Історія математики

История математики.

Реферат підготувала: Арина.

2003 год Самой древньої математичної діяльністю був рахунок. Рахунок було необхідний, щоб ознайомитися з поголів'ям худоби і вестиме торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи їм різні частини тіла, головним чином пальці рук і ніг. Наскальный малюнок, що зберігся до відома наших часів від кам’яного віку, зображує число 35 як серії не вибудованих у ряд 35 палочек-пальцев. Першими суттєвими успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа і винахід чотирьох основних дій: складання, вирахування, множення і розподілу. Перші досягнення геометрії пов’язані з цими простими поняттями, як пряма і окружність. Подальший розвиток математики почалося приблизно 3000 е. завдяки вавилоняни і єгиптянам.

Вавилония і Єгипет.

Вавилония. Джерелом наших знання вавилонській цивілізації служать добре збережені глиняні таблички, покриті т.зв. клинописными текстами, що датуються від 2000 е. і по 300 н.е. Математика на клинописних табличках переважно пов’язана з веденням господарства. Арифметика і нехитра алгебра використовувалися під час обміну від грошей і розрахунки товари, обчисленні прості і складні відсотків, податків і частки врожаю, сдаваемой користь держави, храму чи землевласника. Численні арифметичні і геометричні завдання виникали у зв’язку з будівництвом каналів, зерносховищ та інші суспільно-корисними роботами. Дуже важливою завданням математики розраховувала календаря, оскільки календар використовувався визначення термінів сільськогосподарських робіт і релігійних свят. Розподіл окружності на 360, а градуси й хвилини на 60 частин беруть початок в вавилонській астрономії.

Вавилоняне створили систему числення, использовавшую для чисел від 1 до 59 підставу 10. Символ, обозначавший одиницю, повторювався потрібну кількість раз для чисел від 1 до 9. Для позначення чисел від 11 до 59 вавілоняни використовували комбінацію символу числа 10 і символу одиниці. Для позначення чисел починаючи з 60 і більше вавілоняни запровадили позиційну систему числення з повним правом 60. Істотним просуванням став позиційний принцип, за яким і той ж числової знак (символ) має різні значення залежність від того місця, де зараз його розташований. Прикладом можуть бути значення шістки у запису (сучасної) числа 606. Проте нуль у системі числення древніх вавилонян був відсутній, що робить і той ж набір символів міг означати і кількість 65 (60 + 5), і число 3605 (602 + 0 + 5). Виникали неоднозначності й у трактуванні дробів. Наприклад, одні й самі символи могли означати і кількість 21, і дріб 21/60 і (20/60 + 1/602). Неоднозначність дозволялася залежно від конкретного контексту.

Вавилоняне склали таблиці зворотних чисел (що були і під час розподілу), таблиці квадратів і квадратних коренів, і навіть таблиці кубів і кубічних коренів. Їм було відомо хороше наближення числа . Клинописні тексти, присвячені рішенню алгебраїчних і геометричних завдань, свідчать, що вони користувалися квадратичной формулою на вирішення квадратних рівнянь і могли вирішувати деякі спеціальні типи завдань, включавших до десяти рівнянь з десятьма невідомими, і навіть окремі різновиду кубічних рівнянь і рівнянь четвертого ступеня. На глиняних табличках відбиті лише завдання й основні кроки процедур розв’язання. Оскільки для позначення невідомих величин використовувалася геометрична термінологія, то й ефективні методи рішення на основному полягали у геометричних діях із лініями і площами. Що ж до алгебраїчних завдань, всі вони формулювалися і вирішувалися в словесних позначеннях.

Около 700 е. вавілоняни почали застосовувати математику на дослідження рухів відвідин Місяця й планет. Це дозволило б їм пророкувати становища планет, було важливо як астрології, так астрономії.

В геометрії вавілоняни знали про такі співвідношеннях, наприклад, як пропорційність відповідних сторін подібних трикутників. Їм була відома теорема Піфагора і те, що кут, вписаний в півколо — прямий. Вони мали також правилами обчислення площ простих пласких постатей, в тому числі правильних многоугольников, та обсягів простих тіл. Кількість вавілоняни вважали рівним 3.

