Решение ірраціональних рівнянь

Решение ірраціональних рівнянь.

Реферат виконано Верхошанской Світланою Олександрівною, ученицею 9"Г" класу.

МОУ «Ульканская середня загальноосвітньою школою № 2».

Улькан.

Историческая довідка про ірраціональних рівняннях.

«Источником алгебраїчних иррациональностей є двозначність чи багатозначності завдання; бо було практично неможливо висловити так і тим самим обчисленням багато значення, задовольняють одному й тому ж завданню, інакше, аніж за допомоги коренів…; вони ж хіба що у приватних випадках може бути було зведено до рациональностям».

(Лейбниц Р.).

Одной з конкретних причин появи математичних теорій було відкриття иррациональностей. Спочатку це сталося межах геометричних пошуків в вигляді встановлення факту несумірності двох відрізків прямий. Значення цього відкриття математиці важко переоцінити. У математику, майже вперше, ввійшла складна теоретична абстракція, яка має аналога в донауковому загальнолюдському досвіді. Мабуть, найпершої ірраціональністю, відкритої давньогрецькими математиками, було число . Можна з певній упевненістю вважати, що початковим пунктом цього відкриття була спроба знайти спільну міру з допомогою алгоритму попеременного вирахування, відомого сьогодні як алгоритм Евкліда. Можливо також, що деяку роль зіграла завдання математичної теорії музики: розподіл октава, що веде до пропорції 1: п=п:2. Свою роль відіграло і характерний для пифагорейской школи загальний інтерес до теоретико-числовым проблемам.

Древние математики знайшли досить швидко логічно суворе доказ ірраціональності числа шляхом відомості цього докази до формального протиріччю. Нехай , де m і n — взаємно прості числа. Тоді m2=2n2, звідки слід, що т2 чётное і, отже, п2 чётное. Чётно, отже й п. Получающееся протиріччя (п може бути це й чётным і нечётным) свідчить про невірність посилки, що кількість раціонально.

Для дослідження знову відкритих квадратичных иррациональностей відразу ж потрапити виявилося необхідним розробляти теорію подільності чисел. У насправді, нехай , де p і g — взаємно прості, а п є твором лише перших ступенів сомножителей звідси р2=пg2. Якщо t — простий дільник п, то р2 (отже, і р) ділиться на t. Отже, р2 ділиться на t2. Однак у п міститься лише перша ступінь t. Отже g2 (як і g) ділиться на t. Але цей результат формально суперечить припущенню, що р і g взаємно прості.

Вслед за ірраціональністю числа було відкрито багато інші ірраціональності. Так, Архіт (близько 428−365 е.) довів ірраціональність чисел виду . Теодор з Кирены (V в. е.) встановив ірраціональність квадратного кореня з чисел 3,5,6,…, 17, які є повним квадратом. Теэтет (410−369 е.) дав жодну з перших класифікацій иррациональностей.

С появою иррациональностей в давньогрецької математиці виникли серйозні труднощі як і теоретико-числовом, і у геометричному плані.

Решение ірраціональних рівнянь.

Уравнения, де під знаком кореня міститься змінна, називають ірраціональними. Таке, наприклад, рівняння .

При рішенні ірраціональних рівнянь отримані рішення потребують перевірки, тому, наприклад, що неправильне рівність при спорудження квадрат може дати правильне рівність. У насправді, неправильне рівність при спорудження квадрат дає правильне рівність 12= (-1)2, 1=1.

Иногда зручніше вирішувати ірраціональні рівняння, використовуючи рівносильні переходи.

Пример 1. Вирішимо рівняння .

Возведём обидві частини цієї рівняння в квадрат й одержимо , звідки слід, що , тобто. .

Проверим, що отримане числа є рішеннями рівняння. Справді, при підстановці в дане рівняння виходять вірні рівності:

і .

Следовательно, x=3 чи x=-3 — рішення даного рівняння.

Пример 2. Вирішимо рівняння .

Возведя в квадрат обидві частини рівняння, одержимо . Після перетворень дійшли квадратному рівнянню , коріння якого і .

Проверим, чи є знайдені числа рішеннями даного рівняння. При підстановці до нього числа 4 одержимо правильне рівність , тобто. 4 — рішення даного рівняння. При підстановці ж числа 1 отримуємо у правій частині -1, а лівої частини число 1. Отже, 1 перестав бути рішенням рівняння; кажуть, що це сторонній корінь, отриманий внаслідок прийнятого способу розв’язання.

Ответ: .

Пример 3. Вирішимо рівняння .

Возведём обидві частини цієї рівняння в квадрат: , звідки отримуємо рівняння , коріння якого і . Відразу ясно, що кількість -1 перестав бути коренем даного рівняння, т.к. обидві частини, його не визначено при . При підстановці в рівняння числа 2 отримуємо правильне рівність , отже, рішенням даного рівняння є лише число 2.

Пример 4. Вирішимо рівняння .

Возведя в квадрат обидві частини цієї рівняння, отримуємо , , . Підстановкою переконуємося, що кількість 5 перестав бути коренем даного рівняння. Тому рівняння немає рішень.

Пример 5. Вирішимо рівняння .

По визначенню  — це таке ненегативне число, квадрат якого дорівнює подкоренному вираженню. Іншими словами, рівняння рівносильне системі:

.

.

Решая перше рівняння системи, равносильное рівнянню , одержимо коріння 11 і шість, але умова виконується лише . Тому дане рівняння має один корінь .

Пример 6. Вирішимо рівняння .

