Шпоры по Вишці (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)

|Осн. поняття |Сходящиеся і |Експонента чи |Межа ф-ции в |Межі ф-ции на| |Грані числових |які суперечать |число е |точці |нескінченності | |мн-в |посл-ти |Ф-ции однієї |Властивості предела|Два | |Числові |Св-ва сходящихся|переменной |ф-ции у точці |чудових | |последовательнос|посл-тей |Зворотні ф-ции |Односторонні |краю | |ти |Теорему «Про | |межі ф-ции в |Б/м ф-ции та його | |Непр. ф-ции на |одиничності | |т-ке: |порівняння | |пр-ке |меж» | |Межа ф-ции в |Безперервні | | |Теорему | |т-ке |ф-ции. | | |"Сходящаяся | |Межа і |Безперервність. | | |посл-ть | |безперервність | | | |обмежена" | |функції | | | |Теорему «Про | |Межа. | | | |збіжності | |Односторонній | | | |монотон. | |межа. | | | |посл-ти» | | | | |1. Засн. поняття |4. Сходящиеся і |6. Експонента |Межа ф-ции в |11. Межі | |Мат.модель — |які суперечать |чи число е |точці |ф-ции на | |будь-який набір |посл-ти |Р-рим числ. |y=f (x) X |нескінченності | |кр-ний; |Велике внимание|посл-ть із загальним |опр. ({xn} (X, |Вони потрібні для | |нерівностей і |уд-ся з’ясовуванню |членом |xn (x0 |дослідження | |інших мат. |питання: |xn=(1+1/n)^n (в |f (xn)(A,=> f (x) |поведінки ф-ции | |Співвідношень, |чи має |ступеня n)(1). |в т. x0 (при, |на периферії. | |що у |дана посл-ть |Виявляється, что|xn (x0) межа = |Опр. ф-ция f (x) | |сукупності |сл-щим св-вом |посл-ть (1) |А |має межа | |описує |(збіжності) при|монотонно |А=lim (x (x0)f (x) |число При x (+(| |цікавий для нас|неогранич. |возр-ет, |чи f (x)(A при |якщо ({xn} | |об'єкт. |Зростанні |обмежена |x (x0 |яка (до +(| |Мн-во вещест. |номерів посл-ти |зверху і сл-но |Т-ка x0 може (|відповідна | |чисел |эл-ты посл-ти |явл-ся |і (мн-ву Х. |їй | |розбивається: на |як завгодно |сходящейся, | |последовательнос| |рационал. і |близько |межа цієї |Властивості предела|ть {f (xn)}(A в | |иррац. Рац. — |наближаються до |пос-ти наз-ся |ф-ции у точці |такому випадку ми | |число, яке |деякому числу|экспонентой і |1) Якщо межа в|пишем | |можна |а або ж цього |позначається |т-ке сущ-ет, то |lim (x (+()f (x)=A.| |явити у |св-ва немає. |символом |він — єдине |Цілком | |вигляді p/q де p и|Опр Якщо |е (2,7128… |2) Якщо тке х0|аналогично з -(.| |q — цілий. числа. |будь-якого (>0 |Док-ть |межа ф-ции | | |Иррац. — всяке |знайдеться такий |відповідність |f (x) |Опр. Будемо | |речовинне |номер N, для |посл-ти (1) |lim (x (x0)f (x)=A |говорити що | |число, яке |будь-якого n |Для док-ва |lim (x (x0)g (x)(B=|ф-ция f (x) має| |не явл. |>N:(xn-a (< (|введемо вспом-ю |> тоді в |межею число А| |рационал. |Усі посл-ти |ф-цию |цієї т-ке (|при x (({f (xn)} | |Будь-яке вещ. число|имеющие межа |y=(1+x)^1/x, x>0|предел суми, |сходиться до, А | |можна |наз-ся |Зрозуміло що з |різниці, |Нескінченні | |явити у |сходящимися, а |знач. |твори |межі ф-ции | |вигляді бесконеч. |яке має його |x=1,½, 1/3,…, 1/|частного. |Запроваджуються як | |десят. Дробу а, |наз-ся |n,… значення |Відділення цих |зручні | |а1,а2…аn… де, а |що розходяться. |ф-ции y |2-х ф-ций. |угоди в | |-подобається. число, а | |збігаються з |а) |разі, коли | |а1, А2 … аn |Зв'язок сходящихся|соответствующими|lim (x (x0)(f (x)(g|конечные межі| |числа, приним. |посл-тей і б/м. |эл-ми (1). |(x))=A (B |не (-ют. | |цілі знач. |Дає сл. теорему|Док-м що ф-ция |б) |Р-рим на | |Деякі | |у монотонно |lim (x (x0)(f (x)(g|премере: | |числові |Теорему Для того|убывает і огран.|(x))=A (B |lim (x (o+)(1/x) | |безлічі. |щоб посл-ть xn|сверху => |в) |Вочевидь не | |Мн-ва — |мала межею |монотонне возр.|lim (x (x0)(f (x):g|сущ-ет, т.к. для| |первинне |число, а |посл-ти (1) і |(x))=A/B |({xn}(+о | |поняття, на |необхідно, |обмеженість |р) lim (x (x0)C=C |посл-ть | |рівні здорового |щоб эл-ты этой|ее понад. |буд) |{f (xn)}={1/xn}, | |сенсу, їх |посл-ти можна |Оскільки lg x |lim (x (x0)C (f (x)=|а числ. посл-ть | |можливо точно |було представить|явл-ся монотонно|C (A |зводяться до +(. | |визначити. |як xn=a+(n, |возр., але |Док-во xn (x0, (|Тому можна | |Для описи |де посл-ть |монотонне убыв.|lim (x (x0)f (x)=A |записати | |мн-в єдина |{(n}(0, тобто. |ф-ции у і його |по опр. f (xn)(A|lim (x (o+)1/x=+(| |символіка, а |є б/м. |огранич. згори |{f (xn)} |що свідчить про | |саме, тоді як |Док-во |еквівалентні |Односторонні |необмежених | |мн-во, А входять |а) Припустимо, что|том, що ф-ция |межі ф-ции в |возрастаниях | |лише ел. x, |xn (a і зазначимо |lgy, яка |т-ке: |краю ф-ции | |які обладают|посл-ть (n |дорівнює |Опр. А — межа |з наближенням | |деяким св-вом|удовл. равенству|1/хlg (1+x) (2) |ф-ции f (x) |до 0. | |S (x), тоді |xn=a+(n. Для |має самі |праворуч від точки |Аналогічно з -(.