Комплексні числа

Министерство Освіти Російської Федерации.

Отдел освіти Ленінського района.

Техничестая школа-лицей..

Д Про До Л, А Д.

Комплексні числа і дії з ними..

Ученика 9 «а» класса.

Князєва В’ячеслава..

р. Владивосток.

1. Історія розвитку комплексних чисел..

Запровадження комплексних чисел було з відкриттям рішення кубічного рівняння, тобто. ще 16 веке..

І на цього відкриття під час вирішення квадратного рівняння x2 + + = px доводилося зіштовхуватися зі випадком, коли потрібно витягти квадратний корінь з (p/2)2 — q, де величина (p/2)2 була за, ніж q. Однак у цьому випадку укладали, що рівняння немає рішень. Про введення нових (комплексних) чисел тим часом (коли навіть негативні числа вважалися «хибними») неможливо було і думки. Але у рішенні кубічного рівняння за правилом Тартальи виявилося, що дій над вдаваними числами не можна отримати действительный корень..

Теорія комплексних чисел розвивалася повільно: ще 18 столітті найбільші математики світу сперечалися у тому, як знаходити логарифми комплексних чисел. Хоча допомогою комплексних чисел удалося одержати багато важливих фактів, які стосуються дійсним числам, але саме існування комплексних чисел багатьом здавалося сумнівним. Вичерпні правила дій зі комплексними числами дала і у 18-ти столітті російський академік Эйлер — одне із найбільших математиків всіх часів і народів. На межі 18 та19 століть було зазначено Весселем (Данія) і Арганом (Франція) геометричне зображення комплексних чисел. На роботи Весселя і Аргана не звернули увагу, і у 1831 р. коли той самий спосіб було розвинено великим математиком Гауссом (Німеччина), він став загальним достоянием..

2.О комплексних числах..

Всвязи з недостатнім розвитком алгебри знадобилося запровадити понад колись відомих позитивних і негативних чисел числа нового роду. Онии називаються комплексными..

Комплексне число має вигляд a + bi; тут a і b — действитель-.

ные числа, а i — число нового роду, зване мнимой единицей..

«Мнимые» числа становлять приватний вид комплексних чисел.

(когда, а = 0). З іншого боку, і справжні числа є приватним виглядом комплексних чисел (коли b = 0)..

Справжнє число a назвемо абсциссой комплексного числа a + bi; дійсне число b — ординатой комплексного числа.

a + bi. Основне властивість числа i у тому, що произведе-.

ние i*i равно -1, т.е..

i2= -1. (1).

Тривалий час не вдавалося знайти такі фізичні величини, з яких можна виконувати дії, підлеглі тим самим правилам, як і дії над комплексними числами — зокрема правилу (1). Звідси назви: «мнима одиниця», «нещире число» тощо. Нині відома ціла ряд таких фізичних величин, і комплексні числа широко застосовуються у математиці, але й у фізиці й технике..

Оставим осторонь питання геометричному чи фізичному сенсі числа i, оскільки у різних галузях науки цей сенс различен..

Правило кожного дії над комплексними числами виводиться з визначення цього дії. Але визначення дій над комплексними числами не вигадані довільно, а встановлено з такою розрахунком, щоб погодилися правила дій над речовими числами. Адже комплексні числа повинні розглядатися над відриві від дійсних, а що з ними..

3. Угоду про комплексних числах..

1. Действительное число, а записується й у вигляді a + 0i (чи a — 0i)..

П р і м е р ы. Запис 3 + 0i позначає те, що поставив запис 3. Запис -2 + 0i означає -2..

2. Комплексное число виду 0 + bi називається «суто мнимим». Запис bi позначає те, що 0 + bi..

3. Два комплекных a + bi, a' + b'i вважаються рівними, якщо в них відповідно рівні абсциссы і ординати, т. е. Если.

a = a', b = b'. Інакше комплексні числа нерівні. Цю ухвалу підказується наступним міркуванням. Якби могло існувати, скажімо, таке рівність:.

2 + 5i = 8 + 2i, то правилам алгебри ми мали б i = 2, тоді як i на повинен бать дійсним числом..

З, а м е год, а зв і е. Ми не визначили, що таке с л про ж е зв і е комплексних чисел. Тому, слід сказати, ми не у праві стверджувати, що кількість 2 + 5i є сумма чисел 2 і 5i. Точніше було сказати, що маємо є пара дійсних чисел: 2 (абсциса) і п’яти (ордината); ці числа породжують число нового роду, условно обозначаемое 5 + 7i..

