Про систему задач для вивчення інтеграла (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Необхідно попереджати можливість формального підходу до обчислення інтегралів. Перед тим як обчислювати інтеграл, потрібно переконатися, що на відрізку інтегрування існує первісна підінтегральної функції: формула Нютона-Лейбніца використовується тільки для неперервних функцій, а вони мають первісну. Щоб не було непорозумінь, корисно привчати учнів перед формальним інтегруванням встановлювати… Читати ще >

Про систему задач для вивчення інтеграла (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Про систему задач для вивчення інтеграла.

Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться до обчислення площ фігур (№ 1022−1027, 1037−1042, 1081−1087) і інтеграла (1028−1036, 1071−1080), тобто, так як і в задачниках з математичного аналізу для втузів, мають тренувальний характер. Між тим відомо, що різноманітність задач допомагає краще засвоїти вивчаюче поняття, його різні прояви. До того ж у запропонованих в (1) задачах недостатньо використовуються раніше засвоєні знання, поняття інтеграла тим самим немов ізолюється від іншого курсу алгебри та початків аналізу, при розв’язуванні задач не закріпляються раніше здобуті знання.

В методичній літературі є деякі спроби спростити систему вправ для вивчення первісної та інтеграла. Так, наведені деякі вправи у збірнику задач (3), але в більшості вони важкі для учнів XI класу й іноді далеко виходять за рамки шкільної програми. Деякі цікаві і змістовні вправи є в (4), (2), (5), але тут поміщені тільки деякі задачі.

В цій статті пропонуються задачі, для розв’язку яких крім знань про інтеграл застосовуються знання, уміння і навички з інших розділів алгебри і початків аналізу. При цьому розширюється клас функцій, інтеграли від яких можуть бути обчисленні учнями XI класу, досягається необхідна різноманітність задач, піднімається зацікавленість учнів у вивченні цього розділу програми.

I

Відомо, що міцні, стійкі і гнучкі вміння формуються тоді, коли вони застосовуються разом із раніше здобутими уміннями і навичками. Саме таким чином знову сформовані уміння включаються у систему знань і умінь учнів. До того ж розв’язування задач, які потребують застосування раніше отриманих знань, істотно допомагає закріпленню вивченого і сприяє формуванню важливого вміння застосовувати знання в різноманітних ситуаціях.

На уроках у XI класі будуть корисними задачі, в яких знаходженню первісної (обчисленню інтеграла) передувало б спрощення або перетворення формули, що задає функцію. Такі наступні задачі.

1.Знайдіть яку-небудь первісну для заданої функції:

а) $f (x) = \frac{x^{2} \sqrt{x^{- 2}}}{\sqrt[3]{x^{1,5}}}$ ;

б) $f (x) = {cos}^{2} \frac{x}{2} - {sin}^{2} \frac{x}{2}$ ;

в) $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ;

г) $f (x) = {sin}^{2} x$ ;

д) $f (x) = 2 sin \frac{t}{4} cos \frac{t}{4}$ ;

е) $f (x) = \sqrt{\frac{1 - cos 2 y}{2}}, y [0 -]$ ;

ж) $f (x) = 2 {cos}^{2} \frac{x}{2}$ ;

з*) $f (x) = \frac{2 tg \frac{}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{}{2}}$ .

2.Обчисліть інтеграл, виконавши перед тим необхідні перетворення підінтегральної функції:

а) $_{\frac{}{6}}^{\frac{}{3}} ({cos}^{2} (x - \frac{}{3}) - {sin}^{2} (x - \frac{}{3})) dx$ ;

б) $_{1}^{3} \frac{t^{\frac{3}{4}} \sqrt[3]{t^{0,5}} + t^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{t^{3}}} dt$ ;

в) $_{- \frac{}{6}}^{\frac{}{6}} | sin x | dx$ ;

г) $_{0}^{2} \sqrt{{(3 x^{2} - \frac{2}{3})}^{2}} dx$ ;

д) $_{- 0,5}^{2} | x - 1 | x^{2} dx$ ;

е*) $_{2}^{5} \frac{2 dx}{x (x - 1)}$ ;

ж) $_{- 1}^{1} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 2} dx$ ;

з) $_{\frac{}{3}}^{\frac{}{2}} {cos}^{2} (x + \frac{}{3}) dx$ ;

и*) $_{\frac{}{3}}^{\frac{}{2}} {cos}^{4} (x - \frac{}{12}) dx$ ;

к) $_{0}^{10} \sqrt{2^{x}} dx$ ;

л) $_{- 1}^{1} \sqrt{x^{2} + 6 x + 9} dx$ .

Вказівка: В в) і д) потрібно скористатися визначенням модуля, в г) і л) застосувати рівність $\sqrt{a^{2}} = | a |$ . Для перетворення підінтегральної функції в е) потрібно використати рівність $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x (x - 1)}$ . В ж) до результату приводить виділення цілої частини дробу. Інтеграл и) обчислюється двічі застосувавши тотожність ${cos}^{2} = \frac{1 + cos 2}{2}$ .

3*. Перетворивши підінтегральну функцію, обчисліть інтеграл:

а) $_{0}^{} sin (x + \frac{}{3}) cos (x + \frac{}{3}) dx$ ;

б) $_{- \frac{}{2}}^{\frac{}{2}} cos x cos 2 x$ ;

в) $_{- \frac{}{2}}^{0} sin (- \frac{x}{2}) sin (+ \frac{x}{2}) dx$ ;

г) $_{0}^{\frac{}{4}} cos (x + \frac{}{4}) sin (x + \frac{}{4}) dx$ .

Додаткового часу, як і додаткових завдань, для розгляду наведених задач фактично не потрібно: їхній розв’язок потрібно зв’язати з повторенням.

Можна пропонувати і такі задачі на обчислення інтегралів, які потребують більш складніших перетворень тригонометричних виразів.

4*. Обчисліть інтеграл:

а) $_{0}^{\frac{}{2}} 2 {cos}^{2} x cos 2 xdx$ ;

б) $_{- \frac{}{4}}^{\frac{}{4}} {cos}^{2} x {sin}^{2} xdx$ ;

в) $_{- \frac{}{2}}^{} (2 sin 2 x sin x + cos 3 x) dx$ ;

г) $_{0}^{} 4 cos x cos 2 x cos 3 xdx$ ;

д) $_{0}^{\frac{}{2}} sin 2 x cos 3 x cos 2 xdx$ ;

е) $_{-}^{0} {sin}^{3} x {cos}^{2} xdx$ .

Розв’язок задачі 4 (д):

$_{0}^{\frac{}{2}} sin 2 x cos 3 x cos 2 xdx = \frac{1}{2}_{0}^{\frac{}{2}} sin 4 x cos 3 xdx = \frac{1}{4}_{0}^{\frac{}{2}} (sin 7 x + sin x) dx = \frac{1}{4} (- \frac{cos 7 x}{7} cos x) |_{0}^{\frac{}{2}} = \frac{2}{7}$ Задачі 3−4 корисно розглядати на позакласних або факультативних заняттях.

Принесе користь розв’язування і наступних задач.

5. Обчисліть, попередньо перетворивши підінтегральну функцію:

а) $_{- 1}^{1} \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} dx$ ;

б) $_{0}^{1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{3} + x^{2} + x + 1} dx$ ;

в) $_{1}^{2} (\frac{x - 6}{x^{2} - 9} + \frac{x - 7}{9 - x^{2}}) (x + 3) dx$ ;

г) $_{3}^{5} (\frac{y^{2} - 4 y + 4}{y - 1} - \frac{y - 2}{y - 1}) dy$ .

До цього часу розглядалися вправи, в яких потрібно було обчислити інтеграл, використовуючи для цього відомості із попереднього курсу алгебри і математичного аналізу. Але і задачам, в яких інтеграл відіграє допоміжну роль, потрібно відвести час на уроках або позакласних заняттях. Ось приклади таких вправ.

6. Розв’яжіть рівняння:

а) $_{1}^{z} \frac{dx}{x} = 2$ ;

б*) $_{0}^{y} 2^{2 x + 3} dx = - 4 ln 2$ ;

в*) $_{t}^{t + 1} (x^{3} + 4) dx = \frac{11}{4}$ .

7. Знайдіть всі значення $t$ такі, що $t [0 - 2]$ і є коренем рівняння:

а) $_{\frac{}{2}}^{t} sin xdx = 2 t$ ;

б) $_{0}^{t} cos xdx = sin 2 t$ .

8. Знайдіть множину невід'ємних коренів рівняння: $_{0}^{b} (3 x^{2} + 4 x - 7) dx = b^{3} - 3$ .

9. Знайдіть множину значень, для яких правильна нерівність:

а) $_{0}^{a} (2 - 4 x + 3 x^{2}) dx <= a$ ;

б) $\frac{3}{2 \sqrt{a}}_{1}^{a} (\sqrt{x} - \frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{2}{3}) dx$ <4.

10*. Знайдіть найменше і найбільше значення інтеграла:

а) $_{0}^{a} cos \frac{x}{2} dx, a R$ ;

б) $_{a}^{b} cos \frac{x}{2} dx, a, b R$ .

II

Глибоке розуміння геометричного змісту інтеграла допомагає як обчислювати площі різних фігу, так і знаходити числові значення інтегралів, обчислювати які за відомими вивчаючими формулами не вдається.

Скориставшись геометричним змістом інтеграла, можна знаходити числові значення інтеграла від деяких функцій, методи інтегрування яких не відомі учням, а площі фігур, обмежених графіками підінтегральних функцій, можна обчислювати і без допомоги інтеграла.

11. Виходячи із геометричного змісту інтеграла обчисліть:

а) $_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} dx$ ;

б) $_{- 3}^{3} | | x | - 2 | dx$ ;

в*) $_{2}^{2,9} [x] dx$ ;

г*) $_{- 1}^{- 0, 25} ({x} + \frac{1}{2}) dx$ ;

д*) $_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (\sqrt{1 - x^{2}} - x) dx$ ;

е*) $_{- 1}^{0} (\sqrt{1 - x^{2}} - x - 1) dx$ .

В деяких випадках обчисленню інтеграла допомагають і додаткові міркування, наприклад застосування симетрії.

12*. Обчисліть: $_{- 1}^{1} arccos xdx$ .

Р о з в ' я з о к. Значення інтеграла чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції (рис. 1). Якщо доповнити цю трапецію до прямокутника, сторони якого задані рівнянням $x = - 1, x = 1, y = 0, y =$ а площа дорівнює $2$ то із міркувань симетрії відносно точки $A (0 - \frac{}{2})$ ясно, що $_{- 1}^{1} arccos xdx =$ .

Рис.1

Геометричні міркування дозволяють знаходити первісні для деяких обернених функцій, які можна показати учням на позакласних заняттях. Нехай, наприклад, потрібно знайти первісну функції арксинус. Зобразимо графік функції $y = arcsin t$ , $t [0 - 1]$ (рис.2а). зафіксуємо деяке значення аргументу

знайдемо на графіку значення $y = arcsin x$ . Ясно, що площа криволінійного трикутника, заштрихованого на (рис.2а), є $S (x) =_{0}^{x} arcsin tdt$ . Графік функції і заштрихований трикутник відобразимо симетрично прямій $y = t$ (рис. 2б). Тепер площу заштрихованого трикутника (а він конгруентний трикутнику на рис. 2а) можна обчислити за допомогою інтеграла, але вже від функції, оберненої до арксинуса, тобто від функції синус:

$S (x) =_{0}^{ar sin x} (x - sin t) dt = (xt + cos t) |_{0}^{arcsin x} = x arcsin x + cosarcsin x - 1 = x arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} - 1$ Отже, $_{0}^{x} arcsin tdt = x arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} - 1$ . Це і є первісна арксинуса.

б).

$y = t$ .

$\frac{}{2}$ .

$y = sin t$ .

$x$ .

$arcsin x$ .

t

x

Рис.2

Таким самим чином можна знайти первісну ще для деяких функцій, попередньо встановивши, яка функція обернена до даної. Показаний прийом можна застосувати і для обчислення площ (див. [6]).

13*. Знайдіть яку-небудь первісну функції $y = arccos x$ .

14*. Обчисліть:

а) $_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} arcsin xdx$ ;

б) $_{0}^{t} arccos xdx$ ;

15*. Знайдіть функції, обернені до даних, і які-небудь первісні для обернених функцій:

а) $s (x) = sin x, D (s) = [\frac{}{2}, \frac{3}{2}]$ ;

б) $f (x) = e^{x}$ .

16*. Виберіть обернену функцію, первісна якої відома, і знайдіть одну із первісних оберненої функції.

III

17. Обчислюючи $_{}^{1} \frac{dx}{0 x - 2}$ і $_{0}^{3} \frac{dx}{x - 2}$ , учень знайшов, що $_{0}^{1} \frac{dx}{x - 2} = - ln 2 =_{0}^{3} \frac{dx}{x - 2}$ .

Чи правильні ці рівності? Якщо ні, то в чому заключається помилка?

Аналіз помилки корисно зв’язувати з геометричними ілюстраціями і переконатися, що в точці $x = 2$ функція $y = \frac{1}{x - 2}$ невизначена. Звідси, на проміжку $[0 - 3]$ функція не є неперервною.

Дальше, час від часу, корисно пропонувати поряд із інтегралами від неперервних функцій і такі задачі, обчислення інтеграла в яких недопустиме через розрив функції на відрізку інтегрування, а також наступні задачі.

18. Чи можна обчислити $_{0}^{\frac{}{2}} \frac{dx}{cos 2 x}$ ;

19*. При яких значеннях границі інтегрування існують наступні інтеграли:

а) $_{a}^{b} \frac{dx}{x}$ ;

б) $_{0}^{l} \frac{dx}{x^{2} - 4}$ ?

20*. Обчисліть:

а) $_{- 2}^{2} {(\sqrt{x + 2})}^{2} dx$ ;

б) $_{- 3}^{- 2} {(\sqrt{x + 2})}^{2} dx$ ,.

якщо це можливо.

В к, а з і в к а. В задачі 18 підінтегральна функція має розрив в точці $x = \frac{}{4}$ . В задачі 19 (а) границі інтегрування $a$ і $b$ мають бути або обидві від'ємними, або обидві додатніми. Інтеграл в задачі 19 (б) є зміст обчислювати тільки при $l] - 2 - 2 [$ . В задачі 20 (б) підінтегральна функція на відрізку інтегрування не визначена.

Запропоновані задачі, без сумніву, будуть допомагати свідомомому засвоєнню поняття первісної та інтеграла. Частина з них може бути розв’язаною на уроці, деякі, помічені зірочками, краще пропонувати на позакласних або факультативних заняттях.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою