Атомические розкладання функцій у просторі Харди

Міністерство Освіти України.

Одеський державний університет.

ім. І.І.Мечнікова.

Інститут математики, економіки та механіки.

Атомічні розкладення функцій у просторі Харді.

Дипломна робота студентки V курсу факультету математики.

Семенцовой В.А.

Науковий керівник.

Вартанян Г. М.

Одеса — 2000.

Содержание Введение… … 3.

Глава I. Основні відомостей про интеграле Пуассона і просторах [pic], [pic]и [pic]. … 8 § I.1. Інтеграл Пуассона… 8 § I.2. Простору [pic]. … 12 § I.3. Простору [pic]и [pic]. … 17 § I.4. Твір Бляшке, нетангенциальная максимальна функція… 22.

Глава II. Атомические розкладання функції в пространстве.

[pic], простір ВМО… 26 § II.1. Простір [pic], критерій приналежності функції з [pic] простору [pic]. … 26 § II.2. Лінійні обмежені функционалы на [pic], двоїстість [pic] і ВМО… 32.

Литература

… … 37.

Метою справжньої роботи є підставою вивчення основних понять і результатів, здобутих у області просторів Харді, яка вивчалася у межах університетського курсу. Діяльність простежується взаємозв'язок між такими поняттями: інтеграл Пуассона, простору [pic], [pic], [pic] і [pic], розкрито сутність, і структура цих об'єктів. Опис зазначених понять вводиться в такій послідовності, оскільки визначення кожного наступного об'єкта дається з урахуванням понять, розташованих лівіше в вище перерахованому ряду объектов.

Робота і двох глав, кожна з яких ділиться на параграфи. У першому розділі вивчені властивості просторів [pic], [pic], [pic], тоді як у другий ми доводимо коитерий приналежності функції з [pic] простору [pic] і двоїстість просторів [pic] і [pic].

Діяльність ми розглядаємо випадок [pic]периодических функцій. Використовувані позначення мають наступний смысл:

[pic] - простір [pic]периодических, безперервних на [pic] функций;

[pic]- простір [pic]периодических, нескінченно дифференцируемых на [pic]функций;

[pic] - простір [pic]периодических, суммируемых певною мірою р на [pic]функций, т. е.для яких [pic], [pic];

[pic]- простір [pic]периодических обмежених на [pic] функций;

[pic]- носій функції [pic].

У § I.1.вводится поняття інтеграла Пуассона: інтегралом Пуассона суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функції [pic] називається функция.

(r (x) = [pic], де [pic], t (((((((((((- ядро Пуассона.

Тут ми доводимо такі властивості ядра Пуассона, які ми неодноразово використовуватимемо у низці доказів: а) [pic]; б) [pic] ;

в) нічого для будь-якого (>0.

[pic].

Основною метою даного параграфа є дві теореми щодо поведінки інтеграла Пуассона [pic]при [pic]: Теорему 1. Для довільній (комплекснозначной) функції [pic](-(, (), 1 (p < (, має місце равенство[pic].

[pic]; Якщо ж ((x) безупинна на [ -(, (] і ((-() = (((), то.

[pic]. Теорему 2 (Фату). Нехай [pic]- комплекснозначная функція з [pic]. Тогда.

[pic] для п.в. [pic]. У цьому вся параграфі ми зверталися до наступним понятиям:

Определение1. Функція [pic]называется аналітичної у точці [pic], якщо вона дифференцируема у цій точці, й у певній її околиці. Кажуть, що функція [pic]аналитична на деякому множестве, если вона аналитична в кожній точці цього множества.

Определение2. Насправді ж функція двох дійсних змінних [pic] називається гармонійної у сфері [pic], якщо [pic] і задовольняє рівнянню Лапласа:

[pic].

Определение3. Дві гармонійні функції [pic] і [pic], пов’язані умовами Коши-Римана: [pic], [pic], називаються гармонійно сполученими функциями.

Определение4. Під нормою простору [pic] понимается.

[pic], [pic].

Определение5. Під нормою простору [pic]понимается.

[pic], [pic].

Определение6. Нехай [pic] (чи [pic],[pic]). Модуль безперервності (відповідно інтегральний модуль безперервності) функції [pic] визначається равенством.

[pic], [pic].

([pic], [pic]).

Определение7. Послідовність [pic]функций, певних на безлічі Х із заданою у ньому мірою, називається сходящейся майже скрізь до функції [pic], якщо [pic] для майже всіх [pic], тобто. безліч тих точок [pic], у яких дане співвідношення не виконується, має міру нуль.

У § I.2 ми розглядаємо простору [pic] - це сукупність аналітичних поодинці колі функцій F (z), котрим кінцева норма.

[pic]. Основним результатом цього параграфа є теорема у тому, що будь-яку функцію [pic]([pic]) можна предсавить в виде.

[pic], [pic], [pic], де [pic] для п.в. [pic], при этом.

[pic] [pic] ;

[pic] [pic].

Використані у цьому параграфі поняття ми приймаємо у таких определениях:

Определение8. Кажуть, що справжню функція [pic], задана на відрізку [a, b], має обмежену варіацію, якщо є така стала [pic], що яке було розбивка відрізка [a, b] точками [pic] виконано нерівність [pic].

Определение9. Насправді ж функція [pic], задана на відрізку [a, b], називається абсолютно безупинної на [a, b], для будь-якого [pic] знайдеться число [pic]такое, що як і вона була система попарно непересічних інтервалів [pic], [pic] з сумою довжин, меншою [pic]: [pic], виконується нерівність [pic].

У третьому параграфі першого розділу ми переходимо до розгляду просторів [pic] і [pic]. Простір [pic]([pic]) є сукупність тих функцій [pic], [pic], що є граничними значеннями функцій (дійсних частин функцій) из[pic], тобто. представимы як [pic] ([pic]). Тут ми маємо такі результати: при [pic] простір [pic] збігаються з [pic], а при р=1 [pic] вже, ніж [pic], і складається з функцій [pic], котрим і [pic].

У § I.4 ми вводимо поняття твори Бляшке функції [pic], аналітичної по колу [pic] з нулями [pic], [pic] ([pic]) з урахуванням їхньої кратности:

[pic], де [pic] - кратність нуля функції [pic] при [pic].

Тут доводиться, кожна функція [pic] представима як [pic], де [pic] немає нулів по колу [pic] і [pic], [pic], а [pic] - твір Бляшке функції [pic].

Потім ми розглядаємо поняття нетангенциальной максимальної функції. Нехай [pic], [pic], — довільне число. Означимо через [pic], [pic], область, обмежену двома дотичними, проведеними з точки [pic] до окружності [pic], також найбільшою з дуг окружності, ув’язнених між точками торкання (при [pic] [pic] вироджується в радіус одиничного кола). Для [pic]положим.

[pic], [pic], де [pic] - інтеграл Пуассона функції [pic]. Функція [pic] називається нетангенциальной максимальної функцією для [pic].

Відразу ми доводимо теорему оцінки [pic]: якщо [pic] ([pic]), [pic], то [pic] і [pic].

Перші результати про максимальних функціях були отримані 1930 року Харді і Литтлвудом.

У другій главі два параграфа. У § II.1 розглядається простір [pic]. Як раніше зазначалося, його вже, ніж [pic]. Тож у цьому параграфі великий інтерес представляє теорема — критерій приналежності функції простору [pic]. Тут вводиться поняття атома: справжня функція [pic] називається атомом, якщо існує узагальнений інтервал [pic] такий, що а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]. Атомом назвемо також функцію [pic], [pic]. Під узагальненим інтервалом розуміється або інтервал з [pic], або безліч вида[pic] [pic]([pic]).

Цей параграф присвячений аналогу теореми, доведеною 1974 року Р. Койфманом у тому, що функція [pic]тогда і тільки тоді ми, коли функція [pic] допускає подання до вигляді [pic], [pic], де [pic], [pic], — атоми. (*) У цьому [pic], де inf з всім розкладанням виду (*) функції [pic], і з і З [pic] - абсолютні константы.

Роль атомических розкладань у тому, що вони у деяких випадках дозволяють звести висновок глибоких фактів до щодо простим діям з атомами. У частночти, з атомического розкладання функцій, що належать простору [pic], легко випливає отриманий 1971 року Ч. Фефферманом результат про двоїстості просторів [pic] і [pic]. Доведенню цього факту і присвячений другий параграф даної глави. Спочатку ми вводимо визначення [pic]: простір ВМО є сукупність всіх функцій [pic], які відповідають условию.

[pic], (91) де [pic], а sup з всім узагальненим інтервалам [pic]. Ну, а потім доводимо теорему у тому, що [pic].

Глава I.

Основні відомостей про интеграле Пуассона і просторах [pic], [pic]и [pic].

§ I.1.Интеграл Пуассона.

Нехай ((x (, g (x), x (R1 -суммируемые на (-(, ((, 2(- періодичні, комплекснозначные функції. Через f (g (x) будемо позначати свертку.

[pic] f (g (x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic].

З теореми Фубини слід, що згортка суммируемых функцій також суммируема на (-(,((і cn (f (g) = cn (f)(c-n (g), n = 0, (1, (2, … (1).

где (cn (f)(- коефіцієнти Фур'є функції f (x): cn (f)= [pic]-i n tdt, n = 0, ((((((((.

Нехай (((L1 (-(((((). Розглянемо при ((r (((функцию.

(r (x) = [pic]n (f) r ((n (ei n x, x (((((((((((. (2).

Оскільки [pic] для будь-яких x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд [pic] сходиться (оскільки відповідно до теоремі Мерсера [4] коефіцієнти Фур'є будь-який суммируемой функції ортогональної системі обмежених разом функцій [pic] йдуть до нуля при [pic]), то ознакою Вейерштрасса ряд у правій частині рівності (2) сходиться рівномірно по x нічого для будь-якого фіксованого r, (((r (((. Коефіцієнти Фур'є функції (r (x (рівні cn (fr) = cn (f)(r (n ((, n = 0, ((((((((((, але це отже, що (r (x (можна як пакунки :[pic].

(r (x) = [pic] ,.

(3) где.

[pic], t (((((((((((((4).

Функція двох змінних Рr (t), 0 (((r (((, t ((((((((((, називається ядром Пуассона, а інтеграл (3) — інтегралом Пуассона. [pic][pic][pic][pic][pic] Следовательно,.

Pr (t) = [pic], 0(((r ((, t ((((((((((.

(5) Якщо ((L ((-((() (справжня функція, то, враховуючи, що c-n (f) = [pic], n = 0(((((((((((з співвідношення (2) ми матимемо: fr (x) = [pic] =[pic] ,.