| |мн-во, А |просто |самі св-ва, |х0, якщо f (x)(A | | |описується |між іншим (n=xn-a,|т.е. 01/|Формально це |вживаються в | |Подмн-ва — якщо |растоянию від xn |x2((lg (1+x2) |означає, що |ролі краю| |Проте й У 2 мн-ва і |до, а (0 => (n |(3). Огранич. |для будь-який |ф-ции у цій | |все эл-ты мн-ва |б/м і з |згори (|посл-ти {xn}(x0,|т-ке лише | |А сод-ся в У, то|равенства |M:1/xlg (1+x)(lgM|вып-ся умова |умовно і | |А наз-ся |перетворення |(x>0 (4). |xn>x0, f (x)(A. |означають | |подмн-вом У, А |визначаю (n |Візьмемо будь-яку |Означимо |наприклад, що | |У, тоді як У |отримуємо |лин. ф-цию виду |f (x0+0) і f (x0+)|если {xn}(x0 то | |сод-ся эл-ты |xn=a+(n. |y=kx яка |lim (x (x0+0)f (x)(|{f (xn)}(((,(| |які від | |перевершує | |12. Два | |эл-тов мн-ва А, |Властивість б/м |lg (1+x) при всех|И і з |чудових | |то У суворо шире|Если {xn},{yn}- |x>0. |мінусами. |краю | |Бо, А наз-ся |будь-які посл-ти, |tg (1=(lg (1+x1))/|Признак (|1) | |власним |їх сума |x1 |краю |lim (x (0)sin/x=1 | |подмн-вом У. |{xn+yn}, це |(1>(2=>tg (1>tg (2|Т-ма, А | | |А (В. А=Вмн-ва |є пос-ть з | |щоб f (x) имела|2) Явл. | |збігаються. |загальним членом |tg (2=(lg (1+x2))/|предел в т-ке х0|обобщением | |Операції з |xn+yn. |x2 |необх., тоді |відомого | |мн-воми, А |Аналогічно з |Оскільки (1>(2,|этой т-ке ф-ция |краю про | |В={х!х принадл. |різницею, |то tg (1>tg (2, а |f має |посл-ти. | |або А, або У} |приватним і |це рівносильне |совпадающ. Между|Справедливо сл. | |- обьединение |множенням. |рівності (3). |собою бокова. |граничне | |мн-в Проте й У. |Т-ма про св-вах |Оскільки |межа |співвідношення: | |А (В={х (х (А і |б/м |y>lg (1+x) (x>0 |(f (x0+)=f (x0-) |lim (n (()(1+1/n)^| |х (В} пересечение|а) {xn}и{yn}-б/м|=> kx> |(1), які |n=e (1) | |мн-в Проте й У. |пос-ти, б/м |>lg (1+x) (x>0 |рівні межі |lim (n (0)(1+x)^1/| |А В={х (х (А, але |1) їх сума, |Беручи у |ф-ции. |x=e (2) | |х (В}дополн. до |різницю і |уваги ф-ции у|Док-во. f (x) |t=1/x => при х (0| |м-ву У у мн-ве |твір |з пос-ть xn |має у т-ке х0 |t ((з краю | |А |є б/м |дійшли |межа А, тоді |(2) => lim (x (() | |Числові мн-ва |2) Твір |потрібному |f (x)(A |(1+1/x)^x=e (3) | | |будь-який огранич. |утвердженню. |незалежно від |Док-во | |R, N, Z, Q — |посл-ти на б/м |Кількість е явл-ся |того |1)x (+(n x: n=[x]| |стандартні |є б/м |неминучим |наближається чи |=> n (x | |позначення мн-в|!О приватному не |супутником |x до х0 по |1/(n+1)0 знайдеться |/n)^x (| |(а, в] - |!Поняття б/б не |ф-цию y=e^x і ее|такое число В>0,|(1+1/n)^(n+1) | |полуинтервал. |збігаються з |модифікації. |всім x |(4) | |Околицею |необмеженої: |Пр-р: якщо |відмінних х0 и|Рассмотрим | |т-ки x наз-ся |посл-ть може |ставка сл-ных % |(х-х0)о |вкладених |Теорему. Нехай |випливає | |гору. межею |N:(n>N (xn-a (| |мн-ва действит. |посл-тями |згори числом |B/C |((х)((х)(0 при | |чисел. |призводять до |b1. |Теорему також |х (х0 | |3. Числові |посл-тям також |{bn}-посл-ть |правильна якщо х0 |Щоб | |последовательнос|имеющие пределы,|правых кінців |явл. ((, ((, (|розрізняти б/м по| |ти |причому: |монотонно не |Опр. Ф-ция f (x) |їх швидкості | |Якщо каждого|а) межа |зростаючій, |наз-ся |прагнення до 0 | |нат. числа n |lim (n (()(xn (yn)=|поэтому ці |непрерыной в |вводять сл. | |визначено |a (b |посл-ти явл. |точці х=х0, если|понятие: | |деяке |б) межа |сходящимися, |межа ф-ции і |1) Якщо | |правило |lim (n (()(xn (yn)=|т.е. сущ-ют |його значення в |ставлення 2-х | |сопоставляющее |a (b |числа |цієї точці |б/м ((х)/((х)(0 | |йому число xn, то|в) межа |с1=lim (n (()an і |рівні, тобто. |при х (х0 то | |мн-во чисел |lim (n (()(xn/yn)=|с2=lim (n (()bn =>|lim (x (x0)f (x)=f (|говорят що б/м | |х1,х2, …, хn, … |a/b, b (0 |c1=c2 => з — их|x0) |(має як | |наз-ся числовой|Док-во: |загальне значення. |Теорему Нехай |високий порядок | |последовательнос|а)xn (yn=(а+(n)((|Действительно |ф-ции f (x) і |дрібниці ніж (. | |тью і |b+(n)=(a (b)+((n (|имеет межа |g (x) безупинні |2) Якщо | |позначається |(n) Права часть|lim (n (()(bn-an)=|в т-ке х0. Тогда|((х)/((х)(A (0 | |{xn}, причому |отримана в |lim (n (()(bn) — |ф-ции f (x)(g (x),|при х (х0 | |числа образующие|разности |lim (n (()(an) в |f (x)(g (x) і |(A-число), то | |цю посл-ть |представляє |силу умови 2) |f (x)/g (x) також |((x) і ((x) | |наз-ся її эл-ми,|сумму числа a+b |o= |безупинні в |наз-ся б/м | |а эл-т хn загальним |б/м посл-тью, |lim (n (()(bn-an)=|этой т-ке. |однотипні. | |эл-том посл-ти .