Организация пізнавальної діяльності учнів на факультативних занять із темі Ірраціональні неравенства

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Организация пізнавальної діяльності учнів на факультативних занять із темі Ірраціональні неравенства (реферат, курсова, диплом, контрольна)

НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

ДИПЛОМНА РАБОТА.

Організація пізнавальної діяльності учнів на факультативних занять із теме.

«Ірраціональні неравенства».

Виконала: студентка.

VI курсу МФ.

Філіппова Ольга.

Владимировна.

Науковий руководитель:

Кузьмичов Анатолий.

Іванович старший преподаватель.

Кафедри алгебры.

г. НОВОСИБИРСК.

1999 г.

СОДЕРЖАНИЕ Введение.

Глава 1. Організація пізнавальної діяльності на факультативних заняттях. 1. Історія розвитку форм навчання. Сутність поняття «форма» організації пізнавальної діяльності. 2. Самостійна робота учнів — одне з найважливіших способів організації пізнавальної діяльності. 3. Фронтальна і групова форми організації пізнавальної діяльності учнів. 4. Оптимальний сполучення частин і взаємодія форм навчально-пізнавальної діяльності. Висновки по 1-ї главе.

Глава 2. Аналіз дослідно-експериментальної працювати над впливом самостійної роботи учнів та інших форм пізнавальної діяльності на факультативних заняттях в випускних класах. 1. Вивчення навчальних можливостей учнів. Методика організації факультативних занять. 2. Результати дослідно-експериментальної роботи. Висновки по 2-ї главе.

Глава 3. Ірраціональні нерівності, способи їх вирішення. 1. Стислі історичні відомості. 2. Нерівності та його основні властивості. 3. Корінь n-ой ступеня. Ірраціональні нерівності. 4. Рішення найпростіших ірраціональних неравенств.

1−2.

3−6.

7−10.

11−12.

13−15.

17−21.

22−23.

25−27.

28−38.

39−40.

41−48 5. Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів чётной ступеня. 6. Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів нечётной ступеня. 7. Рішення ірраціональних нерівностей з параметрами. 8. Рішення ірраціональних нерівностей, способом ведення нової перемінної. 9. Спосіб домножения обох частин ірраціонального нерівності на деяке число, або вираз. 10. Метод виділення повного квадрата в подкоренных висловлюваннях під час вирішення ірраціональних нерівностей, або розкладання подкоренного висловлювання на множники. 11. Рішення ірраціональних нерівностей шляхом проб, висновків. 12. Рішення складніших прикладів. 13. Добірка завдань із темі «Рішення ірраціональних нерівностей». 14. Класичні неравенства.

Заключение

Приложение. 1. Запровадження. 2. Розробка факультативу на тему «Ірраціональні неравенства».

49−53.

54−59.

60−65.

66−71.

72−74.

75−77.

79−81.

83−97.

99−100.

101−103.

104−133.

Пригадаємо, із цікавістю дитина вперше йде на школу, бо його чекає там багато нового і незвіданого, цікавого й незвичного. Але проходить час тож до вченню пропадає, зникає своє бажання до школи, на уроки, нема охоти робити домашнє завдання. Нецікаві, одноманітні уроки, створені за одній схемі, повторювані день у день уроку в урок, швидко набридають. Чому це трапляється? У сучасному дидактиці основну увагу приділяється проблемам, що з змістом навчання дітей і з методів, а самої організації пізнавальної діяльності учнів приділяється набагато менше уваги, від імені цієї і невміння вчителя організувати діяльність учнів на уроці, незнання вчителя як і сделать.

Щоб інтерес до вченню не пропав, щоб учні хотіли, а головне вміли отримувати знання, необхідно активізувати діяльність самих учнів на уроці. Навчальний процес має будуватися те щоб учні самі отримували знання, а вчитель був би організатором цієї бурхливої діяльності. Вчитель має застосовувати різноманітні форми організації пізнавальної діяльності, варіанти їх оптимального сочетания.

Мета дипломної роботи — показати ефективність самостійної роботи учнів на факультативі щодо теми «Ірраціональні нерівності» в випускних класах середньої школы.

У результаті дипломної роботи було висунуто робоча гіпотеза: самостійна робота учнів є одним із найефективніших форм навчання, сприяє кращому засвоєнню знань, розвитку навичок і умінь щодо застосування цих знань, підвищує рівень активності учащихся.

Відповідно до метою та прийнятої гіпотезою було висунуто такі завдання: 1. Вивчення психолого-педагогічної літератури з цієї темі. 2. Характеристика і аналіз самостійної роботи учнів. 3. Вивчення навчальних можливостей учнів на факультативі. 4. Проведення дослідно-експериментальної роботи у випускних класах середньої школи № 9 р. Куйбишева НСО.

Виконання завдань здійснювалося такими методами: 1. Аналіз психолого-педагогічної літератури; 2. Спостереження; 3. Анкетування учнів; 4. Розмови з учнями; 5. Проведення дослідно-експериментальної работы.

ГЛАВА I. ОРГАНИЗАЦИЯ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

1. Історія розвитку форм навчання. Сутність поняття «форма» організації пізнавальної деятельности.

У історії школи тривалий час переважало індивідуальне навчання. Ще первісний людина передавав знання про світ, свій життєвий досвід молодшим у процесі повсякденного спілкування спочатку з допомогою міміки і жестів, та був, з приходом писемності, виникає потреба у навчанні письма. Це і навчання було індивідуальним: жрець навчав кожного учня окремо, коваль чи чоботар вчили своїх учеников-подмастерьев теж поодинці. Так само йшло навчання кожному майстерності (гончарному, ювелірному, столярному тощо. д.).

У наступні століття в дворянських сім'ях в дітей віком мали певний вчитель, свій гувернер, який за безпосередньому спілкуванні передавав знання й уміння своєму подопечному.

Соціально-економічні умови життя суспільства істотно впливом геть зміна усієї навчальної процесу, зокрема й його організаторську структуру.

Розвиток математики, фізики, астрономії, географії та інших наук призвело до потреби у більшій кількості освічених, грамотних фахівців. У період раннього феодалізму на 500 чоловік населення Парижа припадав лише одне учень. На 1500 року, наприклад, Страсбург на 16 тисяч людина — більш 300 учнів, тобто. 1 учень на 53−54 людини. У зв’язку з цим ситуація у школах змінилася: вчителю вже доводилося працювати ні з 8- 10, а 30−40 учнями і ба більше. Тому індивідуальна форма навчання поступово поступається місце индивидуально-групповому навчання. Тепер вчитель міг навчати одного, а відразу кількох учнів. Чисельність і склад груп були різними. Навчання, зазвичай, проводилося за такою схемою: учень вчив певний текст, та був переказував вчителю цей матеріал, відповідав стосовно питань. Після цього учень отримував нове завдання й вирушав на своє місце готувати черговий урок, тобто. далі йшла самостійна робота учня. Саме тоді вчитель перевіряє виконання завдання у наступного учня. Усі учні готували зазвичай свої уроки не вдома, а школі, у присутності свого учителя.

Вже XII-XIII століттях в університетах, та був й у середніх і початкових школах в практику навчання входить груповий спосіб. Педагог став навчати учнів за одиночці, і кожного почергово, а відразу группами.

Поступовий розпад феодалізму, розвиток в промисловості й торгівлі, поява міст і дрібної буржуазії, нові географічні відкриття, відродження науку й мистецтва — у Італії, та був в усій Європі, розвиток технікиусе це вимагала більш освічених й грамотних фахівців, сприяло пошукам нових форм у галузі освіти. Групова форма організації навчання поступово замінили колективної, яка дозволяла одночасно працювати з одним учителем велику кількість учащихся.

Найбільш ранньої системою організації колективного навчання була класно-урочна система, розроблена чеським педагогом Я. А. Каменским. У класи об'єднувалися учні, які мали однаковий рівень підготовки. Вчитель має ознайомитися з роботою всього класу тут і окремих учащихся.

Шкільні заняття вимагають застосування різної форми організації діяльності учнів. Це в нагоді молодим впевненіше почуватися у різних життєвих ситуаціях. Тому вчителі повинні виробити у учнів навички індивідуального, самостійного, колективного і групового труда.

Навчання — це складова частина спілкування. Уся навчальна робота на уроці відбувається за певному взаємодії який навчає і обучаемого, тобто. вчителя і учня, а якоюсь мірою й учнів між собою. Учитель надає на учнів вплив словесно, з допомогою інтонації, міміки, жестів тощо. буд., учні сприймають ці впливу, реагують ними, в залежність від чого вчитель будує своє подальше діяльність. Характер цього взаємодії яких і визначає форму роботи з уроке.

Складність організації при побудові уроку порозуміються тим, що вчитель, працюючи із класом, управляє процесом вчення кожного окремого учня. У цьому, хоча у класі перебувають учні приблизно мають однаковий вік і які за однієї програмі, а й різняться по рівню сформованості знань, умінь і навиків, стосовно навчальним занять, в усіх свої індивідуальні риси характеру, різні типи темперамента.

Спілкування для людей може здійснюватися безпосередньо і опосередковано, бо як навчання є приватною випадком спілкування між людьми, те й навчання може проходити безпосередньо і опосредованно.

Учитель може навчати своїх учнів, впливаючи ними безпосередньо: передусім, з допомогою усного слова коштів, що доповнюють, посилюють словесну мова (міміка, жести, інтонація тощо. буд.). При безпосередньому навчанні учень і саме вчителі бачать одне одного, слышат.

Люди можуть спілкуватися опосередковано, коли один друга де вони чують, а то, можливо, навіть у народних обранців бачить, коли особиста безпосереднє вплив друг на друга отсутствует.

Основним засобом у разі є письмове словом, і те, що у його замінити (таблиці, графіки, магнітофонні запису і т. буд.), але необхідно, аби те, що писав, креслив одна людина, було зрозуміло, доступно і сприйнято іншим человеком.

Вирізняють 3 основні форми організації навчально-пізнавальної діяльності на уроці: фронтальна, індивідуальна, групповая.

При фронтальній формі роботи з уроці вчитель звертається до всього класу. Звертаючись до окремому учневі, вчитель враховує весь клас, значення відповіді одного учня для класу. Учні безпосередньо контактувати не могут.

При індивідуальної роботі учні з урахуванням раніше отриманих усних чи письмових інструкцій працюють кожен самостійно. Інструкції можуть враховувати індивідуальні особливості тієї чи іншої учня. Безпосередньо контакти з вчителем історії та однокласниками учні при цьому можуть. За необхідності по роз’яснення звертаються учителю.

При груповий формі роботи відбувається безпосереднє спілкування між учнями, їх співпраця. З учителем постійного контакту немає. Керує процесом роботи у групі ланковій. На початок роботи вчитель дає усні і письмові инструкции.

2. Самостійна робота учнів — одне з найважливіших способів організації пізнавальної деятельности.

У навчальної діяльності важливо, щоб учні навчалися непросто запам’ятовувати те, що каже вчитель, непросто вчили те, що їм пояснює вчитель, не бажаючи, самостійно, могли добувати знання, важливо наскільки самостійний учень в засвоєнні знань та формування умінь. У цьому вся вчителю допомагає індивідуальна форма пізнавальної діяльності. Індивідуальна форма роботи учнів у тому, що все процес навчання, передусім, визначається індивідуальної роботою вчителя з учнем, або учень самостійно виконує навчальний завдання з урахуванням рекомендацій та інструкцій, отримані від вчителя, відповідно до своїми індивідуальними можливостями, без взаємодії коїться з іншими учениками.

Нерівномірність засвоєння знань, умінь і навиків учнями одного класу пов’язані з наявністю значних індивідуальних відмінностей серед дітей. Будь-яке загальне людина засвоює індивідуально залежно від виховання, життєвих умов, від темпераменту тощо. буд. Працюючи самостійно, учень виявляє ініціативу, його темп роботи залежить з його працездатності, схильностей, навчальних можливостей, підготовленості, целеустремлённости. Така форма роботи передбачає добір прийомів і дидактичних засобів, що забезпечать оптимальне розвиток будь-якого учня у п’ятому класі, як самостійного сильного, і слабого.

Головний ознака індивідуальної форми роботи — виконання «свого» завдання. Індивідуальне завдання відрізняється від фронтального тим, що його підбирається задля всіх разом, а кожного окремо, з урахуванням індивідуальних особливостей школьника.

Самостійність — якість, що слід виховувати у учнів. У кожної людину, є ситуації, коли все припадати вирішувати сам і перекласти іншим немає можливості. Щоб не розгубитися, щоб мати змогу самостійно приймати рішення — для цього, у процесі навчання потрібно створювати такі ситуації, у якому хлопці без якого б не пішли допомоги могли вирішувати запропоновані пізнавальні завдання, самі могли вивчити матеріал і вирішив розповісти товаришам, самі могли скласти завдання й вирішити её.

Самостійна робота учнів — це робота, яка виконується без особистої участі вчителя. Існують спеціальні завдання, ориентирующие школярів з їхньої виконання самотужки: робота над підручниками, вирішення завдань, написання рефератів, викладів творів тощо. д.

Вирізняють 4 різновиду самостійної, пізнавальної діяльності у процесі навчання: 1. Мету й план роботи учень здійснює за допомогою вчителя; 2. Мета учень визначає з допомогою вчителя, а план — самостійно; 3. Мету й план учень визначає самостійно, але завдання дає вчитель; 4. Без допомоги вчителя учень сам визначає зміст, мета, план роботи та самостійно її выполняет.

Перша різновид найбільш проста, і з неї вчитель має починати підготовку хлопців до складнішим етапах самостійної роботи. Потім поступово, переходячи від етапи до етапу, самостійна робота «стає дедалі більше «самостійної», де учень може цілком виявляти свої знання, ініціативу, особисті риси і індивідуальні особенности.

Самостійна робота організується з допомогою індивідуальних форм обучения.

Учень працює самостійно вдома і під час домашніх завдань, написанні рефератів тощо. д.

Індивідуальна форма передбачає діяльність учня з виконання загальних для класу завдань без контакту з однокласниками, на єдиній для всіх темпе.

Вона переважно використовується при закріпленні знань, формуванні умінь і навиків, контролі знаний.

