Імовірнісна модель системи (М/М/с/N) (реферат)

РЕФЕРАТ На тему:

Імовірнісна модель системи (М/М/с/N).

Імовірнісна модель М/М/с/N відрізняється від моделі М/М/с тим, що кількість вимог у системі не може перевищувати N.

Тому для цієї моделі роблять таке припущення:

$$=\{\begin{array}{c},\text{якщо}0<=k<=N,\\ \mathrm{0,}\text{якщо}k>=N-\end{array}$$ $$=\{\begin{array}{c}\mathit{k},\text{якщо}0<=k<=c,\\ \mathit{c},\text{якщо}c<=k<=N\text{.}\end{array}$$.

Система диференціально-різницевих рівнянь для цієї системи матиме такий вигляд:

$$\{\begin{array}{c}{p}_0^{\text{'}}=-{\mathit{}}_0\left(t\right)+{\mathit{}}_1\left(t\right)-\\ p_1^{\text{'}}\left(t\right)=-\left(+\right)p_1\left(t\right)+{\mathit{}}_0\left(t\right)+2{\mathit{}}_2\left(t\right),\\ p_2^{\text{'}}\left(t\right)=-\left(+2\right)p_2\left(t\right)+{\mathit{}}_1\left(t\right)+3{\mathit{}}_3\left(t\right),\\ \\ p_k^{\text{'}}\left(t\right)=-\left(+\mathit{k}\right)p_k\left(t\right)+{\mathit{}}_{k-1}\left(t\right)+\left(k+1\right){\mathit{}}_{k+1}\left(t\right),k<c,\\ \\ p_c^{\text{'}}\left(t\right)=-\left(+\mathit{c}\right)p_c\left(t\right)+{\mathit{}}_{c-1}\left(t\right)+\left(c+1\right)p_{c+1}\left(t\right),k>=c,\\ \\ p_{N-1}^{\text{'}}\left(t\right)=-\left(+\mathit{c}\right)p_{N-1}\left(t\right)+{\mathit{}}_{N-2}\left(t\right)+{\mathit{c}}_N\left(t\right),\\ p_N^{\text{'}}\left(t\right)=-{\mathit{c}}_N+{\mathit{}}_{N-1}\left(t\right)\text{.}\end{array}$$ (226).

У стаціонарному режимі (226) набирає такого вигляду:

$$\{\begin{array}{c}{\mathit{}}_0={\mathit{}}_1-\\ \left(+\right)p_1={\mathit{}}_0+2{\mathit{}}_2,\\ \left(+2\right)p_2={\mathit{}}_1+3{\mathit{}}_3,\\ \\ \left(+\mathit{k}\right)p_n={\mathit{}}_{n-1}+\left(k+1\right){\mathit{}}_{n+1},\\ \\ \left(+\mathit{c}\right)p_c={\mathit{}}_{c-1}+\left(c+1\right)p_{c+1},\\ \\ \left(+\mathit{c}\right)p_{N-1}={\mathit{}}_{N-1}+{\mathit{c}}_N,\\ \left(+\mathit{c}\right)p_N={\mathit{}}_{N-1}\text{.}\end{array}$$ (227).

Розв’язуючи систему алгебраїчних рівнянь (227) відносно $$p_k$$ $$\left(k=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{.}\text{.}\text{.}N\right),$$ дістаємо:

$$p_1={\mathit{}}_0-$$ $$p_2=\frac{1}{2!}{}^2{p}_0-$$ $$p_3=\frac{1}{3!}{}^3{p}_0-\text{.}\text{.}\text{.}-$$ $$p_k=\frac{1}{k!}{}^k{p}_0,$$ якщо $$k<c<N-$$.

$$p_n=\frac{1}{c!c^{n-c}}{}^n{p}_0,$$ якщо $$c<=n<=N\text{.}$$.