4.Сложение комплексних чисел.

Про п р е буд е л е зв і е. Сумою комплексних чисел a + bi і a' + b'i називають комплексне число (a + a') + (b + b')i..

Это визначення підказується правилами дій зі обачными многочленами..

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 — 8i) = 1 — 3i.

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Оскільки запис 2 + 0i означає те, як і 2 тощо. буд., то наповнений дію цілком узгоджується з звичайній арифметикою (2 + 7=9)..

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i.

Пример 4. (-2 + 3i) + (- 2 — 3i) = - 4.

У прикладі 4 сума двох комплексних чисел дорівнює дійсному числу. Два комплексних числа a+bi і a-bi називаються сполученими. Сумма пов’язаних комплексних чисел дорівнює дійсному числу.

З, а м е год, а зв і е. Теперь, коли дію складання визначено, маємо право розглядати комплексне число a + bi як сукупність чисел a і bi. Так, число 2 і кількість 5i у сумі дають число 2 + 5i..

4.Вычитание комплексних чисел..

О п р е буд е л е зв і е. Разностью комплексних чисел a + bi (уменьшаемое) і a' + b'i (від'ємник) називається комплексне число (a — a') + (b — b')i..

Пример 1. (-5 + 2i) — (3 — 5i) = -8 + 7i.

Пример 2. (3 + 2i) — (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.

5.Умножение комплексних чисел..

Визначення множення комплексних чисел встановлюється з такою розрахунком, щоб 1) числа a + bi і a' + b'i можна було перемножать, як алгебраїчні двучлены, і щоб 2) число i мало властивістю i 2 = - 1. У силу вимоги 1) твір (a + bi)(a' + b'i) має рівнятися aa' + (ab' + ba')i + bb'i2, а силу вимоги 2) цей вислів має рівнятися (aa' - bb') + (ab' + ba')i. Відповідно до цим встановлюється таке определение..

О п р е буд е л е зв і е. Твором комплексних чисел a + bi і a' + b'i називається комплексне число.

(aa' - bb') + (ab' + ba')i..

З, а м е год, а зв і е 1. Равенство i2 = -1 до встановленого правила множення комплексних чисел мало характер вимоги. Тепер він випливає з визначення. Адже запис i 2, т. е. i*i, рівнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Тут a = 0, b = 1, a' = 0, b' = 1 Маємо aa' - bb' = -1, ab' + ba' = 0, отже твір є -1 + 0i, т. е. -1..

З, а м е год, а зв і е 2. Насправді не доводиться користуватися формулою твори. Можна перемножити дані числа, як двучлены, та був покласти, що i2 = -1..

Пример 1. (1 — 2i)(3 + 2i) = 3 — 6i + 2i — 4i 2 = 3 — 6i + 2i + 4 = 7 — 4i..

Пример 2. (a + bi)(a — bi) = a2 + b 2.

Пример 2 показує, що твір пов’язаних комплексних чисел є дійсне до того ж позитивне число..

6. Розподіл комплексних чисел..

Всоответсвии з визначенням розподілу дійсних чисел встановлюється таке определение..

О п р е буд л е зв і е. Разделить комплексне число a + bi на комплексне число a' + b'i — отже знайти така кількість x + yi, яке, будучи помножені на дільник, дасть делимое..

Якщо дільник не нульовий, то розподіл можливо, і приватне єдино (доказ дивися в зауваженні 2). Насправді приватне зручніше всього знаходити наступним образом..

Приклад 1. Знайти приватне (7 — 4i):(3 + 2i)..

Записавши дріб (7 — 4i)/(3 + 2i), розширюємо її в число 3 — 2i, пов’язана з 3 + 2i. Получим:.

((7 — 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 — 2i)) = (13 — 26i)/13 = 1 — 2i..

Приклад 1 предудущего параграфа дає проверку..

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 — 4i))/((-3 — 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 — 0.92i..

Проступаючи, як і прикладах 1 і 2, знайдемо загальну формулу:.

Чтобы довести, що права частина справді є приватною, досить помножити її в a' + b'. Одержимо a + bi..

З, а м е год, а зв і е 1. Формулу (1) було б взяти за визначення деления..

З, а м е год, а зв і е 2. Формулу (1) можна вивести ще так. Відповідно до визначення, ми повинен мати: (a' + b'i)(x + yi) = a + bi. Отже, повинні задовольнятися такі два уравнения:.

a'x — b'y = a; b'x + a'y = b..

Эта система має єдине решение:.

если a'/b' = -b'/a', т. е. якщо a'2 + b'2 = 0..

Залишається розглянути випадок a'2 + b' 2 = 0. Він можливий тільки тоді, коли a' = 0 і b' = 0, т. е. коли дільник a' + b'i нульовий. Якщо за цьому і подільне a + bi одно нулю, то приватне не визначено. Якщо ж подільне не одно нулю, то приватне немає (кажуть, що його одно бесконечности)..

7. Геометричне зображення комплексних чисел..

Справжні числа можна зобразити точками прямий лінії, як показано на фиг.1, де точка, А зображує число; а точка У — число -5. Ці самі числа можна зображати також.

отрезками ОА, ОВ, враховуючи їм довжину, а й направление..

Кожна точка М «числової прямий» зображує деяке дійсне число (раціональне, якщо відрізок ОМ порівняємо з одиницею довжини, і ірраціональне, якщо неспіввідносна). Отже, на числової прямий не залишається місця для комплексних чисел..

Але комплексні числа можна зобразити на числової площині прямокутну систему координат з однією і тим самим масштабом обох вісях (фиг.2). Комплексне число a + bi ми зображуємо точкою М, що має абсциса x (на фиг.2 х=ОР=.

=QM) дорівнює абсциссе, а комплексного, а ордината у (OQ=РM) дорівнює ординате b комплексного числа..

П р і м е р и. На фіг. 3 точка, А абсциссой х=3 і ординатою у=5 зображує комплексне число 3 + 5i. Крапка У зображує комплексне число -2 + 6i; точка З — комплексне число — 6 — 2i; точка D — комплексне число 2 — 6i..

Справжні числа (в комплексної формі вони теж мають вид a + 0i) зображують точками осі Х, а суто удавані - точками осі У..

П р і м е р ы. Крапка До на фіг. 3 зображує дійсне число 6, точка L — суто нещире число 3i; точка N — суто нещире число — 4i. Початок координат зображують число 0..

Сопряжённые комплексні числа зображуються парою точок, симетричних щодо осі абсцис; так, точки З повагою та З' на фіг. 3 зображують сопряжённые числа -6 — 2i і - 6 + 2i..

Комплексні можна зображати також відрізками, які починаються часткою у точці Про і оканчивающимися у відповідній точці числової площині. Так, комплексне число -2 + 6i можна зобразити як точкою У (фіг. 4), але й вектором ВВ; комплексне число -6 — 2i змальовується вектором ОС і т. д..

З, а м е год, а зв і е. Даючи якому — або відтинку найменування «вектор», ми подчёркиваем, що істотна значення має тут як довжина, а й направление отрезка..

8. Модуль і аргумент комплексного числа..

Довжина вектора, який зображує комплексне число, називається модулем цього комплексного числа. Модуль будь-якого комплексного числа, не рівного нулю, є позитивна число. Модуль комплексного числа a + bi позначається | a + bi |, і навіть буквою r. З креслення видно, що.

r = | a + bi | = a2 + b2.

Модуль дійсного числа збігаються з його абсолютним значенням. Сопряжённые комплексні числа a + bi u a — bi мають і той ж модуль..

9. Геометричний сенс складання і вирахування.

комплексних чисел..

Нехай вектори ОМ і ОМ' (фіг. 4) зображують комплексні числа z= x + yi u z' = x' + y'i. З точки М проведемо вектор МК, рівний OM'. Тоді вектор ОК зображує суму даних комплексних чисел..

Збудований зазначеним чином вектор ОК називається геометричній сумою векторів ОМ і ОМ'..

Отже, сумма двох комплексних чисел представляється сумою векторів, що зображують окремі слагаемые.

Длина боку ОК трикутника ОМК менше суми і більше різниці довжин ОМ і МК. Поэтому.

||z| - |z'|| < |z + z'| 0..

Цей вислів називається нормальной тригонометричної формою или, коротше, тригонометричної формою комплексного числа..

Матеріал иснользовался з книги.

М. Я. Выгодский; Довідник по елементарної математиці: —.

— Государственное видавництво физико-математической літератури; Москва; 1960.