Індивідуальна робота на уроці жадає від вчителя ретельної підготовки, великий витрати зусиль і часу. Однак це форма організації пізнавальної діяльності який завжди створює умови для повної самостійної діяльності учнів. вона є хорошим засобом організації діяльності свідомих учнів. Але часто можна спостерігати під час уроків картину, коли слабко успішних учні або нічим не займаються, т. до. дати раду самостійно із завданням, або запитують в сусідніх країнах по парті спосіб рішення, що веде до списування і підказувань. Для організації більшої самостійності школярів використовується індивідуалізована форма навчання. Ця форма передбачає таку організацію роботи, коли кожен учень виконує своє, не на інших, завдання з урахуванням навчальних можливостей. Диференційовані індивідуальні завдання бувають різної глибини і рівня труднощі - від простих, для сприйняття на зразок, до творчих. Ці завдання оформляються на спеціальних картках. У початкових класах широке застосування отримали зошити з друкованої основою. Ця форма організації пізнавальної діяльності жадає від вчителя багато витрат часу й знань на приготування карток, добору завдань. Нині у допомогу вчителю випускається спеціальна методична література, де друкуються різні роботи кількох варіантів. Найчастіше індивідуалізована форма навчання діє з метою перевірки ступеня засвоєння учнями материала.

Індивідуалізована форма навчальної діяльності, сприяючи вихованню самостійності учнів, таїть у собі недоліки. Вона роз'єднує школярів, створює умови у розвиток егоїзму, знижує позитивний вплив для формування й розвиток колективу, учень може замикатися у собі, ставати малообщительным людиною. Щоб уникнути, необхідно включати цій формі у процес навчання як допоміжну на тривале время.

Нерідко зустрічаються учні, які засвоюють навчальний матеріал після кількаразового розбору. Через це на уроці необхідно знаходити час для повторного разбора.

Индивидуализированно-групповая форма є додаткової. Завдяки йому вчитель має можливість на окремих етапах уроку спеціально працювати з 1−2 учнями, не відриваючи клас з посади з виконання загального завдання. Ця форма сприяє попередження відставання слабких і створює кращі економічні умови у розвиток і підвищення свого рівня знань обдарованих школярів. Ця форма організації пізнавальної діяльності учнів на уроці може застосовуватися щодо нового матеріалу, при перевірки виконання домашнє завдання, при контролі знань. Організація индивидуализированно-групповой роботи вимагає високого майстерності вчителя, який має вміти розподіляти увагу, використовувати різноманітний дидактичний матеріал, працюючи з окремими учнями, викладач не повинен випускати з цього виду всіх студентів класу, все, що відбувається на уроці, має бути, у його зрения.

3. Фронтальна і групова форми організації пізнавальної діяльності учащихся.

Тема цієї роботи — самостійна робота учнів, але неможливо використовувати лише цій формі організації пізнавальної діяльності. Тому коротко розглянемо фронтальну і групову форми. Знання й розуміння їх допоможуть нам правильно організовувати учнів під час уроків і дома.

Є різноманітні погляду визначення фронтальній роботи учнів на уроці. Стрезикозин В. П., Галант Є. Я., наприклад, вважають, що «фронтальний спосіб організації навчальної роботи передбачає одночасне виконання учнями під наглядом вчителя однієї й тієї ж завдання». Інші (Петровський Є.І., Семенов І.А.) вважають, що фронтальній є робота, що виконують все учні одночасно, але зміст то, можливо загальним всім чи дифференцированным.

Колективної фронтальна робота стає тоді, коли спільні полювання, обговорення, т. е. колективна навчальна робота учнів під час уроків — це окреме питання фронтальній чи общешкольной роботи. Сенс колективного навчання: все навчають кожного, кожен навчає всіх; те, що знає один, повинні знати всі; те, що знає колектив, стає надбанням каждого.

Фронтальна форма сприяє згуртуванню колективу, вчить хлопців відстоювати свою думку, вчить вмінню слухати інших. фронтальна форма пізнавальної діяльності учнів поруч із її позитивними сторонами має низку суттєвих недоліків: учні з низькими навчальними можливостями працюють повільно, за інших засвоюють матеріал, а хлопці з високими навчальними можливостями втрачають чимало часу те що, що вже зрозуміло і известно.

Групова форма організації пізнавальної діяльності учнів у тому, що з виконання поставлених завдань клас ділиться на групи, у яких хлопці спільно планують своєї роботи, обговорюють спосіб рішення. У процесі при груповий роботі між учнями відбувається обміну інформацією. Учень може повідомити іншим відомості, що він чого почерпнув від літератури, з відвідин музеїв, виставок тощо. буд. У процесі навчальної роботи відбувається взаємодопомога, взаємне збагачення, створюється сприятливіша, доброзичлива обстановка тим хлопців, які ніяковіють виступати перед класом. Особливу увагу з організацією груповий роботи слід привернути до себе формування груп. Важливо враховувати рівень успішності, різну інформованість, різну працездатність хлопців, відносини у класі. Від, як вчитель чи впорається з проблемами, пов’язані з організацією груповий форми діяльності, залежить успішність урока.

4. Оптимальний поєднання форм організації пізнавальної деятельности.

Будь-яка форма учебно-понавательной діяльності має переваги й недоліки, вибір тій чи іншій форми зумовлений низкою обставин. У частковості, необхідно хочуть враховувати специфіки досліджуваного предмета, його складність, матеріал може мати різну складність, різну новизну. Важкий матеріал, у якого великим рівнем новизни першому етапі, вимагає фронтальна роботи, де головна роль викладі належить вчителю. Підготовленість учнів та його індивідуальні особливості, кваліфікація вчителяусе це впливає вибір тій чи іншій форми організації діяльності учнів. Поєднання різної форми багатоваріантно. Воно здійснюється або послідовно, коли одна форма слід одною, або паралельно, коли поєднання протікає це й форми роботи входять один на другую.

Як свідчить досвід минулого і безліч експериментів, проведених різними педагогами, поєднання форм організації діяльності треба використовувати, йдучи від поєднання простих, до складнішим, враховуючи вік учнів, специфіку предмета. Для визначення оптимального варіанта організації діяльності треба зазначити, як конкретна форма на ефективність навчальної діяльності різних груп учнів. «Таке сполучення форм навчальної роботи, у якому нейтралізуються недоліки одним і забезпечується більш висока результативність інших при мінімальних витратах часу, є оптимальним». (Чередов І.М. «Методика планування шкільних форм організації обучения»).

«Оптимальним варіантом поєднання колективної, груповий і індивідуальної форм роботи учнів буде той, що у відповідність до дидактичній метою та специфікою навчального матеріалу створює найкращі умови на навчання і традиції виховання». (Виноградова М.Д., Первин І.В. «Колективна пізнавальна діяльність й виховання школьников»).

Вибір форми залежить від багатьох чинників, але у більшою мірою від етапу у процесі навчання. Педагоги, які роблять це питанням, виявили деяких закономірностей і розробили рекомендації за вибором оптимального поєднання форм роботи учнів на уроке.

При ознайомлення з новим материалом:

При закріпленні і застосування знаний:

Під час опитування і перевірці знаний:

Звісно, ці рекомендації є ідеальними всім випадків, вони вимагають певній коригування та доопрацювання за умов, на конкретному уроці і предмете.

Выводы по 1-ї главе:

У першій главі дипломної роботи досліджується теоретична сторона цієї проблеми, характеризується самостійна робота учнів, інші форми організації пізнавальної діяльності, розкривається історія розвитку форм навчання давніх часів донині. Існують три основні форми організації навчально-пізнавальної діяльності учнів на уроці: індивідуальна (самостійна робота учнів), фронтальна і групова. Кожна форма має свої вади і переваги, тому, плануючи урок, вчитель має підбирати поєднання форм те щоб посилити сильні й нейтралізувати слабкі боку кожної формы.

ГЛАВА II. АНАЛІЗ ДОСВІДЧЕНОЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЇ РОБОТИ ПО ЗАСТОСУВАННЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РОБОТИ УЧНІВ І ІНШИХ ФОРМ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

НА ФАКУЛЬТАТИВНИХ ЗАНЯТТЯХ У ВИПУСКНИХ КЛАССАХ.

1. Вивчення навчальних можливостей учнів. Методика проведення факультативних занятий.

Для експерименту необхідний попередній аналіз колективу, у якому проходити експеримент, і ще, який бути контрольним. У разі досвідчена робота проводилася в випускних класах середньої школи № 9 р. Куйбишева НСЗ. На факультатив учні записувалися за бажання. Записалося 18 людина. Це хлопці, які збираються вступати у вузи і на вступних іспитах повинні здавати математику. Була визначено мета факультативних занять: підготовка до іспитів у ВУЗы.

Для вивчення навчальних можливостей учнів проводився констатуючий експеримент. Він містить у собі різноманітні методи дослідження. У частковості проводилося спостереження роботою кожного учня під час уроків алгебри, вивчення письмових робіт з предмета, розмови з учнями і учителем, самостійна работа.

Навчальні можливості складаються з навченості і працездатності кожного учащегося.

Здатність Учитисяздатність учня за термін досягати вищого рівня знань. Здатність Учитися залежить від знань, якими учень вже має, від продуктивності і ёмкости мышления.

Вирізняють такі рівні навченості учнів: Високий рівень — хлопці вільно засвоюють изучаемый матеріал, виділяють істотне, у приватному бачать загальне, закономірне, здатні самостійно розвивати розкриті на уроці становища, легко переносять знання на нові ситуації, досягають високого рівня знань за найкоротший час. Середній рівень — изучаемый матеріал засвоюють після тренування; виділяють істотне, закономірне не відразу, а після виконання певних тренувальних вправ, такі учні вміють у приватному бачити загальне. Низький рівень — засвоюють матеріал після тривалої тренувальній праці та не в повному обсязі, не можуть бачити істотне, закономірне після загальної тренувальній роботи з всім класом, завдання виконують переважно по аналогии.

Працездатність учня — стан, характеризує рівень і той тривалість доступних йому зусиль у навчальної діяльності. Працездатність залежить від фізичних і психологічних можливостей учня, стану здоров’я, емоційного стану в момент, налаштування работу.

Так само як і в навченості, у працездатності виділяють рівні: Високий рівень — учень має змоги зробити порівняно довгий, напружений навчальний працю, виконує все старанно, акуратно, може, без спонукання вчителя. Середній рівень — учні здатні трудитися порівняно тривале час, але завжди і все виконують старанно, акуратно й у повному обсязі, часом вимагають контролю. Низький рівень — учні зосереджуються на навчальної роботи лише на дуже обмежений час, виконують завдання над повному обсязі, вимагають постійного контролю учителя.

Усього існують 4 основних рівня навчальних можливостей: вищий, високий, середній, низкий.

Серед хлопців, записаних на факультатив, визначення рівня навчальних можливостей проводилося за підсумками спостережень, раніше проведених уроків, розмов із учителем, виходячи з теорію. На 1-ом занятті факультативу була проведена самостійна робота на повторення на 2 варіанта. Результати її следующие:

|Фамилия уч-ся |С/р |Рівень уч. возм. | |1. Афанасьєва І. |4 |У | |2. Бондаренко А. |3 |З | |3. Горіна Про. |5 |ЗС | |4. Галкін А. |4 |У | |5. Карелін Є. |4 |З | |6. Ковальова М. |4 |У | |7. Круглова З. |5 |ЗС | |8. Марченко М. |3 |З | |9. Михалечко А. |5 |ЗС | |10. Михалечко І. |4 |У | |11. Носов Д. |3 |З | |12. Пивкина Д. |4 |У | |13. Рижкова З. |4 |З | |14. Соколова М. |3 |З | |15. Семенов Д. |4 |У | |16. Хафизова Я. |5 |ЗС | |17. Экмарова Д. |5 |У | |18. Ясинівський Про. |4 |З |.

У цілому нині результати визначення рівня навчальних можливостей виявилися високі: нові можливості - 4 учня, високі навчальні можливості - 7 учнів, середні навчальні можливості - 7 учеников.

Це тим, що у факультатив прийшли хлопці, зацікавлені у вивченні предмета, котрі мають гарні знання і набутий високі оцінки. За рівнем навчальних можливостей хлопці першою занятті були розбиті на 2 групи щодо експерименту. Враховувалося також бажання учащихся.

Вийшли приблизно однакові по навчальним можливостям группы.

Завданням експерименту було побудова факультативних занять те щоб у учнів не пропав інтерес, а навпаки ще більше підвищився до предмета; допомогти хлопцям поглибити й розширити знання з алгебри; активізувати самостійну роботу учнів із книжками, додаткової літературою. Показати, що побудова факультативних занять із принципу поєднання самостійної роботи коїться з іншими формами організації пізнавальної діяльності сприяє виконання цього задачи.

Досвідченоекспериментальна робота проводилася один групі, 2 група була контрольної. Вся молодь відвідували одні й самі заняття, вивчали і той ж матеріал під час уроків. Проте хлопці з 1 групи як домашнє завдання отримували завдання самостійно вивчити нову тему, написати доповіді, знайти і прорешать приклади по цій проблемі. На заняттях ці хлопці читали доповіді, пояснювали решённые приклади. Незрозумілі місця розбиралися разом всім класом, і учителем у дошки. Хлопці з 2 групи вивчали нову тему, слухаючи доповіді і пояснення своїх друзів, потім вони учні вирішували одні завдання, але в будинок учні другої групи отримували завдання повторити пройдене на уроці, прорешать задані приклади на тему. За таким принципом було проведено 8 занять. Наприкінці було проведено підсумкова контрольна работа.

2. Результати дослідно-експериментальної работы.

У результаті дослідно-експериментальної роботи зазнала й підтверджено гіпотеза, висунута на початку роботи над даної темой.

Для дітей із експериментальної групи факультатив проходив набагато цікавіше, ніж для дітей із контрольної групи. Учні з 1 групи активніше працювали у впродовж усіх занять, намагалися знаходити як жило якнайбільше цікавих прикладів, з великою відповідальністю підходили до виконання домашніх завдань, т. до. знали, що від їхнього відповідей залежить хід всього заняття. Підвищення активності які у експериментальної групі, підвищення інтересу до предмета — усе це підтверджує висунуту нами гипотезу.

У експериментальної групі хлопці продуктивніше працювали, ніж у контрольної групі, швидше справлялися із завданнями, вони менше виникало запитань і труднощів під час вирішення завдань, у учнів 1 групи з’явилася велика упевненість у себе.

Наприкінці факультативних занять провів у обох групах контрольна робота. Завдання всім були однакові, розраховані на 2 варіанта. Результати контрольної роботи следующие:

|1 група |Оцінка |2 група |Оцінка | |1. Афанасьєва І. |5 |1. Ковальова М. |4 | |2. Галкін А. |4 |2. Пивкина Є. |5 | |3. Михалечко А. |5 |3. Экмаров Д. |4 | |4. Михалечко І. |4 |4. Хафизова Я. |5 | |5. Семенов Д. |5 |5. Круглова З. |5 | |6. Горіна Про. |5 |6. Марченко М. |3 | |7. Ясинівський Про. |3 |7. Носов Д. |3 | |8. Бондаренко А. |3 |8. Рижкова З. |3 | |9. Карелін Є. |4 |9. Соколова М. |4 |.

