Теория ймовірностей: наука про випадковому

Теория ймовірностей: наука про случайном

Реферат учня 9 класу «А» середньої школи № 1054 Валишева Тимура.

1. Вступление.

С першого погляду може видатися, що жодних законів, управляючих випадковими явищами немає і «бути не може. Проте, якщо розібратися, випадкові явища відбуваються непогані хаотично. В багатьох випадках виявляються закономірності. Ці закономірності аніскільки не схожі звичні закони фізичних явищ; вони цілком разнообразны.

Возьмем, приміром, гру в монету. При киданні то, можливо два равновероятных результату: монета може впасти догори гербом чи решкою. Кидаючи монету одного разу не можна вгадати, яка сторона виявиться згори. Проте, кинувши монету 100 раз, можна здогадатися з вищесказаного. Можна сказати наперед, що герб випаде не 1 і 2 разу, а, але й 99 і 98 раз, а менше. Кількість випадань герба буде близько до 50. Насправді, і досвіді неважко переконатися, що їх кількість буде укладено між 40 і 60.

Так ж статистично встановлено, що у 1000 дітей доводиться 511 хлопчиків і 489 дівчаток (тобто. 48,9% і 51,1% відповідно). Це вражаюче сталість зазначено багатьма вченими, серед яких і було Симон Лаплас, одного з засновників Теорії. Цю інформацію дозволяє нам з великою точністю пророкувати ймовірність кількості хлопчиків чи дівчаток на той чи іншого рік (ці розрахунки, наприклад, використовуються призовний комиссией).

2. Визначення й освоєно основні поняття Теории.

Теперь час торкнутися алгебраическому вираженню Теорії. Ось класичне определение:

определение: Нехай безліч фіналів досвіду складається з n равновероятных фіналів. Якщо m їх сприяють події A, то ймовірністю події A називається число.

.

Давая таке визначення, ми розраховуємо, що (з равновероятности фіналів досвіду) при n-кратном повторенні досвіду подія A настане в випадках (саме тут полягає практична цінність Теории).

Следует пояснити тільки деякі поняття Теорії, які необхідні в дальнейшем:

Достоверное подія — подія, що має статися результаті досвіду. Таке подія позначається буквою E (Expected).

Невозможное подія — подія, яка може статися результаті досвіду. Таке подія позначається буквою U (Unreal).

Несовместные події - події, які можуть відбутися результаті досвіду одновременно.

Совместные події - події, які можуть виникнути внаслідок досвіду одновременно.

Событие A сприяє події B, коли з те, що сталося подія A слід подія B. (тобто. ).

Объединением подій A і B називається подія, яке у тому, у результаті досвіду сталося хоча одне з цих подій (тобто. ).

Пересечением подій A і B називається подія, яке у тому, у результаті досвіду сталися обидва з цих подій (тобто. ).

Закон великих чисел.

.

Пусть K оскільки ми виконали випробування, і N разів у результаті досвіду відбулася подія A. Тоді число називатиметься частотою появи події А. Закон великих чисел стверджує, що з ймовірності події А равной.

(причем N і K нам невідомі), то можна вибрати досить великий N, щоб виконувалося соотношение:

.

где (іпсилон) — як завгодно мале позитивне нерівне нулю число.

Это отже, що з досить велику кількість випробувань частота появи тієї чи іншої події буде як завгодно мало відрізнятиметься від нуля.

Это співвідношення дає можливість встановлювати дослідним шляхом з досить хорошим наближенням ймовірність невідомого нам события.

3. Завдання і примеры.

Первые розрахунки ймовірностей подій почалися ще XVII столітті, з підрахунку шансів гравців в азартних іграх. Передусім це був гра в кости.

Задача 1.

Бросили кістку. Яка можливість те, що випало число 5?

Решение.

Всего існує 6 варіантів випадання кістки (n = 6). Всі ці варіанти равновероятны, т.к. кістку така, в усіх сторін є однакові шанси виявитися згори, отже, m = 1; значит.

.

Где Р (5) — ймовірність випадання пятерки.

Задача 2.

Какова можливість, що з киданні випаде парне число очков?

Решение.

Благоприятных можливостей тут три: 2; 4; 6. Тому m = 3, всього фіналів 6 (n = 6), следовательно.

.

