Ряды Фур'є та його приложения

Министерство загального користування та професійного образования Сочинский державний університет туризма и курортного дела Педагогический институт Математический факультет Кафедра загальної математики ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Ряды Фур'є та його приложения В математичної физике.

Выполнила: студентка 5-го курса.

підпис денний форми обучения.

Спеціальність 10 100.

«Математика».

Касперовой Н.С.

Студентський квиток № 95 471.

Научный керівник: доцент, канд.

підпис техн. наук Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

1.

Введение

.

2. Поняття низки Фурье.

2.1. Визначення коефіцієнтів низки Фурье.

2.2. Інтеграли від періодичних функций.

3. Ознаки збіжності рядів Фурье.

1. Приклади розкладання функцій до лав Фурье.

4. Зауваження про розкладанні періодичної функції до кількох Фурье.

5. Лави Фур'є для парних і непарних функций.

6. Лави Фур'є для функцій з періодом 2 l.

7. Розпад до кількох Фур'є неперіодичної функции.

Жан Батіст Жозеф Фур'є - французький математик, член Паризької Академії наук (1817).

Перші праці Фур'є ставляться до алгебрі. Вже лекціях 1796 він виклав теорему про кількість дійсних коренів алгебраического рівняння, лежачих між даними межами (опубл. 1820), названу іменем Тараса Шевченка; повне рішення про кількість дійсних коренів алгебраического рівняння отримали в 1829 Ж.Ш. Ф. Штурмом. У 1818 Фур'є досліджував питання про умови застосовності розробленого Ньютоном методу чисельного рішення рівнянь, не знаючи про аналогічних результатах, отримані 1768 французьким математиком Ж. Р. Мурайлем. Результатом робіт Фур'є по численным методам рішення рівнянь є «Аналіз певних рівнянь», виданий посмертно в 1831.

Основний областю занять Фур'є була математична фізика. У 1807 і 1811 він представив Паризької Академії наук свої перші відкриття з теорії поширенні тепла в твердому тілі, а 1822 опублікував відому роботу «Аналітична теорія теплоти», зіграла великій ролі в наступної історії математики. Це — математична теорія теплопровідності. З огляду на спільності методу цю книжку стала джерелом всіх сучасних методів математичної фізики. У роботі Фур'є вивів диференціальний рівняння теплопровідності і розвинув ідеї, у найзагальніших рисах намічені раніше Д. Бернуллі, розробив на вирішення рівняння теплопровідності при тих чи інших заданих граничних умовах метод поділу змінних (метод Фур'є), що він застосовував до низки окремі випадки (куб, циліндр та інших.). У підставі цього методу лежить уявлення функцій тригонометричними рядами Фурье.

Лави Фур'є тепер стали добре розробленим засобом теоретично рівнянь у приватних похідних під час вирішення граничних задач.

1. Поняття низки Фур'є. (стор. 94, Уваренков).

Лави Фур'є багато важать в математичної фізиці, теорії пружності, електротехніці і особливо їхнього окреме питання — тригонометрические ряди Фурье.

Тригонометрическим поруч називають ряд вида.

[pic].

чи, символічною записи:

[pic] (1).

де ?, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …, bn, …- постійні числа (?>0) .

До вивчення таких рядів історично привели деякі завдання фізики, наприклад завдання про коливаннях струни (XVIII в.), завдання про закономірності у явищах теплопровідності та інших. У додатках розгляд тригонометрических рядів, передусім пов’язані з завданням уявлення даного руху, описаного рівнянням у = f (?), в[pic]виде суми найпростіших гармонійних коливань, часто взятих у нескінченно великому числі, т. е. як суми низки виду (1).

Отже, ми дійшли наступній завданню: з’ясувати може бути для даної функції f (x) на заданому проміжку такий ряд (1), который сходився на цьому проміжку до цієї функції. Якщо може бути, то кажуть, що у цьому проміжку функція f (x) розкладається в тригонометричний ряд.