У експериментальної групі «5» отримали 4 учня, «4" — 3, «3" — 2, в контрольної «5" — 3, «4" — 3, «3" — 3. Результати цієї контрольної роботи показали, що у експериментальної групі хлопці не впоралися із завданням краще, ніж у контрольной.

Результати дослідно-експериментальної роботи показують, що «застосування самостійної роботи з заняттях сприяють кращому засвоєнню знань, підвищує активність хлопців, інтерес до цього предмету.

Выводы по 2 главе.

У 2 главі давався аналіз досвідченоекспериментальної роботі, проведеною на факультативних заняттях в випускних класах середньої школи № 9 р. Куйбишева НСЗ. Першим етапом цієї роботи була виявлення навчальних можливостей учнів. У цьому главі розказано у тому, як було побудовано заняття на факультативі. У другій главі наводяться результати досвідченоекспериментальної роботи, які підтверджують висунуту нами робочу гіпотезу у тому, що самостійна робота учнів є одним із найефективніших форм навчання, сприяє кращому засвоєнню знань, розвитку навичок і умінь щодо застосування цих знань, підвищує рівень активності учащихся.

ГЛАВА III. ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРАВЕНСТВА.

1. Стислі історичні сведения.

Потреба діях спорудження до рівня й виведення кореня була викликана, як та інші чотири арифметичні дії, практичної життям. Так, поруч із завданням обчислення площі квадрата, сторона якого [pic] відома, з давнини зустрічалася зворотна завдання: яку довжину повинна мати сторона квадрата, що його площа дорівнювала [pic]?

Ще 4000 років як розв’язано вавилонські вчені становили поруч із таблицями множення і таблицями зворотних величин таблиці квадратів чисел і квадратних коренів з чисел? Водночас вміли знаходити близьке значення квадратного кореня із будь-якої цілого числа. Вавилонський метод вилучення квадратного кореня можна ілюструвати ось на чому прикладі, описане в одній з знайдених під час розкопок клинописних табличок: Знайти квадратний корінь з 1700.

Аби вирішити завдання дане число розкладається у сумі двох слагаемых:

[pic], перше із яких є повним квадратом. Потім вказується, что.

[pic].

Правило, применявшееся вавілонянами, може бути висловлено так: щоб витягти корінь у складі [pic], розкладають його за суму [pic] ([pic]должно вистачити малим тоді як [pic]) і обчислюють по наближеною формуле:

[pic].

Вавилонський метод вилучення квадратного кореня був позичений греками. Приміром, у Герона Олександрійського находим:

[pic].

Для позначення вищих ступенів вживалися пізніше складові висловлювання «біквадратний «чи «квадрато-квадрат «для четвертого ступеня, чи «кубоквадрат «для п’ятої тощо. Сучасні назви запропоновані голландським ученим С. Стевином (1548−1620), який позначав ступеня як 2, 3 тощо. Він також почав систематично вживати дробные показники ступеня для позначення корней.

Нині для вилучення кореня вживається два позначення: знак радикала і дробные показники. Краще використовувати позначення зі знаком радикала — позначення з дробовими показниками є радше даниною традиції. Ступені негативним показниками ввів англійський математик Д.Уоллис.

Нерівності зустрічаються у математиці ще глибокої ревнощів. Розглянемо що з них.

1. Середнє геометричне двох позитивних чисел [pic]меньше їх середнього арифметичного (Евклид).

2. Архімед встановив неравенства.

[pic].

3. Якщо [pic]- найбільший квадрат, що міститься у числі, а [pic]- залишок, то.

[pic] при [pic].

(Аль-Кальсади, Трактат «Розкриття таємниць науки Габар », XV век).

Подальші узагальнення натуральних, цілих, раціональних тощо. чисел сприяли поняттю алгебраїчній системи, зокрема, до поняття кільця і поля. Так, ірраціональні числа з алгебраїчній погляду є елементами поля [pic], де вони зберігають у полі [pic], і полі [pic]является розширенням поля [pic].

2. Нерівності та його основні свойства.

Ми розглядатимемо позитивні, негативні справжні числа і кількість [pic]. Зобразимо горизонтальну числову пряму, спрямовану вправо і кількості на ней.

При русі вздовж прямий зліва-направо числа з’являтимуться в порядку їх зростання. Зрозуміло, що [pic]. Але [pic], оскільки точка, яка зображує [pic], розташована правіше точки, яка зображує [pic]. Таким чином, маємо таке геометричне правило визначення неравенства:

Нехай [pic]и[pic]- якісь два дійсних числа, зображених точками горизонтальній числової прямий, спрямованої зліва направо. Тоді [pic] у тому лише тому випадку, коли точка, яка зображує число [pic], лежить правіше точки, яка зображує число [pic].

Це геометричне правило усунути простим арифметичним правилом, якщо взяти поняття позитивного числа за основное:

Нехай [pic]и [pic]- якісь два дійсних числа. Тоді [pic]в тому й лише тому випадку, коли [pic]положительно. Зокрема всяке позитивне число більше нуля, бо різницю [pic]положительна. Тому нерівність [pic]употребляется для символічною записи затвердження, що число [pic]положительно. Негативне число окреслюється число, протилежне позитивному числу щодо точки [pic]на числової прямий. Будь-яке негативне число менше нуля, бо, якщо [pic]отрицательно, то [pic]положительно. Запис [pic]употребляется для позначення затвердження, що [pic]отрицательное число.

Кількість нуль має тим властивістю, що [pic]для будь-якого дійсного числа [pic].

Отже, числа [pic]и [pic]могут ставитися один до друга наступним образом:

1). [pic].

2). [pic].

3). [pic].

Причому має місце те й лише з цих соотношений.

Розглянемо тепер основні властивості неравенств.

Теорема 1. Якщо [pic]и [pic], то [pic].

Це властивість називається властивістю транзитивності неравенств.

У самому деле,.

[pic] як сума двох негативних доданків. Дамо геометричне тлумачення властивості транзитивності: точка [pic]на числової прямий розташована лівіше точки [pic], а точка [pic]левее точки [pic], за цих умов точка [pic] розташована лівіше точки [pic].

Теорему 2. Якщо [pic], то [pic], тобто. за зміни знака обох частин нерівності сенс знака нерівності змінюється на обратный.

Действительно,.

[pic].

Отже, з визначення [pic].

Геометрична иллюстрация:

Теорему 3. Якщо [pic]и [pic], то [pic], тобто. обидві частини нерівності можна помножити на позитивне число.

Действительно,.

[pic] Але [pic]и [pic]. Отже, [pic]. Отже, [pic], тобто. [pic], як і вимагалося доказать.

Теорема 4. Якщо [pic]и [pic], то [pic], тобто. при множенні на негативне число знак нерівності змінюється на противоположный.

Действительно,.

[pic]. Але [pic], [pic], отже, і [pic], тобто. [pic].

Теорема 5. Якщо [pic]и [pic], то [pic], тобто. при множенні обох частин нерівності на нуль нерівність перетворюється на равенство.

Действительно,.

[pic].

Теорема 6. Якщо [pic]и [pic] - довільне число, то [pic], тобто. до обох частинам нерівності можна додати довільне число.

Справді, [pic], де [pic]. Отже, [pic], бо як [pic], маємо: [pic].

Теорема 7. Якщо [pic], [pic]и [pic], то [pic]. Попередньо нагадаємо, що [pic]есть зворотне число, тобто. таке, що [pic]. Маємо [pic]. Але, з інший стороны,.

[pic][pic] Отже, і [pic], оскільки, якщо твір і з множників позитивні, те й інший множник позитивний. Отже [pic]. [pic] Теорему 8. Якщо [pic], то [pic], тобто. квадрат будь-якого відмінного від нуля числа позитивний. Це випливає з визначення множення позитивних і негативних чисел.

Теорема 9. Якщо [pic]и [pic], то [pic], тобто. два нерівності однакового сенсу можна сложить.

Маємо [pic], [pic], де [pic]и [pic]. Следовательно,.

[pic] или.

[pic].

где [pic], що потрібно було доказать.

Теорема 10. Якщо [pic]и [pic], то [pic]. Як неважко показати, різницю [pic] положительна.

Теорему 11. (про перемножении нерівностей) Якщо [pic][pic], [pic]и [pic] і [pic] позитивні, то [pic], тобто. обидві частини нерівності з позитивними членами можна помножити на нерівність тієї самої сенсу, більший член якого положителен.

Маємо последовательно:

[pic] Тут кожне твір, отже, з сумою позитивні, як і вимагалося доказать.

Теорема 12. (про розподіл нерівностей) Якщо [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] - позитивні, то [pic]. Справді, тут [pic], і підставі теореми про перемножении нерівностей, маємо [pic], що потрібно було доказать.

Теорема 13. Якщо [pic] - парне число, [pic], а [pic], то [pic], тобто. парна ступінь будь-якого числа, відмінного від нуля, положительна.

Теорему випливає з її положень, що [pic] і [pic].

Теорема 14. Якщо [pic]- парне число, [pic] і [pic], то [pic], тобто. негативне число в нечетной ступеня отрицательно.

Теорему випливає з таких співвідношень: [pic]и [pic].

Теорема 15. Якщо [pic]- парне число, [pic]и [pic]- позитивно, а [pic]- негативно, то [pic]. З попереднього видно, що [pic], а [pic], звідки [pic].

Теорема 16. Якщо числа [pic]и [pic]положительны і [pic], то [pic], де [pic]- ціле позитивне число.

Справді, якщо припустити, що [pic], то звівши обидві частини нерівності до рівня [pic]. одержимо [pic], тобто. то дійдемо противоречию.

Теорема 17. Якщо [pic], то [pic], де [pic] - довільне позитивне раціональне число.

У насправді, з [pic]имеем [pic] і далі [pic].

Ми розглянули числові нерівності. Нехай тепер нам дано дві функції [pic] і [pic]. Якщо поставити з-поміж них одне із знаків нерівності ((,(, [pic],[pic]), одержимо умовне нерівність. Надалі такі умовні нерівності ми називати просто неравенства.

Областю визначення чи областю допустимих значень (ОДЗ) нерівності [pic] називається багато тих значень [pic], у яких і функція [pic], й третя функція [pic]определены. Інакше кажучи, ОДЗ нерівності [pic]- це те що ОДЗ функції [pic]и ОДЗ функції [pic].

Приватним рішенням нерівності [pic]называется всяке що задовольнить йому значення перемінної [pic]. Рішенням нерівності називається безліч усіх її приватних решений.

Два нерівності з одного перемінної називаються рівносильними, якщо їх рішення збігаються (зокрема, якщо обидва нерівності немає рішень). Якщо кожне приватне рішення нерівності [pic] в той час приватним рішенням нерівності [pic], отриманого після перетворень нерівності [pic], то нерівність [pic]называется наслідком нерівності [pic]. У наступних теоремах йдеться про перетвореннях, що призводять до рівносильним неравенствам.

Теорему 18. Якщо до обох частин нерівності додати один, і тугіше функцію [pic], визначеним попри всі значеннях [pic]из області визначення вихідного нерівності, і навіть залишити без зміни знак нерівності, вийде нерівність, равносильное вихідному. Таким чином, неравенства.

[pic](1) и.

[pic](2) рівнозначні. Доказ: Нехай [pic]=[pic]- довільне рішення нерівності [pic]. Тоді [pic]- справжнє числове нерівність. Додамо до обох частин число [pic] (за умовою їх кількість існує, бо нерівності (1) і (2) мають те ж область визначення. З властивості 6 числових нерівностей укладаємо, що числове нерівність [pic]- справжнє. Отже, довільне рішення нерівності (1) розв’язує нерівності (2).

Назад, нехай [pic]- довільне рішення нерівності (2), отже [pic] - справжнє числове нерівність. Після вирахування з обох частин цього нерівності числа [pic]по властивості 6 числових нерівностей одержимо справжнє числове нерівність [pic]. Отже, довільне рішення нерівності (1) розв’язує нерівності (2) і довільне рішення нерівності (2) розв’язує нерівності (1). Теорему доведено. Слідство. Неравенства.

[pic] и.

[pic] равносильны.

Теорема 19. Якщо обидві частини нерівності помножити (чи розділити) однією і таку ж функцію [pic], яка за всіх значеннях [pic]из області визначення вихідного нерівності бере лише позитивні значення, і навіть залишити без зміни знак вихідного нерівності, вийде нерівність, равносильное исходному.

Отже, якщо [pic], то неравенства.

[pic](1) и.

[pic](2) (чи [pic]) рівнозначні. Доказ: нехай [pic] довільне рішення нерівності (1). Тоді [pic]- справжнє числове нерівність. Помножимо обидві його частину на число [pic](по умові їх кількість існує, бо функція [pic]имеет сенс при всіх [pic]из області визначення нерівності (1), причому [pic]). М підставі властивості 3 числових нерівностей укладаємо. що числове нерівність (2) теж справжнє при [pic].

Назад, нехай [pic]- довільне рішення нерівності (2), отже [pic] - справжнє числове нерівність. Після розподілу обох частин нерівності на число [pic](по умові) по властивості 12 числових нерівностей одержимо справжнє числове нерівність [pic]. Слідство. Якщо обидві частини нерівності помножити (чи розділити) одне і те ж позитивне число, зберігаючи знак нерівності, вийде нерівність, равносильное данному.

Теорема 20. Якщо обидві частини нерівності помножити (чи розділити) однією і таку ж функцію [pic], яка за всіх значеннях [pic]из області визначення вихідного нерівності бере лише негативні значення, і навіть змінити на протилежний знак нерівності, вийде нерівність. равносильное исходному.

Отже, якщо [pic], то неравенства.

[pic](1) и.

[pic](2) (чи [pic]) рівнозначні. Доказ: Нехай [pic]произвольное рішення нерівності (1). Тоді [pic]- справжнє числове нерівність. Помножимо обидві його частину на число [pic](по умові їх кількість існує, бо функція [pic]имеет рішення у всіх [pic]из області визначення нерівності (1)). З властивості 4 числових нерівностей укладаємо, що числове нерівність [pic] теж истинное.

Назад, нехай [pic] - довільне рішення нерівності (2), отже [pic]-истинное числове нерівність. Помноживши обидві частини цієї нерівності на число [pic]по властивості 4 числових нерівностей одержимо справжнє числове нерівність [pic].

