О деяких цілях алгебри матриц

МІНІСТЕРСТВО СПІЛЬНОГО І ПРОФЕСІЙНОГО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦИИ.

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ їм. Х. М. Бербекова.

Математичний факультет.

Кафедра геометрії й усієї вищої алгебры.

Лакунова Залина.

Дипломна работа.

«Про патентування деяких цілях алгебри матриц».

Научный керівник: д.ф.-м.н., проф.каф. Р і У, А /В.Н.Шокуев /.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент /В.М.Казиев/.

Допущена до захисту 2002 г.

Заведующий кафедрою к.ф.-м.н., доцент /А.Х.Журтов/.

Нальчик 2002.

Зміст стр.

Запровадження 3.

§ 1. Про правилі Крамера 4.

§ 2. Застосування циркулянтов малих порядків теоретично чисел 9.

§ 3. Матричний висновок формули Кардано 17.

Література 21.

Отзыв.

Про дипломної роботі «Про патентування деяких цілях алгебри матриц».

Студентки 6 курсу МВ спеціальності «математика» Лакуновой З.

У цьому дипломної роботі розглядається нові застосування матриць в теорії систем лінійних рівнянь, теорії чисел і теорії алгебраїчних рівнянь малих степеней.

У § 1 дається новий (матричний) висновок правила Крамера на вирішення будь-яких квадратних систем лінійних рівнянь з нерівним нулю определителем.

У § 2 отримано тотожність (1), що використовується як доказ деяких теоретико-числовых фактів (пропозиції 1−4); у своїй основну роль грають матриціциркулянты та його визначники. Тут попутно доведено теорема про середньому арифметическом і середньому геометричному трьох позитивних чисел.

У § 3 дається новий висновок правила Кардано на вирішення кубічних рівнянь; його можна назвати «матричним висновком», оскільки вона спирається на властивості циркулянта (третього порядка).

Вважаю, що результати отримання у дипломній роботі студентки Лакуновой З. задовольняють вимогам, що ставляться до дипломним роботам, і може бути допущені до защите.

Попередня оцінка — «хорошо».

д.ф.-м.н., проф.каф. Р і ВА /В.Н.Шокуев/.

§ 1. Про правилі Крамера.

У літературі відомі різні шляхи вирішення Крамеровой системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Одне з них — матричний спосіб — полягає в следующем.

Нехай дана Крамерова система, тобто. квадратна система [pic] лінійних рівнянь з [pic].

[pic] (1).

Определитель якої різниться від нуля:

[pic] (2).

Систему (1) можна як одного матричного уравнения.

[pic] (3).

где [pic]- матриця коефіцієнтів при невідомих системи (1),.

[pic] (4).

[pic]- стовпець (Матрица-столбец) неизвестных.

[pic]- стовпець вільних членів системи (1).

Так як [pic], то матриця [pic] невырожденная для неї існує зворотна матриця [pic]. Помноживши рівність (3) на [pic] (зліва), одержимо (єдине) рішення системи у наступному матричної формі (в припущенні, що вона сумісна і [pic]- його виконання) [pic], де зворотна матриця [pic] має вид:

[pic] ([pic]-алгебраическое доповнення елемента [pic] в определителе [pic]).

Інший відомий спосіб може бути методом алгебраїчних доповнень. Його використання передбачає володіння поняттям алгебраического доповнення [pic] як й у матричному способі, теоремою про розкладанні означника по стовпцю (рядку), теоремами про заміщення про аннулировании.

Запропонований нами новий метод спирається на теорему Коши-Бине про определителе твори матриц.

Сутність цього методу можна було зрозуміти легко, якщо спочатку розглянемо випадок [pic]. Вочевидь, що з [pic] виконуються такі матричні рівності (якщо задана система (1)):

[pic].

[pic].

[pic].

Переходя до определителям у тих равенствах і позначивши визначники правих частин відповідно через [pic] одержимо формули Крамера:

[pic] [pic] [pic] ([pic]).

[pic] [pic] (Правило Крамера) Перехід до спільного випадку Крамеровых систем (1) порядку [pic] нічого по суті не змінює. Просто слід зазначити, що матриця [pic] з визначником [pic] виходить з одиничної матриці заміною [pic]-го шпальти стовпцем неизвестных:

[pic] (5).

Теперь з [pic] равенств.

[pic] [pic],.

где [pic]- матриця, получающаяся заміною [pic]- го шпальти матриці [pic] стовпцем вільних членів системи (1), причому до формулам Крамера, узявши визначники від обох частин у кожному равенстве:

[pic], звідки через [pic] имеем.

[pic] [pic]. (тут [pic] виходить з [pic], як і [pic] з [pic]).

Інший, ще більше короткий спосіб відшукання рішення системи (1) ось у чому (як і [pic]): нехай система (1) совместна і числа [pic] (після переобозначений) утворюють його виконання. Тоді при [pic] маємо, використовуючи два лінійних властивості определителя:

[pic] [pic].

Можна розпочати й з означника [pic], у якому замість вільних членів в [pic]-м стовпці поставлено їх висловлювання відповідно до (1); використовуючи відповідних властивостей означника, получим:

[pic] ([pic]), звідки і виходять формули Крамера.

Зауваження. Перевірка те, що значення невідомих, зумовлені по формулі Крамера задовольняють системі (1), (тобто. утворюють рішення системи), виробляється однією з відомих способов.

§ 2. Застосування циркулянтов малих порядків теоретично чисел.

Матрица вида:

[pic] - називається циклічною матрицею чи циркулянтом (третього порядку), та її визначник — циклічним визначником. Циклічним визначником деякі автори називають також циркулянтом. Нехай дано циклічний визначник (Циркулянт).

[pic]. Збільшивши два рядки до третьої, получим:

[pic].

Винесемо загальний множник [pic] з останнього строки:

[pic]. Так как.

[pic], то.

[pic]. З іншого боку, з визначення детермінанта имеем:

[pic] Отже, виконується тождество.

[pic](1) Наявне таку пропозицію. Пропозиція 1. Уравнение.

[pic] (2) немає рішень на натуральних числах [pic].

Доказ: Якщо [pic]- речові позитивні числа, в повному обсязі рівні між собою, то.

[pic] (3) Нехай [pic]- в усіх рівні між собою позитивні числа. Тоді існують позитивні числа [pic] і [pic], в усіх рівні між собою, такі, що [pic]. До цих числам застосуємо тотожність (1). Оскільки в повному обсязі числа [pic] між собою рівні, то останній множене правій частині тотожності (1) є число позитивне і, следовательно,.

[pic],.

[pic]. (4) Оскільки [pic], то нерівність (4) дає нерівність (3). (Нерівність (3) можна переписати як [pic]; одержимо відомий факт у тому, що середнє арифметичне трьох позитивних, не рівних між собою чисел більше їх середнього геометрического).

Нехай [pic] і [pic]- натуральні числа, задовольняють рівнянню (2). Здаються дві можливості: або числа [pic] усі рівні між собою, або всі ці числа рівні друг другу.

У першому випадку усі вони мають бути рівні 1, оскільки він позитивні і [pic], і ми мали бы:

[pic]- противоречие.

Отже, в усіх три числа [pic] рівні між собою; у силу нерівності (3) имеем.

[pic],.

откуда.

[pic]. Отже, доведено що уравнение.

[pic] немає рішень на натуральних числах [pic].

Предложение 2. Уравнение.

[pic] вирішується в натуральних числах [pic].

Доказ: задовольняють нашому рівнянню. Не все три числа [pic] між собою рівні, те, як ми вбачали у ході докази Пропозиції (1), виконується неравенство.

[pic] - протиріччя. Отже, має бути [pic], і із нашого рівняння слід, що з цих чисел одно 1, отже [pic]. Тому получаем.

[pic].

Отже, ми довели, що заданий рівняння має нескінченно багато рішень на натуральних числах [pic].

Предложение 3. Твір двох чисел, кожна з якого є сумою двох квадратів, представимо як суми двох квадратов.

Доказ: Розглянемо таке твір двох циклічних матриць (другого порядка).

[pic] де [pic]- мнима одиниця. Переходячи до определителям, одержимо равенство.

[pic]. (5).

Предложение 4. Якщо уявлюване як суми двох квадратів, ділиться на просте число, що є сумою двох квадратів, то приватне є також сумою двох квадратов.

Доказ: Нехай число [pic] ділиться на просте число [pic] виду [pic]:

[pic]. Потрібна довести, що приватне [pic] має вигляд [pic]. Припустимо, що завдання вже вирішено, т. е.

[pic], (6) і з допомогою аналізу спробуємо знайти шукані числа [pic] і [pic]. Гіпотетична рівність (6) підказує доцільність розгляду матричних равенств.

[pic] и.

[pic] перемноживши праві частини з цих рівностей, получим:

[pic].