(6) где.

F (z) = c0 (f) + 2 [pic] (z = reix) (7) — аналітична поодинці колі функція як сума рівномірно сходящегося по x низки [5]. Рівність (6) показує, що з будь-який дійсною функції ((L1(-(, () інтегралом Пуассона (3) визначається гармонійна поодинці колі функція u (z) = (r (eix), z = reix, 0 ((r (1, x ([ -(, (]. У цьому гармонійно сполучена з u (z) функція v (z) з v (0) = 0 задається формулою v (z) = Im F (z) = [pic] .

(8) Утверждение1. Нехай u (z) — гармонійна (чи аналітична) по колу (z ((((((((((((((функція і ((x) = u (eix), x (((((, ((. Тоді u (z) = [pic] (z = reix, (z ((().

(10) Оскільки ядро Пуассона Pr (t) — справжня функція, то рівність (10) досить перевірити у разі, коли u (z) — аналітична функция:

[pic] =[pic], (z (((+ (. Але тоді коефіцієнти Фур'є функції [pic] пов’язані з коефіцієнтами Фур'є функції [pic] так :

[pic] і рівність (10) відразу випливає з (2) і (3).

Прежде ніж можливість перейти до вивченню поведінки функції (r (x) при r ((, відзначимо деякі властивості ядра Пуассона: а) [pic]; б) [pic] ;

(11) в) нічого для будь-якого (>0.

[pic] Співвідношення й у) відразу взято з формули (5), а докази б) досить покласти в (2) і (3) ((x (((. pic] Теорему 1. Для довільній (комплекснозначной) функції [pic](-(, (), 1 (p < (, має місце равенство[pic].

[pic]; Якщо ж ((x) безупинна на [ -(, (] і ((-() = (((), то.

[pic].

Доказ. З огляду на (3) й поліпшуючи властивості б) ядра Пуассона.

[pic]. (12) Для будь-який функції [pic], користуючись нерівністю Гельдера і позитивністю ядра Пуассона, находим[pic] [pic][pic] [pic]. Следовательно,.

[pic][pic]. Для даного (((знайдемо (= ((() таке, що [pic]. Тоді для r, досить близьких до одиниці, з властивостей а)-в) ми матимемо оцінку [pic][pic][pic]. Аналогічно, друге твердження теореми 1 випливає з неравенства.

[pic][pic].

Теорему 1 доказана.

Дадим визначення понять «максимальна функція «і «оператор слабкого типу », що в ході докази наступній теоремы.

ОпределениеI.1. Нехай функція [pic], суммируема будь-якою інтервалі (a, b), a 0 [pic], [pic]. Теорему 2 (Фату). Нехай [pic]- комплекснозначная функція з [pic]. Тогда.

[pic] для п.в. [pic].

Доказ. Покажемо, що з [pic] і [pic].

[pic] ,.

(13) де З — абсолютна константа, а M (f, x) — максимальна функція для f (x)*). З цією метою використовуємо легко виведену з (5) оценку.

[pic] (До — абсолютна константа). Нехай [pic]- така кількість, что.

[pic]. Тоді для [pic] [pic] [pic][pic][pic] [pic][pic] [pic]. Нерівність (13) доведено. Візьмемо слабкий тип (1,1) оператора [pic]. Використовуючи її, знайдемо таку послідовність функцій [pic], что.

[pic],.

[pic] (14).

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x ((-((() [pic] [pic] З огляду на, що у теоремі 1 [pic] кожному за x ([-(((] і (14) з останнього оцінки одержимо [pic] при r (1.

Теорему 2 доведено. Замечание1. Використовуючи замість (13) сильніше нерівність (59), яку ми доведемо пізніше, можна показати, що з п.в. x ([-(((] [pic], коли точка reit прагне eix по некасательному до окружності [pic] пути.

§ I.2.Пространства Hp. pic] Визначення I.3. Простір [pic]- сукупність аналітичних поодинці колі функцій F (z), котрим кінцева норма.

[pic] .

(15) Нехай комплекснозначная функція [pic] задовольняє условиям.

[pic] [pic].

(16) тоді функція F (z), певна равенством.

[pic] (17) належить простору [pic], причем.

[pic] .

(18) [pic] [pic]Действительно, аналітичність функції F (z) випливає з (16) і рівності (2). З іншого боку, з нерівності [pic] ми имеем.

[pic] (() З іншого боку, по теоремі 1 (а при р=(з теореми 2).

[pic]. Звідси [pic] ((() З огляду на (() і (((), одержимо (18).

Ниже ми доведемо, що будь-яку функцію [pic] [pic] можна в вигляді (17). І тому нам знадобиться Теорему 3. Нехай комплекснозначная функція ((t) має обмежену варіацію на [ -(((] и.

[pic] (19) Тоді ((t) абсолютно безупинна на [-(((]. Замечание2. У (19) і від розглядається інтеграл Лебега-Стилтьеса, побудований за комплекснозначной функції обмеженою варіації ((t). Ми говоримо, що ((t)= u (t)+ і v (t) має обмежену варіацію (абсолютно безупинна), якщо обидві справжні функції u (t) і v (t) мають обмежену варіацію (відповідно абсолютно безупинні). У цьому интеграл.