Отже, довільне рішення нерівності (1) розв’язує нерівності (2) і довільне рішення нерівності (2) розв’язує нерівності (1). Теорему доведено. Слідство. Якщо обидві частини нерівності помножити (чи розділити) одне і теж негативне число, змінивши знак нерівності на протилежний, то вийде нерівність, равносильное данному.

Теорема 21. Нехай дано нерівність [pic], причому [pic]и [pic]при всіх [pic]из області визначення нерівності. Якщо обидві частини нерівності звести в таку ж натуральну ступінь [pic]и у своїй знак нерівності залишити без зміни, вийде неравенство.

[pic], равносильное даному. Доказ: нехай [pic]- довільне рішення нерівності [pic]. Причому [pic]и [pic](по умові). Тоді [pic]- справжнє числове нерівність. Але з властивості 17 числових нерівностей отримуємо, що числове нерівність [pic]тоже істинно. Що було потрібно довести. Зауваження. За виконання тотожних перетворень можливо зміна області визначення висловлювання. Наприклад, при приведення подібних членів, за скорочення дробу може відбутися розширення галузі визначення. При рішенні нерівності внаслідок тотожних перетворень може вийти неравносильное нерівність. Тому після виконання тотожних перетворень, що призвели до розширення області визначення нерівності, зі знайдених рішень потрібно відібрати ті, які належать області визначення вихідного неравенства.

3. Корінь [pic]- і ступеня. Ірраціональні неравенства.

Визначення. Коренем [pic]- і ступеня з дійсного числа [pic]называется дійсне число [pic]такое, що [pic].

Зокрема, якщо [pic], [pic], те з [pic]получаем, що [pic]или [pic]. Якщо [pic], [pic], те з [pic]получаем, що [pic]. Зауважимо, що й [pic]- парне, а [pic], то властивостями дійсних чисел немає дійсних [pic]таких, що [pic]. Якщо [pic]- парне, а [pic], то існує лише двоє дійсних різних кореня [pic]- і ступеня з [pic]. Позитивний корінь позначається через [pic]- арифметичний корінь [pic]- і ступеня з [pic], негативний [pic]. Якщо [pic], то, при будь-якому [pic]существует єдиний корінь [pic]- і ступеня з [pic]- число [pic].

Якщо, [pic]- парне, то тут для будь-якого дійсного числа [pic]существует єдиний корінь [pic]- і ступеня з [pic]. Цей корінь називається арифметичним коренем [pic]- і ступеня у складі і позначається [pic].

Отже: 1. [pic]- парне, [pic], [pic]- арифметичний корінь [pic]- і ступеня з неотрицательного числа [pic]. 2. [pic]- парне, [pic]- будь-яке дійсне число, [pic]- арифметичний корінь [pic]- і ступеня з дійсного числа [pic].

Отже, якщо показник кореня — число парне, то дії з цими корінням не викликають труднощів ([pic] має хоча б знак, як і [pic]), Основний випадок на дослідження — коли [pic]- четное.

Нехай функція [pic]- ірраціональна, тобто. задається з допомогою ірраціонального алгебраического висловлювання й може бути задана з допомогою раціонального алгебраического висловлювання. Ірраціональним нерівністю називається нерівність виду [pic]. А, щоб знайти безліч рішень ірраціонального нерівності, доводиться, зазвичай, будувати обидві частини нерівності у натуральну ступінь. Попри зовнішню схожість процедури рішення ірраціонального рівняння і ірраціонального нерівності, з-поміж них є велика відмінність. За позитивного рішення ірраціональних рівнянь годі й піклуватися про те, щоб після зведення до рівня вийшло рівняння, еквівалентну вихідному: алгебраїчне рівняння має кінцеве число коренів, у тому числі перевіркою неважко відібрати рішення вихідного ірраціонального уравнения.

Безліч рішень нерівності є, зазвичай, безліч чисел, і тому безпосередня перевірка рішень шляхом підстановки цих чисел у початковий нерівність стає принципово неможливою. Єдиний спосіб, який убезпечить правильність відповіді, у тому, що ми повинні слідкувати те, щоб за кожному перетворення нерівності ми виходило нерівність, еквівалентну исходному.

Вирішуючи ірраціональні нерівності слід, що з спорудженні обох його частин у непарну ступінь виходить нерівність, еквівалентну вихідному нерівності. Якщо ж, обидві частини нерівності будувати в четную ступінь, він виходити нерівність, еквівалентну вихідному і має хоча б знак, у випадку, якщо обидві частини вихідного нерівності неотрицательны.

4. Рішення найпростіших ірраціональних неравенств.

Якщо ірраціональне нерівність містить один радикал, то завжди можна навести його до равносильному нерівності, у якому радикал буде перебувати у частині нерівності, проте інші члени нерівності - в іншій — його частини, тобто нерівності виду [pic] чи [pic], де [pic]и [pic]- раціональні алгебраїчні висловлювання щодо перемінної [pic]. Привида ірраціонального нерівності, що містить один радикал до виду.

[pic](1) или.

[pic](2), називається самотою радикала.

Розіб'ємо найпростіші нерівності на дві групи: I — нерівності, містять радикал четной ступеня, тобто. [pic]. II — нерівності, містять радикал нечетной ступеня, тобто. [pic]. I. Розглянемо рішення нерівностей виду (1). Зрозуміло, що всяке рішення цього нерівності в той час рішенням нерівності [pic](при цьому умови можна буде ліва частина нерівності) і рішення нерівності [pic](поскольку [pic]). Отже, неравенство.

[pic](3).

равносильно системі неравенств:

[pic][pic] де [pic]и [pic]следствия нерівності (3). Позаяк у області, обумовленою першими двома неравенствами цією системою, обидві частини третього нерівності системи визначено й приймають аж неотрицательные значення, їх спорудження в квадрат на зазначеному безлічі є равносильное перетворення нерівності. У результаті дістаємо, що нерівність (3) рівносильне системі неравенств:

[pic].

Отже, ми вивели теорему про рішення нерівностей виду (3).

Теорема 1. Нерівність виду [pic]равносильно системі неравенств:

[pic].

Аналогічно для нерівностей виду [pic]. Теорему 2. Нерівність виду [pic]равносильно системі неравенств.

[pic].

Розглянемо тепер нерівності виду (2), т. е.

[pic](4).

Воно рівносильне системе.

[pic](5).

Але на відміну від нерівності (3) [pic]может тут сприймати як позитивні, і негативні значення. Тому, розглянувши систему (5) у кожному з цих двох випадків [pic]и [pic], одержимо сукупність систем:

[pic][pic].

У першій із цих систем останнє нерівність можна опустити як слідство двох перших нерівностей. У другій системі обидві частини останнього нерівності можна звести в квадрат (оскільки обидві його частину положительны).

Отже, нерівність (4) рівносильне сукупності двох систем нерівностей [pic] [pic].

Зауважимо, друге нерівність другий системи можна опустити — воно є наслідком останнього нерівності системы.

Теорема 3. Нерівність виду [pic]равносильно сукупності двох систем неравенств.

[pic] [pic] Аналогично.

Теорема 4. Нерівність виду [pic]равносильно сукупності двох систем нерівностей [pic].

[pic].

Нерівності виду [pic], [pic], [pic], [pic]являются приватними випадками розглянутих вище нерівностей, коли [pic]. Приклад 1. Вирішимо неравенство.

[pic] Рішення. Заданий нерівність — нерівність виду (3), тому по теоремі 1 воно рівносильне системі нерівностей: [pic] [pic].

Оскільки квадратний тричлен [pic]имеет негативний дискриминант і позитивний старший коефіцієнт, він позитивний попри всі значеннях [pic]. Тому рішення останньої системи такі: [pic]. Відповідь: [pic].

Пример 2. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. По теоремі 3 наше нерівність еквівалентно сукупності систем нерівностей [pic] [pic] [pic] [pic] Застосуємо метод інтервалів на вирішення останньої конструкції нерівностей. Рішення першої системы:

Второй:

Отримуємо сукупність [pic] Відповідь: [pic]и [pic].

Приклад 3. Вирішити неравенство.

[pic].

Решение. По теоремі 1 наше нерівність еквівалентно системі [pic] [pic] [pic] Останнє нерівність системи виконується завжди. якщо [pic]и [pic]. Отже, рішенням нерівності є [pic]исключая [pic]. Відповідь: [pic]. II. Розглянемо тепер нерівності, містять радикал нечетной ступеня, тобто. [pic]. Рішення також проводиться також шляхом послідовного спорудження обох частин нерівності в відповідну ступінь і перетворення в нерівність, не що містить радикалів. Під час спорудження нерівності в непарну ступінь еквівалентність не порушується. Трапляються такі еквівалентні перетворення: [pic] [pic] [pic] [pic] При [pic]при спорудження ступінь [pic]знак не зміниться, т.к. [pic], [pic]. Отже [pic]при [pic]. [pic]может бути будь-яке, т.к. під знаком радикала нечетной ступеня може стояти як негативна, і позитивна функція. Приклад 4. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Зведемо Кобзареву в куб обидві частини неравенства:

[pic] или.

[pic].

[pic] Вирішимо отримане нерівність методом интервалов.

Відповідь: [pic]. 5. Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів четной степени.

Нехай дано ірраціональне неравенство.

[pic](1).

У нерівності (1) ліві та праві частини позитивні, тому при спорудження четную ступінь еквівалентність не порушується, якщо подкоренные висловлювання будуть неотрицательны. Тому мають місце такі еквівалентні перетворення: [pic] [pic] (2) [pic] [pic](3) Приклад 1. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Замінимо дане нерівність еквівалентній системою нерівностей [pic] і далі [pic] звідки отримуємо рішення нерівності [pic]. Відповідь: [pic]. Приклад 2. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Попередньо спростимо дане нерівність. помноживши його за позитивне вираз [pic](т.к. ми розглядаємо завжди [pic]). Проведемо потім еквівалентні преобразования:

[pic] или.

[pic] замінюємо нерівність равносильной системою неравенств:

[pic] звідки получаем.

[pic].

решением останнього нерівності системи є об'єднання [pic]и [pic], а вирішенням усієї системи, а силу равносильности проведених перетворень і вихідного нерівності, буде промінь [pic]. Відповідь: [pic]. Приклад 3. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Перепишемо нерівність те щоб ліва і права його частину були неотрицательными [pic] [pic] всегда.

[pic] і вирішимо його, використовуючи раніше розглянуті еквівалентні перетворення: [pic] звідки отримуємо [pic] останнє нерівність системи вже є знайомим нам нерівністю виду [pic] і вирішуючи його спорудженням в квадрат, отримуємо [pic]. [pic] Відповідь: [pic]. Приклад 4. Вирішимо неравенство.

[pic] Рішення. Це нерівність рівносильне наступній системі нерівностей. де перші чотири нерівності є ОДЗ.

[pic] или.

[pic][pic] Оскільки [pic], то [pic], тому [pic]. Далі [pic], тому [pic]. Отже, [pic], і більше [pic]. Але [pic], отже. друге нерівність нашої системи виконується при будь-яких допустимих значення [pic]из ОДЗ вихідного нерівності, тобто. система, а із нею і вихідне нерівність мають рішення [pic]. Відповідь: [pic]. Приклад 5. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Права частина даного нерівності неотрицательная, тому ліва його частину мусить бути позитивної. Інакше нерівність не має сенсу. Зважаючи на це, проведемо такі еквівалентні преобразования:

[pic] друге нерівність можна буде незалежно від [pic]из ОДЗ, тобто. при [pic]. якщо спростити третє нерівність системи, то получим.

[pic] или.

[pic] Останнє нерівність системи має позитивну ліву частина при [pic], значущий маємо право звести нерівність в квадрат і далі легко вирішуємо його, получаем.

[pic] Відповідь: [pic]. 6. Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів нечетной степени.

Розглянемо рішення нерівностей, містять зміну під знаком двох радикалів нечетной ступеня. Рішення проводиться також шляхом послідовного спорудження обох частин нерівності в відповідну ступінь і перетворення в нерівність, не що містить радикалів. При спорудженні нерівності в непарну ступінь еквівалентність не порушується. Трапляються такі еквівалентні преобразования:

[pic] [pic] Приклад 1. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Будуємо обидві частини нерівності в куб:

[pic].

[pic] Відповідь: [pic].

Розглянемо окремо рішення нерівностей вида:

[pic].

Після побудови їх у куб одержимо неравенство.

[pic].

Багаторазове спорудження в куб нерівності у випадку не наводить до визволенню від радикалів. Для таких нерівностей доцільно використовувати метод інтервалів. Суть його в следующем.

Нехай потрібно вирішити нерівність вида:

[pic](1) или.

[pic](2).

Спочатку встановимо, яких значеннях перемінної ліва частина нерівності дорівнює правої його частину, тобто вирішимо ірраціональне рівняння, яке назвемо соответствующим.

[pic](3).

Далі знаходимо область визначення даного нерівності (вона збігається із ділянкою визначення відповідного рівняння). Потім наносимо коріння рівняння (3) на числову вісь, де відзначаємо також область визначення нерівності. Нехай, наприклад, область визначення нерівності (1) чи (2) і двох числових проміжків [pic]и [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]- коріння рівняння (3).

Коріння рівняння (3) розбивають область визначення нерівності на проміжки знакопостоянства. Функція змінює знак під час переходу через корінь нечетной кратності, а проміжках між корінням знак функції постійний. У означеному малюнку прикладі такими числовими проміжками будуть проміжки [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].

Далі визначаємо у кожному з відзначених числових проміжків знак функції [pic]. Для визначення знака функції досить взяти будь-яке число з відповідного проміжку. підставити до функцій замість перемінної [pic]и встановити знак отриманого числового висловлювання. Ті числові проміжки, у яких функція позитивна, будуть рішенням нерівності (1), бо будь-яке значення перемінної, взяте з цих числових проміжків, звертає їх у справжнє числове нерівність. Інші числові проміжки утворюють безліч рішень нерівності (2). Приклад 2. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Спочатку знаходимо рішення відповідного уравнения.

[pic] зведемо Кобзареву рівняння в куб:

[pic] Бо за умові вираз [pic]должно рівнятися [pic], то, зробивши відповідну заміну, получим:

[pic] Зведемо Кобзареву рівняння в куб і знайдемо шукані значення перемінної: [pic] і [pic]. Перевірка 1. [pic] [pic] [pic]- брехливо, корінь [pic]- сторонній. Перевірка 2. [pic] [pic] [pic] - істинно, [pic] - корінь уравнения.