Где P (четн.) — ймовірність випадання парного номера.

Задача 3.

Бросили 2 гральні кістки і підрахували суму що випали очок. Що імовірніше — отримати у сумі 7 чи 8?

Решение.

Вот безліч фіналів досвіду: «Разом випало 2 очки», «Разом випало 3 очки»,…, «Разом випало 12 очок». Нас цікавлять події A = «випало 7 очок» і B = «випало 8 очок». Але це равновероятные результати досвіду, може видатися з першого разу. Справді, 2 у сумі може й єдиним чином: 2 = 1+1, а 4 = 1 + 3 і 4 = 2 + 2, отже, шансів те що, що випаде 4, більше. Розглянемо б таку силу-силенну подій: «в одній кістки випало k очок, але в інший кістки випало p очок». . Але це також равновероятные результати. Щоб самому отримати равновероятностные результату досвіду, пофарбуємо кістки у різні кольору (чорне й білий). У результаті маємо: «на білої кістки випало k очок, на чорної - p». Означимо це (k; p). Два таких події попарно несумісні. Кількість всіх можливих фіналів n = 62 = 36 (кожна з 6 очок на білої кістки може поєднуватися із будь-ким із 6 очок на чорної кістки). З положень цих 36 фіналів події A будуть сприяти результати: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), тобто. всього 6 (m = 6). За формулою имеем:

.

Событию B сприятимуть результати: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), тобто. лише п’ять. За формулою, имеем:

.

, отже, отримати у сумі 7 очок — більш ймовірне подія, ніж отримати 8.

Эта завдання уперше було вирішена гравцями до кісток, і потім — вирішена математично. Вона одним з перших, під час обговорення яких початку складатися Теория.

Задача 4.

В коробці лежить 20 однакових на дотик куль. У тому числі 12 білих хусток і 8 чорних. Навмання виймається кулю. Яка можливість, що це кулю белый?

Решение.

.

В результаті досвіду може наступити 2 події: A = «Вийнято чорний кулю» і B = «Вийнято білий кулю». Але це 2 події не равновероятны, т.к. білих куль більше. Для отримання безлічі равновероятных фіналів пронумеруємо кулі: із першого по 12 — білі і з 13 по 20 — чорні. Усі події Ek = «Вийнято кулю з номером k» равновероятны, т.к. кулі навпомацки не можна відрізнити і виймаються на удачу. Тим більш, все 20 подій Ek і є безліччю фіналів нашого досвіду, отже, n = 20. У тому числі 12 сприяють цікавого для нас події B, отже, m = 12. Следовательно Это отже, що з імовірністю 0,6 (60%) ми витягнемо білий шар.

В Теорії існує поняття, як незалежність подій. В кожного з маємо інтуїтивне уявлення про незалежність подій. Приміром, ми розуміємо, що, якщо кинути дві монети, то те, що випало в одній монеті, залежить від те, що випало в інший. Але т.к. Теорія — математична наука, треба дати точне визначення незалежності событий.

определение: Дві події Проте й У називаються незалежними, якщо виконується равенство:

.

Задача 6.

Два мисливця незалежно друг від друга одночасно стріляють по зайцю. Заєць буде убитий, якщо потрапили обидва. Які в зайця шанси вижити, якщо перший мисливець потрапляє з імовірністю 0,8, а другий з ймовірністю 0,75?

Решение.

Рассмотрим дві події: А = «в зайця потрапив 1-ї мисливець» і У = «в зайця потрапив 2-ї мисливець». Нас цікавить подія (тобто. і подія A й цю подію У). З огляду на незалежності подій, имеем:

.

Это отже, що у 6 випадках із 10 зайця пристрелят.

Задача 7.

Известно, що у кожні 10 квитків припадає одна виграшний. Яка можливість виграшу, якщо є 50 билетов?

Решение.

По відомої нам формулі легко обчислити, що ймовірність виграшу одного квитка 0,1; можливість, що він не виграє 0,9. Виграші і програші квитків друг від друга незалежні. Можливість те, що не виграє перший квиток 0,9. Можливість те, що не виграє другий теж 0,9. Тоді можливість, що ні виграє ні перший, ні другий, з визначення незалежних подій.

.

