Декартів (прямий) добуток множин. 
Відповідності, функції і відображення (реферат)

Реферат на тему:

Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення.

1. Декартів (прямий) добуток множин Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується Aназивається множина всіх пар (a, b), в яких перший компонент належить множині A (a, а другий — множині B (b.

Тобто.

A {(a, b) | aі b або (a, b)$$\{\begin{array}{c}\mathit{a^IA},\\ \mathit{b^IB}\text{.}\end{array}$$.

Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,…, An — множини, то їхнім декартовим добутком називається множина.

D = { (a1,a2,…, an) | a1 a2…, an},.

яка складається з усіх наборів (a1,a2,…, an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1,2,…, n. Декартів добуток позначається через A1.

Набір (a1,a2,…, an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1, a2,…, an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,…, an) і (b1,b2,…, bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,…, n. Отже, кортежі (a, b, c) і (a, c, b) вважаються різними, в той час як множини {a, b, c} і {a, c, b} - рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину Aназивають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.

Прийнято вважати, що A0 = =0) і A1 = A (n=1).

Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a, b} і B = {b, c, d}, то.

A {(a, b),(a, c),(a, d),(b, b),(b, c),(b, d)},.

A2 = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}.

2. Якщо R — множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 — це множина пар (a, b), де a, bабо множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A — це множина.

A* = {e} = {e}ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >iN Ai,.

де e — порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.

Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,…, an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2… an, ajj=1,2,…, n. Наприклад, 10 111, 011, 0010, 100, 010 — слова в алфавіті B = {0,1}, а 67−35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 — це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (Aі A, а також множини Aі Bвзагалі кажучи, нерівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:

(A = (A.

(A= (A.

A =(A (1.8).

A =(A.

Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,…, an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri (w) = ai.

Проекцією кортежу w=(a1,a2,…, an) на осі з номерами i1, i2,…, ik називається кортеж (ai1,ai2,…, aik), позначається Рri1, i2,…, ik (w) = (ai1,ai2,…, aik).

Нехай V — множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V: PriV = { Pri (v) | v.

Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:

Pri1,i2,…, ikV = { Pri1, i2,…, ik (v) | v.

Приклад 1.10. Pri1, i2,…, ik (A1) = Ai1 2 k.

Якщо V={(a, b, c),(a, c, d),(a, b, d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b, c}, Pr2,3V={(b, c),(c, d), (b, d)}.

2. Відповідності, функції і відображення Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C/p>

Якщо (a, b) то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.

Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього задання використовують ті самі методи, що й для довільних множин.

Крім того, відповідність можна задавати (або ілюструвати) за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a, b, c, d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,a),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a, b, c, d — горизонтальні прямі на координатній площині (рис. 1.2,а). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності.

Зручним методом задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч — точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a, b) належить заданій відповідності. На рис. 1.2,б зображено діаграму відповідності C із попереднього абзацу.

а) б) Рис. 1.2.

Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=Rто маємо такі відповідності C1={(x, y) | x2 + y2 = 1}, C2 = {(x, y) | y = x2 }, C3 = {(x, y)| |x||y| Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 — квадратична парабола, а графіком C3 — всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).

Припустимо, що Cдеяка відповідність.

Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C — областю значень відповідності C (інші позначення — і відповідно).

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образом елемента aC при відповідності C називається множина всіх елементів bC, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента bC при відповідності C називається множина всіх тих елементів aC, яким відповідає елемент b.

Якщо AC, то образом множини A при відповідності C називається об'єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини BC.

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об'єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що.

D ={(b, a) | (a, b) Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.

Якщо задано відповідності Cі Dто композицією відповідностей C і D (позначається C називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a, b)| існує елемент cтакий, що (a, c)і (c, b).

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

Відповідність fназивається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові af відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента af є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f — функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A і позначають f: Aабо A $$\stackrel{}{f}$$ B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= Rабо функціями типу R.

Всюди визначена функціональна відповідність fназивається відображенням A в B і записується як і функція f: Aабо A $$\stackrel{}{f}$$ B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.

Відображення типу A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента af позначають через f (a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента bf позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f: Aфункція з множини A в множину B, а g: B функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається fназивається функція h: Aтака, що h (a) = g (f (a)) для afі f (a)g/p>

Відображення f називається сюр'єктивним (сюр'єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін'єктивним (ін'єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента bf його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр'єктивним і ін'єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.

Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли вона функцiональна, всюди визначена, сюр'єктивна та iн'єктивна.

Вiдповiднiсть iA = { (a, a) | a називається тотожним перетворенням, дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.

Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.

Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки не всі поля шахівниці зайняті фігурами.

2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового запису є відображенням. Це відображення не є ін'єктивним, оскільки йому належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).

3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу nвідповідає число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.

4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.