Областю визначення нерівності є безліч дійсних чисел. Корінь відповідного рівняння розбиває числову вісь на два числових промежутка:

[pic] і [pic]. Узявши будь-яке число (наприклад, [pic]) з першого проміжку і підставивши в нерівність, одержимо [pic]. Отже, числової проміжок не входить у рішення нерівності. Значення [pic], взяте з числового проміжку [pic], звертає дане нерівність на справжнє числове нерівність [pic]. Отже, числової проміжок [pic] розв’язує нерівності. Відповідь: [pic]. Приклад 3. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Вирішимо відповідне уравнение.

[pic] після зведення в куб обох частин рівняння получим.

[pic] зробимо підстановку [pic] одержимо уравнение.

[pic].

[pic]и [pic] Відзначаємо коріння на числової оси.

Областю визначення нерівності є всі справжні числа, тому розглядаємо три числових проміжку: [pic], [pic], [pic]. Нехай [pic], тоді [pic]- хибне числове нерівність. Отже числової проміжок [pic]не входить у рішення. Нехай [pic], тоді [pic]- справжнє числове нерівність і числової проміжок [pic]входит у виконання. Аналогічно, числової проміжок [pic]тоже входить у рішення. Відповідь: [pic], [pic]. Приклад 4. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Зведемо Кобзареву в куб частини неравенства:

[pic] откуда.

[pic] ОДЗ нерівності [pic]или [pic]. При значення [pic] [pic]всегда, а [pic]. Отже останнє нерівність істинно при [pic]. Відповідь: [pic].

Пример 5. Вирішити неравенство.

[pic].

Решение. Зведемо Кобзареву обидві частини нерівності в куб, попередньо перенісши [pic]в праву часть:

[pic].

[pic] Останнє нерівність еквівалентно системі неравенств.

[pic] или.

[pic] Рішенням останньої системи є [pic]. Відповідь: [pic].

7. Рішення ірраціональних нерівностей з параметрами.

Параметром називають таку зміну, важливості якої постійні в межах аналізованої завдання .

Значення параметрів [pic], котрим функції [pic]и [pic]определены, називаються безліччю допустимих значень параметров.

Нерівність, що містить параметри, тільки тоді ми вважається вирішеним, коли зазначено безліч усіх її рішень при довільній припустимою системі значень параметрів. Рішення параметричних ірраціональних нерівностей розглянемо на прикладах. Щоб проаналізувати всі припустимі значення параметрів і знайти відповідні шукані значення перемінної, доцільно дане нерівність замінити еквівалентній сукупністю нерівностей, як це буде показано нижче на прикладах. Приклад 1. Вирішити і досліджувати неравенство:

[pic](1) Рішення. Знайдемо ОДЗ нерівності (1) [pic]. Нерівність (1) замінимо еквівалентній сукупністю неравенств.

[pic].

Зрозуміло, друге нерівність буде по-справжньому незалежно від [pic]из ОДЗ, т.к. [pic], [pic]. Перше нерівність сукупності має праву і ліву позитивні частини. Зведемо Кобзареву в квадрат обидві його части.

[pic].

[pic] Усі значення [pic]будут належати ОДЗ, оскільки [pic], отже [pic]. Відповідь: 1. [pic][pic]; 2. [pic][pic]. Приклад 2. Вирішити неравенство.

[pic] Рішення. Легко бачити, що з [pic]данное нерівність немає рішень, т.к. отримуємо позитивну ліву частина менше негативно правої. що ні має сенсу. Розглянемо нерівність при [pic]. ОДЗ неравенства.

[pic] Нерівність є лише при [pic]. Отримуємо систему нерівностей, еквівалентну вихідному нерівності: [pic] [pic] [pic] Вирішимо останнє нерівність системи. Бачимо, що має сенс лише за [pic]. Зведемо Кобзареву в квадрат обидві частини нерівності [pic].

[pic]при [pic].

[pic] Порівняємо [pic]и [pic], щоб визначити верхню межу значень [pic].

[pic] при [pic]значит [pic]([pic]. [pic] Відповідь: якщо [pic], то [pic] якщо [pic]. то [pic].

Пример 3. Вирішити неравенство.

[pic].

Решение. Дане нерівність перепишемо так.

[pic](1).

Легко бачити, що з, а = 0 нерівність рішення немає. Розглянемо значення параметра, а > 0 і а < 0: ліва і права частини нерівності позитивні, тому при спорудженням нерівності в квадрат одержимо нерівності, еквівалентну яке у області, його визначення. При a < 0 дане нерівність тотожний істинне за сфери його визначення (ліва частина неотрицательная, а права негативна). Тому дане нерівність можна замінити наступній еквівалентній сукупністю систем неравенств:

[pic].

Розглянемо нерівність (2). По виконанні перетворень получим:

[pic].

При a > 0 значення x = чи x = 0 не задовольняють нерівності, а попри всі значеннях 0 < x.

[pic].

Отже, рішення нерівності (1).

1) якщо, а > 0 0 < x.

2) якщо, а = 0 немає решений.

3) якщо a < 0 a (x (0.

Пример 4. Вирішити неравенство:

[pic].

Решение. Будуємо нерівність в квадрат. Оскільки ліва і права частини нерівності неотрицательны, то еквівалентність не порушується у сфері визначення нерівності. Перший радикал можна буде при x (а, другий при x (b. За цих ж значеннях перемінної можна буде і вираз, що стоїть у правій частині нерівності. Итак,.

[pic].

равносильно системі [pic].

но [pic],.

значит останнє нерівність системи рівносильне нерівності: [pic] чи [pic] А система рівносильна системі [pic] * виконується, якщо обидва множника під коренем більше нуля чи обидва менше нуля, отже наша система рівносильна сукупності двох систем:

[pic].

после виконання перетворень получаем:

[pic].

Видим, що у першої системі то, можливо два случая:

1) a (b,.

2) b (a.

В першому випадку рішенням системи буде x < b, тоді як у другому x.

Ответ: 1) a (b x < b.

2) a (b x < а 8. Рішення ірраціональних нерівностей, способом запровадження нового переменной.

Ірраціональні нерівності, як і ірраціональні рівняння можна вирішити способом запровадження нового перемінної. Розглянемо використання цього на примерах.

Пример 1. Вирішити неравенство:

[pic].

Решение. Поклавши [pic], знаходимо що х2 + 5х + 4 = у2 — 24, тоді нерівність (1) перетвориться до виду:

у2 — 5y — 24 < 0.

і далі вирішимо уравнение:

у2 — 5y — 24 = 0.

D = 25 + 96 = 121 y1 = -3, y2 = 8.

отримуємо (у — 8)(у + 3) < 0.

Рішенням цього нерівності є проміжок -3 < y < 8.

Ми дійшли наступній системі неравенств:

[pic].

Оскільки [pic] попри всі допустимих значеннях x, тим більш [pic] попри всі x їх ОДЗ нерівності (1), тож досить вирішити неравенство:

[pic].

Це нерівність рівносильне системе.

[pic].

Оскільки нерівність х2 + 5х + 38 (0 виконується за будь-яких значеннях x (D = 25 — 4 (28 (0 і а = 1 (0), то остання система рівносильна неравенству:

х2 + 5х + 38 (0.

или.

(x + 9)(х — 4) (0.

звідки методом інтервалів знаходимо рішення нерівності (1).

Відповідь: x (]-9; 4[.

Нерівність (1) — нерівність вида.

[pic] .

Тут застосовна підстановка [pic] і нерівність замінюється рівносильним йому неравенством:

у2 — ky + d — з < 0, яке легко разрешимо.

Розглянемо нерівність вида:

[pic], де можна застосувати підстановку [pic].

Пример 2. Вирішити неравенство:

[pic].

Решение. Знайдемо ОДЗ нерівності: x (5. Поклавши [pic], тоді в > x — 3, y (0. Висловимо x через у: у2 = 5 — x (x = 5 — у2.

Отримуємо систему:

[pic].

Откуда:

[pic].

Значення x < 4 належать ОДЗ.

Відповідь: x < 4.

Пример 3. Вирішити неравенство.

[pic].

Решение. Знайдемо ОДЗ неравенства.

[pic].

при x (2 друге й третє нерівності системи істинними. ОДЗ x (2.

Нехай [pic], тоді вихідне нерівність прийме вид:

[pic] (1).

Оскільки під радикалами у частині нерівності (1) стоять повні квадрати, воно то, можливо представлено наступного еквівалентному виде:

|t + 1| - |t — 1| > 1.

Разобьем рішення втричі промежутка:

1) t (-1.

— t — 1 + t — 1 > 1 (.

2) -1 < t (1 t + 1 + t — 1 > 1.

2t > 1 t > Ѕ.

3) t > 1 t + 1 — t + 1 > 1 2 > 1 — истинно.

Рішенням нерівності усім трьох проміжках буде t > Ѕ.

Підставляємо [pic].

[pic].

Эти значення належать ОДЗ.

Відповідь: x > 2,25.

Пример 4. Вирішити неравенство:

[pic] Рішення. Поклавши [pic], тоді [pic] і ми маємо неравенство:

у2 — у — 2 >0,.

звідки знаходимо y < -1, y>2.

Тепер завдання звелася до вирішення двох неравенств:

[pic].

Перше нерівність немає коренів в багатьох дійсних чисел, бо під знаком спорудження в дробову ступінь можуть утримувати лише ненегативне число, а будь-яка ступінь неотрицательного числа неотрицательна.

[pic] (1).

Нехай a < 0. У шкільному курсі раціональна ступінь числа, а чи не визначається, і це випадково. Нехай (1) вірно, тогда:

[pic].

Противоречие.

Отже, отримуємо: ліва позитивна частина менше негативною правої, що ні має смысла.

Вирішимо неравенство.

[pic].

Зведемо Кобзареву обидві частини нерівності в п’яту ступінь, одержимо x — 2 > 32, звідки x > 34.

Відповідь: x > 34.

9. Спосіб домножения обох частин ірраціонального нерівності на певна кількість, або выражение.

Такий спосіб ми можемо використати, виходячи з теоремах 19 і 20 з параграфа «Нерівності та його основні свойства».

Пример 1. Вирішити неравенство:

[pic] (1).

Решение. Самота радикала та побудову обох частин отриманого нерівності в квадрат призвело б до громіздкого нерівності. У той самий час, якщо виявити певну спостережливість, можна помітити, що заданий нерівність легко зводиться до квадратному. Попередньо знайдемо ОДЗ неравенства:

2х2 — 3х + 2 (0.

откуда отримуємо x — будь-яке дійсне число. Домножим обидві частини нерівності (1) на 2 получим.

[pic].

и далее.

[pic].

Вважаючи [pic], одержимо у2 — 2у — 8 (0, чому в (-2, у (4.

Отже, нерівність (1) рівносильне наступній сукупності неравенств:

[pic].

Друге нерівність системи має розв’язання x (-2, x (3,5, а перше — немає рішень, так ліва частина нерівності неотрицательна, а права негативною, суперечить змісту неравенства.

Усі рішення другого нерівності належать ОДЗ нерівності (1) і отримані при переходах до рівносильним неравенствам.

Відповідь: x (-2, x (3,5.

Пример 2. Вирішити неравенство.

[pic] (1).

Решение. ОДЗ неравенства:

[pic].

Домножим обидві частини нерівності на выражение.

[pic], має таку ж ОДЗ, як і нерівність (1). Получим:

[pic] или:

[pic].

Останнє нерівність завжди істинно на ОДЗ, т. до. -3 завжди буде менше позитивної правій частині неравенства.

Відповідь: x (1.

Пример 3. Вирішити неравенство.

[pic].

Решение. Знайдемо ОДЗ неравенства.

[pic].

Домножим обидві частини нерівності на [pic]:

[pic].

Последнее нерівність рівносильне совокупности:

[pic].

З першої системи отримуємо x < -2, а рішенням другий системи є проміжок [pic].

Об'єднуючи їх получаем:

Відповідь: [pic].

10. Метод виділення повного квадрата в подкоренных висловлюваннях під час вирішення ірраціональних нерівностей, або розкладання подкоренного висловлювання на множители.

Пример 1. Вирішити неравенство.

[pic].

Спробуємо відзначити які - або особливості заданого нерівності, які б вказати шлях до вирішення. Такі особливості є, а именно:

[pic].

Решение. Знайдемо ОДЗ вихідного неравенства.

[pic] [pic] [pic].

На проміжку [-1;4] третє і четверте нерівності системи істинними. Отже, ОДЗ x ([-1;4]. Перепишемо заданий нерівність так:

[pic].

звідки [pic].

Але [pic] і [pic], тому получаем:

[pic].

или:

[pic].

У ОДЗ права частина нерівності завжди позитивна, тому зведемо Кобзареву в квадрат обидві частини неравенства.

[pic].

решение цього нерівності x ([0; 3]. Цей проміжок належить ОДЗ.

Відповідь: x ([0; 3].

Пример 2. Вирішити неравенство:

[pic].

Решение. Знайдемо ОДЗ неравенства:

[pic].

откуда отримуємо x (1, x (5, x = 2.

Перепишемо наше нерівність наступним образом:

[pic].

Оскільки обидві частини нерівності позитивні і мають сенс на ОДЗ, зведемо Кобзареву в квадрат обидві частини цієї нерівності, получим:

[pic].

Права частина отриманого нерівності на ОДЗ завжди позитивна, тому маємо право звести обидві частину його в квадрат й одержимо равносильное неравенство:

(x — 2)2(х — 5)(х — 1) (9(х — 2)2(х — 1)2.

или:

(x — 2)2(х — 1) (x — 5 — 9х + 9)(0.

(x — 2)2(х — 1) (4 — 8х)(0.

откуда методом інтервалів отримуємо: x (Ѕ, x? 1 З огляду на ОДЗ, получаем.

Відповідь: x (Ѕ, x = 1, x? 5, x = 2.

11. Рішення ірраціональних нерівностей шляхом проб, выводов.

Пример 1. Вирішити неравенство:

[pic] (1).

Решение. Область визначення нерівності (1): 2 (x (3.

Перш, ніж будувати в квадрат обидві частини нерівності (1), необхідно переконатися, що обидві його частину неотрицательны.

Проте, виявляється, що це так.

Справді, оскільки 2 (x (3, то 1 (x — 1 (2 і трьох (6 — x (4. І це отже, що [pic] чи [pic]. Але [pic]. Отже, попри всі значеннях x з відрізка 2 (x (3 нерівність (1) виконується. Отже, 2 (x (3 — рішення неравенства.

Пример 2. Вирішимо неравенство:

[pic].

Решение. Знайдемо ОДЗ неравенства:

[pic].

откуда отримуємо, що ОДЗ нерівності x = 2 — єдина точка. Підстановкою легко перевірити, що x = 2 розв’язує вихідного неравенства.