|тому що стоїть |с2-с1=> с1=с2=с |10. Межа. |3) якщо | | |у частині |Зрозуміло що т. з |Односторонній |((х)/((х)(1, то| |!Порядок |xn+yn має |загальна всім |межа. |((x) і ((x) | |прямування |межа рівний |відрізків, |Опр.Числом, А |наз-ся | |эл-тов оч. |a (b. Аналогічно |оскільки (n |наз-ся межа |еквівалентними | |важливий, |ін. св-ва. |an (c (bn. Тепер |f (x) в т-ке х0, |б/м (((х)~((х)),| |перестановка |б) |доведемо що вона |для будь-який |при х (х0. | |хоча б 2-х |xn (yn=(а+(n)((b+|одна. |околиці А (|4) Якщо | |эл-тов наводить |(n)=ab+(nb+a (n+(|Допустим що (|околиця |((х)/(^n (х)(А (0,| |до ін. посл-ти. |n (n |інша з‘ до |(х0):(x (окрестно|то ((x) наз-ся | |Основні способы|(n (b — це |якої |сті (x0) |б/м n-ного | |заданий. посл-ти: |твір |стягуються все |виконується |порядку | |а) явний, коли |const на б/м |відтинки. Якщо |умова |щодо | |пред'являється |а ((n (0, (n (n (0, |взяти будь-які не |f (x)(окрестности|((х). | |ф-ла позволяющая|как произведение|пересекающиеся |. |Аналогічні | |по заданому n |б/м. |відтинки із собою та‘, |Теорему Усі |визначення для | |обчислити будь-який |=> у |те з однієї |визначення |випадків: х (х0-, | |эл-т n, тобто. |правій частині |боку весь |краю |х (х0+, x (-(, | |xn=f (n), де f- |стоїть сума |"хвіст" посл-тей|эквивалентны |x (+(і x ((. | |деяка ф-ция |числа а (b+ б/м |{an},{bn} должен|между собою. |14. Безперервні | |нат. эл-та. |посл-ть. По т-ме|нах-ся в |Опр. Кількість, А |ф-ции. | |б) неявний, при |Про зв’язок |околицях |називається |Безперервність. | |якому задается|сходящихся |т-ки с‘‘(т.к. an|пределом ф-ции |Опр. f (x) | |деяке |посл-тей в б/м |і bn сходяться до |f (x) праворуч від |безупинні Х0 і | |рекуррентное |посл-ти в правой|с і з‘ |т.х0(правым |у своїй її | |ставлення, і |частини xn (yn |одночасно). |предело f (x0)) |межа у цій | |кілька первых|сводится до a (b |Протиріччя |якщо f (x)(A при |т-ке сущ-ет і | |членів посл-ти. |Практичний |док-ет т-му. |х (х0, х>x0 |дорівнює знач. | |Приклад: |висновок полягає у |Принцип |Формально це |ф-ции у цій | |а) xn=5n x1=5, |тому, що нахожд.|вложенных |означає, що |т-ке, тобто. | |x2=10 |меж |відрізків |для будь-який |lim (x (x0)f (x)=f (| |б) x1=-2 xn=4n-1|посл-тей |Т-ма. Будь-яка |посл-ти |x0)-непрерывност| |-3, n=2,3… |заданих сл. |пос-ть вложенных|сходящейся до х0 |и ф-ции в т-ке. | |х2=-11, х3=-47 |висловлюваннями |відрізків |при xn>x0 |З визначення | | |можна звести до |містить |виконується |випливає що у | |Обмежені |простішим |єдностей. т-ку |умова f (xn)(A |разі | |последовательнос|задачам |с (всем відрізкам |Запис: f (x0+o),|непрерывности | |ти (ОП) |обчислення lim |посл-ти |f (x0+). |ф-ции у цій | |Посл-ть {xn} |від складових |одночасно, до |lim (x (x0+o)f (x) |т-ке віднімання | |наз-ся огран. |цього выр-ния |якому вони |де запис |меж | |сверху (снизу), |Посл-ть {xn} |стягуються. |x (x0+o саме |зводиться до | |якщо знайдеться |наз-ся возр., |Док-во. {an} |означає |вычит. знач. | |якесь |якщо |пос-ть лівих |прагнення х0 |ф-ции у цій | |число {xn} M (m) |x1xn>xn+1>|монотонно не |f (x0-o);f (x0-) |вносити в | |Посл-ть {xn} |…; невозр., если|возр. і |Теорему. Для |аргумент ф-ции. | |наз-ся |x1(x2(…(xn (xn+1(|ограничена снизу|того щоб ф-ция|Геометрически | |неогранич., якщо|… |а1, тому ті |f (x) мала |безперервність | |нічого для будь-якого |Усі такі |посл-ти сходящ.,|предел у точці |ф-ции в т-ке х0 | |повного числа, А |посл-ти наз-ся |тобто. (числа |х0 необхідне й |означає що її | |сущ-ет эл-т хn |монотонними. |c1=lim (n (()an і |досить когда|график у цій | |цієї посл-ти, |Возр. і убувши. |c2=lim (n (()bn. |у цій т-ке |т-ке немає | |зрозумілу |наз-ся суворо |Доведемо що |ф-ция має |розриву. Якщо | |нерівності |монотонними |с1=с2 і сл-но их|совпадающие |позначити через| |(xn (>А. |Монотонні |загальна знач. |між собою |(у прирощення | | |посл-ти |може обозначить|одностороние |ф-ции, тобто. | | |обмежені з |через з. Действ.|пределы |(у=f (x0+(x)-f (x0| | |одного боку, |є межа |(f (x0+)=f (x0-)) |) (прирощення | | |по крайньої мере.|lim (n (()(bn-an)=|значение которые|ф-ции в т. х0). | | |Неубывающие |lim (n (()bn (|рівні межі |"(«- символ | | |обмежені |lim (n (()an=c2-c1|ф-ции, тобто. |збільшення. | | |знизу, наприклад |=з ясно що з |f (x0+)= |Прирощення | | |1 членом, а чи не |загальна всім |f (x0-)=lim (x (x0)|аргумента в т-ке| | |возрастыющие |відрізків |f (x)=A |х0 це | | |обмежені |бо (|Док-во |відповідає | | |згори. |n an (c (bn. |а) скажімо |з того що | | |Теорему «Про |Залишилося |ф-ция має у |поточна т. x, то| | |збіжності |довести |точці х0 межа |умова | | |монотон. |єдність даної |рівний А, тоді |безперервності в | | |посл-ти» |т-ки (від |f (x)(А |т-ке х0 | | |Будь-яка |супротивного). |незалежно від |записується сл.| | |монотонна |Припустимо є |того, |чином | | |посл-ть явл-ся |c‘(c до котрої я |наближається чи |lim ((x (0)(y=0~ | | |сходящейся, т. е.|стягиваются все |x до х0 по |(у (0 (1‘‘). Якщо| | |має межі. |відтинки. Якщо |значенням > x0 |в т-ке х0 ф-ция | | |Док-во Нехай |взяти будь-які |чи 0 |значенням перем. |2. члени которые|ф-ции ф-ции в | | |вып-ся нер-во (|У то цьому |нах-ся справа от|т-ке х0, тобто. | | |xm (пусть mце |разі кажуть, |х0 {х‘‘n}; |f (x0+)=lim (x (x0,| | |n з |що задана ф-ция|x'n (x0-o |x>x0)f (x)=f (x0),| | |крышкой):xm>x*-(|1-й перемінної. |x''n (x0+o, т.к. |то ф-ция f (x) | | |при (n>m => з |Y=f (x); x |односторонні |наз-ся непр. | | |зазначених 2-х |-аргумент |межі (і |справа в т-ке | | |нерівностей |независ. |рівні, то |х0. | | |отримуємо друге |змін., y- |f (x‘n)(A і |Аналогічно при | | |нерівність |зав. перекл. |f (x‘‘n)(A |вып-нии ум. | | |x*-((xn (x*+(при|X=Df=D (f) |тому посл-ть |f (x0-)=lim (x (x0,| | |n>m эквивалентно|y={y;y=f (x), x (X}|значений ф-ций |x | |справа, і | | | |огр. сп.; | |зліва. | | | |f (x)(M, (x (X=> | |f (x0-)=f (x0+)=f (| | | |огр. св. | |x0) | | | | | |Опр. Ф-ция f (x) | | | |Зворотні ф-ции | |безупинна на | | | |Якщо поставлено | |деякому пр-ке | | | |правило по | |D, тоді як кожної| | | |якому кожному| |т-ке цього пр-ка| | | |значенням y (Y | |у своїй, якщо | | | |ставлять у | |пр-ток D | | | |відповідність (| |містить | | | |од. знач. x, | |граничную т-ку, | | | |причому y=f (x), | |то будемо | | | |то цьому випадку| |розуміти | | | |кажуть, що у | |соотв. бічний.| | | |мн-ве Y | |непр. ф-ции в | | | |визначено ф-ция| |цієї т-ке. | | | |зворотна ф-ции | |Приклад Р-рим | | | |f (x) і | |степенную | | | |позначають таку| |производст. | | | |ф-цию x=f^-1(y).| |ф-цию | | | | | |Q=f (k)=k¹/2 | | | | | |Q-объем випуску | | | | | |продукції, до — | | | | | |обсяг капіталу. | | | | | |D (f)=R+=>f (0)=0 | | | | | |і, вочевидь f (0+)| | | | | |(і одно 0 => | | | | | |що це ф-ция| | | | | |непр. у своїй | | | | | |обл. опр-ния. | | | | | |Більшість | | | | | |ф-ций исп-мых в | | | | | |эк-ке непр. | | | | | |Наприклад непр. | | | | | |ф-ции означає, | | | | | |що з малому | | | | | |зміні | | | | | |капіталу мало | | | | | |змінюватиметься і| | | | | |випуск пр-ции | | | | | |((Q (0 при (k (0).| | | | | |Ф-ции які| | | | | |явл. непр. | | | | | |наз-ют | | | | | |розривними | | | | | |соотв. т-ки в | | | | | |яких ф-ция не| | | | | |явл. непр. | | | | | |наз-ся т-кой | | | | | |розриву |.

|Классификация |Дифференцировани|Выпуклые і |Застосування 1й |Теорему | |т-ки розриву |е ф-ций |увігнуті ф-ции |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт| |Непр. ф-ции на |Пр-ные і |Т-ки перегину |ф-ций |расса | |пр-ке |диференціали |Опуклість і |Т-ма Ферма Т-ма |Теорему | |Теорему |выс. Порядків. |увігнутість. |Коші |Больцано-Коши | |ВЕЙЕРШТРАССА |Теорему Ферма |Б/б пол-ти |Інтервали |Теорему | | |Теорему Ролля |Гладка ф-ция |монотонності |Вейерштрасса | | |Теорему |Еластичність |ф-ции | | | |Логранджа |ф-ций |Т-ма Логранджа. | | | |Теорему Коші | |Т-ма Ролля Т-ма | | | |Правило Лопиталя| |Тейлора Т-ма | | | | | |Коші Правило | | | | | |Лопиталя. | | | | | |Похідна | | | | | |зворотної ф-ции | | |15. |16. |Опуклі і |Застосування 1й |Теорему | |Класифікація |Дифференцировани|вогнутые ф-ции |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт| |т-ки розриву |е ф-ций |Для хар-ки |ф-ций |расса Із будь-якої | |Усі т-ки р-рыва |Центральна идея|скорости возр. |Усі застосування |огран. посл-ти | |діляться на 3 |диффер. ф-ций |чи убувши. ф-ции,|базируются на |можна вибрати | |виду: т. |явл-ся вивчення |і навіть крутезны|опред-нии |сход. | |переборного |гладких ф-ций |гр-ка ф-ции на |пр-ной, як |подпосл-ть. | |р-рыва; точки |(без зламів і |ділянці |краю |Док-во | |р-рыва 1-го, і |р-рывов криві) |монотонності |разностного |1. Оскільки | |2-го роду. |з допомогою |вводиться понятия|отношения, а |посл-ть | |і якщо в т-ке |поняття пр-ной |вогн. вып-ти |на сл-щей |обмежена, то (| |х0 (обидва |чи з допомогою |ф-ции на |т-ме. |m і M, таке що| |односторонніх |лінійних ф-ций |інтервалі, |Т-ма Ферма. Якщо|(m (xn (M, (n. | |краю, которые|y=kx+b має |частковості на |диф. на |(1=[m, M] - | |збігаються між |найпростішими |всієї числ. |інтервалі (a, b) |відрізок, в | |собою f (x0+)= |наглядн. |приямой. |f (x) має у |якому лежать | |f (x0-), але (|ф-циями; у=k‘ =>|Пр-р. Нехай |т-ке ч0 |все т-ки | |f (x0), така |k>0 те в возр. |ф-ция явл-ся |локальний |посл-ти. | |т-ка наз-ся |попри всі x, |пр-ной ф-цией |екстремум, то |Розділимо його | |точкою |k0. |яких пр-ная |половина, де | |Якщо з ф-ции f |окр-тях т-ки х0,|На інт. Від (0,a)|ф-ции f (x) |лежить | |побудувати нову |таким приращения|ф-ция возр. все |звертається до 0 |нескінченне | |ф-цию поклавши |(x эл-нт. |швидше. Його |наз-ся крит. |число т-к | |нею знач. |Складемо соотв. |можна р-ривать, |т-ми f (x). З |посл-ти. Ділимо | |f (x0)= |йому збільшення |як етап |т-мы Ферма => |його навпіл. По | |f (x0-)=f (x0+) і |ф-ции т-ки х0. |освіти |екстремум треба |краней мері в | |зберегти знач. |(y=(f (x0)=f (x0+(|фирмы спочатку |шукати лише |одній з | |в ін. т-ках, то |x)-f (x0) |якого випуск |через крит. |половинок отр. | |одержимо исправл.|Образуем |зростає медленно,|т-ки. |(2 нах-ся | |f. |разностное |оскільки первые|Т-ма Коші. Пусть|бесконечное | |б) тоді як т-ке |ставлення |робочі не |ф-ции f (x) і |число т-к | |х0 (обидва |(y/(x=(f (x0)/(x |пройшли період |g (x) безупинні |посл-ти. Ця | |1-стороних |(1) (це |адаптації, але з |на [a, b] і диф. |половина — (3. | |краю f (x0(), |разностное |теч. часу |на (a, b). Нехай |Ділимо відрізок (3| |які равны|отношение явл. |ефект привл. |ще, |… тощо. | |між собою |ф-цией (x, т.к. |доп. раб. |g‘(x)(0, тоді (|отримуємо посл-ть| |f (x0+)(f (x0-), |х0-фиксирована, |робочих |т-ка c ((a, b) |вкладених | |то х0 наз-ся |причому при (х (0 |стає дедалі |така, що |відрізків, довгі| |т-кой р-рыва |ми маємо справу з |більше, і соотв.|справедлива ф-ла|которых | |першого роду. |неопр. 0/0). |ув-ся крутість |(f (b)-f (a))/(g (b|стремятся до 0. | |в) тоді як т-ке |Опр. Пр-ной |графіка. На |)-g (a))=f‘(c)/g‘|Согластно про т-ме| |х0 хоча б 1 з |ф-ции y=f (x) |((, a) ф-ция |(з) |про вкладених | |односторонніх |наз-ся межа |возр. все медл. |Інтервали |відтинках, (| |меж ф-ции |разностного |і грн. становится|монотонности |єдностей. т-ка З,| |не (чи |відносини 1 (при|все більш |ф-ции |кіт. принадл. | |нескінченний, то |умови коли він |пологою. а — это|Т-ма. Нехай f (x)|всем відрізкам | |х0 наз-ся т-кой |(), коли (х (0. |граничне знач. |диффер. На |(1, якусь | |р-рыва 2-го |Похідна це |числ. раб. сили |інтервалі (a, b),|т-ку (n1. У | |роду. |межа отношения|начиная з |тоді |відрізку (2 | |При исслед. |збільшення в |якого привл. |справедливі сл. |вибираю т-ку | |Ф-ции на непр. |даної т-ке до |доп. раб. сили |затвердження f (x)|xn2, те щоб | |класифікації |збільшенню |починаючи з |монотонно возр. |n2>n1. У відрізку| |можливих т-к |аргументу при |якого привл. |(убуває) на |(3 … тощо. У | |р-рыва потрібно |ум., що |раб. сил додає |інтервалі (a, b) |результаті пол-ем | |застосовувати у |посл-ть (до 0. |все менший |тоді, коли |посл-ть xnk ((k. | |увагу сл. |Ця похідна |ефект в объемке|f‘(x)(0 на |Теорему | |зауваження: |позначається |вып-ка. А (х) |інтервалі (a, b) |Больцано-Коши | |1) Усі |через df (x0)/dx |возр. f‘(x)>0 |і f‘(x)>0 |Нехай ф-ция | |елементарні |чи f‘(x0), у‘ |(x (0, але |(f‘(x) |або ж мова идет|как (0;() f‘ |x (интерв. |приймає зн-ния| |при исл. |про пр-ной в любой|убыв., а т-ке |монотонно |рівних знаків, | |елементарних |поточної т-ке x. |а-max. По |убуває, |тоді (т-ка з (| |ф-ций потрібно |Отже відповідно до |критерію |дотична |(a, b) у якій | |звертати |визначенню |монотонності это|имеет тупий угол|ф-ция звертається| |увагу до |f‘(x0)=lim ((x (0)|означает на |нахилу f‘(x1) тоді |Док-во | |огранич-ти) |док-ть рав-во |f‘‘(x0)=0 і 2-га |ф-ла |Припустимо що | |Док-во |(3). Якщо пр-ная|пр-ная змінює |(7)=(f (b)-f (a))/|ф-ция не | |використовує |(те з |знак при |(b-a)=f‘© (7‘)|ограничена. | |опр-ние на языке|определения (2) |переході через |- ф-ла кінцевих |Візьмемо ціле | |(і (. Якщо f |та зв’язку краю |х0=> у будь-якій |збільшень |пол-ное n, т.