[pic] визначено кожної безупинної на [-(((] функції f (t), і навіть якщо [pic] - характеристичне функція замкнутого безлічі [pic].

Доказ теореми 3. Нам досить перевірити, що з будь-якого замкнутого безлічі [pic], [pic] ,.

[pic] (20) З цією метою переконаємося, що справедлива Лема 1. Нехай F — замкнутий, а V — відкрите безлічі, причому [pic] і [pic]. Тоді будь-кого [pic], існує функція [pic] вида.

[pic], (21) що має властивостями: а) [pic]; б) [pic] ;

(22) в) [pic] .

Выведем з леми 1 оцінку (20), та був доведемо саму лемму 1. Нехай [pic], де [pic] - кінцева чи нескінченна послідовність додаткових інтервалів безлічі F, й у [pic].

[pic]. Вочевидь, що [pic]- відкрите безліч і [pic]. Розглянемо для даних [pic] функцію [pic], побудовану в лемме 1 для числа (і багатьох [pic]. Тоді неважко проверить[3], що й [pic], а [pic], то разность.

[pic]. (23) Але з (19) і рівномірної збіжності низки (21) (оскільки ряд Фур'є нескінченно дифференцируемой функції сходиться равномерно).

[pic], і ми маємо рівність (20).

Перейдем до доведенню леми 1. Нам знадобиться ОпределениеI.4. Середні Фейера — це середні виду [pic] [pic], де [pic], [pic], [pic] - ядро Дирихле, [pic], [pic]- ядро Фейера. Зазначимо, що з [pic] ядро Фейера має такими властивостями: а) [pic], [pic]; б) [pic], Моз яких витікає, що з [pic] і [pic] [pic], [pic] Відомо також [3], що середні Фейера [pic] рівномірно сходяться до [pic].

Пусть f (t) — безперервна на [-(, (] функція, для которой.

[pic][pic] і [pic] Оскільки середні Фейера [pic]равномерно сходяться до [pic] і [pic], що існує тригонометричний полином.

[pic] (24) такий, что.

[pic] (25) Нехай [pic]. Розглянемо кожному за (((таку функцію [pic], что.

[pic], [pic].

[pic] (функцію [pic] можна побудувати так: взяти замкнутий безліч [pic] з мірою [pic], досить близька до 2(, і покласти [pic]). Оскільки [pic] (тут число m те, що у (24)), то тут для досить малих (((функція [pic] задовольняє соотношениям.

[pic] (26) У цьому [pic], якщо [pic]. Тоді середні Фейера [pic] функції h (t) мають вид.

[pic] й досить великому N.

[pic] (27) Положим.

[pic], [pic] (28) Оскільки h (t) — справжня функція, то [pic], n=(((((((((. Поэтому.

[pic] і [pic]. (29) Визначимо потрібну функцію g (t) :

[pic] Зрозуміло, що [pic], та якщо з (24) і (28) слід, що [pic] при n0; б) якщо [pic], [pic], то [pic] і [pic]. Теорему 5. Наступні умови еквівалентні [pic]: а) [pic]; б) [pic], [pic], [pic], [pic]; в) [pic]; р) [pic], де [pic]- така справжня функція, що її сполучена [pic] також належить простору [pic]:

[pic]. (36).

Доказ: Еквівалентність умов чи б) безпосередньо випливає з (34), а еквівалентність умов й у) — з теорем 4 і 2. Доведемо, що з м) слід б). І тому досить перевірити, що у разі, коли функція і його сполучена суммируемы :[pic], мають місце равенства.

[pic], [pic] (37) Безпосередній підрахунок за такою формулою (36) показує, що [pic], [pic], [pic], [pic] [pic]. Отже, рівності (37) виконуються, якщо [pic]- довільний тригонометричний поліном. Нехай [pic] фіксоване. Для довільній функції [pic] і [pic] положим.

[pic], [pic], де [pic], [pic], [pic]. Покажемо, що рівність (37) для фіксованого нами номери n випливає з наступних властивостей функцій [pic] (наявність цих властивостей ми встановимо ниже):

1) [pic], [pic], [pic];

2) при [pic] функції [pic], [pic], сходяться принаймні к.

[pic];

3) [pic], [pic], [pic], де З — абсолютна константа.

Итак, припустимо, що трапляються співвідношення 1) — 3). Легко бачити, що [pic], де [pic], тому з 2) випливає відповідність принаймні послідовності функцій [pic],[pic]:

[pic] принаймні [pic]. (38) Для довільного [pic] знайдемо тригонометричний поліном [pic] такий, что.

[pic], [pic]. (39) Тоді відповідно до 3).

[pic] (40) і за [pic].

[pic]. (41) Оскільки [pic] - поліном, то [pic] и.

[pic]. (42) З огляду на, що [pic], користуючись оцінками (40)-(42), ми бачимо [pic], [pic], разом із (38) доводить рівність (37).

Докажем тепер, що з довільній функції [pic] справедливі співвідношення 1)-3). Оцінка 1) відразу випливає з нерівності Чебишева, оскільки [pic]. Щоб довести 2), фіксуємо довільне [pic] і уявімо функцію [pic]в виде.

[pic], [pic], [pic]. (43) З безперервності функції [pic] легко слід, что.

[pic] рівномірно по [pic]. Тому, за досить великих [pic] з урахуванням (43) ми иметь.

[pic], [pic] (44) З іншого боку, з 1) і (43).

[pic]; від цього нерівності і (44) випливає, що з [pic].

[pic]. Аби довести оцінки 3) зауважимо, что.

[pic], де [pic]. Застосовуючи нерівність а) затвердження 2 для функції [pic]и враховуючи, що [pic], одержимо 3). Властивості 1)-3) доведені. Тим самим було встановлено, що з умови р) в теоремі 5 слід б). Для завершення докази теореми 5 досить показати, що з в) випливає р). Нехай [pic] ([pic],[pic],[pic]) і [pic]. Тоді теоремі 4 [pic], [pic] і треба довести лише, що [pic] для п.в. [pic]. Оскільки ядро Пуассона — справжня функція, ми можемо стверджувати, що при [pic] і [pic].

[pic], [pic]. З іншого боку, з 2), 8) і (37) випливає, що з будь-якого [pic],.

[pic], [pic].

(45) Відповідно до теоремі 1.

[pic]. (46) З іншого боку, з затвердження 2, з збіжності [pic]([pic]) слід відповідність принаймні функцій [pic] до [pic]. Таким образом,.

[pic] принаймні ([pic]), тому, враховуючи (46), [pic] для п.в. [pic]. Теорему 5 доведено. Слідство 1. а) Якщо [pic], то [pic]; б) якщо [pic] і [pic], то [pic]; в) якщо [pic], [pic], [pic], [pic], то.

[pic]. (47).

Доказ. Співвідношення чи б) відразу взято з еквівалентності умов чи р) в теоремі 5. Щоб самому отримати в), положим.

[pic],.

[pic]. Відповідно до теоремі 5 [pic], [pic], отже, [pic]. Але тоді (для п.в. [pic]) [pic], і з визначення класу [pic] ми матимемо, что.

[pic]. (48) З (48) безпосередньо випливає рівність (47). Зауваження 3. Якщо [pic], то силу п. р) теореми 5 і затвердження 2 простір [pic] збігаються з [pic]. Для р=1 тут інше. Простір [pic] вже, ніж [pic], і полягає відповідно до п. р) теореми 5 з функцій [pic], котрим і [pic]. [pic] - банахово простір з нормой.

[pic]. (49) Повнота [pic] з нормою (49) випливає з затвердження 2 і повноти простору [pic]: якщо [pic] при [pic], то [pic], [pic], [pic], й дуже як [pic]по мері при [pic], то [pic]и [pic] при [pic]. Зауваження 4. Відповідно до зауваженню 3 рівність (47) виконується, зокрема, у разі, коли [pic], [pic], [pic], [pic]. Наголосимо також на, що, взявши у (47) замість [pic] функцію [pic] та враховуючи б), ми получим.

[pic], якщо [pic]. (50).

§ I.4.Произведение Бляшке, нетангенциальная максимальна функція. Нехай послідовність ненульових комплексних чисел (необов'язково різних) — [pic] задовольняє условию.

[pic], [pic], [pic]. (51) Розглянемо произведение (произведение Бляшке).

[pic]. (52) Для фіксованого [pic], [pic], при [pic] має місце оценка.

[pic]. (53) Оскільки ряд (51) сходиться, те з (53) легко вивести, що твір (52) сходиться абсолютно і рівномірно по колу [pic], тобто. функція [pic] аналитична поодинці колі і має нулі в точках [pic], [pic], і лише у тих точках. У цьому, користуючись нерівністю [pic] ([pic], [pic]), ми находим.

[pic], [pic]. (54) Припустимо тепер, що [pic] ([pic]) — нулі деякою функції [pic] з [pic], причому кожен із новачків повторюється зі своїми кратністю. Доведемо, що кілька (51) сходиться. Положим.

[pic], [pic] Функція [pic] ([pic]) аналитична по колу радіуса більше одиниці, і [pic], якщо [pic]. Отже, [pic] і відповідно до п. 3 теореми 4 [pic]. Але тогда.

[pic] и.

[pic], [pic] (55) Оскільки [pic], [pic], те з (55) випливає відповідність твори [pic], а отже, і відповідність низки (51). ОпределениеI.6. Нехай [pic] - аналітична по колу [pic] функція і [pic], [pic] ([pic]) — її нулі, повторювані зі своїми кратністю. Нехай також [pic] - кратність нуля функції [pic] при [pic]. Произведение.

[pic] (56) називається твором Бляшке функції [pic]. Справедлива Теорему 6. Кожна функція [pic] представима в виде.

[pic], де [pic] немає нулів по колу [pic] и.

[pic], [pic], а [pic] - твір Бляшке функції [pic].

Доказ. Нехай [pic], [pic] ([pic]) — нулі функції [pic] (чи, що таке саме, нулі функції [pic]) Тоді, як вище, [pic] - аналітична в колі [pic] функція и.

[pic], [pic]. (57) У цьому функція [pic] також аналитична поодинці колі, немає у ньому нулів і [pic]. Аби довести зворотного нерівності розглянемо приватні твори (56):

[pic], [pic], [pic]. Оскільки [pic] нічого для будь-якого [pic], то теоремі 4.

[pic] и.

[pic], якщо [pic]. Спрямувавши у тому нерівності число m до нескінченності та враховуючи, що [pic] ([pic]) рівномірно по [pic], ми получим.

[pic], [pic], тобто. [pic], [pic]. Теорему 6 доведено. ОпределениеI.7. Нехай [pic], [pic], — довільне число. Означимо через [pic], [pic], область, обмежену двома дотичними, проведеними з точки [pic] до окружності [pic], також найбільшою з дуг окружності, ув’язнених між точками торкання (при [pic] [pic] вироджується в радіус одиничного кола). Для [pic]положим.

[pic], [pic], де [pic] - інтеграл Пуассона функції [pic]. Функція [pic] називається нетангенциальной максимальної функцією для [pic]. З огляду на теореми 2.

[pic] для п.в. [pic]. (58) Встановимо, що з довільній функції [pic] величина [pic] не перевершує (усе своєю чергою) значення максимальної функції [pic]*) у точці x, т. е.

[pic], [pic]. (59) Нам знадобиться твердження 3. і якщо функція [pic], то тут для будь-якого [pic].

[pic]; б) якщо функція [pic],[pic] то [pic], де [pic] - стала, залежна тільки від числа р.

Пусть [pic] і [pic]. За визначенням інтеграла Пуассона.

[pic] Поклавши [pic]. Тоді иметь.

[pic] і з нерівності [pic], [pic], і періодичності [pic],.

[pic]. (60) Позаяк обидві функції [pic] і [pic] позитивні при [pic] і негативні при [pic] (з (5)), то, припускаючи без обмеження спільності, що [pic], ми получим.

[pic]. (61) Для [pic] мають місце оценки.

[pic],.

[pic]. Отже, як доказ нерівності (59) досить перевірити, что.

[pic] при [pic], (62) якщо [pic]. Нехай [pic], тогда.

[pic]. У інших випадках нерівність (62) очевидно. З (58), (59) і затвердження 3 випливає, що з будь-який функції [pic], [pic],.

[pic], (63) де [pic] - стала, залежна тільки від [pic]. Теорему 7. Нехай [pic] ([pic]), [pic] и.

[pic], [pic]. [pic]Тогда [pic] и.

[pic]. (64).

Доказ. Твердження теореми 7 у разі, коли [pic], прямий наслідок оцінки (63) і теореми 4. Нехай тепер [pic]. По теоремі 6 [pic], де [pic], [pic], якщо [pic] і [pic]. З функції [pic] можна отримати корінь: існує функція [pic] така, що [pic], і, отже з (64) при р=2, получим.

[pic]. Оцінка знизу для [pic] випливає з (58). Теорему 7 доказана.

Глава II. Атомические розкладання функції у просторі [pic], простір ВМО.

§ II.1.Пространство [pic], критерій приналежності функції з [pic] простору [pic].

Рассмотрим [pic] ([pic]) — простір функцій [pic], є граничними значеннями дійсних частин функцій з простору [pic]:

[pic] для п.в. [pic], [pic]. (65) Раніше ми довели, что.

[pic], [pic], (66) І що [pic]- банахово простір з нормой.

[pic]; (67) у своїй, тоді як (65) [pic], то.

[pic] ([pic]). (68) У зауваженні 3 говорилося у тому, що з [pic] простір [pic] збігаються з простором [pic] і з затвердження 2 слід, что.

[pic] ([pic]). Останнє співвідношення втрачає силу при [pic] - неважко перевірити, що з [pic].

[pic], где.

[pic] і, отже, існує функція [pic], на яку [pic]. Таким чином, [pic] - власне підпростір в [pic]. Нижче ми надамо критерій приналежності функцій до простору [pic]. ОпределениеII. 8. Безліч [pic] ми називати узагальненим інтервалом, якщо [pic] - дуга на одиничної окружності, тобто. [pic] - або інтервал з [pic], або безліч вида.

[pic] ([pic]). (69) Крапку [pic] назвемо центром узагальненого інтервалу [pic], якщо [pic] - центр дуги [pic]. Довжиною узагальненого інтервалу [pic] природно назвати величину.

[pic] Визначення II.9. Справжню функцію [pic] назвемо атомом, якщо є узагальнений інтервал [pic] такий, що а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]. Атомом назвемо також функцію [pic], [pic]. Теорему 8. А, щоб виконувалося включення: [pic], необхідне й досить, щоб функція [pic] допускала подання до виде*).

[pic], [pic], (70) де [pic], [pic], — атоми. При этом.

[pic], (71) де inf з всім розкладанням виду (70) функції [pic], і з і З [pic] - абсолютні константы.

Доказ. Достатність. Нехай для функції [pic] знайшлося розкладання виду (70). Покажемо, що [pic] і [pic]. І тому досить перевірити, що з будь-якого атома [pic] має місце неравенство.

[pic]. (72) Нехай [pic]- такий узагальнений інтервал, что.

[pic], [pic], [pic] (73) (випадок [pic] тривіальний). Оскільки [pic], то нам залишається довести, что.

[pic]. (74) Для будь-якого вимірного безлічі [pic], застосовуючи нерівність Коші і користуючись твердженням 2 і співвідношеннями (73), ми находим.

[pic], (75) звідки відразу випливає (74), у разі, коли [pic]. Припустимо тепер, що [pic], і позначимо через [pic] узагальнений інтервал довжини [pic] з тим самим центром, як і [pic]. З (75) слід, что.

[pic]. Нам залишається оцінити інтеграл [pic]. Ми скористаємося очевидним неравенством.

[pic], [pic], де [pic]- довжина найменшої з цих двох дуг одиничної окружності, що з'єднують точки [pic] і [pic], а [pic] - абсолютна стала. З огляду на (73) при [pic] маємо [pic]где [pic]- центр узагальненого інтервалу [pic]. З останнього співвідношення, враховуючи, що [pic] і [pic], ми находим.

[pic], [pic], де [pic]. Следовательно,.

[pic]. Оцінка (74), тож і оцінка (72) доведені. Необхідність. Побудуємо для даної функції [pic] розкладання (70), для которого.

[pic]. Нехай функція [pic] з [pic] така, що виконано співвідношення (65), і нехай [pic] ([pic]) — нетангенциальная максимальна функція для [pic], т. е.

[pic], [pic], (75 ") де [pic]- область, обмежена двома дотичними, проведеними з точки [pic] до окружності [pic], також найбільшою дугою окружності [pic], яка є між точками торкання. Теорему 7 стверджує, що [pic], тому досить знайти таке розкладання функції [pic] на атоми (70), что.

[pic], (76) де постійні З повагою та [pic]([pic]) не залежить від [pic]. Для побудови розкладання (70) з вимогою (76) фіксуємо число [pic]: нехай, наприклад, [pic]. Не обмежуючи спільності, ми можемо вважати, что.

[pic]. (77) Розглянемо на відрізку [pic] множества.

[pic], [pic], [pic] (78) Бо за будь-якому [pic] безліч точок одиничної окружності [pic] відкрито, то ясно, що з [pic] безліч [pic] (коли вона непорожнє) представимо (єдиним чином) як суми непересічних узагальнених интервалов:

[pic], [pic] при [pic], [pic], [pic]. (79) Поклавши [pic] і за [pic].

[pic] (80) Оскільки [pic] кінцева для п.в. [pic], те з визначення функцій [pic], [pic], слід, що з п.в. [pic] [pic] при [pic], отже, для п.в. [pic].

[pic]. Звідси, враховуючи, що [pic], отже з (80), [pic] при [pic], ми знаходимо, что.

[pic], (81) де [pic]- характеристична функція безлічі [pic]. З (81), враховуючи, що [pic], ми для функції [pic] отримуємо таке разложение:

[pic] для п.в. [pic], (82) где.

[pic], [pic], [pic] (83) З допомогою функцій [pic] ми бачимо побудуємо потрібне нам розкладання виду (70). Найперше зауважимо, що з [pic], [pic].

[pic], [pic]. (84) Доведемо тепер, що з п.в. [pic].

[pic], [pic], (85) де стала [pic] залежить від числа [pic], зафіксованого нами раніше. Оскільки з (65) і (75 ") [pic] для п.в. pic], те з (77) слід, что.

[pic]. Нехай тепер [pic], [pic] - одне із узагальнених інтервалів у виставі (79), тоді з (77) і (78) [pic], і якщо [pic], [pic] - кінцеві точки дуги [pic] ([pic]), то [pic], а значит,.

[pic], [pic]. (86) З нерівностей (86) відповідно до (75 ") слід, что.

[pic] при [pic]. (87) Легко бачити (враховуючи, що [pic] і [pic]), що безлічі [pic] і [pic] перетинаються лише у точке:

[pic] з [pic], [pic]. (88) Нехай [pic], [pic], — відрізок, котрий поєднує точки [pic] і [pic]. Оскільки [pic], [pic], те з безперервності функції [pic] при [pic]и нерівності (87) випливає, що [pic], якщо [pic], [pic], і [pic]. Тому, враховуючи (88).

[pic], [pic],[pic], [pic]. (89).

|Рассмотрим область [pic], |[pic] | |обмежену | | |відрізками [pic] і [pic] і дугою| | |[pic]; | | |нехай, далі, для [pic] | | |[pic], | | |[pic], [pic]. | |.

По теоремі Коші [5] [pic]. Звідси й з (89), враховуючи, що з будь-який дуги [pic] справедливо рівність [pic], ми получим.

[pic]. Але з теорем 4 і 5.

[pic], [pic], й, оскільки [pic], [pic], ми знаходимо, что.

[pic]. (89 ") Легко бачити, що безпосереднє відношення [pic] обмежена згори числом, залежним тільки від (, поэтому.

[pic], [pic]. (90) Оскільки [pic], те з співвідношень (90) і (80) випливає, що з [pic], [pic], справедливо нерівність (85). Для п.в. [pic] нерівність (85) відразу випливає з визначення функцій [pic] і множин [pic]. Користуючись оцінкою (85), з (83) ми маємо, що [pic], але це отже, що функции.

[pic], [pic], [pic], є атомами. Тоді, перетворюючи нерівність (82), ми маємо розкладання функції [pic] на атомы:

[pic] для п.в. [pic], де [pic], [pic]. Оцінимо суму модулів коефіцієнтів зазначеного розкладання. З огляду на рівність (77), маємо [pic][pic]. Нерівність (76), тож і теорема 8 доказаны.

§ II.2. Лінійні обмежені функционалы на [pic], двоїстість [pic] и.

ВМО. Дамо опис простору [pic], сполученого до банахову простору [pic]. Нам знадобиться Визначення II.10. Простір ВМО є сукупність всіх функцій [pic], які відповідають условию.

[pic], (91) де [pic], а sup з всім узагальненим інтервалам [pic]. Неважко переконається, що ВМО є банаховым простором з нормой.

[pic]. (92) Зрозуміло, що [pic]. У той самий час ВМО містить і необмежені функції. Неважко перевірити, наприклад, що функція [pic]. Теорему 9. [pic], тобто. і якщо [pic], й у довільній функції [pic] подивитися на неї розкладання на атоми (по теоремі 8):

[pic], [pic], [pic], [pic] - атоми*) (93) і положить.

[pic], (94) то сума [pic] низки (94) кінцева, залежить від вибору розкладання (93) і задає обмежений лінійний функціонал на [pic]; б) довільний обмежений лінійний функціонал [pic] на [pic] уявімо як (94), де [pic]. При этом.

[pic] (З, С1 — абсолютні постоянные).

Лемма 2. Нехай функція [pic] така, що з будь-якого узагальненого інтервалу [pic] знайдеться стала [pic], для которой.

[pic], де М залежить від [pic]. Тоді [pic] і [pic].

Доказ. Для будь-якого узагальненого інтервалу [pic] ми имеем.

[pic], звідки відповідно до (91) отримуємо твердження Леми 2. Слідство 2. Якщо [pic], то [pic] и.

[pic]. (95) Слідство 2 безпосередньо випливає з леми 2, з урахуванням, что.

[pic] для довільного узагальненого інтервалу [pic].

Доказ теореми 9. а) Нехай [pic]. Положим.

[pic] Оскільки завжди [pic], то, враховуючи равенства.

[pic], [pic], [pic].

[pic], ми з допомогою слідства 2 находим.

[pic], [pic] (96) Припустимо, що [pic] (як стверджують 2 і (66)). По теоремі 8 існує разложение.

[pic], [pic], (97) де функції [pic] є атомами і [pic], і за [pic].

[pic], [pic], [pic]. (98) З співвідношень (96), (97) і (98) випливає, що з [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic]. Звідси, враховуючи, що функції [pic], [pic], по модулю вищими за суммируемой функції [pic] й у п.в. [pic] [pic], ми матимемо, что.

[pic][pic]. Отже, равенством.

[pic], [pic], (99) визначається обмежений лінійний функціонал на скрізь щільному в [pic] лінійному різноманітті (щільність функцій з [pic] в [pic] випливає з теореми 8, оскільки для будь-якої функції [pic] приватні суми розкладання (70) сходяться до [pic] за нормою [pic], і, вочевидь, належать простору [pic]). Тому функціонал [pic] можна єдиним чином продовжити на все простір [pic]:

[pic], [pic]. (100) Залишається довести, що з будь-якого розкладання виду (93) функції [pic] ряд (94) сходиться та її сума дорівнює [pic]. Останнє відразу випливає з (99) і збіжності низки (93), за нормою [pic] до [pic]:

[pic]. б) Нехай L — довільний обмежений лінійний функціонал на [pic]. Тоді з теореми 4.1 і (67) для будь-який функції [pic].

[pic] (З — абсолютна стала). Це означає, що L — обмежений лінійний функціонал на [pic], отже, знайдеться функція [pic] с.

[pic], (101) для которой.

[pic], [pic]. (102) Зокрема, рівність (102) виконується, якщо [pic]- довільний атом. Доведемо, что.

[pic]. (103) Нехай I — довільний узагальнений інтервал, [pic] - довільна функція з [pic]. Тоді функция.

[pic], [pic], є атомом і з теореми 8 [pic]. Тому [pic] [pic]. Підбираючи у тому нерівності функцію [pic] оптимальним чином, ми одержимо, що з будь-якого узагальненого інтервалу I.

[pic], що з урахуванням співвідношення [pic][pic] доводить оцінку (103). Отже, для [pic] значення функціоналу [pic] збігається з значенням обмеженого лінійного функціоналу [pic] на елементі [pic] (див. (99) вже доведене твердження а) теореми 9). Оскільки простір [pic] щільно в [pic], то, следовательно,.

[pic][pic] для будь-який функції [pic]. Отримане рівність завершує доказ теореми 9.

1. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряди — М.: Наука, 1984.—495с. 2. Колмогоров О. Н., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу — М.: Наука, 1989. — 623с. 3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М. И. Курс математичного аналізу — М.:

Наука, 1988. —815с. 4. Барі М. К. Тригонометрические ряди —М.: Держ. видавництво физикоматематичної літератури, 1961. —936с. 5. Маркушевич А.І. Короткий курс теорії аналітичних функцій — М.: Наука,.

1978. — 415с. 6. Дж. Гарнетт Обмежені аналітичні функції — М.: Світ, 1984. — 469с. 7. Фихтенгольц Г. М. Основи математичного аналізу — М.: Наука,.

1964.—т.2,—463с. 8. Вартанян Г. М. Аппроксимативные властивості і двоїстість деяких функціональних просторів — Одеса, 1990 —111с.

*) Ми вважаємо, що f (x) = 0, якщо (x (((.

*) Оскільки функція [pic] визначалася для функцій [pic], заданих на [pic], ми додатково вважаємо [pic], якщо [pic]; [pic]при [pic] і [pic] при [pic].

*) З огляду на умов й у) у визначенні 9 [pic], [pic], тому ряд (70) сходиться за нормою простору [pic] і п.в.

*) Можливий випадок, коли [pic] при [pic].