Відповідь: x = 2.

12. Рішення складніших примеров.

Пример 1. Вирішити неравенство.

[pic].

Решение. Використовуємо метод інтервалів. Вирішимо відповідне уравнение.

[pic].

Рішенням рівняння є значення перемінної x = 0 і [pic] при будь-якому дійсному значенні параметра а.

Коріння відповідного рівняння розбивають числову вісь на проміжки знакопостоянтства, у кожному у тому числі нерівність чи тотожний справжнє, чи тотожний ложное.

і якщо a > 0, то [pic] і числова вісь розбивається ми такі проміжки знакопостоянства: x < 0, [pic].

Розглянемо проміжок [pic]. Візьмемо значення x = та якщо з цього проміжку і підставимо на даний нерівність. Одержимо: [pic] - справжнє числове нерівність. Отже, проміжок [pic] належить рішенню. Будь-яке значення перемінної x, взяте з проміжку знакопостоянства [pic], звертає дане нерівність в хибне числове нерівність. Наприклад, при [pic] маємо хибне числове нерівність [pic].

Отже, проміжок [pic] не належить решению.

Підставивши, наприклад, x = -а, взяте з проміжку знакопостоянства x < 0, на даний нерівність, одержимо справжнє числове нерівність [pic]. Отже, числової проміжок x < 0 належить рішенню. Отже, при a > 0 рішенням нерівності є об'єднання двох числових проміжків x < 0 і [pic]. б) якщо a < 0, то [pic] і числова вісь розбивається на проміжки знакопостоянства [pic]. Як і першому випадку, встановлюємо, що це нерівність тотожний істинне за проміжках [pic] і x > 0 і тотожний хибне між тим [pic]. Отже, при a < 0 рішенням нерівності буде об'єднання двох числових проміжків [pic] і x > 0. в) при, а = 0 [pic]. Одержимо два проміжку знакопостоянства: x < 0 і x > 0, кожен із яких, як встановити належить решению.

Відповідь: 1) при [pic].

2) при [pic]. Приклад 2. Вирішити неравенство.

[pic].

ОДЗ: 5х — 7? 0 log57? x < +?

[pic].

Возводим обидві частини вчених у квадрат:

[pic].

решением останнього нерівності є проміжок x? 2. З огляду на ОДЗ отримуємо рішення вихідного нерівності log57? x? 2.

Відповідь: log57? x? 2.

13. Добірка завдань із темі «рішення ірраціональних неравенств».

[pic].

14. Класичні неравенства.

Розглянемо деякі найважливіші для математичного аналізу нерівності. Ці нерівності служать апаратом, який повсякденно використовують фахівці, працюють у цій галузі математики.

Теорему про середньому арифметическом і середньому геометрическом.

Теорема 1. Середнє арифметичне будь-яких двох неотрицательных чисел чи b не менше їх середнього геометричного, т. е.:

[pic] (1).

Равенство має місце у тому й лише тому випадку, коли a = b.

Доказательство. Оскільки квадратний корінь може створити чимало клопоту, ми постараємося його позбутися, поклавши a = c2, b = d2, що припустимо, оскільки у теоремі 1 передбачається, що числа чи b неотрицательны. У цьому співвідношення (1), у справедливості якого для довільних неотрицательных чисел чи b хочемо переконатися, прийме наступний вид:

[pic], (2).

где сек. і d — довільні справжні числа. Нерівність (2) має місце у тому й лише тому випадку, когда.

[pic], що внаслідок основних правил, які стосуються неравенствам, рівносильне тому, что.

с2 + d2 — 2cd? 0 (3).

Але с2 + d2 — 2cd = (з — d)2, отже нерівність (3) равносильно.

(з — d)2? 0 (4).

Оскільки квадрат будь-якого дійсного числа неотрицателен, то ясно, що співвідношення (4) має місце. Отже справедливі і нерівності (3), (2), (1). Рівність у формулі (4), отже, і у формулі (1) буває у тому й в тому разі, коли з — d = 0, тобто. з = d, чи, інакше кажучи, коли a = b.

Покажемо тепер, що теорему 1 можна вивести геометричних шляхом простого порівняння деяких площадей.

Розглянемо графік функції у = x, зображений на рисунке.

Нехай P. S і Т точки прямий у = x з координатами (з, з) і (d, d). Розглянемо також точки Р (с, 0), Q (0, d), R (c, d). Оскільки довжина відрізка СР дорівнює з, то довжина відрізка P. S також дорівнює з. Тому площа? OPS, полупроизведение довжин заснування і висоти дорівнює [pic].

Розглянемо тепер прямокутник OPRQ. Він цілком покривається ?OPS і ?OQT, так что.

SOPS + SOQT? SOPRQ (5).

Оскільки площа прямокутника OPRQ — твір довжин заснування і висоти — дорівнює сd, то, при допомоги алгебраїчних символів співвідношення (5) можна записати так:

[pic].

З іншого боку, то зрозуміло, що рівність досягається тільки тоді ми, коли площа? TRS дорівнює нулю, що можна лише за умови совпадания точок P. S і Т, т. е. коли з = d.

Теорема 2. Середнє арифметичне будь-яких трьох неотрицательных чисел a, b і з незгірш від їх середнього геометричного, т. е.

[pic] (1) Рівність буває у тому випадку і лише тому випадку, коли, а = b = з. Доказ: нехай, а = х3, b = у3, з = z3. Підставимо цих значень в нерівність (1):

[pic], (2) що рівносильне нерівності x3 + y3 + z3 — 3xyz (0 (3) Ми доведемо теорему 2, якщо встановимо, що нерівність (3) має місце для довільних неотрицательных чисел x, y, z. x3 + y2 + z2 — 3xyz = (x + y + z +)(x2 + y2 + z2 — xy — xz — yz) (4) x + y + z — ненегативне число, покажемо, що x2 + y2 + z2 — xy — xz — yz (0 (5) Випишемо три нерівності x2 + y2 (2xy, x2 + z2 (2xz, y2 + z2 (2yz (ці нерівності істинними по теоремі 1) і сплюсуємо їх почленно:

2(x2 + y2 + z2) (2(xy + xz + yz) це нерівність рівносильне нерівності (5). Рівність досягається тоді навіть тільки тоді ми, коли x = y = z. Нас, що у (4) ліва частина (0, тобто. нерівність (3) має місце. Але нерівність (3) рівносильне (1). Теорему доведено. Умова x = y = z рівносильне умові a = b = з. Теорему буде сповідує й для n чисел, приймемо її без доказательства.

Теорема 3. Середнє арифметичне будь-яких n неотрицательных чисел а1, а2,…аn незгірш від їх середнього геометричного, т. е.

[pic] Рівність буває у тому й лише тому випадку, коли а1 = А2 = аn.

Неравенство Коши.

а) Двомірний вариант:

[pic] (1).

для будь-яких неотрицательных чисел a, b з, d. Доказ. Оскільки a, b, з, d — неотрицательные, то ac + bd (0 і маємо право звести в квадрат обидві частини нерівності (1):

(a2 + b2)(c2 + d2) ((ac + bd)2 (2) Передусім відзначимо, що нерівність a2 + b2 (2ab, у якому грунтувалися все висновки у роки теоремах, є простим наслідком тотожності a2 — 2ab + b2 = (a — b)2, вірного всім дійсних чисел. Розглянемо произведение.

(a2 + b2)(c2 + d2) Провівши множення, одержимо багаточлен a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2, Співпадаючий про те, який після розкриття скобок у натуральному вираженні (ac + bd)2 + (bc — ad)2 Звідси получаем.

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc — ad)2 (3) Оскільки квадрат (bc — ad)2 неотрицателен, те з (3) слід неравенство.

(a2 + b2)(c2 + d2) ((ac + bd)2 для будь-яких дійсних чисел a, b, з, d. Нас нерівність (2) — нерівність Коші для будь-яких дійсних чисел a, b, з, d. Для будь-яких неотрицательных чисел a, b, з, d нерівність Коші набуде вигляду (1). З співвідношення (3) випливає, що рівність в (2), отже, і в (1) досягається тоді й тільки тоді, коли bc — ad = 0 (4) І тут кажуть, дві пари чисел (a, b) і (з, d) пропорційні. При з (0 і d (0 умова (4) можна записати наступним образом:

[pic] Геометрична інтерпретація. Розглянемо трикутник, зображений на рисунке.

Очевидно, що довжини відрізків OР і OQ і PQ визначаються равенствами.

СР = (a2 + b2)Ѕ.

ОQ = (c2 + d2)Ѕ.

РQ = [(a — c)2 + (b — d)2]Ѕ Означимо кут між сторонами СР і OQ через (. З теореми косинусов имеем:

PQ2 = OP2 + OQ2 — 2OP (OQ co (Підставляючи значення OP, OQ, і РQ і спрощуючи отримане вираз, имеем.

[pic] Оскільки значення косинуса завжди укладено між -1 і +1, ми имеем.

— 1 (co ((1 или.

[pic] значит.

[pic] І це двомірний варіант нерівності Коші. З іншого боку, бачимо, що рівність тут досягається тоді й тільки тоді, коли сos (=1, тобто. коли (= 0 чи (= (, — інакше кажучи у тому лише тому випадку, коли точки Про, Р, і Q лежать в одній прямий. У цьому повинно бути і рівність підйомів прямих СР і OQ; інакше кажучи, якщо з (0 і d (0, то має бути [pic].

б) Тривимірний варіант нерівності Коши.

Вищенаведена інтерпретація нерівності Коші для двумерного випадку хороша і те, що дозволяє нам з допомогою геометричній інтуїції легко зметикувати, якого вигляду матимуть аналогічні результати, що стосуються до складнішого випадку будь-якого числа вимірів. Перейдемо випадку тривимірного простору. Нехай Р (а1, А2, а3) і Q (b1, b2, b3) — дві точки, не збігаються з початком координат Про (0, 0, 0). Тоді косинус кута (між прямими СР і OQ визначатиметься равенством.

[pic] яке, через те, що сos ((1, призводить до тривимірному варіанту нерівності Коші для неотрицательных чисел аi і bi, і = 1, 2, 3.

[pic] (1) Рівність тут досягається тоді й тільки тоді, коли трикрапку Про, Р і Q лежать в одній прямий, виражену соотношениями.

[pic] мають сенс за умови, що це числа bi, стоящии в знаменателях відмінні від нуля. Суто алгебраїчне доказ тривимірного варіанта нерівності Коші (1) можна вивести ринок із наступного тотожності: (a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32) — (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 = (a12b22 + a22b12) + + (a12b32 + a32b12) + (a22b32 + a32b22) — 2a1b1a2b2 — 2a1b1a3b3 — 2a2b2a3b3 = = (a1b2 — a2b1)2 + (a1b3 — a3b1)2 + (a2b3 — a3b2)2 (2) Вочевидь, що останні вираження у (2) неотрицательно, бо вона полягає від суми трьох неотрицательных членів. Поэтому.

(a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32) — (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 (0. Наведемо ще ще один доказ цього нерівності, яке знадобиться нам далі. Почнемо з головного нерівності (x — у2) (0, що можна записати в наступному виде:

[pic] (3) Нерівність (3) має місце для будь-яких дійсних чисел x і в. Замість x і в послідовно підставимо в (3) такі висловлювання: сначала:

[pic] [pic] затем.

[pic] [pic] і, наконец,.

[pic] [pic] де ai, bi — справжні числа. Складаючи три отриманих в такий спосіб нерівності, имеем.

[pic], безперечно рівносильне неравенству.

(a12 + a22 + a32)Ѕ(b12 + b22 + b32)Ѕ (a1b1 + a2b2 + a3b3 І це нерівність рівносильне нерівності (1) при ai, bi — неотрицательных.

в) n — мірний варіант нерівності Коші виглядатиме так.

[pic], де ai, bi, і = 1, 2, … n — неотрицательные числа.

Неравенство Гёльдера.

Одно із найбільш корисних нерівностей математичного аналізу — нерівність Гёльдера. Воно утверджує, що з будь-який системи неотрицательных чисел ai і bi (і - 1, 2, …, n) [pic] (1) де числа р і q задовольняють условию.

[pic] і р > 1.

Фактически ми доведемо нерівність (1) лише раціональних р і q. Проте оцінку зберігає собі силу й для ірраціональних р і q. Почати з неравенства.

[pic] (2) Воно виводиться як окреме питання теореми про середньому арифметическом середньому геометричному. Поклавши, перші m чисел xi в неравенстве.

[pic] рівні деякому неотрицательному числу x, тоді залишається N-m чисел і нехай вони рівні неотрицательному числу у, тобто. x1 = x2 = … = xm = x xm+1 = xm+2 = … = xn = y І тут теорема про середньому арифметическом і середньому геометричному для чисел x1, x2, …, xn прийме вид.

[pic] или.

[pic] Тут n — будь-яке ціла кількість, а m — ціла кількість значення якого укладено не більше 1 (m (n — 1. Звідси випливає, що кількість m/n може бути будь-якою раціональної дробом r, що належить інтервалу 0 < r < 1. Тепер останнє нерівність можна переписати так: rx + (1 — r) y (x r y1-r (3) Це нерівність має місце для будь-яких неотрицательных чисел x і в й у будь-який дробу r, важливості якої укладено між 0 і одну. Рівність тут досягається тоді й тільки тоді, коли x = у. Означимо число r через 1/р; оскільки 0 < r < 1, то p > 1. Отсюда.

[pic]. Нехай [pic], тоді [pic] і [pic] У цих позначеннях нерівність (3) приймає вид.

[pic] (4) З метою вилучити з розгляду дробные показники ступеня між іншим x = ар, у = bр. У цьому нерівність (4) приймає вид.

[pic], де a і b — неотрицательные числа, а р і q — такі раціональні числа, що [pic]. Рівність тут досягається тоді й тільки тоді, коли ар = bр. Отже, ми вивели нерівність (2). Положим.

[pic] [pic] затем.

[pic] [pic] тощо. буд. (як і доказі нерівність Коші) і сплюсуємо нерівності, отримувані після послідовних підстановок цих значень в (2). При цьому одержимо [pic] (5) Використовуючи рівність [pic], отримуємо нерівність, равносильное (1). Рівність в (5) досягається тоді й тільки тоді, коли всі відносини bi/ai рівні між собою. Нерівність треугольника.

Из геометрії знаємо, сума довжин обох сторін трикутника незгірш від довжини його третю сторону. Подивимося, як і висловити цю теорему алгебраїчно. Розглянемо трикутник ORP, розташований оскільки показано на рисунке.