[pic] звідси имеем:

[pic].

[pic].

[pic] (7).

[pic] (8).

[pic]. (9).

Так як [pic]- просте число і [pic] ділить [pic], то рівність (9) показує, що [pic] чи [pic] ділиться на [pic].

Нехай [pic]. Тоді з тождества.

[pic], вірного з (5) слід, що у [pic] ділиться і кількість [pic], а оскільки [pic]- просте, [pic], отож у силу (7) [pic]- ціла кількість. Таким чином, в аналізованому разі имеем:

[pic] і Пропозиція 4 доведено. Якщо ж [pic], тобто. з (8) [pic]- ціле, то, розмірковуючи як і від, можемо написать:

[pic]; це означає, що [pic], тобто. [pic]- ціле. У цьому вся случае.

[pic].

§ 3. Матричний висновок формули Кардано В цьому параграфі пропонується новий підхід висновку формули Кардано для коренів кубічного твори уравнения.

Нехай дано будь-яке кубічне уравнение.

[pic] [pic]. (1) Якщо [pic]- його корінь, то [pic], тому [pic], тобто. [pic] є корінь рівняння, получающегося з (1) розподілом всіх коефіцієнтів т правій частині на [pic], і навпаки. Тому (1) еквівалентно уравнению.

[pic]. (2) Отже, можна сказати, що ухвалено рішення будь-якого кубічного рівняння зводиться до вирішення кубічного рівняння зі старшим коефіцієнтом, рівним 1, тобто. рівняння вида.

[pic], (3) яке виходить з (2) після переобозначения коефіцієнтів; таке рівняння називається унітарним. Якщо до рівнянню (3) застосувати подстановку.

[pic], (4) получим:

[pic] [pic] [pic], т. е.

[pic], (5) де [pic] і [pic] визначаються по заданим коефіцієнтам [pic] рівняння (3). Рівняння (5) еквівалентно рівнянню (3), тому досить навчитися вирішувати рівняння типу (5). Через це, позначивши через [pic] невідоме, бачимо, що ухвалено рішення будь-якого кубічного рівняння вида.

[pic], (6) називається наведених чи (неповним) кубічним рівнянням. Покажемо тепер, як знайти причину рівняння (6). І тому зауважимо, що у силу тотожності (1) § 2, отриманого з допомогою циркулянта третього порядку має місце тождество.

[pic], (7) де [pic]- будь-які числа, [pic]- одне із коренів третього ступеня з одиниці, отже [pic] (перевірка тотожності спирається на рівність [pic]). Спробуємо тепер ототожнити наше рівняння (6) з уравнением.

[pic], (8).

т.е. положим.

[pic] де [pic]и [pic] поки що невідомі. Щоб обчислити їх, маємо систему.

[pic] що описує (з теореми Виета), що [pic] і [pic] є корінням квадратного уравнения.

[pic] т. е.

[pic] [pic] і поэтому.

[pic] [pic] (9) Отже, рівняння (6) еквівалентно рівнянню (8), у якому [pic] і [pic] визначаються по формулам (9). Натомість, рівняння (8) з (7) рівносильне уравнению.

[pic] і тепер получаем:

[pic] [pic] [pic] (10) де [pic] і [pic] визначаються по (9). У цьому треба враховувати, що кубічні коріння з (9) мають по три значення й їх слід комбінувати з урахуванням рівності [pic]; якщо одна пара значень [pic] і [pic] обрано зазначеним чином, то ми все три кореня визначаються по формулам (10). Сказане можна уявити і з іншого; можна сказати, що значення невідомого [pic] визначаються з равенства.

[pic] т. е.

[pic] (11) причому залишається у силі сказане щодо комбінацій значень цих кубічних радикалов.

Формула (11) це і є знаменита формула Кардано.

1. Ф. Бахман, Еге. Шмідт. nкосинець «Світ», М., 1973 г.

2. Еге. Чезаро. Елементарний підручник алгебраического аналізу та обчислення нескінченно малих год. 1 М.Л., 1936 г.

3. У. Серпинский. 250 завдань із елементарної теорії чисел. М., 1968 г.

4. Р. Курант, Р. Роббинс Що таке математика? «Просвітництво», М., 1967 г.

5. О. Г. Курош. Курс вищої алгебри. М., Наука, 1976 г.

6. Едвардс. Теорему Ферма. Генетичну введення у алгебраїчну теорію чисел. «Світ», М., 1980 г.