Точно як і показується, можливість, що ні виграють перші 3 квитка, становить 0,93; а можливість, що ні виграють все 50 квитків = 0,950; тобто. приблизно 0,005. Відповідно, ймовірність виграшу хоча самого квитка 0,995 (99,5%).

Задача 7.

Один французький лицар, де Мері, був пристрасним гравцем у кістки. Він всіляко намагався розбагатіти і придумував при цьому різні ускладнені правила.

Он, зокрема, придумав такі правила: кидають 4 кістки і він б'ється про заклад, що тільки в одній випаде 6. Він вважає, що у більшу частину випадків він залишиться у виграші. Щоб підтвердити це, він звернувся безпосередньо до своєму давньому знайомому — Блезу Паскалю з проханням розрахувати, наскільки ймовірним є виграшу у цій игре.

Приведем розрахунок Паскаля.

При кожному окремому киданні ймовірність події A = «випала шістка» = . Можливість події B = «не випала шістка» = . Кубики не залежать друг від друга, отже, по формуле.

.

вероятность те, що шістка не випаде двічі поспіль, составляет.

.

Точно як і показується, що при трехкратном киданні ймовірність невыпадения 6 составляет.

.

А при чотириразовому -.

.

А , отже, ймовірність виграшу . Отже, за будь-якої грі понад половину шансів було понад те, що де Мері виграє; при багаторазовому повторенні гри він напевно залишався в выигрыше.

Резонно порушити питання, який мусить бути ймовірність події, щоб було слід його достовірним? Відомо, що 5% призначених концертів скасовується, але це не заважає нам купувати квитки. Але якби 5% літаків розбивалися, то навряд б хтось став користуватися повітряним транспортом.

Для здобуття права за умов мирного часу не ризикувати життям, то ймовірність несприятливого результату мусить бути, очевидно, максимум 0,0001. Різні люди по-різному ставляться до ризику, але очевидно, навіть найбільш обережні легко погодяться витримувати ризик, якщо ймовірність несприятливого результату становить 10−5. Наприклад, ймовірність потрапити під машину у місті 10−7. Отже можна припустити, що подія з імовірністю несприятливого результату 10−7 вважатимуться достовірним, проте транспортні події трапляються кожен день.

Так ж можна визначити ймовірність неможливого події, наприклад «дива Бореля» (Еміль Борель — математик, автор багатьох робіт з Теорії) — те, що мавпа, навмання поворухнувши пальцями клавіатурою, надрукує якесь яке закінчила твір, наприклад, «Горі з розуму» Грибоєдова. Не неможливе подія, хоча ймовірність її дуже мала, приблизно 10−2600. З такою самою ймовірністю на вогні може замерзнути чайник (термодинаміка, до речі, не заперечує можливості такого явления).

Но все-таки ймовірність неможливого події більшість учених оцінює як 10−16.

4. Метод «Монте-Карло».

определение. Метод Монте-Карло — це чисельний метод рішення математичних завдань з допомогою моделювання випадкових величин.

Датой народження методу прийнято вважати 1949 р., коли друком стаття «The Monte Carlo Method». Творці методу — американські математики Дж. Неймана і З. Улама.

Теоретическая основа методу була відомо здавна, проте з приходом комп’ютерів знайшла широке застосування, т.к. моделювати випадкові величини вручну — трудомістка занятие.

Само назва методу — «Монте-Карло» походить від назви міста, у князівстві Монако, знаменитого своїми ігорними будинками. Річ у тім, що найпростішим приладом для моделювання випадкових величин є… рулетка. Найчастіше задаваемый питання, природно: «Чи метод вигравати в рулетку». Ні, на жаль, не помогает.

Теперь перейдемо безпосередньо до математиці. Щоб було зрозуміло, що йдеться, наведемо найпростіший приклад застосування метода.

Пример 1.

Предположим, потрібно обчислити площу фігури, зображеною малюнку. Припустимо, що розташована всередині одиничного квадрата.

Выберем всередині одиничного квадрата N випадкових точок. Означимо через N' число точок, які потрапили всередину цієї фігури. Тоді площа цієї фігури буде наближено дорівнює .

На малюнку всього 30 точок. 12 з них потрапили до постать, , тоді як справжня площу фігури дорівнює 0,48.

Особенности Метода.