Геометрическое нерівність СР + PR (OR рівносильне алгебраическому нерівності треугольника.

[pic] (1) Аби довести зведемо Кобзареву обидві частини нерівності (1) в квадрат, у своїй ми то дійдемо нерівності, равносильному (1):

[pic] Легко бачити, що останні нерівність своєю чергою рівносильне неравенству:

[pic] Але це нерівність є простим наслідком нерівності Коши.

[pic], що доводить нерівність трикутника. Рівність в нерівності трикутника, як й у нерівності Коші досягається тоді й тільки тоді, коли х1 = кх2 і у1 = ку2, де до — неотрицательный коефіцієнт пропорційності. Доказ нерівності трикутника можна узагальнити, слідуючи з такого самого шляху, що й за виведення нерівності Гёльдера, саме довести, що неравенство.

[pic] має місце для будь-яких дійсних значень xi, yi. Рівність буває у тому й лише тому випадку, коли числа xi і yi пропорційні і коефіцієнт пропорційності положителен.

Розглянемо ще ще один доказ нерівності трикутника, яке можна використовувати також і отримання більш загальних результатів. Має місце тождество.

(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2 = х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) + х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2) Нерівність Коші у вигляді, використовує квадратні коріння, застосуємо по черги до двох выражениям: х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) і х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2). Ми получим.

(х12 + у12)½ [(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]½ (х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) и.

(х22 + у22)½ [(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]½ (х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2) Додаймо ці дві нерівності [(х12 + у12)½ + (х22 + у22)½]*[(х1 + х2)2 + (y1 + у2)2]½((х1 + х2)2 + (у1 + у2)2 розділивши обидві частини спільний множитель.

[(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]½, будемо иметь.

(х12 + у12)½ + (х22 + у22)½ ([(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]½ в такий спосіб, ми знову довели нерівність трикутника. Рівність знову стане відбутися тоді й тільки тоді, коли х1 = кх2 і у1 = ку2, де до — неотрицательный коефіцієнт пропорційності, інакше кажучи, тоді й тільки тоді, коли трикрапку Про, Р і Q лежать в одній прямий, причому точки Р і Q розташовані з одного боку від точки О.

Неравенство Минковского.

Неравенство Минковского стверджує, що з будь-яких неотрицательных чисел х1, у1, х2, у2 незалежно від р > 1.

(х1р + у1р)1/р + (х2р + у2р)1/р ([(х1 + х2) р + (у1 + у2) р]1/р

(1) Нерівність трикутника становить окреме питання нерівності Минковского для р = 2 та його докази подібні. Запишемо тотожність (х1 + х2) р + (у1 + у2) р = [х1(х1 + х2) р-1 + у1(у1 + у2) р-1] (([х2(х1 + х2) р-1 + у2(у1 + у2) р-1] і застосуємо нерівність Гёльдера до кожного члена правій частині цього тотожності. Через війну одержимо: (х1р + у1р)1/р= [ (х1 + х2)(р-1)q + (у1 + у2)(р-1)q]1/q (х1(х1 + х2) р-1 + у1(у1 + у2) р-1 і (х2р + у2р)1/р= [ (х1 + х2)(р-1)q + (у1 + у2)(р-1)q]1/q (х2(х1 + х2) р-1 + у2(у1 + у2) р-1 Оскільки [pic], то (p — 1) q = p. Складаючи останні нерівності, маємо [(х1 + х2) р + (у1 + у2) р]1/q[(х1р + у1р)1/р + (х2р + у2р)1/р] ((х1 + х2) р + (у1 + у2) р Розділивши потім на [(х1 + х2) р + (у1 + у2) р]1/q одержимо (х2р + у2р)1/р + (х1р + у1р)1/р ([(х1 + х2) р + (у1 + у2) р]1−1/q Оскільки [pic], то останнє нерівність повністю з потрібним нерівністю Минковского (1). Знак рівності в нерівності (1) має місце тоді й тільки тоді, коли точки (х1 у1) і (х2 у2) лежать в одній прямий до точки (0, 0). Аналогічно узагальненням нерівності Гёльдера і нерівності трикутника можна отримати й нерівність Минковского обох систем їх n неотрицательных чисел х1, х2, …, хn і у1, у2, …, уn. Вона має вид: [х1р + х2р +… хnр ]1/р + [у1р + у2р+… + уnр] 1/р (([(х1 + у1) р + (х2 + у2) р + … +(хn + уn) р]1/р, де р (1 При p < 1 знак нерівності потрібно змінити на обратный.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

У дипломної роботі вивчене і дано аналіз самостійної роботі учнів поряд з іншими формами організації пізнавальної діяльності. За підсумками вивченій психолого-педагогічної літератури дається характеристика цих форм, розроблено методику застосування самостійної роботи разом із іншими формами організації пізнавальної діяльності на факультативних заняттях в випускних класах середньої школи, вивчені навчальні можливості які у експериментальної групі, проведена досвідченоекспериментальна робота з включенню самостійної роботи школярів у процес обучения.

Розроблено й проведено 8 занять із темі «Ірраціональні нерівності». За підсумками вивченій літератури дається аналіз ірраціональних нерівностей і способів їх решения.

Проведення досвідченоекспериментальної роботи підтверджує висунуту гіпотезу. Застосування самостійної роботи учнів сприяє кращому засвоєнню знань, про що свідчать результати контрольної роботи, сприяє підвищенню активності пізнавальної діяльності учнів. Звісно, якби експеримент тривав довше, то результати були б більше ощутимы.

1. Андрєєва І.Н. Індивідуальні творчі роботи які у навчанні //.

Автореферат, МГПИМ; 1967.

2. Аношнин О. П. Оптимізація форм організації навчальної діяльності школярів на уроці. // Автореферат, ЧДУЧелябінськ: 1986.

3. Бабанский Ю. К. Оптимізація процесу навчання // Радянська педагогика;

М.: Просвещение.

4. Верцинская М. М. Індивідуальна роботу з учнямиМінськ: 1983.

5. Дяченка В. К. Організаційні форми навчання дітей і їх развитие.

//Радянська педагогікаМ: Просвітництво, 1985, № 9.

6. Дяченка В. К. Організаційна структура процесу і його розвитокМ: Педагогіка, 1989.

7. Зотов Ю. Б. Організація сучасного уроку.- М: Просвітництво, 1984.

8. Лийметс Х. И. Групова робота на уроці. — М: Просвітництво, 1975.

9. Махмутов М. И. Питання організації процесу проблемного навчання. -.

Казань: Видавництво Казанського університету, 1972.

10. Миколаєва Т. М. Поєднання общеклассной, груповий і побудова індивідуальної роботи учнів на уроці як один із засобів підвищення ефективності процесу. //Автореферат, М: 1972.

11. Семенов Н. А. Про засобах організації навчання. //Радянська педагогіка, 1966, № 11.

12. Стрезикозин В. П. Організація процесу навчання у школі. //М:

Просвітництво, 1968.

13. Уфимцева М. А. Форми організації навчання у сучасній загальноосвітній школі. //М: Просвітництво, 1986.

14. Хабиб О. А. Організація навчально-пізнавальної діяльності учащихся.

-М: Педагогіка, 1979.

15. Чередов І.М. Методика планування шкільних форм організації навчання. -Омськ: Педагогіка, 1983.

16. Чередов І.М. Шляхи реалізації принципу оптимального поєднання форм організації навчальної діяльність у 5−9 класах. //Автореферат, КГУ,.

Красноярськ, 1970.

17. Чередов І.М. Система форм організації у радянської загальноосвітньої школі. -М: Педагогіка, 1987.

18. Чередов І.М. Форми навчальної роботи у середньої школи. — М: Просвещение,.

19. Ю. В. Нестеренка й ін. Завдання вступних іспитів по математике.

//М: Наука, 1980.

20. Белоносов В. С. Завдання вступних іспитів з математики в НГУ.

//Новосибірськ, НГУ, 1992.

21. Литвиненко В. М., Морднович О. Г. Практикум по елементарної математиці. //М: Просвітництво, 1991.

22. Литвиненко В. М. Морднович О.Г. Практикум у вирішенні математичних завдань. //М: Просвітництво, 1984.

23. Вересова Е. Е. та інших. Практикум у вирішенні математичних завдань. //М:

Просвітництво, 1979.

24. Блох А. Ш., Трухан Т. Л. Нерівності //Мінськ: Народна Асвета, 1972.

25. Завдання підвищеної труднощі з алгебри і засадам аналізу //М:

Просвітництво, 1990.

26. Коровкін В.П. Нерівності //М: Наука, 1974.

27. Башмаків М.И. Рівняння і нерівності //М: Наука, 1976.

28. Беккенбах Еге., Беллман Р. Введення ЄІАС у нерівності //М: Світ, 1965.

29. Невежский Г. Л. Нерівності //М: Учпедгиз, 1947.

30. Алгебра, 8 клас //М: Просвітництво, 1980.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Вивчаючи шкільної програми, я з’ясувала, що ірраціональні нерівності не розглядаються знає середньої школи. У 11классе вивчаються лише ірраціональні рівняння. Вони входить у розділ «Показові функції», і вчитель може приділити їм увагу протягом 2−3 уроків. Проте задля тих учнів, які хочуть гарну підготовку до вступу в вузи цього недостатньо. Переглядаючи програми, запропоновані на вступних іспитах у НГУ і МДУ знаходимо, що, крім ірраціональних рівнянь у яких пропонується вирішити ірраціональні нерівності. Наприклад, НГУ:

75 рік механіко-математичний факультет В-I вирішити нерівність [pic] В-II вирішити нерівність [pic].

81 рік геолого — геодезичний факультет В-I вирішити нерівність [pic] В-IV вирішити нерівність [pic].

81 рік фізичний факультет У — I вирішити нерівність [pic] У — II вирішити нерівність [pic].

МГУ:

78 рік механико — математичний факультет В-I вирішити нерівність [pic].

79 рік фізичний факультет В-I вирішити нерівність [pic].

78 рік хімічний факультет В-I вирішити нерівність [pic].

Цілі проведення та написання цього факультативу: підготувати учнів до вступу у вузи, розширити і систематизувати отримані раніше відомості й розв’язанні ірраціональних рівнянь, навчити учнів вирішувати ірраціональні нерівності, і навіть відпрацювати технічні навички тотожних перетворень ірраціональних рівнянь. Цей матеріал вимагає достатньої логічного грамотності учнів, оскільки у тому, щоб знайти безліч рішень ірраціонального нерівності, доводиться, зазвичай, будувати обидві частини нерівності у натуральну ступінь. Необхідно довести до розуміння учнів, що попри зовнішню схожість процедури рішення ірраціонального рівняння і ірраціонального нерівності, з-поміж них є велика відмінність. За позитивного рішення нерівності неможливо перевіркою встановити «зайві» рішення, які при спорудження четную ступінь. Єдиний спосіб, який убезпечить правильність відповіді, у тому, що ми повинні слідкувати те, щоб за кожному перетворення нерівності ми виходило нерівність, еквівалентну вихідному. Мета дипломної роботи — надати конкретну допомогу вчителю в підготовці учнів до вступу в вузи, на більш поглиблене вивчання матеріалу. Найпоширенішим методом навчання рішенню ірраціональних нерівностей є виявлення типових способів вирішення ірраціональних нерівностей. Наше завдання — дати основні рекомендації на допомогу пошуку рішення нерівностей і придбати певний досвід при решении.

Занятие№ 1.

Тема: Поняття ірраціонального нерівності, її особливості. Мета: дати поняття про ірраціональних неравенствах, навчити знаходити ОДЗ ірраціональних неравенств.

I. Пригадати (питання классу):

1) що називається коренем n — іншої ступеня у складі а?

2) Як мовиться арифметичним коренем n — іншої ступеня у складі а (а.

(0)?

3) Які властивості арифметичного кореня n — іншої ступеня ви знаєте? II. Самостійна робота на 2 варианта.

У — I У — II 1) Доведіть, що насправді равенство.

[pic] [pic] 2) Знайдіть значень корня.

[pic] [pic] 3) Знайдіть значення выражения.

[pic] [pic] 4) Вирішіть рівняння х3 = 4×4 = 10×4 = -10×3 = -4×6 = 7×5 = 6 5) Вирішіть рівняння і неравенства.

[pic] [pic] 6) Знайти значення выражения.

[pic] [pic] III. Учитель пояснює новий матеріал, спираючись не знання учнів. IV. Знайти ОДЗ нерівностей (учні вирішують самостійно, потім усно перевіряємо відповіді) [pic] V. Д/з 1 група самостійно розбирає тему «Найпростіші ірраціональні нерівності, містять радикал четной ступеня» і пише доповіді у цій темі по плану:

1) Самота радикала.

2) Рішення нерівностей виду [pic].

3) Рішення нерівностей виду [pic].

4) Примеры.

2 група повторює пройдений материал.

Заняття № 2.

Тема: Найпростіші ірраціональні нерівності, містять зміну під знаком радикала четной ступеня. Мета: Відпрацювати навички рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком радикала четной степени.

I. Читання доповіді однією з учнів 1 групи, доповнення інших учнів 1 групи, розбір у дошки 3 — 4 прикладів, які хлопці знайшли і вирішили вдома. II. Наступні нерівності хлопці вирішують самостійно, потім у парах перевіряють рішення друг в одного. 1).

[pic].

Відповідь: x ([pic] 2).

[pic].

Відповідь: x (-1 і x (1.

3).

[pic].

Відповідь: x ([pic] 4).

[pic].

Відповідь: [pic].

III. Д/з 1 група самостійно розбирає найпростіші ірраціональні нерівності, містять зміну під знаком радикала нечетной ступені та пише доповідь по плану:

1) спорудження нерівностей в непарну степень;

2) приклади з рішеннями. 2 група вчить рішення ірраціональних нерівностей, розібраних у п’ятому класі, вирішує неравенства:

1) [pic].

2) [pic].

3) [pic].

Заняття № 3.

Тема: Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком радикала нечетной ступеня. Мета: Закріплення вивченого, навчити учнів вирішувати найпростіші ірраціональні нерівності, містять зміну під знаком радикала нечетной степени.

I. Повторення 1) Розкажіть правила рішення нерівностей виду а).

б).

в).

г).

2) Вирішити нерівності (хтось із учнів 2 групи вирішує у дошки, інші - в зошитах) а) [pic].

[pic].

Відповідь: [pic].

б) [pic].

[pic].

Відповідь: [pic].

II. Розбір нового матеріалу (діти з 1 групи розповідають, пояснюють свої примеры).

III. Самостійно вирішити неравенства.

1).

[pic] x (x-3)(x+2)>0.

— 2 0 3.