к. | |непр. в т-ке х0 |з б/м =>, що (|т-ке перегину |Логранджа. |ф-ция не | |то узявши будь-яке |б/м ф-ция (((x) |f‘(x) має |(f (b)-f (a))/(b-a|ограничена, то | |(>0 можна знайти |така що |локальний |)=f‘© (1) |знайдеться | |(>0 |(f (x0)/(x=f‘(x0)|экстремум. |Док-во зводиться |xn ([a, b], таке | |(f (x)-f (x0)(n. | |при (х-х0(C ((A, B) (|y‘=kx^(k-1) (|-x0) — лінійна |Ф-ла (1) наз-ся |З одного боку | |c ((a, b):f (c)=C |k (N. Док-м для |ф-ция x, который|ф-лой кінцевих |f (xnk) прагне| |f (c)=f (c‘)=f (c‘‘|к=0 з |не перевершує |збільшень. |до опр. числу, а | |). |опр-ния пр-ной. |f (x) і меньше|Т-ма Ролля. |з ін. боку | |IV)Теорема про |Візьмемо (т-ку х|f (x) у разі |Нехай ф-ция f (x)|стремится до (, | |прохожд. непр. |і дамо |увігнутості |удовл. сл. ум. |дійшли | |ф-ции через 0. |прирощення (x |нерівності |А)Непрерывна на |протиріччю, | |Якщо f (x) непр. |складемо |хар-щие |[a, b] |т.к. ми | |на відрізку (a, b)|разностное |опуклість |Б) Дифференц. на|предположим, що| |та приймає на |ставлення |(увігнутість) |(a, b) |ф-ция не | |кінцях цього |(у/(х=(х+(х)^2-x|через диф. |У) приймає на |обмежена. | |відрізка значение|^2/(x=2х+ (x => |f (x)(f (x0)+ |коцах відрізків |Отже наше | |різних знаків |lim ((x (0)(y/(x=2|f‘(x0)(x-x0) (|рівні значення |припущення не| |f (a) f (b), то (|x=y‘. У дейст-ти|x, x0((a;b) f |f (a)=f (b), тогда|верно. | |т-ка с ((a, b). |док-ная ф-ла |увігнута на |на (a, b) (т-ка | | |Док-во |р-раняется для |(а, b). Хорда |така що | | |Одночасно |будь-яких до. |вище (нижче), чем|f‘(c)=0, тобто. | | |містить спосіб |3)Пр-ная |графік для вип. |с-крит. т-ка. | | |нах-ния кореня |экспон-ной |ф-ций (вогн.) |Док-во. Р-рим | | |ур-ния f (x0)=0 |ф-ции, у=е^x => |лінійна ф-ция |спочатку, | | |методом розподілу |y‘=e^x. У данном|kx+b, в |тривіальний | | |відрізка пополам.|случае |частковості |випадок, f (x) | | |f (d)=0 c=d Т-ма |(y/(x=(e^x+(x-e^|постоянна, явл. |стала на | | |доведено. |x)/(x=e^x (e^(x-1|вып. і вогнутой.|[a, b] | | |Нехай f (d)(0 |)/ (x. Одеако | |(f (a)=f (b)), | | |[a, d] чи [d, b] |межа дробового |Б/б пол-ти |тоді f‘(x)=0 (| | |ф-ция f |сомножителя = 1.|Посл-ть {xn} |x ((a, b), будь-яку| | |приймає | |наз-ся б/б, если|т-ку можна взяти| | |значення різних |4)y=f (x)=(x (=(x,|для (пол-ного |в кач-ве з. | | |знаків. Нехай |x>0;-x, xN вып-ся |вона непрер. на | | |через [a1,b1]. |легко нах-ся, |нер-во (xn (>A |цьому відрізку, то| | |Розділимо цей |причому при |Візьмемо будь-яке |по т-ме | | |відрізок на 2 і |y‘=1при x>0 |число А>0. З |Вейерштрасса вона| | |проведемо |y‘=-1 при xA |екстрем. у цьому| | |перший крок |x=0 пр-ная не (.|отримуємо n>A. |відрізку і max і | | |док-ва у результаті |Причина з геом |Якщо взяти N (А, |min. Оскільки f| | |чи знайдемо |т-ки зору явл.|то (n>N вып-ся |приймає рівні| | |потрібну т-ку d |неможливість |(xn (>A, тобто. |знач. в граніч. | | |чи час торкнутися |проведення |посл-ть {xn} |т-ках, так хоча | | |новому відтинку |бесисл. мн-во |б/б. |б 1- экстр. — | | |[a2,d2] |кассат. до гр-ку |Зауваження. Любая|max чи min | | |продовжуючи цей |ф-ции. Усі |б/б посл-ть явл.|обязательно | | |процес ми |кассат. мають |необмеженої. |досягається у | | |одержимо посл-ть |кут від [-1,+1],|Однако |внутр. т-ке. | | |вкладення |і з аналит. т-ки|неогранич. |с ((a, b) (в | | |відрізків |зору означає |Посл-ть може і |іншому разі| | |[a1,b1]>[a2,b2] |що прдел 2 не (|же не бути б/б. |f=const), то | | |довга яких |при x0=0. При |Наприклад |т-ме Ферма, | | |(a-b)/2^n (0, а |(x>0 |1,2,1,3,1,…, 1, n…|тогда f‘(c)=0, | | |по т-ме про вл-ных|(y/(x=(x/(x=1=>l|не явл. б/б |як і | | |відрізків ці |im ((x (0,(x>0)(y/|поскольку при |вимагалося | | |відтинки |(x=1 А лівий |А>0 нер-во |д-ть. | | |стягуються до |межа разн-го |(xn (>A немає |Т-ма Тейлора. «Про| | |т-ке з. Т-ка з |отн-ния буде |місця (xn з |наближенні | | |явл. шуканої |-1. Т.к. |непара. номерами.|гладкой ф-ци до | | |с:f (c)=0. |бокова. перед. | |полиномам» | | |Справді |Не збігаються |Гладка ф-ция |Опр. Нехай ф-ция| | |коли припустити, |пр-ная не (. У |Сл. ф-ция f (x) |f (x) має у | | |що f (c)(0 то по|данном разі (|теж явл. |т-ке чи | | |св-ву сохр. |бокова. |гладкою, тобто. f‘|некоторой її | | |знаків в |пр-ная. |(і безупинна |околиці | | |деякою (|Опр. |причому має |пр-ные порядку | | |околиці, |Правой (левой) |місце сл. ф-ла |n+1. Нехай x — | | |т-ке з f має |пр-ной ф-ции в |F‘(x)=f‘(((x))((|любое значення | | |хоча б знак що |т-ке х0, наз-ся |‘(x) (4). |аргументу з | | |і значення f© |lim відносини |Використовуючи ф-лу |зазначеної | | |тим часом |(2) при ум. что|(4) отримуємо |околиці, | | |відтинки [an, bn] |(х (0+((х (0-). |y‘=(lnf (a))‘=f‘(|х (а. Тоді між| | |з досить N |З зв’язку |x)/f (x) (5) — |т-ми чи x | | |попабают у цю |випливає |логарифмічною |надутся т-ка (| | |околиця і по|утвержд., якщо |пр-ной. Права |така, що | | |побудові f |f (x) дифференц. |частина це |справедлива ф-ла| | |має різний |в т-ке х0, то ее|скорость |Тейлора. | | |знак на кінцях |бокова. пр-ная|изменения у |f (x)=f (a)+f‘(a)/| | |цих відрізків. |також (і |(ф-ция f (x)) |1!