Лінійні неоднорідні системи (реферат)

Реферат на тему:

Лінійні неоднорідні системи

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=a_{\text{11}}(t)x_1+a_{\text{12}}(t)x_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{1n}(t)x_n+f_1(t)\\ \stackrel{}{x_2}=a_{\text{21}}(t)x_1+a_{\text{22}}(t)x_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{2n}(t)x_n+f_2(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}=a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{\text{nn}}(t)x_n+f_n(t),\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

чи у векторно-матричному вигляді.

$$\stackrel{}{x}=A(t)x+f(t)$$.

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор $$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1(t)}\\ \stackrel{}{x_2(t)}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n(t)}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \stackrel{}{x(t)}=\\ \end{array}$$ є.

розв’язком лінійної неоднорідної системи, a $$\begin{array}{c}{x}_1^0(t)\\ \\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n^0(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_0(t)=\\ \end{array}$$ розв’язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума $$\stackrel{}{x}(t)+x_0(t)$$ — є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою.

$$\stackrel{}{\stackrel{}{x}}(t)-A(t)\stackrel{}{x}(t)f(t)$$ і $${\stackrel{}{x}}_0(t)-A(t){\stackrel{}{x}}_0(t)0$$ .

Але тоді і.

$$\begin{array}{c}\frac{d}{\text{dt}}\left[\stackrel{}{x}(t)+x_0(t)\right]-A(t)\left[\stackrel{}{x}(t)+x_0(t)\right]=\\ \left[\frac{d}{\text{dt}}\stackrel{}{x}(t)-A(t)\stackrel{}{x}(t)\right]+\left[\frac{d}{\text{dt}}{x}_0(t)-A(t)x_0(t)\right]f(t),\end{array}$$.

тобто $$\stackrel{}{x}(t)+x_0(t)$$ є розв’язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори $$\begin{array}{c}{x}_{1i}(t)\\ x_{2i}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{\text{ni}}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_i=\\ \end{array}$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ є розв’язками лінійних неоднорідних систем.

$$\stackrel{}{x}=A(t)x+f_i(t)$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ ,.

де $$\begin{array}{c}{f}_{1i}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ f_{\text{ni}}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ f_i(t)=\\ \end{array}$$, то вектор $$x(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)$$, де $$C_i$$ — довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи.

$$\stackrel{}{x}=A(t)x+\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{f}_i(t)$$ .

Дійсно, за умовою виконуються $$n$$ — тотожностей.

$${\stackrel{}{x}}_i(t)-A(t)x_i(t)f_i(t)$$ .

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо.

$$\frac{d}{\text{dt}}\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)\right]-A(t)\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)\right]=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i\left[\stackrel{}{x_i}(t)-A(t)x_i(t)\right]\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{f}_i(t)$$ ,.

тобто лінійна комбінація $$x(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)$$ буде розв’язком системи.

$$\stackrel{}{x}=A(t)x+\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{f}_i(t)$$ .

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами $$\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ u_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ v_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ v_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x(t)=u(t)+\text{iv}(t)=\\ \end{array}$$ є розв’язком неоднорідної системи $$\stackrel{}{x}=A(t)x+f(t)$$, де $$f(t)=p(t)+\text{iq}(t)$$, $$\begin{array}{c}{p}_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ p_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ p(t)=\\ \end{array}$$, $$\begin{array}{c}{q}_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ q_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ q(t)=\\ \end{array}$$, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою.

$$\frac{d}{\text{dt}}[u(t)+\text{iv}(t)]-A(t)[u(t)+\text{iv}(t)]p(t)+\text{iq}(t)$$ .

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо.

$$[\stackrel{}{u}(t)-A(t)u(t)]+i[\stackrel{}{v}(t)-A(t)v(t)]p(t)+\text{iq}(t)$$ .

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.

Доведення. Нехай $$x_0(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)$$ — загальний розв’язок однорідної системи і $$\stackrel{}{x}(t)$$ — частинний розв’язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума $$x(t)+\stackrel{}{x}(t)$$ буде розв’язком неоднорідної системи.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто підбором сталих $$C_i$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ можна розв’язати довільну задачу Коші.

$$x_1(t_0)=x_1^0,x_2(t_0)=x_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t_0)=x_n^0$$ .

Оскільки $$x_0(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)$$ — загальний розв’язок однорідного рівняння, то вектори $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ лінійно незалежні $$W[x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)]/=0$$ і система алгебраїчних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{C}_1{x}_{\text{11}}(t_0)+C_2{x}_{\text{12}}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{1n}(t_0)=x_1^0-{\stackrel{}{x}}_1(t_0)\\ C_1{x}_{\text{21}}(t_0)+C_2{x}_{\text{22}}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{2n}(t_0)=x_2^0-{\stackrel{}{x}}_2(t_0)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{x}_{n1}(t_0)+C_2{x}_{n2}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{\text{nn}}(t_0)=x_n^0-{\stackrel{}{x}}_n(t_0)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

має єдине розв’язок $$C_i^0$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$. І лінійна комбінація $$x(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i^0{x}_i(t)+\stackrel{}{x}(t)$$ с отриманими сталими $$C_i^0$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.

Нехай маємо систему.

$$\stackrel{}{x}=A(t)x+f(t)$$.

і $$x(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)$$ — загальний розв’язок однорідної системи. Розв’язок неоднорідної будемо шукати в такому ж вигляді, але вважати $$C_i$$ не сталими, а невідомими функціями, тобто $$C_i=C_i(t)$$ і $$x_{\text{неодн}}(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(t)x_i(t)$$, чи в матричній формі.

$$x_{\text{неодн}}(t)=X(t)C(t)$$ ,.

де $$X(t)$$ -фундаментальна матриця розв’язків, $$C(t)$$ — вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо.

$$\frac{d}{\text{dt}}X(t)C(t)+X(t)\frac{\text{dC}(t)}{\text{dt}}=A(t)X(t)C(t)+f(t)$$ ,.

чи.

$$\left[\frac{d}{\text{dt}}X(t)-A(t)X(t)\right]C(t)+X(t)\frac{\text{dC}(t)}{\text{dt}}=f(t)$$ .

Оскільки $$X(t)$$ — фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то.

$$\frac{d}{\text{dt}}X(t)-A(t)X(t)0$$ .

і залишається система рівнянь $$X(t)C\text{'}(t)=f(t)$$ .

Розписавши покоординатно, одержимо.

$$\begin{array}{c}C{\text{'}}_1{x}_{\text{11}}(t)+C{\text{'}}_2{x}_{\text{12}}(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C{\text{'}}_n{x}_{1n}(t)=f_1(t)\\ C{\text{'}}_1{x}_{\text{21}}(t)+C{\text{'}}_2{x}_{\text{22}}(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C{\text{'}}_n{x}_{2n}(t)=f_2(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C{\text{'}}_1{x}_{n1}(t)+C{\text{'}}_2{x}_{n2}(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C{\text{'}}_n{x}_{\text{nn}}(t)=f_n(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок і функції $$C_i(t)$$ визначаються в такий спосіб.

$$\begin{array}{c}{f}_1(t)x_{\text{12}}(t)x_{1n}(t)\\ f_2(t)x_{\text{22}}(t)x_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ f_n(t)x_{n2}(t)x_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ \hfill \\ \\ \\ C_1(t)=\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)f_1(t)x_{1n}(t)\\ x_{\text{21}}(t)f_2(t)x_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)f_n(t)x_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ \hfill \\ \\ \\ C_2(t)=\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)x_{\text{12}}(t)f_1(t)\\ x_{\text{21}}(t)x_{\text{22}}(t)f_2(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)x_{n2}(t)f_n(t)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \\ W[x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)]\\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ \hfill \\ \\ \\ C_n(t)=\\ \end{array}$$.

Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд.

$$x_{\text{неодн}}=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i(t)x_i(t)$$ .

Для лінійної неоднорідної системи на площині.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=a_{\text{11}}(t)x_1+a_{\text{12}}(t)x_2+f_1(t)\\ \stackrel{}{x_2}=a_{\text{21}}(t)x_1+a_{\text{22}}(t)x_2+f_2(t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.

Нехай.

$$X(t)=\left[\begin{array}{cc}{x}_{\text{11}}(t)& x_{\text{12}}(t)\\ x_{\text{21}}(t)& x_{\text{22}}(t)\end{array}\right]$$ .

Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний розв’язок неоднорідної шукається у вигляді.

$$\begin{array}{c}C{\text{'}}_1{x}_{\text{11}}(t)+C{\text{'}}_2{x}_{\text{12}}(t)=f_1(t)\\ C{\text{'}}_1{x}_{\text{21}}(t)+C{\text{'}}_2{x}_{\text{22}}(t)=f_2(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Звідси.

$$\begin{array}{c}{f}_1(t)x_{\text{12}}(t)\\ f_2(t)x_{\text{22}}(t)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}||\end{array}\\ \hfill \\ \\ \\ C_1(t)=\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)f_1(t)\\ x_{\text{21}}(t)f_2(t)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}||\end{array}\\ \hfill \\ \\ \\ C_2(t)=\\ \end{array}$$.

І загальний розв’язок має вигляд.

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}{x}_{\text{11}}(t)& x_{\text{12}}(t)\\ x_{\text{21}}(t)& x_{\text{22}}(t)\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\stackrel{}{x}}_1(t)\\ {\stackrel{}{x}}_2(t)\end{array}\right)$$, $$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{}{x}}_1(t)\\ {\stackrel{}{x}}_2(t)\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}{x}_{\text{11}}(t)& x_{\text{12}}(t)\\ x_{\text{21}}(t)& x_{\text{22}}(t)\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{C}_1(t)\\ C_2(t)\end{array}\right)$$ ,.

де $$C_1,C_2$$ — довільні сталі.

4. Метод невизначених коефіцієнтів

Якщо система лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, а векторна функція $$f(t)$$ спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв’язку зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих порядків.

1) Нехай кожна з компонент вектора $$f(x)$$ є многочленом степеня не більш ніж $$s$$, тобто.

$$\begin{array}{c}{f}_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ f_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ A_0^1{t}^s+A_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{1}t+A_s^1\\ A_0^2{t}^s+A_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{2}t+A_s^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ A_0^n{t}^s+A_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{n}t+A_s^n\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ .

а) Якщо характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто $${}_i/=0$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто.

$$\begin{array}{c}{x}_1^{\text{неод}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n^{\text{неод}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ B_0^1{t}^s+B_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{1}t+B_s^1\\ B_0^2{t}^s+B_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{2}t+B_s^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ B_0^n{t}^s+B_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{n}t+B_s^n\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ .

б) Якщо характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності $$r$$, тобто $${}_1={}_2=\text{.}\text{.}\text{.}={}_r$$, те частинний розв’язок шукається у вигляді многочлена степеня $$s+r$$, тобто.

$$\begin{array}{c}{x}_1^{\text{неод}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n^{\text{неод}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ B_0^1{t}^{s+r}+B_1^1{t}^{s+r-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s+r}^1\\ B_0^2{t}^{s+r}+B_1^2{t}^{s+r-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s+r}^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ B_0^n{t}^{s+r}+B_1^n{t}^{s+r-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s+r}^n\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ .

Причому перші $$(s+1)n$$ — коефіцієнти $$B_i^j$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{0,}s}$$, $$j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ знаходяться точно, а інші з точністю до сталих інтегрування $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$, що входять у загальний розв’язок однорідних систем.

2) Нехай $$f(t)$$ має вид.

$$\begin{array}{c}{f}_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ f_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ e^{\text{pt}}(A_0^1{t}^s+A_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{1}t+A_s^1)\\ e^{\text{pt}}(A_0^2{t}^s+A_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{2}t+A_s^2)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ e^{\text{pt}}(A_0^n{t}^s+A_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{n}t+A_s^n)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ .

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення $$p$$, тобто $${}_i/=p$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто.

$$\begin{array}{c}{x}_1^{\text{неод}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n^{\text{неод}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ e^{\text{pt}}(B_0^1{t}^s+B_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{1}t+B_s^1)\\ e^{\text{pt}}(B_0^2{t}^s+B_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{2}t+B_s^2)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ e^{\text{pt}}(B_0^n{t}^s+B_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{n}t+B_s^n)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ .

б) Якщо $$p$$ є коренем характеристичного рівняння кратності $$r$$, тобто $${}_1={}_2=\text{.}\text{.}\text{.}={}_r=p$$, то частинний розв’язок шукається у вигляді.

$$\begin{array}{c}{x}_1^{\text{неод}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n^{\text{неод}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ e^{\text{pt}}(B_0^1{t}^{s+r}+B_1^1{t}^{s+r-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s+r}^1)\\ e^{\text{pt}}(B_0^2{t}^{s+r}+B_1^2{t}^{s+r-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s+r}^2)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ e^{\text{pt}}(B_0^n{t}^{s+r}+B_1^n{t}^{s+r-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s+r}^n)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \end{array}$$ .

І, як у попередньому пункті, перші $$(s+1)n$$ — коефіцієнти $$B_i^j$$, $$i=\stackrel{}{\mathrm{0,}s}$$, $$j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ знаходяться точно, а інші з точністю до сталої інтегрування $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ .

3) Нехай $$f(t)$$ має вигляд:

$$\begin{array}{c}{f}_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ f_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ e^{\text{pt}}(A_0^1{t}^s+A_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{1}t+A_s^1)\text{cos}\text{qt}\\ e^{\text{pt}}(A_0^2{t}^s+A_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{2}t+A_s^2)\text{cos}\text{qt}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ e^{\text{pt}}(A_0^n{t}^s+A_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+A_{s-1}^{n}t+A_s^n)\text{cos}\text{qt}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ ()+\\ \\ \\ \\ e^{\text{pt}}(B_0^1{t}^s+B_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{1}t+B_s^1)\text{sin}\text{qt}\\ e^{\text{pt}}(B_0^2{t}^s+B_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{2}t+B_s^2)\text{sin}\text{qt}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ e^{\text{pt}}(B_0^n{t}^s+B_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+B_{s-1}^{n}t+B_s^n)\text{sin}\text{qt}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \\ \begin{array}{c}\end{array}\\ \hfill \end{array}$$.

а) Якщо характеристичне рівняння не має коренем значення $$p\pm \text{iq}$$, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто.

$$\begin{array}{c}{x}_1^{\text{неод}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n^{\text{неод}}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ e^{\text{pt}}(C_0^1{t}^s+C_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{s-1}^{1}t+C_s^1)\text{cos}\text{qt}\\ e^{\text{pt}}(C_0^2{t}^s+C_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{s-1}^{2}t+C_s^2)\text{cos}\text{qt}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ e^{\text{pt}}(C_0^n{t}^s+C_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{s-1}^{n}t+C_s^n)\text{cos}\text{qt}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ ()+\\ \\ \\ \\ e^{\text{pt}}(D_0^1{t}^s+D_1^1{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+D_{s-1}^{1}t+D_s^1)\text{sin}\text{qt}\\ e^{\text{pt}}(D_0^2{t}^s+D_1^2{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+D_{s-1}^{2}t+D_s^2)\text{sin}\text{qt}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ e^{\text{pt}}(D_0^n{t}^s+D_1^n{t}^{s-1}+\text{.}\text{.}\text{.}+D_{s-1}^{n}t+D_s^n)\text{sin}\text{qt}\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \hfill \\ \\ \begin{array}{c}\end{array}\\ \hfill \end{array}$$.