від a, таке, що з всіх раціональних чисел (¹a) матиме місце нерівність:

(7).

Доказательство:

Пусть f (x)=A0xn+ A1xn-1+An неприводимый багаточлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є a. Як f (x) можна, наприклад, взяти багаточлен, получающийся з мінімального для a багаточлена після множення всіх коефіцієнтів на найменше кратну їх знаменателей.

Согласно теоремі Безу, имеем:

f (x)=(x-a)g (x), (8).

где g (x) — багаточлен зі справжніми коэффициентами.

Возьмем довільне d>0. |g (x)| - безперервна, отже, обмежена функція від x у сегменті [a-d; a+d], тобто. існує позитивне число M, таке, що |g (x)|£M, всім x з цього сегмента. Означимо через c=min , отже і .

Для довільного раціонального числа можуть представитися дві возможности:

лежить поза сегмента |a-dm; a+dm|, тоді .

задовольняє неравенствам:

a-d££a+d, тоді |g ()|£M і, підставляючи в (8) замість x значення , получаем:

(9).

Неприводимый над полем раціональних чисел багаточлен f (x) ступеня n³2 немає раціональних коренів, а при n=1 немає коренів, відмінних a, так что:

f ()=.

Поскольку чисельник  — ціле ненегативне, не на нуля, тобто. число більше чи однакову 1, то (10). Порівнюючи нерівності (9) і (10) отримуємо , тож і в цьому випадку маємо: . Теорему доказана.

Пример:

Пусть z — неквадратное ціла кількість. Знайти c>0, таке, що з всіх раціональних чисел була б можливою неравенство:

.

 — корінь багаточлена xa-В. Ділячи x2-D на x-, знаходимо g (x)=x+.

При -d<x<+d маємо , тобто. M=+d. У ролі з беремо , у своїй вигідніше всього взяти d отже d2+d-1=0, тобто. d=.

При такому d отримуємо , отже при будь-яких цілих a і b маємо: .

3.2. Трансцендентні числа Лиувилля.

Числа, є корінням рівнянь з цілими коефіцієнтами, не вичерпують все безліч дійсних чисел, тобто. існують справжні числа чудові від алгебраических.

Определение 6: Будь-яке неалгебраическое число називається трансцендентным.

Впервые існування трансцендентних чисел доведено Лиувиллем. Доказ існування трансцендентних чисел у Лаувилля ефективно; з урахуванням наступній теореми, що є безпосереднім наслідком теореми 5, будуються конкретні приклади трансцендентних чисел.

Теорема 6: Нехай a — дійсне число. Якщо будь-якого натурального n³1 і жодного дійсного c>0 існує хоча тільки раціональна дріб , така, що (11), то a — трансцендентне число.

Доказательство:

Если б a було алгебраїчним, то не знайшлося б (теорема 5) ціле позитивне n і дійсне c>0 такі, що з будь-який дробу було б , але це суперечить з того що має місце (11). Припущення, що a алгебраїчне число, тобто. трансцендентне число. Теорему доказана.

Числа a, котрим за будь-яких n³1 і c>0 нерівність (11) має рішення, у цілих числах a і b називаються трансцендентними числами Лиувилля.

Пример:

.

a — трансцендентне число.

Возьмем довільні справжні n³1 і c>0. Нехай , де k вибрано настільки великим, що і k³n, тоді .

Поскольку для довільних n³1 і c>0 можна знайти дріб таку, що , то a — трансцендентне число.

Заключение

.

Алгебраические числа мають широке використання у теорії чисел, алгебрі, геометрії та інших розділів математики. Вони дозволяють розкрити варіантності алгебри для практичних додатків. Це має значення підготовкою вчителя для середньої школы.

Изучение властивостей таких чисел становить на утримання однієї з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, званого алгебраїчній теорією чисел.

К цьому поділу ставляться питання, пов’язані вивчення різних класів алгебраїчних чисел.

Эта робота може бути як навчального посібника щодо теорії алгебраїчних чисел. Однак вона зручна використання під час до экзамену.

В роботі введена суцільна нумерація теорем і визначень арабськими цифрами. Усі теореми дано з повними доказами. Наведені приклади алгебраїчних чисел і безкомпромісність дій з них, дано з доступними поясненнями й за необхідності, з доказательством.

Большое місце у роботі займають теоретичні інформацію про розвитку алгебри теорії чисел. Крім запровадження, що дає загальний нарис розвитку теорії чисел, перший параграф присвячений вже конкретно розвитку теорії алгебраїчних чисел. Також протягом всієї хірургічної роботи можна спостерігати історичні комментарии.

Данная робота дає чітке уявлення про сучасний стан аналізованого питання й дає чітке уявлення про теорії алгебраїчних чисел і теорії чисел взагалі, як і справу що розвивається науке.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.