Египет. Наше знання староєгипетської математики грунтується головним чином двох папірусах, датованих приблизно 1700 е. Излагаемые у тих папірусах математичні відомості сягають ще більше раннього періоду — прибл. 3500 е. Єгиптяни використовували математику, щоб обраховувати вагу тіл, площі посівів та обсяги зерносховищ, розміри податей і кількість каменів, необхідну спорудження тих чи інших споруд. У папірусах можна знайти також завдання, пов’язані з визначенням кількості зерна, який буде необхідний приготування заданого числа кухлів пива, і навіть складніші завдання, пов’язані з відмінностями в сортах зерна; тих випадків обчислювалися перекладні коефіцієнти.

Но головною областю застосування математики була астрономія, точніше розрахунки, пов’язані з календарем. Календар використовувався визначення дат релігійних свят передбачення щорічних повеней Нілу. Проте рівень розвитку астрономії у Давньому Єгипті набагато поступався рівню її розвитку Вавилоні.

Древнеегипетская писемність виходила з ієрогліфи. Система числення у той час також поступалася вавилонській. Єгиптяни користувалися непозиционной десяткової системою, у якій числа від 1 до 9 позначалися відповідним числом вертикальних рисочок, а послідовних ступенів числа 10 вводилися індивідуальні символи. Послідовно комбінуючи ці символи, можна було будь-яке число. З появою папірусу виникло зване иератическое письмо-скоропись, способствовавшее, своєю чергою, появі нової числової системи. До кожного з чисел від 1 до 9 й у кожного із перших дев’яти кратних чисел 10, 100 тощо. використовувався спеціальний пізнавальний символ. Дробу записувалися до вигляді суми дробів з числителем, рівним одиниці. Із такими грошима дробами єгиптяни виробляли чотири арифметичні операції, але таких обчислень залишалася дуже громіздкою.

Геометрия у єгиптян полягала в обчисленням площ прямокутників, трикутників, трапецій, кола, і навіть формулам обчислення обсягів деяких тіл. Треба сказати, що математика, яку єгиптяни використовували для будівництва пірамід, проста і примітивною.

Задачи і рішення, наведені у папірусах, сформульовані суто рецептурно, без яких би там не було пояснень. Єгиптяни мали справа тільки з найпростішими типами квадратних рівнянь і арифметичній і геометричній прогресіями, тож і ті загальні правила, що вони змогли вивести, було також самого найпростішого виду. Ні вавилонська, ні єгипетська математики не мали загальними методами; весь звід математичних знань був скупчення емпіричних формул і керував.

Хотя майя, які жили у Америці, не вплинули в розвитку математики, її досягнення, що стосуються приблизно до 4 в., цікавими є. Майя, очевидно, першими використовували спеціальний символ для позначення нуля в своєї двадцатиричной системі. Але вони були дві системи числення: лише у застосовувалися ієрогліфи, а інший, більш поширеної, точка позначала одиницю, горизонтальна риса — число 5, а символ позначав нуль. Позиційні позначення починалися з однакового числа 20, а числа записувалися по вертикалі згори донизу.

Греческая математика.

Классическая Греція. З погляду 20 в. родоначальниками математики з’явилися греки класичного періоду (6−4 ст. до н.е.). Математика, існувала у ранній період, була набором емпіричних висновків. Навпаки, в дедуктивному міркуванні нове твердження виводиться з низки прийнятих посилок способом, исключавшим можливість його неприйняття.

Настаивание греків на дедуктивному доведенні було екстраординарним кроком. Жодна інша цивілізація дійде ідея отримання висновків виключно з урахуванням дедуктивного міркування, що виходить із явно сформульованих аксіом. Один із пояснень прихильності греків методам дедукції ми бачимо у пристрої грецького суспільства класичного періоду. Математики і філософи (нерідко це були ті ж обличчя) належали до вищих верств суспільства, де будь-яка практична діяльність розглядали як недостойне заняття. Математики воліли абстрактні розмірковування про числах і просторових відносинах рішенню практичних завдань. Математика ділилася на арифметику — теоретичний аспект і логістику — обчислювальний аспект. Займатися логістикою надавали свободнорожденным нижчих класів та рабам.

