Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин (пошукова робота)

План.

• хеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин.

• бчислення площі плоскої фігури.

• бчислення площі в декартових координатах.

• лоща криволінійного сектора в полярних координатах.

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА.

1. Площа плоскої фігури.

1.1. Обчислення площі в декартових координатах.

В п. 9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від'ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою.

(10.1).

Нехай у прямокутній системі координат фігура (рис. 10.1) обмежена кривими.

Виділимо у фігурі смужку шириною. Її довжина дорівнюватиме. Тоді площа смужки .

Звідси Отже,.

(10.2).

Рис. 10.1 Рис. 10.2.

Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі.

(10.3).

Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку, а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою.

Зробивши заміну в цьому інтегралі і враховуючи, що одержимо.

(10.4).

1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах.

Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо: ,.

У фігурі виділимо сектор з центральним кутом Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор, є дугами кіл радіусів. Очевидно, що площа сектора між дугами i дорівнює Інтегруючи, одержимо.

(10.5).

Приклад 1.

Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою, віссю і прямою, яка з'єднує точку, що лежить на гіперболі, з початком координат.

Р о з в ' я з о к. З рівняння гіперболи маємо.

Щоб знайти площу заштрихованої на рис. 10.3 фігури, досить знайти площу фігури, а потім від площі трикутника відняти площу фігури .

Отже, .

Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо.

Оскільки.

то .

Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді.

Рис. 10.3 Рис. 10.4.

.

де — функція, обернена відносно функції .

Пропонується переконатися в цьому самостійно.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою.

.

Р о з в ' я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що, тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках, проходить.

через початок координат при, дотикаючись до прямих. Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,.