Ряд (1) сходиться у певній точці х0, з періодичності функцій [pic] (n=1,2,.), буде сходящимся і всіх точках виду [pic] (mбудь-яке ціла кількість), і тим самим його сума S (x) буде (у сфері збіжності низки) періодичної функцією: якщо Sn (x) — n-я часткова сума цього самого ряду, то имеем.

[pic] [pic].

тож і [pic][pic], т. е. S (x0+T)=S (x0). Тому, говорячи про розкладанні деякою функції f (x) до кількох виду (1), будемо припускати f (x) періодичної функцией.

2. Визначення коефіцієнтів низки по формулам Фурье.

Нехай періодична функція f (х) з періодом 2? така, що вона представляється тригонометрическим поруч, сходящимся до цієї функції в інтервалі (-?, ?), т. е. є сумою цього ряда:

f (x)=[pic]. (2).

Припустимо, що інтеграл від функції, що стоїть у частині цього рівності, дорівнює сумі з дитинства інтегралів від інших членів цього самого ряду. Це буде виконуватися, якщо припустити, що числової ряд, складений із коефіцієнтів даного тригонометричного низки, абсолютно сходиться, т. е. сходиться позитивний числової ряд.

[pic] (3).

Ряд (1) мажорируем і можна почленно інтегрувати між тим (-?, ?). Проинтегрируем обидві частини рівності (2):

[pic].

Обчислимо окремо кожен інтеграл, зустрічається у правій части:

[pic],.

[pic],.

[pic].

Отже, [pic], откуда.

[pic]. (4).

Оцінка коефіцієнтів Фур'є. (Бугров).

Теорему 1. Нехай функція f (x) періоду 2? має безперервну похідну f (s)(x) порядку p. s, задовольняє на дійсною осі неравенству:

| f (s)(x)|? Ms; (5).

тоді коефіцієнти Фур'є функції f задовольняють неравенству.

[pic] (6).

Доказ. Інтегруючи частинами та враховуючи, что.

f (-?) = f (?), имеем.

[pic].

Поэтому.

[pic].

Інтегруючи праву частина (7) послідовно, враховуючи, що похідні f?, …, f (s-1) безупинні і приймають однакові значення точках t = -? і t = ?, і навіть оцінку (5), одержимо першу оцінку (6).

Друга оцінка (6) виходить подібним образом.

Теорему 2. Для коефіцієнтів Фур'є f (x) має місце неравенство.

[pic] (8).

Доказ. Имеем.

[pic] (9).

Вводячи у разі заміну перемінної [pic] та враховуючи, що f (x) — періодична функція, получим.

[pic].

Складаючи (9) і (10), получаем.

[pic].

Отсюда.

[pic].

Так проводимо доказ для bk.

Слідство. Якщо функція f (x) безупинна, її коефіцієнти Фур'є йдуть до нуля: ak > 0, bk > 0, k > ?.

Простір функцій зі скалярним произведением.

Функція f (x) називається кусочно-непрерывной на відрізку [a, b], якщо вона безупинна у цьому відрізку, крім, то, можливо, кінцевого числа точок, де вона має розриви першого роду. Такі точки можна складати і множити на справжні числа і реально отримувати як наслідок знову кусочнобезперервні на відрізку [a, b] функции.

Скалярним твором двох кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функцій f і? називатимемо интеграл.

[pic] (11).

Вочевидь для будь-яких кусочно-непрерывных на [a, b] функцій f, ?, ? виконуються свойства:

1) (f, ?) =(?, f);

2) (f, f) і з рівності (f, f) = 0 слід, що f (x) =0 на [a, b], виключаючи, можливо, кінцеве число точок x;

3) (? f +? ?, ?) =? (f, ?) +? (?, ?),.

де ?,? — довільні справжні числа.

Безліч всіх кусочно-непрерывных функцій, певних на відрізку [a, b], котрим введено скалярне твір за такою формулою (11), ми позначати, [pic] і називати простором [pic].

Зауваження 1.

У математиці називають простором [pic]= [pic](a, b) сукупність функцій f (x), интегрируемых в лебеговом сенсі на [a, b] разом із квадратами, котрим введено скалярне твір за такою формулою (11). Ця простір [pic] є частка [pic]. Простір [pic] має багатьма властивостями простору [pic], але з всеми.