Відповідь: [pic].

2).

[pic].

[pic] 0 [pic].

Відповідь: [pic].

Відповіді перевірити в парах.

IV. Підбиття підсумків заняття: бачимо, що з спорудження нерівностей в непарну ступінь еквівалентність не порушується й під знаком радикала вираз може приймати будь-які значення. На четную ступінь маємо право будувати ті нерівності, які мають обидві частини неотрицательны; під знаком радикала четной ступеня може тільки неотрицательная функция.

V. Д/з 1 група вивчає тему «Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів четной ступеня», підбирає і вирішує нерівності на тему. Мета цієї самостійної роботи: навчитися самостійно і навчити потім дітей із другої групи вирішувати такі нерівності. 2 група повторює изученное.

Заняття № 4.

Тема: Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів четной ступеня. Мета: відпрацювання навичок рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів четной степени.

I. Учні з 1 групи у дошки розповідають новий матеріал, пояснюють нерівності, що вони вирішили вдома, з допомогою вчителя розбираються незрозумілі місця. II. Робимо висновок: при спорудженні таких нерівностей в четную ступінь еквівалентність не порушується тільки тоді ми, коли обидві частини нерівності неотрицательны. Деякі нерівності варто спочатку їх до такого виду, коли зрозуміло видно, що обидві частини, його неотрицательны. Вирішимо приклад (хтось із хлопців 2 групи вирішує у доски).

[pic].

Відповідь: [pic] III. Вирішити нерівності 1)[pic].

[pic].

Відповідь: [pic].

2).

[pic].

На ОДЗ [pic] Отже нерівність истинно.

Відповідь: [pic] 3) [pic] Відповідь: [pic].

4) [pic] [pic].

Відповідь: [pic] 5) [pic][pic].

Відповідь: [pic].

6).

[pic].

Відповідь: [pic].

7) [pic].

[pic].

Відповідь: [pic].

IV. Д/з.

1 група пише доповіді на тему: «Рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів нечетной ступеня». Особливу увагу привернути до себе рішення нерівностей виду: [pic] і нерівностей, містять радикали третій, і другого ступеня. 2 група: повторення, вирішити нерівності а)[pic]; б)[pic].

Заняття № 5.

Тема: рішення ірраціональних нерівностей, містять зміну під знаком двох і більше радикалів нечетной ступеня. Мета: познайомити учнів з неравенствами, що містять зміну під знаком двох і більше радикалів нечетной ступені та показати методи їхнього решения.

I. Перевірка Д/з 2 групи (усно) II. Учні 1 групи читають доповіді, пояснюють у дошки вирішені нерівності. Решта хлопці з учителем розбирають рішення. III. Вирішити нерівності (рішення перевірити друг в одного в парах). 1).

[pic].

Відповідь: [pic] 2) [pic] [pic].

— 1 3.

Відповідь: [pic].

3) [pic] знайдемо рішення відповідного уравнения:

[pic] будуємо в куб.

[pic] робимо замену.

[pic].

[pic] Перевірка: 1. [pic].

— 2=1 — брехливо, корінь x = 0 — сторонній 2. [pic].

[pic].

Відповідь: [pic] 4) [pic] вирішимо відповідне уравнение:

[pic] будуємо в куб.

[pic] робимо подстановку.

[pic] Перевірка: 1. [pic] 2. [pic].

1. 3.

Відповідь: [pic].

5) [pic] будуємо в куб [pic] При [pic] Отже останнє нерівність на ОДЗ завжди истинно.

Відповідь: [pic] 6).

[pic].

Відповідь: [pic] IV. Д/з 1 група на прикладах розглядає рішення ірраціональних нерівностей з параметрами. 2 група вчить розглянутий у п’ятому класі матеріал, вирішує нерівності а)[pic] б)[pic].

Занятие № 6.

Тема: Рішення ірраціональних нерівностей з параметрами. Мета: навчити учнів вирішувати ірраціональні нерівності з параметрами.

I. Питання классу.

1) Що називають параметрами?

2) Коли нерівність, що містить параметри вважається вирішеним? II. Учні з 1 групи розповідають про рішення нерівностей, що вони вирішували вдома. Учитель допомагає робити висновків. III. Вирішити нерівності 1).

[pic].

[pic] все значення [pic] належать ОДЗ, оскільки [pic] значит.

[pic].

Відповідь: 1)[pic].

2) [pic] 2) [pic] ОДЗ нерівності [pic] а) при, а < 0 на ОДЗ [pic] ніколи й нерівність істинно б) при [pic].

[pic].

[pic] останнє нерівність можна буде при [pic], отже при [pic] немає рішень при [pic] будуємо в квадрат обидві частини нерівності 1 — 2а2 + a4 > 4a2(x — 1) a4 + 2a2 + 1 > 4a2x (a2 + 1)2 > 4a2x [pic].

Відповідь: 1) при [pic].

2) при [pic] немає решений.

3) при [pic] 3).

[pic] ОДЗ нерівності [pic] а) при, а = 0 немає рішення б) при, а > 0 ОДЗ [pic].

[pic] x = 0 і x = а чи не задовольняють нерівності х (х — а) < 0 на ОДЗ, а [pic] ніколи й нерівність істинно завжди в) при, а < 0 ОДЗ x ([a;0] нерівність истинно.

Відповідь: і якщо, а > 0 0 < x.

4) [pic] при, а (0 нерівність втрачає сенс, оскільки отримуємо [pic] при, а > 0 [pic] Порівняємо А2 і [pic]: [pic] [pic].

Відповідь: якщо a > 2, то [pic] якщо a (2, (.

5) [pic] ОДЗ неравенства:

[pic] а) при, а = 0 ОДЗ x (0 при x = 0 немає при x < 0 [pic] - істинно б) при, а < 0.

2а [pic] а ОДЗ x (2а [pic] останнє нерівність істинно на ОДЗ, крім x = 2а в) при, а > 0 ОДЗ x (а (а — х)(2а — x) > 0 істинно на ОДЗ, крім x = а.

Відповідь: а) при, а = 0 x < 0 б) при a < 0 x < 2a в) при, а > 0 x IV. Д/з 1 група підбирає і вирішує нерівності на тему «Рішення ірраціональних нерівностей» способом запровадження нового перемінної". 2 група вирішує нерівності а) [pic] б) [pic].

Занятие № 7.

Тема: Рішення ірраціональних нерівностей, способом введення нової перемінної. Мета: познайомити учнів з методом рішення ірраціональних нерівностей — запровадженням нової переменной.

I. Розбір нерівностей, приготовлених учнями 1 групи. II. Вирішити нерівності 1).

[pic] тоді х2 + 5х + 4 = у2 — 24 у2 — 5у — 24 < 0 у2 — 5у — 24 = 0.

D = 25 + 96 = 121 у1 = -3 у2 = 8.

(у — 8)(у + 3) < 0.

— 3 < y < 8.

[pic].

[pic]- істинно нічого для будь-якого x з ОДЗ: х2 + 5х + 28 (0 — істинно завжди (D.

< 0, a > 0) [pic].

Відповідь: x (]-9; 4[.

2).

[pic].

[pic] - істинно нічого для будь-якого x з ОДЗ х2 — 3х + 5 (0 — істинно завжди D 0 [pic].

Відповідь: x ([-1; 4].

3) [pic] ОДЗ: 5 — x (0 чи x (5 нехай [pic], тоді в > x — 3, у (0 висловимо x через у: у2 = 5 — x (x = 5 — у2 отримуємо систему:

[pic] Значення x < 4 належать ОДЗ.

Відповідь: x < 4 4) [pic] ОДЗ: 2х + 10 (0, x (-5 3x — 5 (0, x ([pic] нехай [pic], тоді в < 3x — 5, y (0 висловимо x через у: у2 = 2х + 10 (x = Ѕу2 — 5 отримуємо систему:

[pic] x > 3 Значення x > 3 належать ОДЗ.

Відповідь: x > 3.

5)[pic] Знайдемо ОДЗ нерівності: [pic] x (2 при x (2 друге й третє нерівності системи істинними ОДЗ: x (2 нехай [pic] [pic] |t + 1| - |t — 1| > 1 a) t (-1.

— t — 1 + t — 1 > 1 -2 > 1 — брехливо (б) -1 < t (1 t + 1 + t -1 >1 [pic] враховуючи, що -1 < t (1, отримуємо [pic] в) t > 1 t + 1 — t + 1 > 1 2 > 1 — істинно рішенням нерівності усім трьох проміжках буде [pic] [pic] x > 2,25 — належить ОДЗ.

Відповідь: x > 2,25.

6) [pic] ОДЗ неравенства:

[pic] нехай [pic], тоді [pic] |t ±3| + |t — 2| > 1 a) t (2 — t + 3 — t + 2 > 1 t 1 — брехливо (в) t > 3 t — 3 + t — 2 > 1 t >3 получаем:

[pic] враховуючи ОДЗ отримуємо: 2 (x < 6, x > 11.

Відповідь: 2 (x < 6, x > 11.

III. Д/з 1 група розбирає шляхи вирішення ірраціональних нерівностей домножением обох частин на певна кількість чи вираз, розкладанням подкоренного висловлювання на множники, виділенням повного квадрата в подкоренных висловлюваннях. 2 група вирішує нерівності: а) [pic] б) [pic].

Занятие № 8.

Тема: Рішення ірраціональних нерівностей, способами домножения обох частин на певна кількість, або вираз, виділення повного квадрата в подкоренных висловлюваннях, або розкладання подкоренного висловлювання на множники. Мета: дати учням уявлення про засоби рішення ірраціональних неравенств.

I. Розбір Д/з 2 групи (усно) II. Розбір завдань, приготовлених 1 групою. III. вирішити нерівності 1) [pic] ОДЗ: x (1.

домножим на [pic] [pic] останнє нерівність завжди істинно на ОДЗ.

Відповідь: x (1.

2) [pic] ОДЗ: x < 2 домножим на [pic] [pic].

Відповідь: [pic].

3).

[pic] [pic] [pic].

Відповідь: х ([0;3].

4) [pic] ОДЗ: x (1, x (5, x = 2 [pic] враховуючи ОДЗ получаем.

Відповідь: [pic].

Итоговая контрольна работа.

Варіант I.

Решить нерівності 1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic] 5) [pic].

Вариант II.

Решить нерівності 1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic] 5) [pic].

Филиппова Ольга Владимировна.

Дипломная робота «Організація пізнавальної діяльності учнів на факультативних занять із темі «Ірраціональні неравенства».

Руководитель: Кузьмичов Анатолій Иванович.

З, А Щ І Т, А (устно).

Дипломна робота складається з запровадження, трьох глав, укладання, списку літератури та докладання із розробкою факультативу по теме.

У дипломної роботі я хотів зібрати і проаналізувати знання, отримані не за п’ять років навчання, і застосувати їх до конкретного завдання. А саме, спробувала з прикладу вивчення дуже важкою і аж сказати, непопулярною серед школярів теми «Ірраціональні нерівності» підтвердити положення про те, інтерес, і з цим і, вміння, навички приходять разом із свою вроду, причому, цю роботу повинен носити значною мірою самостійний характері і у частині підготовки до занять, і навіть частини проведення та пошуку потрібних форми їх организации.

Важливим підмогою у розвитку пізнавального інтересу учнів є, як з’ясувалося, історичні інформацію про темі. Пошук їх значно активізував роботи з літературою, у якій що крім усього учні шукали що й інформацію про методику проведення занять, вивчення теми, завдань, запропонованих на вступних іспитах у різні ВУЗы.

Під час проведення факультативних занять учні було розбито на 2 групи: експериментальну і контрольну, приблизно однакові під силу. В усіх учнів полягало в одному мета — підготуватися до вступних іспитів в ВУЗ. Це визначило їхній інтерес. Розбивка на 2 групи проводилося за бажання самих хлопців. Вони відвідували одні й самі заняття, вивчали на уроках і той ж матеріал. Проте хлопці 1-ой експериментальної групи мали вулицю значно більше можливостей та причин для самостійної роботи з темі: їх використовували як домашнє завдання мали самостійно вивчити нову тему, починаючи з пошуку матеріалу (під керівництвом вчителя), далі написати доповіді, знайти й прорешать завдання, та був розповісти усе це решті учасників факультатива.

Учитель пропонував теми, літературу, визначав доповідачів, акцентував у потрібних місцях увага фахівців і під час уроків давав завдання темі, які, на його думку, потрібно було прорешать, а доповідачі таких не предложили.

Заключна робота з темі показала, що учні з 1-ой групи отримали результати, хоча й не набагато, але учнів контрольної группы.

Але, ще, вони мали неоціненний досвід самостійної роботи, який, на мою думку, ще дасть свої позитивні результати в будущем.

За матеріалами проведеного факультативу і він написано диплом.

У першій главі розбираються основні форми організації пізнавальної діяльності, проводиться їх з порівняльного аналізу і з’ясовуються оптимальні поєднання і взаємодії цих форм (залежно від специфіки матеріалу і зажадав від того, як і засвоєно учнями, вибиралися поєднання фронтальній, груповий й індивідуальною форм).

У другій главі розглядаються питання методики організації факультативних занять, необхідність, і обгрунтованість їхнього проведення. Далі викладаються результати дослідно-експериментальної работы.

Глава три — переважна більшість роботи. У ньому міститься необхідний теоретичний практичним матеріал для факультативу. На жаль, сюди не увійшли всі завдання, які пропонували учні, знайдені ними до занять, через їх типовості з опубликованными.

Учнями, з допомогою вчителя, виділили 9 окремі випадки і способів вирішення ірраціональних нерівностей і до кожного їх учні придумували нерівності на подальше вирішення її всім классом.

Вчителем поставили завдання з’ясувати, труднощі характерні кожного з способів решения.

Велика увага приділялася оформленню виконання завдання, зокрема, записи відповіді, внаслідок чого в ВУЗах на прийомних іспитах часто знижують бал.

Ця частина диплома може стати основою щодо відповідного факультативу нічого для будь-якого вчителя. Ця глава закінчується добіркою завдань із темі та доказом класичних неравенств.

У додатку наводиться розробка факультативу з 8 занять із темі «Ірраціональні нерівності» і підсумкова контрольна работа.

———————————- - 0 + 2а ;

— -а + а ;

— а + -а ;

— 2а + 0 ;

+ - +.

— 9 9.

+ - +.

0 [pic].

у.

х.

Q (c, d).

P (a, b).

Q (x2, y2).

R (x1 + x2, y1 + y2).

Р (x, у) у.

х.

[pic].

+ - + ;

— + - +.

+ - +.

— +.

+ - ;

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою