Математичний аналіз

1.Счетные і незліченні безлічі. Счетность безлічі раціональних чисел. Безліч — сукупність деяких об'єктів Елементи безлічі - об'єкти складові безліч Числові безлічі - безлічі елементами яких є числа. Поставити безліч отже вказати усі його елементи: 1 Спосіб: А={а: Р (а)} ці записи Читатибезліч тих яких что…

A={а-Р (а)} рівноцінні Р (а) — предикат = висловлювання про елемент, буває брехливо чи істинно по відношення до кокретному елементу. Безліч, А складається з тих, а яких предикат істина. 2 Спосіб: Конструювання з деяких інших множин: AЪB = {з: cОA Ъ cОB}, AЩB = {з: cОA Щ cОB}, A B = {з: cОA Щ сПB} U — універсальне безліч (фіксований) UіA; U A = A' = cA (A' - доповнення безлічі A) Властивості: 1. AЪ (BЪC)=(AЪB) ЪC — асоціативність; AЪB=BЪA — коммутативность; AЪЖ=A; AЪU=U 2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ (AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ (AЩC) — дистрибутивность; АЩЖ=А A" =A — закон виключає третього (AЪB)'=A'ЩB'; (AЩB)'=A'ЪB'; AЩA'= Ж Ілюстрація властивостей: Діаграми Эйлера-Венна. «=> «cО (AЪB)' => cПAЪB => cПA & cПB => cО A' & cОB' => cОA’ЩB' «cОA' & cОB' => cПA & cПB => cПAЪB => cО (AЪB)' Відображення множин: f: A®B (на безлічі А поставлено відображення f багатозначно безлічі B) aОA; bОB => b — образ елемента, а при відображенні f; a — прообраз елемента b при відображенні f Оскільки кожному за елемента із, А ставлять у відповідність елемент з У, отже, А — область визначення (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB) Для відображення задають: 1) спосіб 2) Dom 3) Im Відображення f инъективно якщо f (x)=f (x') => x=x'(разные переходить до різні) Відображення f сурьективно якщо Im f =B (каждый перетворюється на кожен) Якщо ж відображення инъективно+сурьективно, то безлічі равномощны (содержат однакове у елементів), а відображення биективно — взаимооднозначно. Лічильні безлічі - безлічі равномощные безлічі натуральних чисел (N) Теорему: Безліч Q счетно. Докозательство: Q=[pic] Лема 1: «nОN Z/n — счетно. Кожному елементу з N треба взаимноднозначно зіставити елемент Z/n: 10®0/n 5®-2/n 2®+1/n 6®+3/n 3®-1/n 7®-3/n 4®+2/n … Лема 2: Об'єднання лічильного чи конечного (не більш як лічильного) числа рахункових множин — счетно. А1={а11, а12, а13,…} А2={а21, а22, а23,…} А3={а31, а32, а33,…}.

… Застосовуємо діагональну нумерацію (а11 — 1; а21 — 2; а12 — 3; а31 — 4; а22 — 5…) отже взаимнооднозначно зіставляємо кожному елементу з таблиці його номер, отже об'єднання лічильного чи кінцевого числа рахункових множин — счетно. Частина то, можливо равномощна цілому: (-1,1) равномощен R (через півколо і промені) З Леммы1 і Леми 2 отримуємо: Безліч раціональних чисел счетно.

2. Визначення дійсного числа безкінечною десяткової дробом. Щільність Q в R. Справжні числа — безліч чисел виду [a0], а1 a2 а3… де а0ОZ а1, а2,а3,… О{0,1,…, 9} Справжнє число представляється як суми цілою й дробової частини: [ао], а1 А2 а3… ак (0) = ат + а1/10 + а2/100 + … +ак/10k = [ао], а1 А2 а3… а'к (9), де а’к=ак-1 х=[хо], х1×2×3…хк… у=[уо], у1 у2 у3… ук… х’к — катое наближення ікса із нестачею = [хо], х1×2×3…хк у"к — катое наближення ігрека з головою = [уо], у1 у2 у3… ук + 1/10k х’к+1 > х’к (х'к — монотонно зростає) у"к+1 Ј у"k (у"k — зростає), т.к. у"к=[уо], у1 у2 у3… ук + 1/10к у"к+1 = [уо], у1 у2 у3… ук ук+1 + 1/10к+1 у"к — у"к+1 = 1/10к — ук+1 + 1/10к+1 й 0.

10 — ук+1 — 1 / 10к+1 й 0.

9 й ук+1 Визначення: 1) x > у $ до: х’к > у"к.

2) x = у х’к не> у"к & у"к не> х’к За визначенням отримуємо, що [1],(0)=[0],(9) Властивості: 1) «x, у або ху, або х=у.

2) х>у & у>z => х>z.

3) x не> x Док-во (2): х>у у>z х’к>у"к у’m>z"m n=max{k;m} х’nіх'к>у"кіу"n у’nі у’m>z"mіz"n у"n>у'n => х’n>z"n Визначення: Якщо АМR і «х, уОR $ аОА: x у"к x й х’к у"к й у x й х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у"к / 2 > у"к / 2 + у"к / 2 > у Бачимо: x > х’к / 2 + у"к / 2 > у, де (х'к / 2 + у"к / 2) ОQ 3. Несчетность безлічі дійсних чисел. Теорему: R незліченно. Доказ від протилежного: 1"х1=[х1], х11×12×13… | 2"х2=[х2], х21×22×23… | Нехай але немає дев’яток в періоді 3"х3=[х3], х31×32×33… |.

… | (*) к"хк=[хк ], хк1 хк2 хк3… |.

… | Знайдемо число якого немає у таблиці: с=[с], с1 с2 с3… [с]№[х1] => с№х1 с1 П {9;х21} => с№х2 с2 П {9;х32} => с№х3.

… ск П {9;хк+1к} => с№хк Отже З — число котра відсутня у таблиці (*) 5. Теорема Дедекинда про повноті R Нехай 1) 0№АНR; 2) «aОA, «bОB: а $ SupA=m => «bОB: bіm => B обмежена знизу =>$ InfB=n, mЈn Доведемо, що m = n: Нехай mс (с'n0 xNЈyNЈzN і $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причому x=z, то $ Lim yN=y => x=y=z. Доказ: «n>n0 xNЈyNЈzN Візьмемо довільно Е>0, тоді $ n': «n>n' xNО (х-Е, х+Е) & $ n»: «n>n» zNО (хЕ, х+Е) => «n>max{n0,n', n"} yNО (x-E, x+E) 4. Верхні і нижні межі числових множин. Визначення: АМR mОR, m — верхня (нижня) грань Якщо ж «аОА аЈm (аіm). Визначення: Безліч A обмежена згори (знизу), якщо є таке m, що «аОА, виконується аЈm (аіm). Визначення: SupA=m, якщо 1) m — верхня грань A.

2) «m': m' m' не верхня грань A.

InfA = n, якщо 1) n — нижня грань A.

2) «n': n'>n => n' не нижня грань A Визначення: SupA=m називається число, таке що: 1) «aОA aЈm.

2) «e>0 $ aEОA, таке, що aE>a-e.

InfA = n називається число, таке що: 1) 1) «aОA aіn.

2) «e>0 $ aEОA, таке, що aE[m]+1 — верхня грань A Відтинок [[m],[m]+1] - розбиваємо на 10 частин m1=max[10*{a-[m]: aОA}] m2=max[100*{a-[m], m1: aОA}].