Далі маємо:

$$\underset{k=0}{\overset{N}{}}{p}^k=1->p_0+p_1+p_2+p_3+\text{.}\text{.}\text{.}+p_k+\text{.}\text{.}\text{.}+p_c+\text{.}\text{.}\text{.}+p_N=1->$$.

$$->p_0+{\mathit{}}_1+\frac{1}{2!}{}^2{p}_2+\frac{1}{3!}{}^3{p}_3+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{k!}{}^k{p}_0+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{c!}{}^c{p}_0+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{c!c^{N-c}}{}^N{p}_0=1->$$ $$->p_0\left(\underset{m=0}{\overset{c-1}{}}\frac{{}^m}{m!}+\frac{{}^c}{c!}+\frac{{}^{c+1}}{c!c}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{{}^N}{c!c^{N-c}}\right)=1->$$.

$$->p_0\left(\underset{m=0}{\overset{c-1}{}}\frac{{}^m}{m!}+\frac{{}^c}{c!}+\left(\frac{1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}}{1-\frac{}{c}}\right)\right)=1->$$.

Отже,.

$$p_0={\left[\underset{m=0}{\overset{c-1}{}}\frac{{}^m}{m!}+\frac{{}^c}{c!}+\frac{1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}}{1-\frac{}{c}}\right]}^{-1}\text{.}$$ (228).

Оскільки за $$\frac{}{c}->1$$ вираз $$\frac{1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}}{1-\frac{}{c}}->\left(\frac{0}{0}\right),$$.

то.

$$\underset{\frac{}{c}->1}{\text{lim}}\frac{1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}}{1-\frac{}{c}}=\underset{\frac{}{c}->1}{\text{lim}}\frac{{\left[1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}\right]}^{}}{{\left[1-\frac{}{c}\right]}^{}}=\underset{\frac{}{c}->1}{\text{lim}}\frac{-\left(N+1-c\right){\left(\frac{}{c}\right)}^{N-c}}{-1}=N+1-c\text{.}$$.

Враховуючи це, можна подати ймовірності в такій формі:

$$p_0=\{\begin{array}{c}{\left[\underset{m=0}{\overset{c-1}{}}\frac{{}^m}{m!}+\frac{{}^c}{c!}\frac{1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}}{1-\frac{}{c}}\right]}^{-1},\text{якщо}\frac{}{с}/=\mathrm{1,}\\ {\left[\underset{m=0}{\overset{c-1}{}}\frac{{}^m}{m!}+\frac{{}^c}{c!}\left(N+1-с\right)\right]}^{-1},\text{якщо}\frac{}{с}=1-\end{array}$$ (229).

$$p_k=\{\begin{array}{c}\frac{{}^k}{k!}{p}_0,0<k<c,\\ \frac{{}^k}{c!c^{k-c}}{p}_0,c<=k<=N\text{.}\end{array}$$ (230).

Основні числові характеристики системи:

$$L=\underset{k=c}{\overset{N}{}}\left(k-c\right)p_k=p_{c+1}+2p_{c+2}+3p_{c+3}+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(N-c\right)p_N=$$.

$$=\left[\frac{{}^{c+1}}{c!c}+2\frac{{}^{c+2}}{c!c^2}+3\frac{{}^{c+3}}{c!c^3}+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(N-c\right)\frac{{}^N}{c!c^{N-c}}\right]p_0=$$.

$$=\frac{{}^{c+1}}{c!}{p}_0\left[\frac{1}{c}+\frac{2}{c^2}+\frac{3{}^2}{c^3}+\left(N-c\right)\frac{{}^{N-c-1}}{c^{N-c}}\right]=$$.

$$=\frac{{}^{c+1}}{c!}{p}_0\frac{d}{\mathit{d}}\left[\frac{}{c}+\frac{{}^2}{c^2}+\frac{{}^3}{c^3}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{{}^{N-c}}{c^{N-c}}\right]=$$.

$$=\frac{{}^{c+1}}{c!}{p}_0\frac{d}{\mathit{d}}\left(\frac{\frac{}{c}-{\left(\frac{}{c}\right)}^{{}^{N+1-c}}}{1-\frac{}{c}}\right)=$$.

$$=\frac{{}^{c+1}}{c!}{p}_0\frac{\left(\frac{1}{c}-\left(N+1-c\right){\left(\frac{}{c}\right)}^{N-c}\frac{1}{c}\right)\left(1-\frac{}{c}\right)+\left(\frac{}{c}-{\left(\frac{}{c}\right)}^{{}^{N+1-c}}\right)\frac{1}{c}}{{\left(1-\frac{}{c}\right)}^2}=$$.

$$=\frac{{}^{c+1}}{c!}{\text{cp}}_0\frac{\left(1-\left(N+1-c\right){\left(\frac{}{c}\right)}^{N-c}\right)\left(1-\frac{}{c}\right)+\left(\frac{}{c}-{\left(\frac{}{c}\right)}^{{}^{N+1-c}}\right)}{{\left(c-\right)}^2}=$$.

$$=\frac{{}^{c+1}}{c!}{\text{cp}}_0\left[1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N-c}-\left(N+1-c\right){\left(\frac{}{c}\right)}^{N-c}{\left(1-\frac{}{c}\right)}^{N-c}\right]\text{.}$$.

Отже, дістали.

$$M=\underset{k=0}{\overset{N}{}}{\text{kp}}_k\text{.}$$ (231).

$$L=\frac{{}^{c+1}}{\left(c-1\right)!{\left(c-\right)}^2}\left[1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}-\left(N+1-c\right){\left(\frac{}{c}\right)}^{N-c}{\left(1-\frac{}{c}\right)}^{N-c}\right]P_0\text{.}$$ (232).

$$L=M-\text{.}$$ (233).

$$W_1=\frac{M}{}\text{.}$$ (234).

$$W_2=W_1+\frac{1}{}\text{.}$$ (235).

Приклад 3. Відпочиваючі заходять до літнього кафе у випадкові моменти часу, утворюючи пуассонівський потік з інтенсивністю 20 осіб за годину. Тривалість обслуговування клієнта є випадковою величиною, що має експоненціальний закон розподілу з параметром 5 хв, тобто на обслуговування однієї особи в середньому витрачається 5 хв. Кафе має п’ять вільних місць, причому черга не повинна перевищувати 10 осіб.

Визначити:

1. 1)імовірність того, що в кафе не буде відвідувачів;

2. 2)імовірність того, що відвідувач, який зайшов до кафе, матиме місце на обслуговування;

3. 3)імовірність того, що відвідувач чекатиме черги на обслуговування;

4. 4)обчислити $$M,W_1\text{.}$$.

Розв’язання. Для розв’язування задачі скористаємося моделлю M/M/c/N, а саме M/M/5/10, оскільки в кафе є 5 столиків, що обслуговуються, і N = 10, бо черга не повинна перевищувати числа 10.

Обчислимо $$p_0\text{.}$$.

1) $$p_0={\left[\underset{m=0}{\overset{c-1}{}}\frac{{}^m}{m!}+\frac{{}^c}{c!}+\frac{1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}}{1-\frac{}{c}}\right]}^{-1}\text{.}$$.

За умовою задачі маємо: $$=\frac{\text{20}}{\text{60}}=\frac{1}{3}-$$ $$=\frac{5}{\text{60}}=\frac{1}{\text{12}}\text{.}$$.

Звідси $$=\frac{}{}=4-$$ $$\frac{}{c}=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}<1-$$ $$c=5-N=\text{10}\text{.}$$.