Первая особливість — простота обчислювального алгоритму. Зазвичай, складається програма щодо одного випадкового випробування, і повторювати його N раз. Тому Метод часто називають методом статистичних испытаний Вторая особливість — похибка, зазвичай, пропорційна , де D = const, N — число испытаний.

Разные завдання можна вирішити різними варіантами Метода, яких, до речі, дуже багато. До кожного варіанта — своє значення D і, своє значення погрешности.

С допомогою Метода можна змоделювати будь-який процес, перебіг якого пов’язаний із випадковими величинами. Також можна штучно придумати імовірнісного модель для завдань, які пов’язані зі случайностью.

Для отримання випадкових чисел існують спеціальні таблиці, якими особливо зручно користуватися на комп’ютерах: щоразу просто беремо чергове число і використовуємо його як випадкове. Однак укласти таку таблицю непросто, як здається. Існують спеціальні тести, щоб перевірити правильність випадкової последовательности.

Практическое значення Метода дуже велике. З його допомогою ми, наприклад, можна розрахувати надійність будь-якого вироби, чи розрахувати траєкторію проходження нейтронів крізь пластину чи становище електрона в момент часу й т.д.

5. Кілька слів про історію розвитку Теории.

В XVII столітті Теорією займалися такі видатні математики, як Паскаль, Ферма, Гюйгенс. У цьому перші вклади в Теорію зроблено в зв’язку зі вивченням азартних игр.

Однако наприкінці XVII в. почали користуватися Теорією при страхуванні кораблів, тобто. почали підраховувати, скільки шансів те що, що корабель повернеться порт неушкодженим, нічого очікувати потоплено бурею, що вантаж не підмокне, що він не захоплений піратами тощо. Такий розрахунок дозволяв визначати, яку страхову суму слід виплачувати і який страховий внесок брати, щоб це було вигідно для компании.

В першій половині XVIII в. для теорії чимало зробив Яків Бернуллі - член Російської академії наук. Слід зазначити праці З. Лапласа, З. Пуассона, До. Гаусса.

При всьому тому, протягом другої половини XVIII в. Теорія у сенсі «тупцювала дома». Тоді була зрозуміла зв’язок між різними явищами у житті й наукою про масові явища. У ХІХ ст. великий зрушення у розвитку Теорії зробив російський математик П. Чебышев. Зробили значний внесок Марков, Ляпунов, Бернштейн, Колмогоров.

.

Теория зіграла велику практичної ролі у Другій Світовий війні. Наведемо приклад, з військової області. Зрозуміло, що дуже важко збити літак одним пострілом з гвинтівки. Адже стрілок має лише потрапити до літак, але вразити найвразливіше місце, наприклад паливний бак. Тому те, що один стрілок зіб'є гвинтівкою літак, незначна. Зовсім інша річ — масовий обстріл. Якщо припустити, що ймовірність збити літак однієї гвинтівкою дорівнює 0,004; відповідно, ймовірність промаху — 0,996. Тепер припустимо, що стріляють 500 стрілків; як ми довели вище, ймовірність промаху составляет Таким чином, ймовірність збити літак одним залпом дорівнює 0,86. Але є можливість зробити 2 — 3 залпу, то шанси у літака вціліти близькі до нулю.

Так ж Теорія дозволяла визначати райони, що мали сенс пошуки літаків і підводних човнів чи вказувати шляху, щоб уникнути зустрічі із нею. Типовою тут є завдання про тому, як вигідніше вести каравани торгових суден по океану, де діють ворожі субмарини. Якщо організовувати каравани із великої числа судів, то можна буде потрапити обійтися меншою кількістю рейдів, а й можливі втрати під час зустрічі флотом ворога більше. Теорія допомогла розрахувати оптимальні розміри караванів і частоту їх відправлення. Завдань що така виникало чимало, тому при штабах організовувалися спеціальні групи, займаються розрахунками ймовірностей. Після закінчення війни подібні розрахунки стали застосовуватися до господарським питанням мирного часу. Вони становили зміст нової великої напрями, названого дослідженням операцій, яку оформляється на всю науку.

Список литературы

И. Зайдель. «Помилки вимірів фізичних величин».

О. З. Ивашев-Мусатов. «Теорія ймовірностей і математична статистика».

Э. Борель. «Можливість і достоверность».

И. М. Соболь. «Метод Монте-Карло».

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.