З властивостей 1), 2), 3) слід важливе нерівність Буняковского | (f, ?) |? (f, f)Ѕ (?, ?) Ѕ, яке езопівською мовою з дитинства інтегралів виглядає так:

[pic].

Величина.

[pic].

називається нормою функції f.

Норма має такими свойствами:

1) || f ||? 0, у своїй рівність може лише для нульової функції f.

= 0, т. е. функції, рівної нулю, крім, можливо, кінцевого числа точек;

2) || f +? ||? || f (x) || ||? ||;

3) ||? f || = |? | · || f ||,.

де? — дійсне число.

Друге властивість мовою з дитинства інтегралів виглядає так:

[pic].

і називається нерівністю Минковского.

Кажуть, що послідовність функцій { fn }, належить до [pic], сходится до функції належить [pic] себто середнього квадратического на [a, b] (чи ще за нормою [pic]), если.

[pic].

Зазначимо, що й послідовність функцій fn (x) сходиться рівномірно до функції f (x) на відрізку [a, b], то тут для досить великих n різницю f (x) — fn (x) по абсолютну величину мусить бути мала всім x з відрізка [a, b].

У разі, якщо fn (x) прагне f (x)в сенсі середнього квадратического на відрізку [a, b], то зазначена різницю може і не малої для великих n скрізь на [a, b]. У окремих місцях відрізка [a, b] ця різницю може бути велика, але важливо лише, щоб інтеграл від її квадрата по відтинку [a, b] був замалий для великих n.

Приклад. Нехай на [0, l ] заданна зображена малюнку безперервна кусочно-линейная функція fn (x) (n = 1, 2,…), причем.

[pic].

(Бугрів, стор. 281, рис. 120).

При будь-якому натуральному n.

[pic].

і, отже, ця послідовність функцій, хоч і сходиться до нулю при n > ?, але нерівномірно. Між тем.

[pic].

[pic].

т. е. послідовність функцій {fn (x)} котиться до нуля себто середнього квадратического на [0, 1].

З елементів деякою послідовності функцій f1, f2, f3,… (що належать [pic]) побудуємо ряд.

f1 + f2 + f3 +… (12).

Сума перших його n членов.

? n = f1 + f2 + … + fn.

є функція, що належить до [pic]. Якщо станеться, що у [pic] існує функція f така, что.

|| f- ?n || > 0 (n > ?),.

то кажуть, що кілька (12) сходиться до функції f себто середнього квадратического і пишут.

f = f1 + f2 + f3 +…

Зауваження 2.

Можна розглядати простір [pic] = [pic](a, b) комплекснозначных функцій f (x) = f1(x) + if2(x), де f1(x) і f2(x) — справжні кусочно — безперервні на [a, b] функції. У цьому вся просторі функції множаться на комплексні числа і скалярне твір функцій f (x) = f1(x) + if2(x) і ?(x) = ?1(х) +і ?2(х) визначається наступним образом:

[pic].

а норма f окреслюється величина.

[pic].

2.1. Інтеграли від періодичних функций.

Нехай f (x) — періодична функція, з періодом Т, интегрируемая на будь-якому сегменті виду [х0, х0+Т]. Тоді величина інтеграла [pic]остаётся при будь-якому х0 одному й тому ж: для будь-яких х0, х0 «.

[pic].

2.2. Інтеграли від деяких тригонометрических [pic]функций.

Зазначимо значення деяких интегралов:

[pic] (k = 1,2,…), (13).

[pic] (k =1,2,.; m =1,2,…), (14).

[pic] (15).

(k =1,2,…; m =1,2,…; k? m),.

[pic] (k =1,2,…) (16).

Тепер можемо обчислити коефіцієнти Фур'є ak і bk низки (2). Для розвідки коефіцієнта an при якомусь певне значення n?0 помножимо обидві частини рівності (2) на cosnx і провівши математичні операції в межах від -? до ?, получим:

[pic] (17).

[pic] (18).

[pic] Коефіцієнти, певні по формулам (4), (17), (18) називаються коефіцієнтами Фур'є функції f (x), а складений тригонометричний ряд (18) з цими коефіцієнтами називається поруч Фур'є функції f (x).