Тоді.

$$p_0={\left[\underset{m=0}{\overset{c-1}{}}\frac{{}^m}{m!}+\frac{{}^5}{5!}+\frac{1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{\text{10}+1-5}}{1-\frac{}{c}}\right]}^{-1}=$$.

$$={\left[1++\frac{{}^2}{2}+\frac{{}^3}{6}+\frac{{}^4}{\text{24}}+\frac{{}^5}{\text{120}}+\frac{{}^5}{\text{120}}\frac{1-\left(\frac{}{c}\right)}{1-\frac{}{c}}\right]}^{-1}=$$.

$$={\left[1+4+8+\text{10},\text{67}+\text{10},\text{67}+\text{31},\text{488}\right]}^{-1}={\left(\text{65},\text{828}\right)}^{-1}\mathrm{0,}\text{0152}\text{.}$$.

Отже, імовірність того, що кафе буде порожнім, дорівнюватиме 0,0152.

2) Імовірність того, що відвідувач, який зайшов до кафе, обслуговуватиметься, якщо в ньому є хоча б одне вільне місце, така:

$$p_0+p_1+p_2+p_3+p_4\text{.}$$.

Отже, обчислимо $$p_1,p_2,p_3,p_4\mathrm{:}$$.

$$p_1=p_0=4\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{0608}-$$.

$$p_2=\frac{{}^2}{2}{p}_0=8\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{1216}-$$.

$$p_3=\frac{{}^3}{3!}{p}_0=\frac{\text{64}}{6}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{1621}-$$.

$$p_4=\frac{{}^4}{\text{41}}{p}_0=\frac{\text{256}}{\text{24}}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{1621}\text{.}$$.

Отже,.

$$\begin{array}{c}{p}_0+p_1+p_2+p_3+p_4=\\ \mathrm{0,}\text{0152}+\mathrm{0,}\text{0608}+\mathrm{0,}\text{1216}+\mathrm{0,}\text{1621}+\mathrm{0,}\text{1621}=\mathrm{0,}\text{5218}\text{.}\end{array}$$.

Звідси дістаємо: імовірність того, що відвідувач кафе, який зайшов до нього, буде без очікування обслуговуватись, дорівнює 0,5812, що становить у середньому 52%.

3) Імовірність того, що відвідувач кафе чекатиме в черзі, дорівнює $$p_5+p_6+p_7+p_8+p_9+p_{\text{10}}\text{.}$$.

Обчислюємо:

$$p_5=\frac{{}^5}{5!}{p}_0=\frac{\text{1024}}{\text{120}}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{1297}-\text{.}$$.

$$p_6=\frac{{}^6}{5!5}=\frac{{\left(4\right)}^6}{\text{600}}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{1038}-$$.

$$p_7=\frac{{}^7}{5!5^2}=\frac{{\left(4\right)}^7}{\text{120}\text{25}}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{083}-$$.

$$p_8=\frac{{}^8}{5!5^3}=\frac{{\left(4\right)}^8}{\text{120}\text{25}}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{064}-$$.

$$p_9=\frac{{}^9}{5!5^4}=\frac{{\left(4\right)}^6}{\text{120}\text{625}}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{0531}-$$.

$$p_{\text{10}}=\frac{{}^{\text{10}}}{5!5^5}{p}_0=\frac{{\left(4\right)}^{\text{10}}}{\text{120}\text{3125}}\mathrm{0,}\text{0152}=\mathrm{0,}\text{0425}\text{.}$$.

Звідси маємо:

$$\begin{array}{c}{p}_5+p_6+p_7+p_8+p_9+p_{\text{10}}=\mathrm{0,}\text{1297}+\mathrm{0,}\text{1038}+\mathrm{0,}\text{083}+\\ +\mathrm{0,}\text{0664}+\mathrm{0,}\text{0531}+\mathrm{0,}\text{0425}=\mathrm{0,}\text{4785}\text{.}\end{array}$$.

Отже, у середньому ймовірність того, що відвідувач чекатиме в черзі, дорівнює 0,4785, що становить близько 48%.

