Геометрична алгебра: машина часу

Геометрическая алгебра: машина времени

Египет, Вавилон.

Использование геометричних креслень як ілюстрації алгебраїчних співвідношень траплялося ще Давньому Єгипті й Вавилоні. Наприклад, під час вирішення рівнянь з цими двома невідомими, одне називалося «довжиною», інше -«шириною». Твір невідомих називали «площею». У завданнях, що призводять до кубічному рівнянню, зустрічалася третя невідома величина — «глибина», а твір трьох невідомих іменувалося «обсягом».

Однако не можна дозволити геометричних термінам запровадити нашій оману. Вавилоняни мислили, передусім, алгебраїчно. Хоча вони зображували для наочності невідомі числа лініями й майданами, але останні усе ж таки завжди залишалися числами. Це виявлялося в тому, що з величинами, під назвою мають різні виміру, зверталися і з однорідними: «площа» складали зі «стороною», від «обсягу» забирали «площа» тощо.

Решение рівнянь в Давньому Вавилоне.

Древние єгиптяни і вавілоняни викладали свої алгебраїчні знання з числової формі. Не знали ні негативних чисел, ні, тим паче комплексних і рівняння, які мають позитивних коренів ними не розглядалися. Усі завдання й розв’язання викладалися словесно.

В одній з клинописних табличок зустрічається така завдання: «Я відмінусував з площі бік мого квадрата, це 870» (неважко здогадатися, йдеться про квадратному рівнянні x2-x=870).

Решение їх у табличці рекомендується шукати наступним чином: «Ти береш 1, число. Ділиш навпіл 1, это. Множиш на, это. Ти складаєш це з 870, і це есть, що є квадратом для.Ти складываешь, яку ти множив, с, отримуєш 30, сторона квадрата».

Все вересня табличці записані в 60-ричной системі числення, чому ми наводимо в десяткової записи. У звичних нам позначеннях запропоновані дії приймають вид:. У цьому записи вгадується формула обчислення коренів наведеного квадратного рівняння.

Древняя Греция.

Совсем інший вигляд прийняла алгебра у Стародавній Греції. Після відкриття піфагорійцями несоизмеримых величин креслення із засобу наочності перетворилися на основний елемент алгебри.

Наиболее важливим, серед приписуваних піфагорійцям 5 століття е. досягнень, було відкриття несоизмеримых відрізків.

Возникало воно, швидше за все, з спроб знайти спільну міру діагоналі і боку квадрата.

Это відкриття вразило основи пифагорейской філософії. Адже потім із нього слід, що кількість не всемогуще, бо є відтинки, стосунок яких не виражається ставленням цілих чисел (інших чисел піфагорійці не знали).

Оказалось, що й не виходити далеко за межі пифагорейского вчення про кількість, то багато завдань, що призводять до квадратним рівнянням, взагалі мають числового решения.

Даже така проста рівняння, як x2=2, не то, можливо вирішено ні з області цілих чисел, ані навіть у області відносин чисел. Але він чинився цілком розв’язаним у сфері прямолінійних відрізків: його рішенням було діагональ квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці.

Не наважуючись покращити своє трактування числа, піфагорійці перейшли в галузі чисел до області геометричних величин, побудувавши відповідне літочислення. Для побудови такого обчислення пифагорейская математика мала всім необхідними. Потрібно були лише змінити погляд в ролі креслень, перетворивши із засобу наочності в основний елемент алгебри, і логічно розмістити весь наявний матеріал.

Эта робота було виконано піфагорійцями, та її результати згодом включені Евклидом на другу книжку «Почав». Нове літочислення одержало згодом назва «геометричній алгебри». У цьому вся обчисленні величини стали зображуватися з допомогою відрізків і прямокутників, а будь-які затвердження, ідучи докази мали права існувати в тому разі, якщо вони давалися на геометричному мові. Давньогрецькі математики працювали ні з числами, і з відрізками. Тому знайти невідоме їм означало побудувати шуканий відрізок.

Арабские страны.

Выделение алгебри (як науки про рівняннях) в самостійну гілка математики відбулося арабських країнах, куди після розпаду Римська імперія перемістився центр наукової деятельности.

В першій половині IX століття Багдаді працював Мухаммед ібн Муса ал-Хорезми ал-Маджуси (Мухаммед син Муси з Хорезма з цієї родини жерців). Збереглися його твори по арифметики, алгебрі, астрономії, географії і календарним розрахунках. Найбільш поважним є трактат ал-Хорезми з алгебри, коли він розробив правила перетворення рівнянь. Рівняння, звісно, був із числовими коефіцієнтами і виражалися у словесній формі. На цих конкретних прикладах ал-Хорезми показує шляхи вирішення основних типів лінійних і квадратних рівнянь. У грецьких традиціях він суворо геометрично обгрунтовує свої способы.

Вслед за ал-Хорезми рішенню рівнянь присвячують свої праці багато арабські вчені (Омар Хайям, ал-Бируни, ал-Каши та інших.) Вони вивчали рівняння третьої та четвертої ступеня, коріння розташовані при допомоги перетину парабол, гіпербол і окружностей. У такий спосіб вирішували завдання й грецькі геометри. Але арабських учених, чия математика тяжіла до обчисленням, цікавило і чисельна значення коренів.

Франция, Англія.

Геометрический шлях, безсумнівно, був геніальною знахідкою античних математиків. Але, на жаль, він стримував подальше розвиток алгебри. Адже геометрично можна сформулювати лише перші ступеня (довжини), квадратні (площі) і куби (обсяги), але з вищі ступеня невідомих. Та й невідомі у разі може лише позитивними числами. Нарешті, замість алгебраїчних перетворень доводилося виробляти геометричні побудови, часто дуже громіздкі. Щоб побудувати невідоме, іноді потрібно було стати справжнім віртуозом — це користь геометрії, але з алгебрі.

В першій половині XVII століття значний крок уперед у арифметизации алгебри зробив французький вчений Рене Декарт. Він відокремлював вчення про числах від вчення про величинах, не дотримувався принципу однорідності і намагався звільнити алгебру від підпорядкування геометрії.

В працях європейських учених XVIIXVIII століть чітко проявляється арифметичне побудова алгебри. І якщо в «Загальної арифметиці» Ньютона велике місце ще займають геометричні докладання, то вже у «Засадах алгебри» Клеро і «Універсальної арифметиці» Эйлера все виклад алгебри мало суто арифметичний характер.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.