… mк=max[10K*{a-[m], m1… mK-1:aОA}] [[m], m1… mK, [m], m1… mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m], m1… mK + 1/10K — верхня грань A Доведемо, що m=[m], m1… mK — точна верхня межа і що єдина: «до: [m'K, m"K)ЗA№ 0; «до «аОА: аm"K => $ до: а’K>m"K => аіа'K>m"K — суперечить обмеженості => aЈm Точна верхня грань: Нехай ll"K, але оскільки «до [m'K, m"K) ЗA№ 0 => $ аО[m'K, m"K) => а>l =>l — не верхня грань. Теорему: Будь-яке, непорожнє обмежений знизу безліч АМR, имееет точну нижню грань, причому єдину. Розглянемо безліч B{-а: аОА}, воно обмежена зверху і не порожньо => $ -SupB=InfA 6. Бесконечно малі і великі послідовності. Їх властивості. Визначення: Послідовність аN називається нескінченно малої (бм) коли його межа нульовий («Е>0 $ n0: n>n0 |аN|n': |aN|n»: |bN|max{n', n"} виконані обидва нерівний ства |aN| max{n', n"} маємо: |cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|n0 |aN|n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|n' последовательностьть |bN|ЈaN => bN — бм Доказ: aN — бм => $ n»: «n>n»: |aN|=max{n', n"} |bN|Ј|aN|0 $ n0: n>n0 |аN|>Е) Теорему: Якщо aN — бм, то 1/aN — бб последовательностьть, зворотне теж вірно. Доказ: «=> «aN-бм=>вне будь-який эпсилон-окрестности точки 0 (зокрема 1/Е) перебуває кінцеве членів посл-ти, тобто. $n0: «n>n0 |aN|1/|aN|>Е. «» Е>0 $ n0: «n>n0 1/|aN|>1/Е => |aN|n' послідовність bNі|aN| => bN — бб. Доказ: aN — бб => $ n»: «n>n» |aN|>Е. Для n>max{n', n"} bNі|aN|>Е.

7.Арифметика меж Пропозиція: Кількість, а є межею послідовності aN якщо різницю aN-a є бм (зворотне теж вірно) Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a| (xN+yn)-(х+у) — бм, далі за пропозиції) 2) xN*yN — х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам суму бм посл-тей і * бм посл-тей на огр. посл-ти отримуємо: xN*yN — х*у — бм, далі за предл-нию) 3) xN/yN — х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN доказ зводиться до доведенню затвердження: якщо уn — сходящаяся немає 0 посл-ть, то 1/уN теж сходящаяся послідовність: Lim уN=y => по визначенню краю отримуємо $ n0: «n>n0 |уn-у|1/|уN| «n: 1/|уN|Јmax{2/у, 1/у1, 1/у2,…1/уno} Теорему: Якщо хN сходиться до x, yN сходиться до у і $ n0: «n>n0 послідовність хNЈуN, то хЈу Доказательство (от супротивного): Нехай х>у. З опр. краю «E>0 (зокрема Еn' |xN-x|n» |yN-y|max{n', n"} усіх членів посл-ти xN лежатимуть в Е-окрестности точки x, а усіх членів посл-ти уN лежатимуть в Е-окрестности точки у, причому (х-Е, х+Е)З (у-Е, у+Е)=Ж. І т. к ми припустили, що х>у, то «n>max{n', n"}: хN>уN — в протиріччя з умовою => хЈу.

5. Визначення краю послідовності та її одиничність. Визначення: Нехай дано два безлічі Х і У. Якщо кожному елементу хОХ сопоставлен за певним правилу певний елемент уОУ, то кажуть, що на безлічі Х визначено функція f і пишуть f: Х®У чи x® (f (х)| хОХ). Визначення: Последовательность-это ф-ция певна на мн-ве N, зі значеннями у мн-ве R f: N®R. Значення такий ф-ции в (.) nОN позначають аN. Способи завдання: 1) Аналітичний: Формула загального члена 2) Рекуррентный: (поворотна) формула: Будь-який член послідовності починаючи з деякого выражаетс через предидущие. У цьому способі задани зазвичай вказують перший член (чи нсколько початкових членів) і формулу, позволющкю визначити будь-який член послідовності через предидущие. Приклад: а1=а; аN+1=аN + а 3) Словесний: завдання послідовності описом: Приклад: аN = n-ий десятковий знак числа Пі Визначення: Кількість, а називається межею послідовності аN, якщо «e>0 $ n0: «n>n0 виконується нерівність |аN-a| в прибл рестности точки з міститься кінцеве членів послідовності - в протиріччя з умовою те, що з — межа послідовності. Теорему: Сходящаяся послідовність обмежена. Доказ: Нехай послідовність аN сходиться до а. Візьмемо якесь епсилон, поза эпсилон-окрестности точки, а лежить кінцеве членів последо вательности, отже можна розсунути околиця те щоб все члени послідовності у ній потрапили, але це і означає що послідовник ность обмежена. Зауваження: 1) Протилежне неправильно (аn=(-1)N, обмежена але з сходится).

2) Якщо існує межа послідовності аN, то, при відкиданні чи додаванні кінцевого числа членів межа не змінюється. Порядкові властивості меж: Теорему про граничному переході: Якщо Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: «n>n0 хNЈyN, тоді xЈy Доказательство (от супротивного): Нехай х>у => з визначення краю $ n0': «n>n0' |хN-х|max{n0', n0"} хN>yN — в протиріччя з умовою. Теорему: Якщо $n0: «n>n0 aNЈbNЈcN і $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причому a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. Доказ: Візьмемо довільно Е>0, тоді $ n': «n>n' => cNn» => (a-E)max{n0,n', n"} (a-E)bNО (a-E, a+E).

9. Межа монотонної послідовності Визначення: Послідовність називається монотонно зростаючій (убутній) якщо «n1>n2 (n10 $xE: (х-Е) $ n0 xNo>(х-E). З монотон ности маємо: «n>n0 xNіxNo>(x-E), отримали xNЈx=SupX, отже «n>n0 xNО (x-E, х] Lim (aN-bN)ЈLim (c'-c)ЈLim (bN-aN) => (a-b)ЈLim (c`-c)Ј(b-a) => 0Јlim (c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c'=c => з — єдине. Перефразування Леми: Нехай є бесконечнаz посл-ть вкладених один у друга проміжків (проміжок 1 вкладено у проміжок 2 коли всі точки проміжку 1 належать проміжку 2: [a1,b1],[a2,b2],…,[an, bn]. ., так що кожен наступний міститься у попередньому, причому довжини цих проміжків прагнуть 0 при n®Ґ lim (bN-aN)=0, тоді кінці проміжків aN і bN прагнуть загальному межі з (із різних сторон).

42.Локальный екстремум. Теорему Ферма і його додаток до пошуку найбільших і найменших значень. Визначення: Нехай заданий проміжок I=(a;b), точка x0О (a;b). Крапка x0, називається точкою локалниого min (max), для всіх xО (a;b), виконується f (x0)f (x)). Лема: Нехай функція f (x) має кінцеву похідну у точці x0. Якщо це похідна f‘(x0)>0(f‘(x0)f (x0) (f (x)0, то знайдеться така околиця (x0-d, x0+d) точки x0, в якої (при х№x0) (f (x)-f (x0))/(x-x0)>0. Нехай x0 з попереднього нерівності слід, що f (x)-f (x0)>0, тобто. f (x)>f (x0). Якщо ж x-dn1. .. хNKО[аK, bK] nK>nK-1 аЈхNkЈb. (Lim aK=LimbK=c з леми про вкладених проміжках) Звідси по лемме про затиснутої послідовності Lim хNk=c — ч.т.д.

12.Верхний і нижній межі послідовності. xN — обмежена послідовність => «n аNЈхNЈbN хNK®х, оскільки хNK-подпоследовательность => «n аЈхNЈb =>аЈхЈb x — частковий межа послідовності хN Нехай М — безліч всіх часткових меж. Безліч М обмежена (аЈМЈb) => $ SupM & $ InfM Верхнім межею посл-ти xN називають SupM№Sup{xN}: пишуть Lim xN Нижнім межа ом посл-ти xn називають InfM№Inf{xN}: пишуть lim xN Cуществование нижнього і верхнього меж випливає з визначення. Досяжність: Теорему: Якщо хN обмежена згори (знизу), то $ подпосл-ть хNK: межа якої дорівнює верхньому (нижньому) межі хN. Доказ: Нехай х=SupM=верхний межа хN $ х’ОМ: х-1/к $ подпоследовательность хNS®х' => «Е>0 (зокрема Е=1/к) $ s0: «s>s0 => х'-1/к по доказанному для a>0 отримуємо, Lim 1/(xN) — a = 1 => Lim (xN) a = 1.

15. Доказ формули e=… yN=[pic]; zN=yN +[pic] 1) yN монотонно зростає 2) yNn0 00. Тоді Lim f (x) у точці х0 існує коли cуществуют правий і лівий межа f (x) у точці х0 і вони рівні між собою. Необхідність: Нехай межа f (х) є і дорівнює А => «Е>0 $ d >0: -d f (х) потрапляє у інтервал (f (х)-А, f (х)+А) => правий межа є і він дорівнює А. Якщо x потрапляє у інтервал (x0-d, 0) => x потрапляє у інтервал (x0-d, x0+d) => f (х) потрапляє у інтер вал (f (х)-А, f (х)+А) => лівий межа є і він дорівнює А. Достатність: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim (х0+|h|) = Lim (х0-|h|)=А «Е>0 $ d' >0: 00: -d"1 при z>0, то aX aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0) 5) при x®0 aX®1 (xОR) Т.к. Lim a1/N=1 (n®Ґ), очевидно, як і Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n®Ґ). Тому «Е>0 $n0: «n>n0 1-E aX * aY = aX+Y 2) aX / aY = aX-Y 3) (aX)Y=aX*Y xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®Ґ) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®Ґ) (aX)Y=aX*Y 4) x aX1) — монотонність. x xN aXn (n®Ґ) aXЈaX'- монотонна x-x`>q>0 => aX-X' й aQ>1 => aX-X'№ 1 => aX0 $n0: «n>n0 1-E0 $k0: «n>n0 0k0 => nK>n0 => 0 (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®Ґ враховуючи, що: (1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => отримуємо: eЈLim (1+xK)1/XkЈe => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+ Lim (1+xK)1/Xk при x®0-: yK=-xK®0+ => доводимо аналогічно попередньому => отримуємо Lim (1+x)1/X=e при x®0- Бачимо що правий і лівий межі збігаються => Lim (1+x)1/X=e при x®0 2) n®Ґ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX 3) x®xa aОR — безупинна xa=(eLn x) a=ea*Ln x непр непр непр непр x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x 4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1 4') x®0 Lim LogA (1+x)1/X = 1/Ln a 5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln (1+t) => (4) = 1/1 = 1 5') x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a 6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) -1]/[a*Ln (1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a.

34.Теорема Вейрштрасса про обмеженість безупинної функції на відрізку. Функція х®f (x) називається безупинної на безлічі Х якщо вона безупинна в кожній точці x цього безлічі. Теорему: Функція безперервна на відрізку [a, b], обмежена на цьому відрізку (1 теорема Вейрштрасса) і тримає в ньому найбільше і наимень шиї значення (2 теорема Вейрштрасса). Доказ: Нехай m=Sup{f (x):xО[a, b]}. Якщо f не обмежена згори на [a, b], то m=Ґ, інакше mОR. Виберемо довільну зростання посл-ть (сN), таку що Lim cN=m. Т.к. «nОN: cN aО[a, b]. Для mОR — по теоремі у тому, що межа довільній подпосл-ти дорівнює межі посл-ти отримуємо cKn®m. Для m=+Ґ - по Лемме що всяка подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб послтью отримуємо cKn®m. Переходячи до межі в нер-вах cKn f (a)=m — як і означає що функція f обмежена зверху і сягає верхньої кордон у точці a. Існування точки b=Inf{f (x):xО[a, b]} доводиться аналогично.

35. Рівномірна безперервність. Її характеризация в термінах коливань. Визначення: «Е>0 $ d>0: „х', х“: |х'-х"| |f (x')-f (x»)| функція називається рівномірно безупинної Відмінність від безперервності у тому, що в ній d залежить від Є. і від x", то тут d залежить від x". Визначення: Ф-ция f — не рівномірно безупинна, якщо $ Е>0 «d >0: $ х', х»: |х'-х"| |f (x')-f (x")|іЕ>0 Розглянемо безліч {|f (x')-f (x")|:|x'-x"|0 $ d>0: Wf (d)ЈЕ Lim Wf (d)=0 d®0.

36.Теорема Кантора про рівномірної безперервності безупинної функції на відрізку. Теорему: Якщо f безупинна на [a, b], вона рівномірно безупинна на [a, b]. Доказательство (от супротивного): Нехай f не рівномірно безупинна на [a, b]=>$Е>0 «d>0 $х', х»: |x'- х"||f (x')-f (x")|іЕ. Візьмемо d =1/к, кОN $хK, х’KО[a, b]: |хK-х'K| з її по теоремі Больцано-Вейерштрасса можна виділити подпосл-ть xKs сходящуюся до х0. Отримуємо: |хKs-х'Ks| x = Lim x0) Визначення: Похідним значенням функції f у точці х0 називається число f'(х0)=Lim (f (x0+Dх)-f (x0))/ Dх x®x0, коли цей межа існує. Геометрично f'(х0) — це нахил невертикальной дотичній у точці (x0,f (x0)). Рівняння дотичній y=f'(x0)*(x-x0)+f (x0). Якщо Lim (f (x0+Dх) — f (x0))/Dх=Ґ Dх®0, то пишуть f`(x0)=Ґ дотична у разі вертикальна і задається рівнянням х=x0. f`(x0)=lim (f (x0+Dх)-f (x0))/Dх x®x0=>(f (x0+Dх) — f (x0))/Dх=f'(x0)+a (x), a (x)®0 при x®x0. f (x0+Dх)-f (x0)=f`(x0)*Dх+a (x)*Dх враховуючи, що x0+Dх=x і позначаючи a (x)*Dх через o (x-x0) одержимо f (x)=f'(x0)*(x-x0)+f (x0)+o (x-x0). Необхо димо помітити, що o (x-x0) зменшується швидше ніж (x-x0) при x®x0 (т.к. o (x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0) Визначення: Ф-ция f називається дифференцируемой у точці x0 якщо $сОR: в деякою околиці точки x0 f (x)=С (x-x0)+f (x0)+o (x-x0) Теорему: Функція диффференцируема у точці x0 $ f'(x0) Доказ: f`(x0)=C =>: f (x)=C (x-x0)+f (x0)+o (x-x0) => (f (x)-f (x0))/(x-x0)=C+o (x-x0)/(xx0)=C+a (x), a (x)®0 при x®x0. Переходимо до межі при x®x0 => Lim (f (x)-f (x0))/(x-x0)=C+0=C => Зліва записано похідне значення ф-ции f => з визначення C=f`(x0) Визначення: Якщо функція х®f (x) дифференцируема у точці x0, то лінійна функція Dх®f'(x0)*Dх називається диференціалом функції f у точці x0 і позначається df (x0). (диф-ал ф-ции х®х позначають dx). Т.а. df (x0):Dх®f`(x0)*Dх і dх: Dх®Dх. Звідси df (x0)=f'(x0)*dх => df (x0)/dх: Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f'(x0) при Dх№ 0. Через це пишуть також f'(x0)=df (x0)/dх — позначення Лейбніца. Графік диф-ла виходить з графіка дотичній перенесенням початку коор динат в точку торкання. Теорему: Якщо ф-ция f диф-ма у точці x0, то f безупинна у точці x0. Докозательство: f (x)=f (x0)+f'(x0)*(x-x0)+o (x-x0)®f (x0) при x®x0 => f безупинна у точці x0. Визначення: Нормаль до ф-ции f у точці x0: це пряма перпендикулярна дотичній до ф-ции f у точці x0. З огляду на що тангенс кута нахилу нормальний дорівнює tg (90+угол нахилу дотичній)= -Ctg (наклона дотичній), отримуємо рівняння нормальний: y=-1/f'(x0)*(x-x0)+f (x0).

38. Арифметика диф-цирования. Похідні тригонометрических функцій. Теорему: Нехай ф-ции f і g дифференцируемы у точці x0, тоді ф-ции f+g, f*g і f/g (при g (x0)№ 0) дифференцируемы у точці x0 і: 1) (f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0) 2) (f*g)'(x0)=f'(x0)*g (x0)+f (x0)*g'(x0) 3) (f/g)'(x0)=(f'(x0)*g (x0)-f (x0)*g'(x0))/g (x0)2 Доказ: 1) Df (x0)=f (x0+Dx)-f (x0).

Dg (x0)=g (x0+Dx)-g (x0).

D (f+g)(x0)=Df (x0)+Dg (x0)=f (x0+Dx)-f (x0)+g (x0+Dx)-g (x0).

D (f+g)(x0)/Dx=(f (x0+Dx)-f (x0)+g (x0+Dx)-g (x0))/Dx=(f (x0+Dx) — f (x0))/Dx+(g (x0+Dx)-g (x0))/Dx®f'(x0)+g'(x0) при Dx®0 2) D (f*g)(x0)=f (x0+Dx)*g (x0+Dx)-f (x0)*g (x0)=(f (x0)+Df (x0))*(g (x0)+D (x0)) — f (x0)*g (x0)=g (x0)*Df (x0)+f (x0)*Dg (x0)+Df (x0)*Dg (x0) D (f*g)(x0)/Dx=g (x0)*(Df (x0)/Dx)+f (x0)*(Dg (x0)/Dx)+(Df (x0)/Dx)*(Dg (x0)/Dx)*Dx ®f'(x0)*g (x0)+f (x0)*g'(x0) при Dx®0 3) Ф-ция g — дифференцируема у точці x0 => Ф-ция g — безупинна у точці x0 => «Е>0 (Е=|g (x0)|/2) $d>0: |Dx|< d => |g (x0+Dx)-g (x0)| g'(уO)=1/f'(xO) Похідні: 1) x®Arcsin x по теоремі маємо Arcsin’x=1/Sin'y, де Sin y=x за умови, що Sin’y dy=y'(t)dt=у'(х)*х'(t)*dt=у'(x)dх — бачимо що з перехід до нової незалежної перемінної форма диференціала може бути збережене — це властивість називають инвариантностью форми першого дифференциала.

Нехай функції у=f (х) і х=g (t) такі, що їх можна скласти складну функцію у=f (g (t)) Якщо існують похідні у'(х) і х'(t) то існує похідна у'(t)=у'(х)*х'(t) і з доказанному її перший диф-ал по t написати у вигляді dy=y'(х)dх, де dх=x'(t)dt. Обчислюємо другий диф-ал по t: d2y=d (y'(x)dx)=dy'(x)dx+y'(x)d (dx). Знову користуючись инвариантностью першого диф-ла dy'(x)=у"(х2)dx => d2y=у"(х2)dx2x+y'(x)*d2x, тоді як із незалежної перемінної x другий диф-ал мало вигляд д2y=у'(х2)*dx2x => неинвариантность форми другого диф-ла. Формула Лейбніца: f (x)=u (x)*v (x) [pic] Доказ по індукції. 1) n=0 вірно 2) Припустимо для n — вірно => доведемо для (n+1) Якщо u і v $(n+1) похідні, можна вкотре продифференцировать по x — одержимо: [pic] Об'єднаймо тепер складові обох останніх сум, містять однакові твори похідних функцій u і v (сума порядків производ ных у тому творі, як бачити, дорівнює завжди (n+1)). Твір u0*vN+1 входить лише на другу суму з коефіцієнтом С0N=1. Твір uN+1*v0 входить лише у першу суму з коефіцієнтом СNN=1. Решта твори що входять до ці суми мають вигляд uK*vN+1-K. І таке твір є у першої сумі з номером k = i-1, тоді як у другий i=k. Сума соотв. коефіцієнтів буде [pic]=> отримуємо fN+1(x)=u0*vN+1+[pic]+ uN+1*v0=[pic].

44. Перебування проміжків сталості монотонності функції і його экстремумов. Теорему: Нехай f (x) безупинна у замкненому проміжку [a;b] і диф-ма в відкритому проміжку (a;b), якщо f'(x)=0 в (a;b), то f (x)-const в [a;b]. Докозательство: Нехай xЈb, тоді замкнутому проміжку в [a;x] по теоремі Лагранжа маємо: f (x)-f (a)=f'(a+q (x-a))(x-a) 0 f (x)=f (a)=Const для все хО (a;b). Теорему: Нехай f (x) безупинна у замкненому проміжку [a;b] і диф-ма в відкритому проміжку (a;b), тоді: 1) f монотонно возрастает (убывает) в нестрогому смисл (a;b) f'(x)і0(f'(x)Ј0) в (a;b). 2) Якщо f'(x)>0(f'(x) f'(c)і0(f'(c)Ј 0) => f (x")іf (x')(f (x")Јf (x')) => f (x) возрастает (убывает) в нестрогому смисл (a;b). 2) Використовуючи аналогічні (1) міркування, але замінюючи нерівності на суворі одержимо (2). Слідство: Якщо xO-критическая точка безупинної ф-ции f. f'(x) в досить малої d-окр-ти точки xO має різні знаки, то xO-экстремальная точка. Досить значного умова экстремума: (+)®xO®(-) => локальний min, (-)®xO®(+) => локальний max.

46. Опуклі безлічі Rn. Умова Иенсена. Опуклі функции. Неравенство Йенсена. Визначення: Безліч М опукло якщо «А, ВОМ [А, В]ММ [А, В]ММ => [А, В]={А+t (В-А):tО[0,1]} => А (1-t)+tВОМ [А, В]ММ => А, ВОМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1, l2і0 => l1А+l2ВОМ Розглянемо точки: А1, А2,…АNОМ l1, l2і0 S (i=1,n): lI = 1 Доведемо що S (i=1,n): lI*АI ОМ Д-во: По індукції: 1) n=1, n=2 — вірно 2) Нехай для (n-1) — вірно => доведемо для n: а) lN=1 => прирівнюємо l1=…=l N-1=0 => вірно б) lN (1-l N)*B + l N*А N ОМ Ч.т.д Графік Гf = {(x, f (x)):хОDf}, Надграфик UPf={(x, y):y>f (x)} Визначення: Функція f опукла UPf — безліч опукло. Умова Йенсена: АIОМ lIі0 S (i=1,n): lI =1 => S (i=1,n): lI*АI ОМ, xIі0, f (xI)ЈyI => S (i=1,n): lI*АI = (SlI*xI;SlI*yI) => f (SlI*xI)ЈSlI*yI Нерівність Йенсена: АIОМ lIі0 SlI =1f (SlI*xI)ЈSlI*f (xI).

47.Критерий опуклості дифференцируемой функції. Теорему: Нехай f визначена у інтервалі (a;b), тоді такі умови еквівалентні: 1) f — опукла в (a;b) ~ 2) «x', xO, x"О (a;b) x'» AB: k=(y-f (x'))/(xO-x')і(f (xO)-f (x'))/(xO-x') => yіf (xO); AB: k=(f (x") — y)/(x"-xO)Ј(f (x")-f (xO))/(x"-xO) =>yЈf (xO).

(f (xO)-f (x'))/(xO-x')Ј(f (x")-f (xO))/(x"-xO) «.