Квадратні рівняння (реферат)

Конспект уроку з алгебри.

" Урок систематизації та узагальнення знань по темі «Квадратні рівняння» .

Тема: Урок систематизації та узагальнення знань по темі «Квадратні рівняння» .

Мета: Систематизувати знання учнів по темі «Квадратні рівняння». Усувати помилки, які допускають усні під час розв’язування вправ і задач, які зводиться до квадратних рівнянь.

Розливальна мета: Розвивати знання учнів про рівняння, формувати навики розв’язку лінійних, квадратних, дробово-раціональних рівнянь.

Виховна мета: Сприяти розвитку всесторонньо розвинутої особистості, вихованню етичних норм, гуманізму, активної життєвої позиції.

Тип уроку. Урок узагальнення і систематизації знань.

Хід уроку.

І. Мотивація навчальної діяльності учнів.

Перш ніж почати урок, я хочу щоб ви послухали діалог «Секрет юного бізнесмена» і розгадали секрет нашого уроку — його тему.

Діалог:

В школі в тихому кутку, На підлозі і на стелі.

Торгувались два веселі,.

Два юних бізнесмени.

• -.Це я не продаю!

• -.Що куплю, на цім стою!

• -.Я сказав, що не продам.

• -.Я тобі по пиці дам!

Тут учитель підійшов.

І в кутку він їх знайшов.

І сказав:

— Ти не здирай, А візьми і так віддай!

Бо за добрі твої справи, Добре знай, завжди йдуть справи!

Будеш перший у змаганні.

• -.Тож секрет мій — рівняння!

Для розв’язку задачі.

Ми складаємо рівняння Хочеш в брід, а хочеш так ;

А рівняння — то мастак.

В ньому тайна є така Корінь — відповідь твоя!

Отже, сьогодні на уроці мова піде про рівняння, і ми з вами попробуємо систематизувати свої знання про всі види рівняння, які ми вивчали.

ІІ. Тема уроку. Урок систематизації та узагальнення знань по темі «Квадратні рівняння» .

ІІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

1. 1.Що називається рівнянням?

2. 2.Що називається коренем рівняння?

3. 3.Які види рівнянь ми уміємо розв’язувати.

Лінійні рівняння.

1. Згадаємо, що ми знаємо про лінійні рівняння: Рівняння виду $$\text{ах}=b$$

де, а і b дані числа, називаються лінійними. Лінійні рівняння мають один корінь, який дорівнює.

$$х=\frac{b}{а}$$

.

.

Розв’язуючи рівняння, його спочатку спростимо, зведемо до лінійного.

1. 1.Позбавимося знаменників (якщо вони є).

2. 2.Розкрити дужки.

3. 3.Перенести члени із змінними в ліву частину рівняння, а інші в праву.

4. 4.Звести подібні доданки і знайти корінь.

Учні розв’язують біля дошки рівняння.

1) 6х + 5(2х-7) = 5х + 9. 6х +10х — 35 = 5х + 9. 6х + 10х — 5х = 9 + 35. 11х = 44. х = 44: 11. х = 4. 6 + 5(2 — 7) = 11+ 9. 3) 8 + 2(2х — 9) = 4х — 10. 8 + 4х — 18 = 4х — 10. 4х — 4х = -10 + 18 — 8. 0х = 0 — рівняння розв’язків немає.

2) 3(х-5) = 3х + 8. 3х — 15 = 3х + 8. 3х — 3х = 8 +15. 0х = 23 — рівняння розв’язку немає.

Квадратні рівняння.

2. Рівняння виду ах2 + bх + с = 0, де а, b, с — числа, х — змінна, називаються квадратними.

Якщо хоч один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то рівняння називається неповним:

1) ах2 = 0. 2) ах2 + bх = 0. 3) ах2 + с = 0.

Учні розв’язують рівняння на дошці.

1) 5×2 = 0 2) 5×2 +4х=0.

х2 = $$\frac{0}{5}$$.

х2 = 0 х = 0: 5х + 4 $$$$

0.

.

х = $$\sqrt{0}$$.

х = 0. х = - $$\frac{4}{5}$$.

х = -0,8.

3. у2 — 9 = 0.

у2 = 9.

у = $$\sqrt{9}$$.

у1 = 3.

у2 = -3.

Для розв’язку квадратного рівняння ми знаємо формули:

Д = b2 — 4ас:

Корені рівняння знаходимо за формулою:

х1,2 = - b math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >Д / 2а.

1. 1.Якщо Д рівняння має два корені.

2. 2.Д = 0, рівняння має один корінь.

3. 3.Д < 0, рівняння не має коренів.

Учні виконують рівняння біля дошки і в зошитах:

1. 3×2 — 2х — 8 = 0.

Д = b2 — 4 ас — (-2)2 — 4 8) = 4 + 96 = 100.

х1,2 = $$\frac{-b\pm \sqrt{Д}}{2а}=\frac{+2\pm \sqrt{\text{100}}}{23}=\frac{2\pm \text{10}}{6}$$.

х1 = $$\frac{2+\text{10}}{6}=\frac{\text{12}}{6}=2$$.

х2 = $$\frac{2-\text{10}}{6}=\frac{-8}{6}=\frac{-4}{3}=-1\frac{1}{3}$$

.

.

Відповідь: х1 = 2- х2 = -1 $$\frac{1}{3}$$.

2) х2 — 6х -2 = 0;

3) х2 + 5х + 9 = 0.

Квадратні рівняння можна розв’язувати за теоремою Вієта: За теоремою Вієта розв’язуються зведені квадратні рівняння (а=1).

х2 + рх + g = 0.

х1 + х2 = -р х1 2 = g.

1. х2 + 12х +11 = 0.

х1 = -1: х2 = -11.

х1 + х2 = -1 + (-11) = -12.

х1 2 = -1 11) = 11.

Усно:

2. х2 -3х +2 = 0.

3. х2 + 5х + 6 = 0.

4. у2 = 5у — 14 = 0.

5. х2 — 7х +12 = 0.

6. 2×2 — 7х = 0.

Першим, хто описав розв’язок лінійних рівнянь, був Мухамед-аль-Хорезми, який написав трактат «Аль-Джебра і Аль-Мухабала». В переводі на теперішній язик, аль-джабр означає перенесення доданків з однієї частини в другу, а аль-мухабала — зведення подібних доданків.

Способи розв’язування квадратних рівнянь знаходиться у вавилонях Євкалида і Диофанта. Щоб скоріше запам’ятати формулу коренів квадратного рівняння, можна запам’ятати вірш.

Щоб кількість коренів знайти Дискримінант зумій обчислити Треба тільки постаратись Від в квадрати 4ас.

Видко відповідь знаходим Мінус в плюс — мінус Д під корнем Діли м на 2а.

І в рівнянні відповідь готова.

3. Дробово-раціональні рівняння, які зводяться до квадратних.

Дріб дорівнює кулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Дайте відповідь, для чого потрібно вміти розв’язувати різні рівняння?

Правильно, щоби за їх допомогою розв’язувати задачі. За допомогою рівнянь можна розв’язувати задачі з хімії, фізики, біології.

Задачі з хімії ви розв’язуєте задачі на пропорцію. Це є лінійні рівняння. З фізики, коли швидкість, час, густину і т.д. розв’язуєте лінійні рівняння.

У дев’ятому класі ви будете вчити механіку. Розв’яжемо задачу з фізики на тему: «Тіло кинуте вертикально вгору» .

Задача:

Тіло кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 40 м/с. Через секунду тіло буде на висоті 60 м.

$$h=V_{0}t-\text{gt}2/2$$.

60 = 40t — 5 t2.

— 5t2 +40 t — 60 = 0.

t2 — 8 t + 12 = 0.

За теоремою Вієта t1 = 2- t2 = 6.

Що ми побачили з точки.

Тіло опинилося на висоті 60 м два рази: через 2 с і через 5 сек після кидання вертикального вгору.

В цій задачі нам прийшлось розв’язувати квадратне рівняння.

Тепер ми розв’яжемо задачу, яка зводиться до дробово-раціональних рівнянь.

Задача.

Моторний човен пройшов 48 км за течією річки і 70 км проти течії за 4 год. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість човна дорівнює 30 км/год.

Розв’язування.

Нехай течії річки х км/год, тоді швидкість човна за течією річки (30 = х) км/год, а проти течії річки (30-х) км/год. Час який витратив човен на шлях за течією річки дорівнює $$\frac{\text{48}}{\text{30}+х}$$

год, а проти течії ;

$$\frac{\text{70}}{\text{30}-х}$$

год. Тоді.

.

$$\begin{array}{c}\frac{\text{48}}{\text{30}+х}+\frac{\text{70}}{\text{30}-х}=4\\ \frac{\text{48}(\text{30}-х)+\text{70}(\text{30}+х)}{(\text{30}+х)(\text{30}-х)}=\frac{4(\text{30}+х)(\text{30}-х)}{(\text{30}+х)(\text{30}-х)}\\ (\text{30}+х)(\text{30}-х)/=0\\ \text{48}(\text{30}-х)+\text{70}(\text{30}+х)=4({\text{30}}^2-{х}^2)\\ \text{1440}-\text{48}х+\text{2100}+\text{70}х=\text{3600}-4{х}^2\\ \text{1440}-\text{48}х+\text{2100}+\text{70}х+4{х}^2-\text{3600}=0\\ 4{х}^2+\text{22}х-\text{60}=0\\ 2{х}^2+\text{11}х-\text{30}=0\\ Д=b^2+4\text{ас}={\text{11}}^2-42(-\text{30})=\text{121}+\text{240}=\text{361}\\ {х}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{Д}}{2а}=\frac{-\text{11}\pm \sqrt{\text{361}}}{22}=\frac{-\text{11}\pm \text{19}}{4}\\ {х}_1=\frac{-\text{11}+\text{19}}{4}=2\end{array}$$.

2 (м/с) швидкість течії.

$${х}_2=\frac{-\text{11}-\text{19}}{4}=\frac{-\text{30}}{4}=-\mathrm{7,5}$$

не задовольняє умови задачі.

.

Відповідь: швидкість течії 2 км/год.

ІV. Підсумок уроку.

На цьому уроці ми систематизували знання про рівняння. Вияснити зв’язок математики з хімією, фізикою, і переконатись, що математика розвивається не сама по собі, а всі відкриття творять люди. так, наприклад, свій внесок в розвиток вчення про рівняння внесли Евкліді Діофант, Аль-Хорезли, Вієт і другі вчені.

Ці вчені освічені і всесторонньо розвинутими, до чого повинна тягнутися кожна людина.

V. Домашнє завдання.

І рівень. а) 3×2 — 27 =0.

б) 4z2 + z = 0.

в) у2 — 9у + 14 = 0.

ІІ рівень. а) Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна сторона з них на 3,5 см довша від другої, а площа прямокутника дорівнює 92 см².

в) $$\frac{\text{16}}{х}-7х=\text{24}$$

.

.