Потрійний інтеграл
Проте зручніше перейти до циліндричних координат. Тоді прообраз круга є прямокутник, прообраз конічної поверхні — плоска поверхня, а прообраз області — область. Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює, підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо Зазначимо… Читати ще >
Потрійний інтеграл (реферат, курсова, диплом, контрольна)
ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ
1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.
Нехай функція визначена в обмеженій замкненій області. Розіб'ємо область сіткою поверхонь на частин, які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють. У кожній частині візьмемо довільну точку і утворимо суму
(1)
яка називається інтегральною сумою для функції за областю. Нехай — найбільший з діаметрів областей .
Якщо інтегральна сума (1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини, ні від вибору в них точок, то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:
або .
Таким чином, за означенням
(2)
де — функція, інтегровна в області; - область інтегрування; і - змінні інтегрування; (або) — елемент об'єму.
Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною в точці, то маса цього тіла знаходиться за формулою
. (3)
Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області. Якщо всюди в області покласти, то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму тіла :
.(4)
Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області, то вона в цій області інтегрована.
Властивості потрійних інтегралів.
1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:
.
Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:
.
3. Якщо в області інтегрування, то
.
4. Якщо функції та визначені в одній і тій самій області і, то
.
5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції розбити на частини і, які не мають спільних внутрішніх точок, то
.
6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області, яка має об'єм, то
де і відповідно найменше і найбільше значення функції в області .
7. (Середнє значення функції.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області, яка має об'єм, то в цій області існує така точка, що
.
Величина називається середнім значенням функції в області .
2. Обчислення потрійного інтеграла
Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.
Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі. Позначимо проекцію області на площину через (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в .
Рисунок 1 — Область
Якщо при цьому область є правильною, то область називається правильною у напрямі осі. Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі, перетинає межу області у точках і. Точку назвемо точкою входу в область, а точку — точкою виходу з області, а їхні аплікати позначимо відповідно через і. Тоді, і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула
.(5)
Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл за змінною, вважаючи та сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки входу, а верхньою — апліката точки виходу. Внаслідок інтегрування отримаємо функцію від змінних та .
Якщо область, наприклад, обмежена кривими і, де і - неперервні функції, тобто
то, переходячи від подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу
(6)
яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні і у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.
Якщо, наприклад, область правильна в напрямі осі :
де — неперервні функції, то
.
Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:
то
. (7)
У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .
3. Заміна змінних в потрійному інтегралі
Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область взаємно однозначно відображується на область за допомогою неперервно диференційовних функцій, ,, якобіан в області не дорівнює нулю:
і - неперервна в, то справедлива формула
. (8)
На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат до циліндричних (рис. 4, а), пов’язаних з співвідношеннями
;
якобіан перетворення
.
З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:
.(9)
Назва «циліндричні координати» пов’язана з тим, що координатна поверхня є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі .
При переході від прямокутних координат до сферичних
(рис. 4, б), які пов’язані з формулами
Рисунок 4 — Координати: а) циліндричні; б) сферичні
;
якобіан перетворення
.
З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:
. (10)
Назва «сферичні координати» пов’язана з тим, що координатна поверхня є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область, як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю, користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь та, які обмежують область, записують у нових координатах.
Зокрема, якщо область обмежена циліндричною поверхнею та площинами, то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:
і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли — куля: або кульове кільце. Наприклад, якщо — кульове кільце з внутрішньою сферою, то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд або
звідки. Аналогічно — рівняння зовнішньої сфери, тому
.
У випадку, коли — куля, у цій формулі слід покласти. Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.
Приклад
1. Обчислити інтеграл, якщо область обмежена поверхнями і .
Розв’язання
Область є конусом (рис. 5).
Рисунок 5 — Область
Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область, можна записати у вигляді, а саму область подати таким чином:, де — круг радіуса з центром. Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:
.
Проте зручніше перейти до циліндричних координат. Тоді прообраз круга є прямокутник, прообраз конічної поверхні - плоска поверхня, а прообраз області - область. Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює, підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область, а зміну циліндричних координат в області. Наочно видно, що в області змінна змінюється від до, при кожному значенні змінна змінюється від до, а для кожної точки області змінна змінюється в області від (значення в області) до (значення на конічній поверхні).
4. Деякі застосування потрійного інтеграла
інтеграл потрійний обчислення змінний
1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою
областю, що має об'єм, то згідно з формулою (4)
.(11)
Застосування у механіці. Нехай — обмежена замкнена область простору, яку займає деяке матеріальне тіло з густиною, де — неперервна функція в області, тоді:
а)маса цього тіла
;(12)
б)моменти інерції тіла відносно координатних осей відповідно дорівнюють
. (13)
Моменти інерції тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами
.(14)
Момент інерції тіла відносно початку координат
(15)
в) статичні моменти тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами
;(16)
г) координати центра маси тіла визначаються за формулами
. (17)
Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:
.