Существование рішення диференціального рівняння і найпослідовніші наближення

Существование рішення диференціального рівняння і послідовні приближения

Курсовая робота.

Выполнил студент 2 курсу 1222 групи Труфанов Олександр Николаевич Государственное освітнє установа вищого професійної освіти «Самарський державний университет».

Механико-математический факультет Кафедра диференційних рівнянь і теорії управления Самара 2004.

Теорема існування й одиничності рішення уравнения

Пусть дано уравнение.

.

с початковим условием.

.

Пусть в замкнутої області R функції і безупинні). Тоді на деякому відрізку існує єдине рішення, що задовольнить початковому умові .

Последовательные наближення визначаються формулами:

k = 1,2…

Задание № 9.

Перейти від уравнения.

.

до системи нормального виду та при початкових условиях.

, , .

построить два послідовних наближення до решению.

Произведем заміну переменных.

; .

і час торкнутися системі нормального вида:

.

Построим послідовні приближения.

.

.

Задание № 10.

Построить три послідовних наближення до вирішення задачи.

, .

Построим послідовні приближения.

.

.

Задание № 11.

а) Задачу.

, .

свести до інтегральному рівнянню і можуть побудувати послідовні наближення .

б) Вказати будь-якої відрізок, у якому сходяться послідовні наближення, і довести їх рівномірну сходимость.

Сведем дане рівняння до інтегральному :

.

.

.

Докажем рівномірну відповідність послідовних приближений С допомогою методу послідовних наближень ми можемо побудувати последовательность.

.

непрерывных функцій, певних на деякому відрізку , який містить всередині себе точку . Кожна функція послідовності визначається через попередню з допомогою равенства.

і = 0, 1, 2 …

Если графік функції відбувається на області Р, то функція визначено цим рівністю, але у тому, щоб можна було визначено наступна функція , потрібно, щоб і графік функції проходив області Р. Цього вдається досягти, обравши відрізок досить коротким. Далі, рахунок зменшення довжини відрізка , можна досягнути здобуття права для послідовності виконувалися неравенства:

, і = 1, 2, …,.

где 0 < k < 1. З цих нерівностей випливає следующее:

, і = 1, 2, …,.

Рассмотрим нашу функцію досить малому відрізку, що містить , наприклад, на . У цьому проміжку все послідовні наближення є безперервними функціями. Вочевидь, що т.к. кожне наближення представляє з себе функцію від нескінченно малого вищого порядку, ніж попереднє наближення, то виконуються, і згадані вище нерівності. З положень цих нерівностей следует:

.

что і є умовою рівномірної збіжності послідовних приближений.

С з іншого боку, на нашому відрізку виконується , що також зовсім очевидно. Оскільки послідовність сходиться, то послідовність наближень є рівномірно сходитися у цьому отрезке.

Список литературы

Л.С. Понтрягин. «Звичайні диференціальні рівняння», М.: Державне видавництво фізико-математичній літератури, 1961.

А.Ф. Філіппов «Збірник завдань із диференційним рівнянням», М.: Интеграл-Пресс, 1998.

О.П. Філатов «Лекції по звичайним диференційним уравнениям», Самара: Видавництво «Самарський університет», 1999.

А.Н. Тихонов, Г. Б. Васильєва «Диференціальні рівняння», М.: Наука. Физматлит, 1998.