Развитие аналітичної геометрии

МОГИЛЬОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

ЇМ. А. А. КУЛЕШОВА.

Реферат.

Розвиток аналітичної геометрии.

Выполнила.

студентка фізико-математичного факультета.

V курсу, групи «Г».

Гуленкова Оксана.

Могилів 2002.

Алгебраїчні методи в геометрии.

Застосування алгебри в геометрії мало до початку XVII в. довгу історію. Ще древні вавілоняни вирішували багато завдань на прямокутні трикутники, висловлюючи шукані відтинки, як коріння про чисельні квадратних рівнянь; аналогічні прийоми вживалися згодом неодноразово. У класичної! Греції важливим засобом геометричного дослідження, зокрема конічних перетинів, служила геометрична алгебра, у якій місце обчислень займали побудови отрезков.

Бурхливі успіхи символічною і числової алгебри в XVI в. стали основою значно більше великих додатків алгебраического методу в геометрії, що призвели до створення нової аналітичної геометрії. Спочатку роботи у цьому напрямі не виходили межі традиційних постановок і рішень питань, іноді досить складних. Велика кількість завдань було розглянуто Виетом, на яких пішли інші, наприклад Марин Геталдич (Гетальди, 1566—1627), уродженець югославського міста Дубровник (Рагуза), тоді колишнього самостійної республікою. Учень Хр. Клавия і добрий знавець грецьких авторів, Гетальди відчув особливо сильне вплив Виета, з яким ознайомився бутність у Парижі. У «Зборах різних завдань» (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) і посмертно виданому праці «Про математичному аналізі та синтезі» (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальди засобами алгебри Виета вирішує різноманітні завдання на розподіл відрізків, побудова трикутників так звані вставки (порівн. т. I, стор. 84); по більшої частини, його завдання виражаються рівняннями першої або ж другий ступеня щодо шуканого невідомого відрізка. У окремих випадках застосовується суто геометричне рішення. Згадаємо античну завдання про вставці між продовженням боку квадрата і найближчій перпендикулярної стороною відрізка даної довжини, продовження якого проходить через вершину квадрата, не що лежить на названих сторони. Гетальди відніс завдання до тих, які ставляться до алгебрі (sub algebram non cadunt), і він вирішив її геометрично. Це завдання привернула увагу й інших учених. Жирар (1629) висловив її рівнянням четвертого ступеня і показав, як пов’язаний вибір знаків перед радикалами, які входять у коріння, зі становищем частин шуканого відрізка. Декарт (1637) розглянув її з єдиною метою привести приклад рівняння четвертої ступеня, распадающегося на два квадратних (коефіцієнти яких, між іншим, квадратично ірраціональні щодо вихідних коефіцієнтів). Попутно Декарт зазначив, як з більш більш-менш вдалого вибору невідомої залежить порівняльна простота рівняння. Ці міркування Декарта докладніше в «Загальної арифметиці» Ньютона. Оригінальна рішення належить ще Гюйгенсу.

Алгебраїчним рішенням геометричних завдань займалися, очевидно, дуже багато. До вже названим можна додати, наприклад, ім'я англійського алгебраиста Вільяма Отреда (1574—1660), на книзі якого, названій, подібно одного з творів ал-Каши, «Ключ математики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631)[1], позначилося безсумнівну вплив «Збори різних завдань» Гетальди.

Аналітична геометрия.

Описана алгебраїчна трактування питань геометрії підготовляла грунт до створення аналітичної геометрії, предметом якої вже є нс лише перебування окремих відрізків, які висловлюються корінням рівнянь з однією невідомим, але вивчення властивостей різних геометричних образів, колись всього алгебраїчних ліній і поверхонь, які висловлюються рівняннями з цими двома або як невідомими чи координатами.

Координати з’явилися ще давнини, притому у різних формах, між собою безпосередньо які пов’язані. З одного боку, що це географічні координати, іменувалися довготою і широтою, причому становище пунктів земної поверхні, зображеною у вигляді прямокутника, характеризувалося парою чисел. Подібними були астрономічні координати, служили визначення становища світил на небесної сфері. Інший вид координат виглядали відтинки, залежності між якими, так звані симптоми (див. т. I, 130), висловлювали що визначають властивості цих кривих. І тут йшлося щодо числових координатах будь-яких точок з відліком від фіксованого меридіана і паралелі, а про відтинках діаметрів і хорд, що з точками аналізованої фигуры.

Своєрідною різновидом координат були відтинки широт і довгот в теорії зміни форм Орема. Тут було ні числових координат будь-яких точок, ні «симптомів», виражених засобами геометричній алгебри; словесно сформульована залежність між широтою і довготою форми зображувалася пласкою линией.

Координатні відтинки давньогрецької геометрії відомими у Європі частиною по арабським творів, але переважно в трудам Архімеда і особливо Аполлония. Паралельні хорди чи полухорды, поєднані деякому діаметру, Аполлоний називав, коли із грецької, «по порядку проведеними лініями», а відтинки цього діаметра з його кінця до хорди — «отсеченными на діаметрі усе своєю чергою проведеними (лініями)» (на рис. 6 відповідно у і x). У його згадуваному раніше латинському виданні «Конічних перетинів» (Венеція, 1566) Федориго Коммандино первые.

[pic] висловлювання передав оборотом ordinatim applicatae, т. е. «усе своєю чергою докладені» (т. е. направленные)[2], а друге — quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «які відтинаються ними па діаметрі від вершини». Звідси беруть свій початок терміни abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata і applicata, які, втім, укоренилися не відразу. Слово «абсциса», встречавшееся себто відрізка в різних авторів, наприклад Кавальерп (1635), стає технічним терміном координатної геометрії в 1668 р. у Мікеланджело Річчі (1619—1692) ii особливо в Лейбніца, починаючи з рукописів 1673 р. Ферма і Декарт у основоположних творах по аналітичної геометрії (1636—1637; писали ще про «відтинках діаметра». Слово «ордината» у нашій сенсі застосовував інший перекладач па латину «Конічних перетинів» — Франчсско Мавролико. Ферма користувався терміном applicata, Декарт — appliquee par ordre, т. е. французьким перекладом ordinatim applicata, але й (у листі 1638 р.) словом ordonnee, яке незадовго до того в 1637 р. ужив у своїй курсі П. Эригон (в латинському тексті 1644 г.—ordinata); потім нею став регулярно користуватися Лейбниц.

У XVIII в. слово «ордината» починає витісняти в геометрії на площині слово «аппликата». Обидві координати спочатку називалися невідомими величинами, як в Ферма, чи невизначеними, як в Декарта; слово «координати» увів у 1692 р. Ляйбніц, маю на увазі вже будь-які криволінійні координати. Та й пізніше поняття про координатах пов’язували з відрізками діаметрів і хордами пласких кривих. Так виглядає, наприклад, залежить від статтях «Abscissa, die Abscisse» і «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математичного словника» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (порівн. стор. 35).

Термін «вісь», який в Аполлония ставився до взаємно перпендикулярным сопряженным діаметрам, ужив ширшому сенсі І. Барроу (1670). Позначення початковій точки буквою Про перегукується з її найменуванням origine — «початок», даному Ф. Лагиром в 1679 р.; двадцятьма роками раніше Я. де Вітт писав про initium immutabile, нерухомому початку. Декарт ще характеризував точці, з якою починаються обчислення. Повернімося від історії термінології до історії геометричних методів і идей.

Аналітична геометрія Ферма.

До розробки розпочав новою аналітичної геометрії незалежно друг від одного й одночасно приступили два найбільших французьких математика XVII в.— Ферма і Декарт. Невеликий «Введення ЄІАС у вивчення пласких і тілесних місць» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма було написане дещо раніше 1637 р., але життя Ферма поширювалося через Мерсепна та інших лише в рукописному вигляді. Нагадаємо, що «плоскі і тілесні місця» — терміни грецької геометрії — означали прямі і окружності і еліпси, параболи і гіперболи. Робота написана в позначеннях Виета з дотриманням однорідності уравнений.

Ферма формулює принцип аналітичної геометрії так: «Щоразу, як у заключному рівнянні є дві невідомі величини (quantitates ignotae), очевидна є місце, і поклала край, а такою описує пряму або ж криву лінію… Для встановлення рівнянь зручно розмістити обидві невідомі величини під деяким заданим кутом (який ми здебільшого приймаємо прямим) і ситуацію і кінець одній з величин"[3]. Як бачимо, під невідомими величинами (координатами) Ферма розуміє прямолінійні відтинки: першу їх він щоразу позначає NZ і алгебраїчно буквою А, а другу відповідно ZI та О. Потім за порядку розглядаються різні плоскі і тілесні места.

Рівняння прямий, що проходить через початкову точку, Ферма виводить в форме.

D на, А одно У на Є, т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лише деякі з прямий NI, оскільки Ферма користується позитивними координатами). Цей випадок наводиться загальне рівняння першого ступеня (із зазначеним обмеженням) і кілька далі однорідне рівняння другого ступеня, до чого тут йдеться лише одну з цих двох можливих прямих. Перше приведення сутнісно полягає у перетворення координат, саме у паралельному зсуві вздовж горизонтальній осі: від рівняння виду з (dx = by Ферма переходить до d (r (x) = by, де dr = з. Ідею перетворення координат шляхом паралельного перенесення системи Ферма краще висловлює у таких прикладах: встановивши спочатку, що в прямокутної системі рівняння окружності з центром у початковій точці є b2 (x2 = у2, він правильно характеризує загальне рівняння окружності і для зразка перетворює до основний формі рівняння b2 (2dx = у2 + 2rу.

[pic].

І тому він робить доповнення до квадрата p1 ((x + d)2 = (у + r)2, де р2 = r2 + b2 + d2, потім пише знову x замість x + d і y замість у + r і він здобуває p2 (x2 = у2.

Слід зазначити все-таки, що Ферма обходить мовчанням питання негативних координатах, якими виявляються координати центру ((d, ® в даної завданню (бо d і r в нього позитивні). Зрозуміло, побудувати центр йому було праці та у тому случае.

Основні рівняння конічних перетинів є у Ферма безпосереднє вираження у термінах алгебри їх властивостей, відомих в праці Аполлоиня. Для параболи це рівняння x2 = dy і симетричний у2 = dx, для еліпса (b2 (x2)/y2 = const (вказується, у разі непрямого координатного кута крива буде эллипсом і за const = 1), для гіперболи (b2 + x2)/y2 = const. Цікаво, що у малюнку щодо останнього зображені обидві галузі гіперболи, хоча знов-таки про негативні координатах щось сказано. З іншого боку, наводиться рівняння равносторонней гіперболи ху=с. Усе це поширюється на відповідні рівняння, доповнені лінійними членами.

На приватному прикладі рівняння b2 (2×2 = 2xy + у2 Ферма розбирає і найбільш важкий випадок, коли групу старших членів містить і член з твором координат. Його міркування й побудови відповідають переходу до нову систему координат X, Y з колишнім початком і віссю ординат і з віссю абсцис, котра утворює кут 45° зі старою. У цьому системі Х = [pic]х, Y = x + у, отже (2b2 — X2)/Y2 = 2 і постать є эллипс.

Виклавши усе це, Ферма писав: «Отже ми коротко й зрозуміло виклали усе, що залишили нез’ясованим древні щодо пласких і тілесних мест"[4]. Насправді було зроблено лише перший крок створення нової типу геометрії, яка, ніби між іншим, набула свого нинішнє найменування лише наприкінці XVIII в. 5].

Аналітична геометрія Декарта.

«Запровадження» Ферма, довгий час яке лишилось б у рукопису, не знайшло того поширення, яке отримала «Геометрія» Декарта, видана 1637 р. Про вплив «Введение» на Декарта може бути промови. Ми вже, що це основні ідеї «загальної математики», як і алгебраїчній, так й у геометричній частини, були в її творця пізніше 1632 г.

Переказ аналітичної геометрії у Декарта багато в чому від даного Ферма. У першому воно поступається, бо розкидано за всіма трьома книгам «Геометрії» і навіть у другий їх, що містить найважливіші елементи нової дисципліни, немає систематичного характеру, як у «Запровадження». Однак у інші стосунки геометрія Декарта мала рішучі переваги. Не кажучи вже у тому, що Декарт застосовував більш розвинену символіку, що його виклад був доступнішими й багатше прикладами, він висунув кілька загальних ідей пропозицій, дуже істотні для последующего.

Одне з основних питань для Декарта був у наступному: які лінії служать предметом геометрії? Відповідь визначався вірою Декарта у те, що єдиним загальним методом математики є алгебраїчний. Спочатку цей відповідь формулюється в кінематичних висловлюваннях: геометричні лінії — це ті, які «описані безперервним рухом або ж кількома такими послідовними рухами. пз яких наступні цілком визначаються їм попередніми.— бо цим шляхом можна точно впізнати їх меру"[6]. Навпаки, з геометрії, т. е. власне загальної математики, виключаються механічні лінії, описувані «двома окремими рухами, між які й існує нічого спільного, що можна було б точно измерить"[7]. Приклади механічних линий—спираль і квадратриса: як прикладу геометричних наводяться криві, описувані деяким шарнирным механізмом, число ланок якого невизначено збільшувати. Цей механізм, теоретично подібний смезолабием запропонованим Эратосфеном в III в. до зв. е. для побудови двох середніх пропорційних, Декарт винайшов між 1619 і 1621 рр.: у третій частині «Геометрії» показано, як з його допомогою будувати будь-яке число середніх пропорційних між двома даними відрізками, а: x1 = x1: x2 = x2: х3 = … = xn: b.

Рівняння описуваних цим приладом ліній r2 (x2 + у2)2n-1 = x4n (n = 0,1, 2,…).

Декарт призведе ні з загальному вигляді, ні на приватних значень п.

Кинематическое освіту ліній було відправним пунктом геометрії Декарта вживається у ній неодноразово. Звісно, дана їм під час цьому кінематична характеристика геометричних ліній як кривих, описуваних однією або кількома безперервними рухами, послідовно визначальними одне одного, недостатньо виразна, як і і заява, що щодо всіх таких ліній «потрібно тільки те припущення, дві чи кілька ліній можна переміщати вздовж одне одного й що й перетину утворюють інші линии"[8]. Але цих твердженнях, щодо справи, Декарт передбачив вже згадувану важливу теорему англійського вченого А. Кемпі (1876), за якою у вигляді пласких шарнірних механізмів можна описати дуги будь-яких алгебраїчних кривих і не можна описати жодної трансцендентною. Свій кінематичний спосіб розподілу ліній на геометричні і механічні Декарт відразу ж висловлює на більш ясну аналітичну форму і відразу ж пропонує класифікацію перших. «Усі крапки ліній, — пише він, — які може бути геометричними, т. е. підходящих якуабо точну і встановлює певну міру, обов’язково перебувають у деякому відношенні всім точкам прямий лінії, що може бути виражено деяким рівнянням, у тому для всіх точок даної линии"[9]. У цьому воістину чудовому за глибиною місці свого твори Декарт вводить і метод прямолінійних координат і поняття про рівнянні кривою, а разом із тим поняття про головну функцію як аналітичному вираженні, складеному з «невизначених» відрізків x і в. Кілька до того Декарт пояснив, як описувати криву чи, вірніше, будувати будь-яке число її точок, вираховуючи значення x за даними значенням у, — першої координатою в нього служила у.

У 1684 р. Ляйбніц назвав геометричні криві Декарта алгебраїчними, а механічні — трансцендентними, мотивуючи відмови від термінології Декарта тим, як і механічні лінії не підлягають виключення з геометрии.

Безпосередньо за викладеними загальними міркуваннями Декарт наводить першу загальну класифікацію алгебраїчних кривих залежно від рівня їх рівнянь, віднісши до роду п криві з рівняннями ступеня 2п — 1 і 2п. Класифікація була потрібна передусім на загальної математики Декарта (стор. 30), і навіть був потрібен в аналітичної геометрії. Запропоноване Декартом поділ кривих за родами, не виправдало, мотивувалося тим, що, на його думку, криві з рівнянням ступеня 2п взагалі складніше, ніж із рівнянням ступеня 2п — 1. Усі труднощі, пов’язані з четвертої ступенем, писав Пауль, наводяться до третьої, а труднощі, пов’язані з шостий ступенем, — до п’ятої тощо. буд. Узвичаєна класифікацією пласких кривих по порядків ми маємо Ньютону.

Але класифікація кривих в прямолінійних координатах за родами чи порядків можна буде, якщо рід чи порядок кривою залежить від вибору координатної системи. Це було Декарту ясно, і він, щоправда мимохідь, але цілком чітко, сформулював фундаментальне пропозицію про інваріантості роду кривою при заміні однієї системи прямолінійних координат інший: «Справді, хоча до отримання коротшого і зручного рівняння і бути дуже ретельний вибір, проте, хоч би пряму і точку взяли, то можна зробити те щоб лінія виявилася тієї самої самого роду: це легко доказать"[10]. Втім, доказ не наводиться, та й формули лінійного перетворення координат у Декарта ще отсутствовали.

Як першого прикладу Декарт виводить рівняння лінії ЄС, описаної точкою перетину лінійки GL й невизначено продовженої боку CNK пласкою прямолінійною постаті NKL, сторона якої KL рухається вздовж даної прямий ВА, примушуючи обертатися навколо точки G лінійку, незмінно яка стелиться у своїй через точку L. Прийнявши GA, перпендикуляр до ВА, рівним а, KL = b, NL = з, обравши АВ за вісь x й ставлячи крапку, А початок, Декарт позначає «невизначені невідомі величини» СВ = у, ВА = x. Тоді виходячи з подоби трикутників СВК і NLK, з одного боку, і CBL і GAL — з іншого, швидко виводиться рівняння лінії ECG уу = су ([pic]ху + агов (ас, тож ця лінія першого роду та, як без докази Декарт, гіпербола (приклад цей докладно розібрали коментатори латинського видання «Геометрии»).

Сторінка першого видання «Геометрії» Р. Декарта (1637): початок виведення рівняння лінії ЕС.

[pic].

Замінюючи пряму CNK іншими лініями, можна одержувати в такий спосіб безліч кривих. Тож якщо CNK є окружність з центром L, то буде описана конхоида (безсумнівно, що прийом Декарта є саме узагальненням античного визначення конхоиды), і якщо CNK є парабола з діаметром KB, виникає крива другого роду, та, яку Ньютон згодом назвав тризубцем (порівн. далі стор. 108). Взагалі, заявляє Декарт, якщо утворює крива має рід п, то описана лінія буде роду п -) — 1. Це з небагатьох помилок Декарта, який довів, певне, до кінця легкі, з його словами, обчислення. Насправді, тоді як рухомий системі координат СВ = у, BL = x ", рівняння лінії CNK є f (x ", y) = 0, то крива ECG має у колишніх координатах уравнение.

[pic].

Неточність Декарта показав у приватному прикладі ще Ферма. У розглянутий хіба що прикладі намальовані дві взаємно перпендикулярні координатні осі, хоча й у звичайному нам становищі. Проте найчастіше Декарт, так само як Ферма та найближчі покоління їх послідовників, креслив тільки один вісь з початковій точкою і вказував напрям інших координат, взагалі кажучи похилих. Негативні абсциссы lie розглядалися, іноді зумовлювало неточним чи неповним кресленням. Ці зауваження не ставляться до Ньютону чи Лейбницу. але правильне розрізнення знаків координат і застосування обох осей стала звичним справою вже у XVIII в.

Силу свого методу Декарт потім демонструє на запропонованої йому Я. Гоолем завданню Паппа про геометричному місці до 2п чи 2N (1 прямим, яке визначається так: дано 2п (чи 2N (1) прямих, потрібно знайти геометричне місце таких точок, щоб твір відрізків, наведених від нього під даними кутами до п з цих прямих, перебував у цьому плані до твору аналогічних відрізків. проведених до іншим п (чи n (1) прямим. Давні знали, що з п = 2 геометричне місце є конічне перетин, але з залишили аналізу та цього випадку: випадок ж n > 2 залишився нерассмотренным. Якщо ми запишемо рівняння прямих в вигляді аkх + bkу + ck = 0, то довжини проведених до них відрізків dk пропорційні лівим частинам цих рівнянь, і нам звідси ясно, що рівняння місця буде, власне кажучи, кривою порядку п. Декарт, отримавши висловлювання для dk у вибраній їм косоугольной координатної системі з геометричних міркувань, дійшов до того ж загальному результату. Більше докладно він розглянув випадки n = 2 і п = 3. Це насамперед місце до трьох чи чотирьом прямим, дослідження якого дає підстав досліджувати рівняння другого порядку, дуже загального, хоча й самого загального виду. Нехай дані прямі суть АВ, AD, EF і GH, причому кути, утворювані із нею відрізками СВ, CD, CF і СH, проведеними з точок З шуканого геометричного місця, що визначається умовою CB (-CF = CD (CH, відомі (рис. 8). Декарт приймає жодну з даних, і жодну з проведених ліній, саме АВ і ЗС, за осі А У = x, ЗС = у і позначає дані довжини відрізків ЕА = k, AG = l. Цими є також кути трикутників на рис. 8, отже, відносини їх сторон.

[pic].

АВ: BR = z: b, CR: CD = z: сек. і т. буд., де z, b, з, … суть дані відтинки (Декарт не вводить синуси кутів). Після цього неї потрібні відтинки виражаються через x, у, z, b, з, …, k, l, лінійно щодо x і у:

CB = y, [pic], [pic] [pic] а умова CB· CF = CD· CH виражається рівнянням другого ступеня без вільного члена, рішення якого щодо у, після введення деяких скорочених позначень, дает.

[pic].

Однорідність отриманого рівняння пояснюється прийнятими для відносин сторін висловлюваннями і по суті, була у власних очах Декарта обов’язкової (порівн. стор. 42), але представляв у тому випадку то зручність, що у принципі дозволяла відразу будувати одні відтинки на інших. У приводимом кілька далі числовому прикладі однорідність щодо буквених величин не дотримується на відміну прикладу Ферма, в алгебрі примыкавшего до Виету (порівн. стор. 102).

Маючи теореми I книжки «Конічних перетинів» Аполлония, Декарт показує, що отримане рівняння належить коническому перерізу, а окремих випадках, коли радикал звертається до нуль чи корінь витягається нацело, виявляється прямий лінією: в самостійному вигляді рівняння прямий відсутня про «виродження» кривою другого ладу у пару прямих щось говориться. У результаті аналізу з’ясовується, яких знаках коефіцієнтів виходять парабола, гіпербола і еліпс, зокрема окружність, і визначаються ситуацію і форма конічного перерізу — у разі параболы.

[pic] вершина, діаметр і «пряма сторона"[11], а разі центральних кривых—центр вершини, «пряма сторона» і діаметри. Але тут Декарт розбирає числової приклад, беручи ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR тощо. буд., а кут ABR рівним 60°, отже рівняння є уу = 2у — ху + 5x — хх: крива у своїй виявляється окружністю. Загальне висновок говорить, що до першого роду належать коло, парабола, гіпербола і еліпс. Пряма немає згадки, — її належність до першому роду підкреслив Дебон, який розглянув також випадок, як у рівнянні немає членів із х2 і у2, але є ху, залишений Декартом в стороне.

Після тим Декарт вивчає ще місце до п’яти прямим і спеціально випадок, у якому чотири прямі суть эквидистанты АВ, IH, ED, GF, а п’ята GA до них перпендикулярна (рис. 9), причому CF· CD·CH = СВ· СМ·а, де, а — відстань між сусідніми эквидистантами. Тут з’являється перше місце у історії аналітичної геометрії рівняння кривою третього порядку. Окресливши СВ = у, РМ = x, Декарт знаходить у3 — 2ay2 — аау + 2а3 = аху, т. е. рівняння тризуба (див. стор. 106), і, що ця крива CEG то, можливо, як він стверджував раніше, описана перетином параболи CKN, діаметр якої KL = а рухається по АВ, і лінійки GL, обертовою навколо точки G і постійно що проходить через точку L[12]. Він упускає не врахували, що потрібним місцем служить також крива NIo, описана перетином GL з інший гілкою параболи (HKN), можна взяти й поєднані лінії cEGc і пI0, отримувані, якщо рухлива парабола звертається вершиною у бік. Креслення в «Геометрії» недостатньо чітко зображує другу частину тризуба, що складається з двох окремих ліній, мають кожна — в термінології Ньютона — гіперболічну гілка з асимптотой АВ і параболічну гілка, позбавлену асимптоты. Як і належить бути, крива перетинає на кресленні горизонтальну вісь при значеннях у = — а й у = а й у = 2а, але точка перегину частина, лежачої праворуч від асимптоты, не обозначена.

Велике останнє місце посідають в «Геометрії» дослідження оптичних овалів, які розглядають у біполярних координатах, і проведення нормалей. Друга книга твори завершується короткими зауваженнями про можливість поширення методу на просторові криві у вигляді проектування їх точок на дві взаємно перпендикулярні площини і заявою: «Гадаю тепер, що щось пропустив з почав, необхідні пізнання кривих линий"[13].

Звісно, у тих словах Декарта, як й у наведеної вище авторської оцінці «Введение» Ферма, було безсумнівну перебільшення. Але, перед геометрією розкривалися небачено широкі перспективи. Історики науки чимало сперечалися у тому, була в Аполлония аналітична геометрія і це чи творчість Ферма і Декарта у цій галузі новаторським. Відповідь залежить від визначення терміна «аналітична геометрія», який, як у інший зв’язку, розуміється по-різному. Безсумнівно, що обидві учених надзвичайно багато чим завдячуємо були стародавнім і що у саму теорію конічних перетинів де вони внесли якихось нових теорем, і навіть не побудували їх у суто аналітичному плані. І водночас Декарт і Ферма закладали фундамент воістину нової геометрії, хоча «симптоми» Аполлония і відповідали буквеним рівнянням кривих другого порядка.

Річ у тім, що, як правильно писав Р. Цейтен, «геометрична форма, приданная методом древніх самої алгебрі, була причиною численних комбінацій між коштами підприємців і об'єктом геометричного дослідження — комбінацій, які мають залишатися досить чужими аналітичної геометрії, особливо оскільки остання прагнула перетворити геометричні проблеми повністю до обов’язків исчисления"[14]. І на того часу, поки засобом дослідження залишалася геометрична алгебра, синтетичне розгляд неминуче перепліталося з аналітичним, а очах деяких учених було принципово панівним. Ньютон, завершуючи свій висновок теореми у тому, місце до чотирьох прямим є конічне перетин, писав: «Таке рішення, як наведене вище, т. е. який виконувався ні з допомогою обчислення, але геометричних побудовою, і изыскивалось древними"[15]. Тим більше що після Ферма і Декарта і завдяки їм починає розвиватися суто аналітичний метод дослідження геометричних образів, у принципі не що потребує зверненні до геометричних побудов і спирається тільки алгебраїчне літочислення. Така загальна, ідейна сторона справи. До цього слід додати, нова алгебра давала кошти вивчення кривих будь-якого порядку, перші приклади чого є вже в Декарта[16] (таке застосування геометричній алгебри не міг), що система координат ставала вільна від в зв’язку зі тими чи інші винятковими точками і напрямами (наприклад, діаметром і вершиною конічного перерізу), що набували бути негативні координати тощо. буд. Не говоримо вже у тому, що у нової геометрії вперше знайшло явне вираз поняття про головну функцію, заданої формулой.

У цьому світлі сказаного другорядне значення мають недоліки, властиві аналітичної геометрії Декарта і Ферма, що користувався при цьому менш досконалої алгеброю Виета, наприклад не розробленість питання про негативних координатах або відсутність більшості креслень другий осі, як і того обставина, що обидві вони обмежилися деякими прикладами докладання нового метода.

Сучасники сприйняли нову геометрію охоче. Вже латинських виданнях «Геометрії» Декарта ми бачимо окремі, що заслуговували згадки вещи.

———————————;

[1] У першому издаиии це досить побутував у XVII в. працю називався «Основи арифметики в числах і видах» (Arithmeticae in numeris et speciebus institutio).

[2] Ще перекладі арабського трактату Ібн ал-Хайсама про параболічних дзеркалах, зробленому XII в., вживається оборот linea secunduin ordinem, т. е. «лінія усе своєю чергою». М. Репетуємо у середині XIV в. писав про перпендикулярно прикладених відтинках — perpendiculariter applicatae. [3] П. Ферма. Введення ЄІАС у вивчення пласких і просторових місць. У книзі: Р. Декарт. Геометрія, стор. 137—138. [4] Див. Р. Декарт. Геометрія, стор. 146. [5] Термін «аналітична геометрія» стосовно будь-яким геометричних додатків алгебри вживався в XVIII в. неодноразово. У спеціальному сенсі. співпадаючому з усталеними у ХІХ в., його почав застосовувати З. Ф. Лакруа, а першу книжку, озаглавлену «Почала аналітичної геометрії» (Elements de geometric analytique. Paris, 1801), опублікував професор Політехнічної школи Ж. Р. Гарньє (1766−1840).

[6] Р. Декарт. Геометрія, стор. 30. [7] Саме там, стор. 30−31 [8] Р. Декарт. Геометрія, стор. 30. [9] Саме там, стор. 33.

[10] Р. Декарт. Геометрія, стор. 34.

[11] «Пряма сторона» — термін, висхідний до давнини, є відрізок, рівний нашому подвоєному параметру. Слово «параметр» (вимірюю) запропонував в цьому плані вживати друг Декарта Кл. Мидорж у «Введение в катоптрику і діоптрику чи праці про конічних перетинах» (Prodromus catoptricorum et dioptri-corum sive conicoruni opus, Parisiis, 1631).

[12] У рухомий системі координат ЄВ = у, LB = x «рівняння параболи CKN є у2 = а (a — x »), у своїй x «= ху/(2а — х).

[13] Р. Декарт. Геометрія, стор. 73 [14] Р. Цейтен. Історія математики давнини й у середньовіччі. Переклад П. З. Юшкевича. М.— Л., 1938, стор. 138. [15] І. Ньютон. Математичні початку натуральної філософії. Переклад А. М. Крилова. Збори праць А. М. Крилова, т. VII. М.— Л., стор. 122. [16] Крім тризуба Декарт розглянув (у дипломатичному листуванні 1638 р.) так званий декартов лист x3 + y3 = 3axy і деякі інші вищі кривые.