4) $$L=\frac{{}^{c+1}}{\left(c-1\right)!{\left(c-\right)}^2}\left[1-{\left(\frac{}{c}\right)}^{N+1-c}-\left(N+1-c\right){\left(\frac{}{c}\right)}^{N-c}\left(1-\frac{}{c}\right)\right]=$$.

$$=\frac{4^6\mathrm{0,}\text{0152}}{4!{\left(5-4\right)}^2}\left[1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^{\text{10}+1-5}-\left(\text{10}+1-5\right){\left(\frac{4}{5}\right)}^{\text{10}-5}\left(1-\frac{4}{5}\right)\right]=$$.

$$=\text{170},\text{67}\mathrm{0,}\text{0152}\left[1-\mathrm{0,}\text{262}-\mathrm{0,}\text{393}\right]=\text{170},\text{67}\mathrm{0,}\text{0152}\mathrm{0,}\text{345}=\mathrm{0,}\text{895}\text{.}$$.

$$W=\frac{M}{}=\frac{\mathrm{0,}\text{895}}{\frac{1}{3}}=\mathrm{2,}\text{685}\text{.}$$.

Остаточно маємо: відвідувач у середньому чекатиме своєї черги на обслуговування близько 2,7 хв.

Визначимо вартість втрат за 25 робочих днів та економічну ефективність роботи системи, коли відомо таке: перебування обслуговуючого приладу в неробочому стані протягом 1 год завдає збитків 100 грн $$\left(q_{\text{nk}}=\text{100}\text{грн}\right),$$ кожна обслужена вимога коштує 300 грн $$\left(q_y=\text{300}\right),$$ вартість однієї години роботи приладу становить 50 грнвтрати, які зумовлені очікуванням вимоги в черзі за одну годину, становлять 30 грн $$\left(q_{\text{or}}=\text{30}\right)\text{.}$$.

Функція вартостей втрат системи в цьому разі обчислюється так:

$$G_{П}=\left(q_{\text{nk}}{N}_1+q_{\text{or}}L+q_y{p}_n+q_k{N}_2\right)T\text{.}$$.

Тут $$T=\text{25}\mathrm{,\; 8}=\text{200}$$ год.

$$N_1=\underset{k=1}{\overset{5}{}}{\text{kp}}_k=p_1+2p_2+3p_3+4p_4+5p_5=$$.

$$=\mathrm{0,}\text{0608}+2\mathrm{0,}\text{1221}+3\mathrm{0,}\text{1621}+4\mathrm{0,}\text{1621}+5\mathrm{0,}\text{1297}\mathrm{2,}\text{0882}\text{.}$$.

Отже, середня кількість обслуговуючих приладів становитиме $$N_1=\mathrm{2,}\text{0882}\text{.}$$.

$$N_2=\underset{k=0}{\overset{n-1}{}}\left(n-k\right)p_k=\underset{k=0}{\overset{4}{}}\left(5-k\right)p_k=p_0+4p_1+3p_2+2p_3+p_4=$$.

$$=5\mathrm{0,}\text{0152}+4\mathrm{0,}\text{0608}+3\mathrm{0,}\text{1221}+2\mathrm{0,}\text{1621}+\mathrm{0,}\text{1621}=\mathrm{1,}\text{1718}\text{.}$$.

Середня кількість обслуговуючих приладів, які не задіяні в роботі, буде така: $$N_2=\mathrm{1,}\text{1718}\text{.}$$ Оскільки $$L=\mathrm{0,}\text{895},$$ $$p_n=p_{\text{10}}=\mathrm{0,}\text{0425},$$ $$=\frac{1}{3},$$ то втрати системи.

$$G_{П}=\left(\text{50}\mathrm{2,}\text{0882}+\text{30}\mathrm{0,}\text{895}+\text{300}\mathrm{0,}\text{0425}\frac{1}{3}+\text{100}\mathrm{1,}\text{1718}\right)\text{200}=$$.

$$=\text{50\hspace{0.17em}537}\mathrm{,\; 2}$$ (грн).