Греческая система числення грунтувалася на використанні літер абетки. Аттическая система, колишня є таке з 6−3 ст. е., використовувала для позначення одиниці вертикальну риску, а позначення чисел 5, 10, 100, 1000 і десяти 000 початкові літери, їхня грецьких назв. У пізньої ионической системі числення для позначення чисел використовувалися 24 літери грецького алфавіту і трьох архаїчні літери. Кратні 1000 до 9000 позначалися як і, як дев’ять цілих чисел від 1 до 9, але перед кожною літерою ставилася вертикальна риса. Десятки тисяч позначалися буквою М (від грецького мириои — 10 000), після якого ставилося то число, яким потрібно було помножити десять тисяч.

Дедуктивный характер грецької математики повністю вчасно Платона і Аристотеля. Винахід дедуктивної математики прийнято приписувати Фалесу Милетскому (прибл. 640−546 е.), який, як і з давньогрецькі математики класичного періоду, був філософом. Висловлювалося припущення, що Фалес використовував дедукцію як доказ деяких успіхів у геометрії, це сумнівно.

Другим великим греком, із чиїм ім'ям пов’язують розвиток математики, був Піфагор (прибл. 585−500 е.). Вважають, що міг ознайомитися з вавилонській і єгипетської математикою під час своїх довгих мандрівок. Піфагор заснував рух, розквіт яке припадає на період прибл. 550−300 е. Піфагорійці створили чисту математику у вигляді теорії чисел і геометрії. Цілі числа вони вважали в вигляді конфігурацій з точок чи камінчиків, класифікуючи ці вересня відповідність з формою виникаючих постатей («фігурні числа»). Слово «калькуляція» (розрахунок, обчислення) походить із грецького слова, що означає «камінчик». Числа 3, 6, 10 тощо. піфагорійці називали трикутними, оскільки відповідне число камінчиків можна розмістити як трикутника, числа 4, 9, 16 тощо. — квадратними, оскільки відповідне число камінчиків можна розмістити як квадрата, тощо.

Из простих геометричних конфігурацій виникали деякі властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійці виявили, сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює деякому квадратному числу. Вони відкрили, що й (у сприйнятті сучасних позначеннях) n2 — квадратне число, то n2 + 2N +1 = (n + 1)2. Кількість, однакову сумі всіх власних делителей, крім самого цього числа, піфагорійці називали досконалим. Прикладами скоєних чисел можуть бути такі цілі числа, як 6, 28 і 496. Два числа піфагорійці називали дружніми, якщо кожна з чисел дорівнює сумі допомоги делителей іншого; наприклад, 220 і 284 — дружні числа (й тут саме число виключається з власних делителей).

Для піфагорійців будь-яке число була щось більше, ніж кількісну величину. Наприклад, число 2 відповідно до їхнього погляду означало відмінність і тому ототожнювалося з думкою. Четвірка представляла справедливість, оскільки це перше число, однакову твору двох однакових множників.

Пифагорейцы також відкрили, сума деяких пар квадратних чисел є знову квадратне число. Наприклад, сума 9 і 16 дорівнює 25, а сума 25 і 144 дорівнює 169. Такі трійки чисел, як 3, 4 і п’яти чи 5, 12 і 13, називаються пифагоровыми числами. Вони мають геометричну інтерпретацію, якщо два числа з трьох прирівняти длинам катетів прямокутного трикутника, то третє число дорівнюватиме довжині його гіпотенузи. Така інтерпретація, очевидно, привела піфагорійців усвідомлення загальнішого факту, відомого нині під назвою теореми Піфагора, відповідно до якої у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Рассматривая прямокутний трикутник з одиничними катетами, піфагорійці виявили, що довжина його гіпотенузи дорівнює , і це кинуло в сум’яття, оскільки вони марно намагалися подати число як відносини двох цілих чисел, що було вкрай важливо задля їх філософії. Величини, непредставимые як відносини цілих чисел, піфагорійці назвали несумірними; сучасний термін — «ірраціональні числа». Близько 300 е. Евклид довів, що кількість незрівнянно. Піфагорійці мали працювати з ірраціональними числами, представляючи все величини геометричними образами. Якщо 1 і вважати довжинами деяких відрізків, то різницю між раціональні ірраціональними числами згладжується. Твір чисел і є площа прямокутника зі сторонами довжиною і .Ми й сьогодні іноді говоримо про кількість 25 як «про квадраті 5, йдеться про числі 27 — як «про кубі 3.

Древние греки вирішували рівняння з у вигляді геометричних побудов. Розроблено спеціальні побудови до виконання складання, вирахування, множення і розподілу відрізків, вилучення квадратних коренів з довжин відрізків; нині його називається геометричній алгеброю.

Приведение завдань до геометричному виду мало низку дуже важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з несумірними відносинами можна були лише з допомогою геометричних методів. Геометрія стала основою майже всієї суворої математики по крайнього заходу до1600. І навіть у 18 в., коли вже були досить розвинені алгебра і математичний аналіз, сувора математика трактувалася як геометрія, і слово «геометр» було рівнозначно слову «математик».

Именно піфагорійцям ми багато в чому зобов’язані тієї математикою, які потім була систематизовано викладено і в Засадах Евкліда. Є також підстави думати, що вони відкрили те, що нині відомий як теореми про трикутниках, паралельних прямих, многоугольниках, кіл, сферах і правильних многогранниках.

Одним із найвидатніших піфагорійців був Платон (прибл. 427−347 е.). Платон був переконаний, що фізичний світ збагненний лише за допомогою математики. Вважається, що йому належить заслуга винаходи аналітичного методу докази. (Аналітичний метод починається із твердження, яке потрібно довести, і далі потім із нього послідовно виводяться слідства до тих пір, поки що не досягнуть який-небудь відомий факт; доказ виходить із допомогою зворотної процедури.) Вважають, що послідовники Платона винайшли метод докази, який отримав назву «доказ від супротивного». Помітне місце у історії математики займає Аристотель, учень Платона. Аристотель заклав підвалини науки логіки й висловив ряд ідей щодо визначень, аксіом, нескінченності та можливості геометричних побудов.

Величайшим з грецьких математиків класичного періоду, уступавшим за значимістю отриманих результатів лише Архімедові, був Евдокс (прибл. 408−355 е.). Саме він ввів поняття величини для таких об'єктів, як відтинки прямих і кути. Маючи поняттям величини, Евдокс логічно суворо обгрунтував піфагорійський метод роботи з ірраціональними числами.

Работы Евдокса дозволив встановити дедуктивну структуру математики з урахуванням явно формулируемых аксіом. Йому ж належить і створено перший крок у створенні математичного аналізу, бо це винайшов метод обчислення площ та обсягів, який отримав назву «методу исчерпывания». Цей метод полягає у побудові уписаних і описаних пласких постатей чи просторових тіл, які заповнюють («вичерпують») площу чи той обсяг тієї постаті або ще тіла, що є предметом дослідження. Евдоксу ж належить й перша астрономічна теорія, пояснює бачимо рух планет. Запропонована Евдоксом теорія була суто математичною; вона показувала, як комбінації обертових сфер з різними радіусами і осями обертання можуть пояснити удавані нерегулярними руху Сонця, відвідин Місяця й планет.

Около 300 е. результати багатьох грецьких математиків було зведено у єдине ціле Евклидом, який написав математичний шедевр Почала. З небагатьох проникливо відібраних аксіом Евклид вивів близько 500 теорем, що охопили все найважливіші результати класичного періоду. Своє твір Евклид почав із визначення таких термінів, як пряма, куток і окружність. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, як-от «ціле більше кожній із частин». А з цих десяти аксіом Евклид зміг вивести все теореми. Для математиків текст Почав Евкліда довгий час служив зразком суворості, поки 19 в. немає, що він є серйозні недоліки, такі як неусвідомлене використання несформулированных вочевидь допущень.

Аполлоний (прибл. 262−200 е.) жив у александрійський період, та його основний працю витриманий у дусі класичних традицій. Запропонований ним аналіз конічних перетинів — окружності, еліпса, параболи і гіперболи — з’явився кульмінацією розвитку грецької геометрії. Аполлоний також став засновником кількісної математичної астрономії.

Александрийский період. У цей час, який почався близько е., характер грецької математики змінився. Олександрійська математика виникла результаті злиття класичної грецької математики з математикою Вавилонії і Єгипту. У цілому нині математики олександрійського періоду були більш схильні до вирішення суто технічних завдань, ніж до філософії. Великі олександрійські математики — Ератосфен, Архімед, Гіппарх, Птолемей, Диофант і Папп — продемонстрували силу грецького генія в теоретичному абстрагуванні, але ж охоче застосовували свій хист до рішенню практичних труднощів і суто кількісних завдань.

Эратосфен (прибл. 275−194 е.) знайшов простий метод точного обчислення довжини окружності Землі, ж належить календар, коли кожен протягом чотирьох років тримає в одного дня більше, ніж інші. Астроном Аристарх (прибл. 310−230 е.) написав твір Про розмірах і втрачає відстанях Сонця і Місяця, містило жодну з перших спроб визначення цих ж розмірів та відстаней; за своїм характером робота Аристарха була геометричній.

Величайшим математиком давнини був Архімед (прибл. 287−212 е.). Йому належать формулювання багатьох теорем про майданах міст і обсягах складних лідерів та тіл, цілком суворо доведені їм методом исчерпывания. Архімед завжди прагнув одержати точні рішення і знаходив верхні і нижні оцінки для ірраціональних чисел. Наприклад, працюючи із правильною 96-угольником, він бездоганно довів, що точне значення числа перебуває між 31/7 і 310/71. Архімед довів також кілька теорем, мали нові результати геометричній алгебри. Йому належить формулювання завдання про розсіченні кулі площиною те щоб обсяги сегментів перебували між собою у заданому відношенні. Архімед вирішила цю завдання, знайшовши те що параболи і равнобочной гіперболи.

Архимед був найбільшим математичним фізиком давнини. Аби довести теорем механіки він використовував геометричні міркування. Його твір Про плаваючих тілах заклало основи гідростатики. Згідно з легендою, Архімед відкрив що носить його ім'я закон, за яким на тіло, занурена в воду, діє выталкивающая сила, рівна вазі витисненою їм рідини, під час купання, перебувають у ванній, вперше і не силах справитися з якою охоплено його радістю відкриття, вибіг оголений на і кричати: «Еврика!» («Відкрив!»).

Во часи Архімеда не обмежувалися геометричними побудовами, здійсненними лише за допомогою циркуля і лінійки. Архімед використав у своїх побудовах спіраль, а Диоклес (кінець 2 в. е.) розв’язав проблеми подвоєння куба з допомогою введеної їм кривою, що отримала назву циссоиды.

В александрійський період арифметика і алгебра розглядалися незалежно від геометрії. Греки класичного періоду мали логічно обгрунтовану теорію цілих чисел, проте олександрійські греки, сприйнявши вавилонську і єгипетську арифметику і алгебру, багато в чому втратили вже напрацьовані ставлення до математичної суворості. Жила між 100 е. і 100 н.е. Герон Олександрійський трансформував значну частину геометричній алгебри греків у відверто нестрогие обчислювальні процедури. Проте, стверджуючи нові теореми евклідовій геометрії, як раніше керувався стандартами логічного суворості класичного періоду.

Первой досить об'ємистої книгою, у якій арифметика викладалася незалежно від геометрії, було Введення ЄІАС у арифметику Никомаха (прибл. 100 н.е.). У історії арифметики її роль порівняти з роллю Почав Евкліда історія геометрії. На протязі понад тисячу років вона служила стандартним підручником, що у ній ясно, чітко й всеосяжно містилося вчення про цілих числах (простих, складових, взаємно простих, і навіть щодо пропорцій). повторюючи багато пифагорейские затвердження, Запровадження Никомаха водночас йшло далі, оскільки Никомах бачив та загальніші відносини, хоч і наводив їх без докази.

Знаменательной віхою в алгебрі олександрійських греків стали роботи Диофанта (прибл. 250). Один із головних його досягнень пов’язане із запровадженням в алгебру почав символіки. У межах своїх роботах Диофант не пропонував загальних методів, він мав справу з конкретними позитивними раціональними числами, а чи не зі своїми буквенными позначками. Він заклав підвалини т.зв. диофантова аналізу — дослідження невизначених рівнянь.

Высшим досягненням олександрійських математиків було створення кількісної астрономії. Гиппарху (прибл. 161−126 е.) ми маємо винаходом тригонометрії. Його метод грунтувався на теоремі, яка каже, що у подібних трикутниках ставлення довжин будь-яких обох сторін однієї з них одно відношенню довжин двох відповідних сторін іншого. Зокрема, ставлення довжини катета, лежачого проти гострого кута На прямокутному трикутнику, до довжини гіпотенузи має бути у тому для всіх прямокутних трикутників, що мають одну і хоча б гострий кут А. Це ставлення відомий як синус кута А. Відносини довжин інших видів прямокутного трикутника дістали назву косинуса і тангенса кута А. Гіппарх винайшов метод обчислення таких взаємин держави і становив їх таблиці. Маючи цими таблицями і легко вимірними відстанями лежить на поверхні Землі, вдалося обчислити довжину її великий окружності і відстань від до Місяця. По його розрахунках, радіус Місяця становив третину земного радіуса; по сучасним даним ставлення радіусів відвідин Місяця й Землі становить 27/1000. Гіппарх визначив тривалість сонячного року з помилкою лише на 61/2 хвилини; вважається, що він ввів широти і між довготи.

Греческая тригонометрія і його докладання в астрономії досягли піку своєї розвитку на Альмагесті єгиптянина Клавдія Птолемея (помер 168 н.е.). У Альмагесті була представлена теорія руху небесних тіл, що панувала до 16 в., коли його змінила теорія Коперника. Птолемей прагнув побудувати найпростішу математичну модель, усвідомлюючи, що його теорія — всього лише зручний математичне опис астрономічних явищ, узгоджене з спостереженнями. Теорія Коперника здобула гору саме оскільки як вона була простіше.

Упадок Греції. Після завоювання римлянами в 31 е. велика грецька олександрійська цивілізація занепала. Цицерон з гордістю стверджував, що на відміну від греків римляни не мрійники, а тому застосовують свої математичні знання практично, отримуючи їх реальну користь. Однак у розвиток самої математики внесок римлян був незначний. Римська система числення виходила з громіздких позначеннях чисел. Головною її особливістю був аддитивный принцип. Навіть вычитательный принцип, наприклад, запис числа 9 як IX, ввійшов у широкий ужиток тільки після винаходи набірних літер в 15 в. Римські позначення чисел застосовувалися у деяких європейських школах приблизно до 1600, а бухгалтерії і століттям пізніше.

Индия арабів.

Преемниками греків бачать у історії математики стали індійці. Індійські математики займалися доказами, але де вони запровадили оригінальні поняття і кілька ефективних методів. Саме вони вперше запровадили нуль як і кардинальне число, як і символ відсутності одиниць на відповідному розряді. Махавира (850 н.е.) встановив правила операцій із нулем, вважаючи, проте, що розподіл числа на нуль залишає число незмінним. Справився для випадку розподілу числа на нуль дали Бхаскарой (р. в 1114), ж належать правила дій над ірраціональними числами. Індійці запровадили поняття негативних чисел (для позначення боргів). Найстрашніше раннє їх використання ми бачимо у Брахмагупты (прибл. 630). Аріабхата (р. 476) пішов від Диофанта використання безперервних дробів під час вирішення невизначених рівнянь.

Наша сучасну систему числення, джерело якої в позиційному принципі записи чисел і нуля як кардинального числа та використання позначення порожнього розряду, називається индо-арабской. На стіні храму, зведеного Індії прибл. 250 е., виявлено кілька цифр, нагадують за своїми обрисам наші сучасні цифри.

Около 800 індійська математика досягла Багдада. Термін «алгебра» походить від початку назви книжки Аль-джебр ва-л-мукабала (Заповнення і протиставлення), написаної 830 астрономом і математиком аль-Хорезми. У своєму творі він вшановував заслугах індійської математики. Алгебра аль-Хорезми грунтувалася на працях Брахмагупты, проте у ній виразно помітні вавилонське і грецьке впливу. Інший видатний арабський математик Ібн аль-Хайсам (прибл. 965−1039) розробив спосіб отримання алгебраїчних рішень квадратних і кубічних рівнянь. Арабські математики, серед них і Омар Хайям, вміли вирішувати деякі кубічні рівняння з допомогою геометричних методів, використовуючи конічні перерізу. Арабські астрономи запровадили тригонометрію поняття тангенса і котангенса. Насирэддин Туси (1201−1274) в Трактаті про повну чотирикутнику систематично виклав пласку і сферичну геометрії і першим розглянув тригонометрію окремо від астрономії.

И все-таки найважливішим внеском арабів в математику почали їх переклади і коментар до великих витворам греків. Європа познайомилася із цими роботами після завоювання арабами Північної Африки та Іспанії, а пізніше праці греків були перекладено латину.

Средние століття і Відродження.

Средневековая Європа. Римська цивілізація не залишила помітного сліду у математиці, оскільки була занадто заклопотана рішенням практичних проблем. Цивілізація, що склалася у Європі раннього Середньовіччя (прибл. 400−1100), була продуктивної по прямо протилежної причини: інтелектуальне життя зосередилася майже на теології і потойбіччя. Рівень математичного знання не підіймався вище арифметики і найпростіших розділів з Почав Евкліда. Найважливішим розділом математики Середньовіччі вважалася астрологія; астрологів називали математиками. Позаяк медична практика грунтувалася переважно на астрологічних показаннях чи протипоказання, медикам й не залишалося нічого іншого, як можна стати математиками.

Около 1100 в західноєвропейської математиці почався майже тривіковий період освоєння збереженого арабами і візантійськими греками спадщини Стародавнього світу та Сходу. Оскільки араби володіли майже усіма працями античних греків, Європа отримала велику математичну літературу. Переклад цих праць на латину сприяв підйому математичних досліджень. Всі великі вчені на той час визнавали, що черпали натхнення в працях греків.

Первым гідною згадки європейським математиком став Леонардо Пизанский (Фібоначчі). У його творі Книжка абака (1202) він познайомив європейців з индо-арабскими цифрами і методами обчислень, ні з арабської алгеброю. У протягом наступних кількох століть математична активність у Європі ослабла. Звід математичних знань тієї епохи, складений Лукою Пачолі в 1494, не містив будь-яких алгебраїчних нововведень, яких були у Леонардо.

Возрождение. Серед кращих геометрів епохи Відродження були художники, развившие ідею перспективи, яка вимагала геометрії зі сходящимися паралельними прямими. Художник Леон Баттиста Альберти (1404−1472) ввів поняття проекції і перерізу. Прямолінійні промені світла від очі спостерігача до різних точок зображуваної сцени утворюють проекцію; перетин виходить під час проходження площині через проекцію. Щоб намальована картина виглядала реалістичної, вони мали бути такою перерізом. Поняття проекції і перерізу породжували суто математичні питання. Наприклад, якими загальними геометричними властивостями мають перетин і вихідна сцена, які властивості двох різних перетинів одному й тому ж проекції, освічених двома різними площинами, що перетинають проекцію під різними кутами? З таких запитань і виникла проективна геометрія. Її засновник — Ж. Дезарг (1593−1662) з допомогою доказів, заснованих на виключно проекції і сечении, уніфікував підхід до різним типам конічних перетинів, які великий грецький геометр Аполлоний розглядав окремо.

Начало сучасної математики.

Наступление 16 в. у Європі ознаменувалося важливими досягненнями в алгебри та арифметиці. Було введено в звернення десяткові дробу і правил арифметичних дій зі ними. Справжнім тріумфом стало винахід в 1614 логарифмів Дж.Непером. Наприкінці 17 в. остаточно склалося розуміння логарифмів як показників ступеня із кожним позитивним числом, відмінними від одиниці, в ролі підстави. З початку 16 в. ширше стали вживатися ірраціональні числа. Б. Паскаль (1623−1662) і И. Барроу (1630−1677), вчитель І.Ньютона у Кембриджському університеті, стверджували, що така кількість, як , можна трактувати лише як геометричну величину. Однак у ті роки Р. Декарт (1596−1650) і Дж. Валлис (1616−1703) вважали, що ірраціональні числа припустимі й існують самі собою, без посилань на геометрію. У 16 в. тривали суперечки щодо законності запровадження негативних чисел. Ще менш прийнятними вважалися виникаючі під час вирішення квадратних рівнянь комплексні числа, такі як , названі Декартом «вдаваними». Ці числа були під підозрою навіть у 18 в., хоча Л. Эйлер (1707−1783) успішно користувався ними. Комплексні числа остаточно визнали лише на початку 19 в., коли математики обвикнулися зі своїми геометричних поданням.

Достижения в алгебрі. У 16 в. італійські математики Н. Тарталья (1499−1577), С. Даль Феро (1465−1526), Л. Феррари (1522−1565) і Д. Кардано (1501−1576) знайшли спільні рішення рівнянь третьої та четвертої ступенів. Аби зробити алгебраїчні міркування та його запис точнішими, було запроваджено безліч символів, зокрема +, -,, , =, > і.