Интегрирование лінійного диференціального рівняння з допомогою статечних рядов

Интегрирование лінійного диференціального рівняння з допомогою статечних рядів. Аби вирішити диференціального уравнения:

(I.1) де функції аi (t) (i=0,1,2) розкладаються в статечної ряд на околиці точки t0 з радіусами збіжності ri :

i=0,1,2.

необходимо знайти два линейно-независимых рішення (1(t), (2(t). Такими рішеннями будуть, наприклад, рішення рівняння (I.1) з початковими условиями:

Решения (і шукатимемо як статечного ряда:

(I.2).

методом невизначених коэффициентов.

Аби вирішити скористаємося теоремами.

Теорема 1: (про аналітичному решении) Если p0(x), p1(x), p2(x) є аналітичними функціями x на околиці точки x=x0 і p0(x)?0, то рішення рівняння p0(x)y'' + p1(x)y' + p2(x)y = 0 також є аналітичними функціями у певній околиці тієї ж крапки й, отже, рішення рівняння можна шукати як: y=l0 + l1(x-x0) + l2(x-x0)2 + … + ln (x-x0)n + …

Теорема 2: (про разложимости рішення на узагальнений статечної ряд) Если рівняння (I.1) задовольняє умовам попередньої теореми, але x=x0 є нулем кінцевого порядку P. S функції a0(x), нулем порядку S-1 чи вище функції a1(x) (якщо S>1) і нулем порядку не нижче S-2 коефіцієнта a2(x) (якщо S>2), що існує, по крайнього заходу, одне нетривиальное рішення рівняння (I.1) як суми узагальненого статечного низки: y= l0(x — x0) k + l1(x — x0) k+1 + … + ln (x-x0)k+n + … де kдеяке дійсне число, що може бути як цілим, і дробовим, як позитивним, і отрицательным.

Рассмотрим уравнение:

(I.3).

a0(t) = t + 2; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t)? 0 [pic]t по теоремі 2 хоча одне нетривиальное рішення рівняння (I.3) то, можливо знайдено як суми узагальненого статечного низки [pic](t) = [pic]cn (t-t0)n візьмемо t0 = 0, шукатимемо рішення, у вигляді [pic](t) = [pic] cntn (I.4) Маючи теорему 1 і, дифференцируя ряд (I.4) почленно двічі, получим.

[pic] (t) = [pic]ncntn-1, [pic](t) = [pic]n (n-1)cntn-2.

(2+t)([pic]n (n-1)cntn-2) — ([pic]ncntn-1) — 4t3([pic] cntn)=0 Обчислимо коефіцієнти при відповідних ступенях: t0: 4c2 — c1=0 [pic] 4c2-c1−4c-3=0 t1: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] рекуррентное співвідношення має вигляд [pic] [pic] n[pic] N, c-3=0, c-2=0, c-1=0 (I.5) при n=0, [pic] n=1, [pic] n=2, c4=0 n=3, [pic] n=m-2, [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]Итак, [pic] Знайдемо радіуси збіжності R отриманих рішень, загальним методом не можна, на підставі теореми про існування і одиничності рішення. [pic] [pic] [pic] Які мають область збіжності (за такою формулою Даламбера): а) [pic] [pic] [pic][pic] б) [pic] [pic] [pic][pic] Отже, область збіжності [pic].

I. Синтез управління з трохи більше, ніж із одним переключенням у керованій системі другого порядка.

Необходимо розглянути лінійну керовану систему:

Требуется підібрати управління економіки й (), переводящее фазову точку (х1,х2) з заданого початкового стану на початок координат (0,0). На вибір управління і() накладається умова | і()|=1 й () має більше перемикання. [pic] становище рівноваги [pic] [pic] Д=-7 [pic]фокус, т.к. [pic]0, то, при заміні [pic] на [pic] орієнтація системи координат не изменилась.

1. Лизоркин Г.І. Курс звичайних диференціальних та інтегральних рівнянь. М.: Наука, 1981, Гл. 7. § 6. С.344−348. 2. Эльсгольц Г. Э. Диференціальні рівняння і варіаційне літочислення. М.:

Наука, 1969, Гл. 2. § 7. 3. Понтрягин К. С., Болтянский В. Г., Гамкрелідзе Р.В., Міщенка Е.Ф.

Математична теорія оптимальних процесів. М.: Наука, 1969, Гл. 1. § 5. 4. Болтянский В. Г. Математичні методи оптимального управління. М.:

Наука, 1969, Гл. 1. § 3. 5. Понтрягин К. С. Звичайні диференціальні рівняння. М.: Наука, 1974,.

Гл. 2. § 16. 6. Арнольд У. І. Звичайні диференціальні рівняння. М.: Наука, 1975,.

ГЛ. 2. § 12. С.73−78, 84−85.

———————————- [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].