Термінова допомога студентам
Дипломи, курсові, реферати, контрольні...

Потрійний інтеграл

КонтрольнаДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Проте зручніше перейти до циліндричних координат. Тоді прообраз круга є прямокутник, прообраз конічної поверхні — плоска поверхня, а прообраз області — область. Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює, підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо Зазначимо… Читати ще >

Потрійний інтеграл (реферат, курсова, диплом, контрольна)

ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ

1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості

Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.

Нехай функція визначена в обмеженій замкненій області. Розіб'ємо область сіткою поверхонь на частин, які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють. У кожній частині візьмемо довільну точку і утворимо суму

(1)

яка називається інтегральною сумою для функції за областю. Нехай — найбільший з діаметрів областей .

Якщо інтегральна сума (1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини, ні від вибору в них точок, то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:

або .

Таким чином, за означенням

(2)

де — функція, інтегровна в області; - область інтегрування; і - змінні інтегрування; (або) — елемент об'єму.

Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною в точці, то маса цього тіла знаходиться за формулою

. (3)

Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області. Якщо всюди в області покласти, то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму тіла :

.(4)

Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області, то вона в цій області інтегрована.

Властивості потрійних інтегралів.

1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:

.

Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:

.

3. Якщо в області інтегрування, то

.

4. Якщо функції та визначені в одній і тій самій області і, то

.

5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції розбити на частини і, які не мають спільних внутрішніх точок, то

.

6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області, яка має об'єм, то

де і відповідно найменше і найбільше значення функції в області .

7. (Середнє значення функції.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області, яка має об'єм, то в цій області існує така точка, що

.

Величина називається середнім значенням функції в області .

2. Обчислення потрійного інтеграла

Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.

Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі. Позначимо проекцію області на площину через (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в .

Рисунок 1 — Область

Якщо при цьому область є правильною, то область називається правильною у напрямі осі. Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі, перетинає межу області у точках і. Точку назвемо точкою входу в область, а точку — точкою виходу з області, а їхні аплікати позначимо відповідно через і. Тоді, і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула

.(5)

Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл за змінною, вважаючи та сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки входу, а верхньою — апліката точки виходу. Внаслідок інтегрування отримаємо функцію від змінних та .

Якщо область, наприклад, обмежена кривими і, де і - неперервні функції, тобто

то, переходячи від подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу

(6)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні і у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.

Якщо, наприклад, область правильна в напрямі осі :

де — неперервні функції, то

.

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

то

. (7)

У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .

3. Заміна змінних в потрійному інтегралі

Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область взаємно однозначно відображується на область за допомогою неперервно диференційовних функцій, ,, якобіан в області не дорівнює нулю:

і - неперервна в, то справедлива формула

. (8)

На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат до циліндричних (рис. 4, а), пов’язаних з співвідношеннями

;

якобіан перетворення

.

З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

.(9)

Назва «циліндричні координати» пов’язана з тим, що координатна поверхня є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі .

При переході від прямокутних координат до сферичних

(рис. 4, б), які пов’язані з формулами

Рисунок 4 — Координати: а) циліндричні; б) сферичні

;

якобіан перетворення

.

З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:

. (10)

Назва «сферичні координати» пов’язана з тим, що координатна поверхня є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область, як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю, користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь та, які обмежують область, записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область обмежена циліндричною поверхнею та площинами, то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:

і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли — куля: або кульове кільце. Наприклад, якщо — кульове кільце з внутрішньою сферою, то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд або

звідки. Аналогічно — рівняння зовнішньої сфери, тому

.

У випадку, коли — куля, у цій формулі слід покласти. Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.

Приклад

1. Обчислити інтеграл, якщо область обмежена поверхнями і .

Розв’язання

Область є конусом (рис. 5).

Рисунок 5 — Область

Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область, можна записати у вигляді, а саму область подати таким чином:, де — круг радіуса з центром. Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:

.

Проте зручніше перейти до циліндричних координат. Тоді прообраз круга є прямокутник, прообраз конічної поверхні - плоска поверхня, а прообраз області - область. Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює, підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область, а зміну циліндричних координат в області. Наочно видно, що в області змінна змінюється від до, при кожному значенні змінна змінюється від до, а для кожної точки області змінна змінюється в області від (значення в області) до (значення на конічній поверхні).

4. Деякі застосування потрійного інтеграла

інтеграл потрійний обчислення змінний

1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою

областю, що має об'єм, то згідно з формулою (4)

.(11)

Застосування у механіці. Нехай — обмежена замкнена область простору, яку займає деяке матеріальне тіло з густиною, де — неперервна функція в області, тоді:

а)маса цього тіла

;(12)

б)моменти інерції тіла відносно координатних осей відповідно дорівнюють

. (13)

Моменти інерції тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами

.(14)

Момент інерції тіла відносно початку координат

(15)

в) статичні моменти тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами

;(16)

г) координати центра маси тіла визначаються за формулами

. (17)

Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:

.

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою