Однорідні рівняння (реферат)

Реферат на тему:

Однорідні рівняння

1. Загальна теорія

Нехай рівняння має вигляд.

$$M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=0$$ .

Якщо функції $$M(x,y)$$ та $$N(x,y)$$ однорідні одного ступеня, то рівня­ння називається однорідним. Нехай функції $$M(x,y)$$ та $$N(x,y)$$ однорідні ступеня $$k$$, тобто.

$$M(\text{tx},\text{ty})=t^{k}M(x,y),N(\text{tx},\text{ty})=t^{k}N(x,y)\text{.}$$.

Робимо заміну $$y=\text{ux},\text{dy}=\text{udx}+\text{xdu}$$. Після підстановки одержуємо.

$$M(x,\text{ux})\text{dx}+N(x,\text{ux})(\text{udx}+\text{xdu})=0$$ ,.

або.

$$x^{k}M(\mathrm{1,}u)\text{dx}+x^{k}N(\mathrm{1,}u)(\text{udx}+\text{xdu})=0$$ .

Скоротивши на $$x^k$$ і розкривши скобки, запишемо.

$$M(\mathrm{1,}u)\text{dx}+\text{uN}(\mathrm{1,}u)\text{dx}+\text{xN}(\mathrm{1,}u)\text{du}=0$$ .

Згрупувавши, одержимо рівняння зі змінними, що розділяються.

$$\left[M(\mathrm{1,}u)+\text{uN}(\mathrm{1,}u)\right]\text{dx}+\text{xN}(\mathrm{1,}u)\text{du}=0$$ ,.

або.

$${}_{}^{}\frac{\text{dx}}{x}+{}_{}^{}\frac{N(\mathrm{1,}u)}{M(\mathrm{1,}u)+\text{uN}(\mathrm{1,}u)}\text{du}=C$$ .

Взявши інтеграли та замінивши $$u=y/x$$, отримаємо загальний інтеграл $$(x,y/x)=C$$ .

2. Рівняння, що зводяться до однорідних

Нехай маємо рівняння вигляду.

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$$ .

Розглянемо два випадки.

1) $$\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ a_2{b}_2\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||\end{array}\\ =\\ \end{array}$$ .

Тоді система алгебраїчних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

має єдиний розв’язок $$(x_0,y_0)$$. Проведемо заміну $$x=x_1+x_0,y=y_1+y_0$$ та отримаємо.

$$\begin{array}{c}\frac{{\text{dy}}_1}{{\text{dx}}_1}=f\left(\frac{a_1(x_1+x_0)+b_1(y_1+y_0)+c_1}{a_2(x_1+x_0)+b_2(y_1+y_0)+c_2}\right)=\\ =f\left(\frac{a_1{x}_1+b_1{y}_1+(a_1{x}_0+b_1{y}_0+c_1)}{a_2{x}_1+b_2{y}_1+(a_2{x}_0+b_2{y}_0+c_2)}\right)\text{.}\end{array}$$.

Оскільки $$(x_0,y_0)$$ — розв’язок системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння прийме вигляд.

$$\frac{{\text{dy}}_1}{{\text{dx}}_1}\text{==}f\left(\frac{a_1{x}_1+b_1{y}_1}{a_2{x}_1+b_2{y}_1}\right)$$.

і є однорідним нульового ступеня. Робимо заміну $$y_1={\text{ux}}_1,{\text{dy}}_1={\text{udx}}_1+x_1\text{du}$$ .

Підставимо в рівняння.

$$u+x_1\frac{\text{du}}{{\text{dx}}_1}=f\left(\frac{a_1{x}_1+b_1{\text{ux}}_1}{a_2{x}_1+b_2{\text{ux}}_1}\right)$$ .

Одержимо.

$$x_1\text{du}+\left[u-f\left(\frac{a_1+b_{1}u}{a_2+b_{2}u}\right)\right]{\text{dx}}_1=0$$ .

Розділивши змінні, маємо.

$$\frac{\text{du}}{u-f\left(\frac{a_1+b_{1}u}{a_2+b_{2}u}\right)}+\text{ln}{x}_1=C$$ .

І загальний інтеграл диференціального рівняння має вигляд $$(u,x_1)=C$$ .

Повернувшись до вихідних змінних, запишемо.

$$\left(\frac{y-y_0}{x-x_0},x-x_0\right)=C$$ .

2) Нехай $$\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ a_2{b}_2\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||\end{array}\\ =\\ \end{array}$$, тобто коефіцієнти строк лінійно залежні і.

$$a_{1}x+b_{1}y=(a_{2}x+b_{2}y)$$ .

Робимо заміну $$a_{2}x+b_{2}y=z$$. Звідси $$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{1}{b_2}\left(\frac{\text{dz}}{\text{dx}}-a_2\right)$$ .

Підставивши в диференціальне рівняння, одержимо.

$$\frac{1}{b_2}\left(\frac{\text{dz}}{\text{dx}}-a_2\right)=f\left(\frac{\mathit{}+c_1}{z+c_2}\right)$$ ,.

або.

$$\frac{\text{dz}}{\text{dx}}=a_2+b_{2}f\left(\frac{\mathit{}+c_1}{z+c_2}\right)$$ .

Розділивши змінні, отримаємо.

$${}_{}^{}\frac{\text{dz}}{a_2+b_{2}f\left(\frac{+c_1}{z+c_2}\right)}-x=C$$ .

Загальний інтеграл має вигляд $$(a_{2}x+b_{2}y,x)=C\text{.}$$.