В на відміну від розглянутих раніше прикладів дане ірраціональне рівняння містить не квадратний корінь, а корінь третього ступеня. Тому, щоб «позбутися радикала», треба звести обидві частини рівняння над квадрат, а куб: . Після перетворень отримуємо:

.

Итак, , .

Пример 7. Вирішимо систему рівнянь:

.

Поклавши і , дійшли системі.

.

Розкладемо ліву частина другого рівняння на множники:  — і підставимо до нього з першого рівняння . Тоді одержимо систему, рівносильну другий:

.

Підставляючи на друге рівняння значення v, знайдене з першого , дійшли рівнянню , тобто. .

Полученное квадратне рівняння має дві кореня: і .

Соответствующие значення v такі: і . Переходячи до змінним x і в, отримуємо: , тобто. , , , .

Преобразование ірраціональних висловів.

Если знаменник дробу містить ірраціональне вираз, то часто доцільно позбутися останнього.

Рассмотрим деякі типові випадки:

.

Пример:

.

При безпосередньому спорудження квадрат обох частин рівняння рівняння має бути спочатку перетворено те щоб лише у частини стояли лише радикали, а інший — інші члени вихідного рівняння. Так надходять, якщо радикалів в рівнянні два. Якщо їх три, то через два їх залишають лише у частини рівняння, а третій переносять до іншої. Потім обидві частини рівняння зводять квадрат і проводяться необхідні перетворення (приведення подібних тощо.). Далі все члени рівняння, які містять радикалів, знову переносяться до однієї бік рівняння, а що залишилося радикал (тепер він лише одне!) — до іншої. Отримане рівняння знову зводять квадрат, і через це виходить рівняння, не що містить радикалів.

Пример. Запровадження нової перемінної:

.

Решение: Означимо , тоді.

.

Уравнение набуде вигляду:

.

Возведём їх у квадрат:

.

Это рівняння як і будуємо в квадрат:

.

Проверка: отримані значення t ми повинні перевірити в рівнянні (1), оскільки саме він зводилося в квадрат. Перевірка показує, що  — сторонній корінь, а  — справді корінь рівняння (1). Звідси одержимо:

.

Ответ: 0;-1.

Уравнения з радикалом третього ступеня.

При рішенні рівнянь, містять радикали III ступеня, буває корисно користуватися складанням тождествами:

.

Пример 1.

.

Возведём обидві частини цієї рівняння до 3-ї ступінь і скористаємося вище приведеним тотожністю:

.

Заметим, що вираз що стоїть у дужках одно 1, що з початкового рівняння. Зважаючи на це і наводячи подібні члени, одержимо:

.

Раскроем дужки, наведемо подібні члени ВРЮ і вирішимо квадратне рівняння. Його коріння і . Якщо брати (з визначення), що корінь нечётной ступеня можна мати і з негативних чисел, то обидва отриманих числа є рішеннями вихідного рівняння.

Ответ: .

Решение 2.

Возведём дві нові перемінні і , тоді ,.

.

Заметим, що .

В результаті одержимо систему рівнянь:

.

Используя початкові рівняння системи, перетворимо другі, замінивши першу скобку одиницею, а другу підставимо замість невідомого у вираз , також отримане з першого .

Приведём подібні члени, розкривши попередньо дужки і вирішивши отримане квадратне рівняння. Його коріння і . Повернімося тепер до початковій підстановці й одержимо шукані рішення:

.

Введение

нового невідомого.

Решив ці рівняння, знайдемо радикали вищих ступенів, та найчастіше який використовували спосіб розв’язання — запровадження нового (новых) невідомого.

Пример 2.

.

Обозначим , тоді.

а) .

Уравнение набуде вигляду:

.

Корень не задовольняє умові .

Ответ: 76.

Методы рішення ірраціональних уравнений.

Методы рішення ірраціональних рівнянь, зазвичай засновані спроможності заміни (з допомогою деяких перетворень) ірраціонального рівняння раціональним рівнянням, яке або рівносильне вихідному, або є його наслідком. Тому існують двома способами під час вирішення ірраціональних рівнянь:

1) перехід до вивідним рівнянням (слідством) із наступною перевіркою коренів;

2) перехід до рівносильним системам.

Второй підхід позбавляє підстановки отриманих коренів у початковий рівняння (іноді таку перевірку здійснити нелегко) і, власне кажучи, є кращим. Проте, якщо ході рішення виявилося, що перевірку отриманих коренів легко, можна не з’ясовувати джерела появи сторонніх коренів і переходити до рівносильним системам.

Пример 1.

.

Возведём до рівня:

.

Проверка:

, тобто.  — правильне рівність.

Ответ: 67.

Пример 2.

.

Преобразуем рівняння до виду:

і возведём обидві частини вчених у квадрат:

.

, тобто.

.

Ещё раз возведём обидві частини вчених у квадрат:

, тобто. , .

Проверка:

1) При .

.

2) .

Ответ: .

Пример 3.

.

Положим . Тоді і ми маємо рівняння , звідки , .

Теперь завдання звелася до вирішення двох рівнянь:

; . Споруджуючи обидві частини рівняння в 5-ту ступінь, одержимо , звідки .

Уравнение  — немає коренів, бо під знаком спорудження в дробову ступінь можуть утримувати ненегативне число, а будь-яка ступінь неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Список литературы

1) Довідник з математики. В.А. Гусєв, О. Г. Мордкович.: 1986 р.

2) Поглиблення вивчення курсу алгебри і математичного аналізу. М. Л. Галицький, М. М. Мошкович, С.І. Шварцабурд.: 1992 р.

3) Виникнення та розвитку математичної науки. К. А. Рибников.: 1987 р.

4) Учням про математиці. М. К. Гриненко.: 1993 р.

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.