(x+a)+ | | |Непр. ф-ции на |збігається |посідає |f‘‘(a)/2!(x+a)^2| | |пр-ке |f‘(x0-) і |ед-цу абсол. |+f^(n)(а)/n!+f^(| | |f непр. в т-ке |f‘(x0+) назад |значення цього |n+1)(()/(n+1)!(x| | |х0 => f непрер. |для (пр-ной |пок-ля тому |-a)^(n+1). | | |в т-ке х0 і |f‘(x0) |логарифм. |Док-во. Зводиться| | |f (x0)(0 => f |необхідно, |Произв. наз-ют |до Роллю шляхом | | |непр. на [a, b] и|чтобы прав. і |темпом приросту |запровадження вспом. | | |f (x)(f (b)=0 |лев. пр-ные |показника y или|переменной g (x).| | |(f (x)(f (b)>0 в |совпад. між |f (x). Нехай | | | |окр-ти х0) => (|собою. У цьому вся |відома |g (x)=f (x)-f (a)-f| | |с ((a, b). f (c)=0 |випадку вони не |динаміка |‘(x)(x-a)-…-1/n!| | |сл-но 2 св-ва |совпад. |зміни ціни |(f^n (x)(x-a)^n-1| | |непр. ф-ции на |17. Пр-ные і |на деякому |/(n+1)!(x-a)^n+1| | |відрізку |диференціали |інтервалі, |((. По т-ме | | |обгрунтовані. |выс. Порядків. |причому P (t) |Роляя (т-ка з | | |Т-ма 1(о огран. |Пр-ная f‘(x) — |гладка ф-ция. |з (a, b), така | | |непр. ф-ции на |першого порядка;|Что можна |що g (c)=0 | | |відрізку). Якщо |f‘‘(x) — |назвати темпом |(=f^(n+1)© | | |f (x) непр. на |другого; |зростання цієї |Правило | | |[a, b], тоді |f‘‘‘(x)-третьего|ф-ции, при t=R. |Лопиталя. | | |f (x) огран. на |; |Темп |Нехай ф-ция f (x)| | |цьому відрізку, |fn (x)=(f (n-1)(x)|роста (приросту. |і g (x) має у | | |тобто. (|)‘. Пр-ные |Пр-р y=e^(x. |дкр. т-ки х0 | | |с>0:(f (x)((c |починаючи з |Знайдемо темп |пр-ные f‘ і g‘ | | |(x ((a, b). |другий наз-ся |приросту. |виключаючи | | |Т-ма 2(про (|пр-ными выс. |f‘/f=темп |можливість саму| | |экстр. непр. |порядку. |прироста=(e^(x/e|эту т-ку х0. | | |ф-ции на отр.). |Диференціал |^(x=(. |Нехай lim (х ((х | | |Якщо f (x) непр. |выс. порядків |Экспонициальная |)=lim (x ((x)g (x)=| | |на [a, b], тоді |dy= f‘(x)dx — |ф-ция має |0 отже | | |вона сягає |диф. першого |постійний темп |f (x)/g (x) при | | |свого экстр. на|порядка ф-ции |приросту. |x (x0 дає 0/0. | | |цьому відрізку, |f (x) і |Еластичність |lim (x (x0)f‘(x)/g| | |тобто. (т-ка max |позначається |ф-ций |‘(x) ((4), | | |X*:f (x*)(f (x) |d^2y, тобто. |Опр. Нехай |що він | | |(x ([a, b], т-ка |d^2y=f‘‘(x)(dx)^|гладкая ф-ция |збігаються з | | |min |2. Диф. |y=f (x) описывает|пределом | | |X_:f (x_)(f (x) |d (d^(n-1)y) від |зміна |відносини ф-ции | | |(x ([a, b]. |диф. d^(n-1)y |економічної |lim (x (x0)f (x)/g (| | |Теорему |наз-ся диф. |перемінної у від |x)= | | |ВЕЙЕРШТРАССА. |n-ного порядку |ек. перекл. x. |lim (x (x0)f‘(x)/g| | |Ці теремы |ф-ции f (x) і |Припустимо f (x)>0 |‘(x) (5) | | |неправильні якщо |обознач. d^ny. |=> можна буде |Док-во. | | |замкнуті |Теорему Ферма. |лот. пр-ная. |Візьмемо (т-ку | | |відтинки заменить|Пусть ф-ция f (x)|Эл-ностью ф-ции |х>х0 і | | |на ін. пр-ки |визначено на |f (x) або в |розглянемо на | | |Контрпример 1. |інтервалі (a, b) |наз-ся сл-щая |[x0;x] вспом | | |f (x)=½ на |й у деякою |вел-на опред-мая|ф-цию арг. t | | |(0;1] (f — |т-ке х0 цього |з допомогою лот. |h (t)=f (t)-Ag (t),| | |неогр. на (0;1] |інтервалу має |пр-ной. |якщо t ([x0;x], | | |хоч і |найбільше чи |Ef (x)=x (f‘(x)/f (|т.к. удовл. | | |безупинні. |найменше знач.|x)=x (lnf (x))‘ |цьому св-ву в | | |Контрпример 2. |Тоді тоді як |(6). З’ясуємо де эк.|окр-ти т-ки х0, | | |f (x)=x; на (0;1)|т-ке х0 (|зміст цього |а т-ку x ми | | |f (x) — непр. |пр-ная, вона =|показника для |вважаємо | | |inf (x ((0;1))x=0,|0, f‘(x0)=0. |цього замінимо в |досить | | |але т-ки |2)Теорема Ролля.|(6) пр-ную її |близька до х0. | | |x_((0;1):f (x_)=0|Пусть на отрезке|разностным |Ф-ция h | | |, т-ки x*, хоча |[a, b] определена|отношением |безупинна на | | |sup (x ((0;1))x=1 |ф-ция f (x) |(f (x0)/(x і |[x0;x], | | |Док-во т-мы 1. |причому: f (x) |матимемо |оскільки | | |Використовуємо метод|непрерывна на |Ef (x)(x ((f (x)/(x|lim (t (x0)h (t)=li| | |розподілу відрізка |[a, b]; f (x) диф.|)/f (x)=((f (x)/f (|m (t (x0)[f (t)-Ag (| | |навпіл. |на (a, b); |x))/((x/x). У |t)]=lim (t (x0)-A | | |Починаємо від |f (a)=f (b). Тогда|числителе стоїть |lim (t (x0)g (t)=0=| | |супротивного; f |(т-ка с ((a, b), |відносить. Прирост|h (0)=> непр. | | |неогр. на [a, b],|в якої |ф-ции f в т-ке |t=x0 По т-ме | | |розділимо його, |f‘(c)=0. |x, в знаменателе|Логранджа | | |тобто. тоді |3)Теорема |относ. прир. |(x0,x)(| | |відтинки |Логранджа. Пусть|аргумента. => |c:h‘‘(c)=0 | | |[a;c][c;b] f (x) |на відрізку [a, b]|эл-ность ф-ции |Похідна | | |неогр. |визначено f (x),|показывает на |зворотної ф-ции | | |Обозн. [a1,b1] и|причем: f (x) |скільки % |Т-ма. Для диф. | | |педелим відріз. |непр. на [a, b]; |змінюється |ф-ции з пр-ной, | | |[a2,b2], де |f (x) диф. на |пок-ль y=f (x) |не рівної нулю, | | |f-неогр. |[a, b]. Тоді (|за зміни |пр-ная зворотної | | |Продовжуючи |т-ка c ((a, b) |перем. x на 1%. |ф-ции дорівнює | | |процедуру |така, що |Еластичність — |зворотної | | |розподілу неогр. |справедлива ф-ла|пок-ль реакції |зворотної | | |отримуємо послед.|(f (b)-f (a))/b-a=|1-й перемінної |величині пр-ной | | |влож. відтинки |f‘©. |зміну |даної ф-ции. | | |[an;bn] котор. |4)Теорема Коші. |інший. |Док-во. Нехай | | |оттяг. до т-ке d |Нехай ф-ции f (x)|Пр-р. р-рим |ф-ция y=f (x) | | |(d=c з |і g (x) непр. на |ф-цию попиту від |диф. і | | |надбудовою) з |[a, b] і диф. на |ціни, нехай |y‘x=f‘(x)(0. | | |відрізка [a, b], |(a, b). Нехай |D=f (p)=-aP+b — |Нехай (у (0 — | | |загальне всім |ще, |лінійна ф-ция |прирощення | | |отр. Тоді з |g`(x)(0. Тоді (|попиту, де а>0.|независимой | | |одного боку |т-ка с ((a, b) |Знайдемо |перемінної у і | | |f (x) неогр. в |така, що |еластичність |(x — | | |окр-ти т-ки d на|справедл. ф-ла |попиту за ціною. |відповідне | | |конц. відрізка |(f (b)-f (a))/(g (b|Ed (P)=P (D‘/D=P ((|приращение | | |[an, bn], але з |)-g (a))=f‘(c)/g‘|-a)/(-aP+b)=aP/(|обратной ф-ции | | |ін. боку f |(з). |aP-b)=> эл-ность|x=((y). Напишемо | | |непр. на [a, b] и|Правило |лінійної ф-ции |тотожність: | | |=> в т-ке d і по|Лопиталя. |не постійна |(x/(y=1:(y/(x | | |св-ву вона непр. |Розкриття 0/0. | |(2) Переходячи до | | |у певній |1-е правило | |межі в рав-ве| | |околиці d. |Лопиталя. Якщо | |(2) при (у (0 і | | |Воно огран. в d |lim (x (a)f (x)= | |враховуючи, що | | |=> отримуємо |lim (x (a)g (x), то| |у своїй також | | |проти. |lim (x (a)f (x)/g (x| |(х (0, одержимо: | | |Бо у |)= | |lim ((y (0)(x/(y=1| | |будь-який окр-ти |lim (x (a)f‘(x)/g‘| |:lim ((x (0)(y/(x | | |т-ки d нах-ся |(x), коли | |=> x‘y=1/y‘x. | | |все відтинки |межа (| |Де х‘у — пр-ная| | |[an;bn] з |кінцевий чи | |зворотної ф-ции. | | |досить |нескінченний. | |Похідна | | |великим 0. |Розкриття (/(. | |зворотної ф-ции | | |Док-во т-мы 2. |Друге правило. | |Т-ма. Для диф. | | |Означимо E (f) -|Якщо | |ф-ции з пр-ной, | | |множиством |lim (x (a)f (x)= | |не рівної нулю, | | |значень ф-ии |lim (x (a)g (x)=(, | |пр-ная зворотної | | |f (x) на отр. |то | |ф-ции дорівнює | | |[a, b] по предыд.|lim (x (a)f (x)/g (x| |зворотної | | |т-ме це мн-во |)= | |зворотної | | |огран. і сл-но |lim (x (a)f‘(x)/g‘| |величині пр-ной | | |має кінцеві |(x). Правила | |даної ф-ции. | | |точні межі |вірні тоді, | |Док-во. Нехай | | |supE (f)=supf (x)=|когда | |ф-ция y=f (x) | | |(при |x ((, x (-(, x (+(, x (| |диф. і | | |х ([a, b])=M (-().|0(, (-(, 0⁰, | |прирощення | | |Для опр. докажем|1^(, (^0. | |незалежної | | |[a, b] f (x) |Неопр. 0(, (-(| |перемінної у і | | |сягає макр. |зводяться до 0/0 і| |(x — | | |на [a, b], тобто. (|(/(шляхом | |відповідне | | |х*:f (x)=M. |алгебраїчних | |прирощення | | |Припустимо |перетворень. | |зворотної ф-ции | | |гидке, такой|А неопр. 0⁰, | |x=((y). Напишемо | | |т-ки не (і |1^(, (^0 з | |тотожність: | | |сл-но f (x) x‘y=1/y‘x. | | |согластно т-ме 1| | |Де х‘у — пр-ная| | |g (x) — огран. | | |зворотної ф-ции. | | |тобто. (c>0 | | | | | |!0 | | | | | |1(c (M-f (x)) => | | | | | |f (x) (M-1/c | | | | | |(x ([a, b] | | | | | |Але це | | | | | |нер-во | | | | | |противор., т.к. | | | | | |М-точная верхн. | | | | | |грань f на [a, b]| | | | | |а правій частині| | | | | |стоїть «З» | | | | | |Слідство: якщо | | | | | |f (x) непр. | | | | | |[a, b]тогда вона | | | | | |приймає все | | | | | |знач. заключ. | | | | | |Між її max і | | | | | |min, тобто. | | | | | |E (f)=[m;M], де | | | | | |m і M -max і min| | | | | |f на відрізку. | | | | |.