У окремих випадках, ще вузьких класів функцій, формули (17), (18) були відомі ще Эйлеру. Отже, ці формули ще називають формулами Эйлера-Фурье.

Зазначимо, що стала [pic] в (2) пишеться у вигляді, щоб надати однаковість формулам (17) і (18).

Вищенаведені міркування показують, що пошуки тригонометричного розкладання даної функції доцільно розпочати з вивчення її низки Фур'є, відкладаючи на потім суворе вивчення питання у тому, яких функцій ряд сходиться, до того ж саме до цієї функції. Поки ж це незроблене, функції f (x) зіставляють її формальний ряд Фур'є, які зазвичай записують їх у виде:

[pic]f (x) ~ [pic], (19).

про який відомо, що його коефіцієнти враховано по функції f (x) по формулам Эйлера — Фур'є (4), (17) і (18), нічого не стверджується про його збіжності і більше — про його збіжності до цієї функции.

З визначення низки Фур'є годі було, що функція повинна до нього розкладатися. З сказаного вище варто лише, що деяка функція допускає розкладання в рівномірно сходитися ряд виду (19), цей ряд буде її поруч Фурье.

3. Ознаки збіжності [pic]рядов Фур'є. (стор. 331, Пискунов).

Поставимо запитання: якими властивостями повинна мати функція, щоб побудований, неї ряд Фур'є сходився і щоб сума побудованого низки Фур'є дорівнювала значенням даної функції у точках?

Сформулюємо теорему, яка дасть достатні умови представимости функції f (x) поруч Фур'є. (з Пискунова).

Визначення. Функція f (x) називається кусочномонотонної на відрізку [a, b], коли цей відрізок може бути розбитий кінцевим числом точок х1, х2, …, хn-1 на інтервали (а, х1), (х1, х2),…, (хn-1, b) отже кожному з інтервалів функція монотонна, т. е. або зростаюча, або неубывающая.

Теорема.

Якщо періодична функція f (x) з періодом 2? — кусочно монотонна і обмежена на відрізку [-?, ?], то ряд Фур'є, побудований з цією функції, сходяться на всіх точках. Сума отриманого низки s (x) дорівнює значенням функції f (x) в точках безперервності функції. У точках розриву функції f (x) сума низки дорівнює середньому арифметичному меж функції f (x) справа й зліва, т. е. якщо x = з — точка розриву функції f (x), то.

[pic] .

З цієї теореми слід, що клас функцій, представимых рядами Фур'є, досить широкий. Тому ряди Фур'є знайшли широке використання у різних відділах математики. Особливо успішно ряди Фур'є застосовують у математичної фізики й її додатках до конкретних завданням механіки і физики.

Це можна вирішити з допомогою теореми Дирихле. («Короткий курс вищої математики», Шнейдер та інших., стор. 181).

При виведення формул (4), (17), (18) ми заздалегідь припускали, що функція f (x) розкладається в правильно сходитися тригонометричний ряд (1). Якщо ж такого припущення не робити, а допустити, що з функції f (x) є всі інтервали, які у правих частинах формул (4), (17), (18), то цим формулам можна визначити коефіцієнти a0, ak і bk та тригонометричний ряд (1), що є ряд Фур'є, відповідний даної функции.

Чи є побудований в такий спосіб ряд Фур'є сходящимся і коли він сходиться, тут маємо ми право стверджувати, що він сходиться саме до функції f (x), з допомогою якої обчислювалися коефіцієнти ряда?

Виявляється, що відповідність низки Фур'є до заданої функції має місце для досить широкого класу функцій. Достатні умови збіжності низки Фур'є, і, отже, можливість розкладання функцій до кількох Фур'є даються теоремою Дирихле. Перш ніж формулювати цю теорему, введемо два определения.

Функція f (x) називається кусочно-монотонной на сегменті [a, b], якщо цей сегмент можна розділити на кінцеве число сегментів, всередині кожної, у тому числі функція або тільки зростає, або тільки убуває, або постоянна.

Основне визначення. Функція f (x) називається задовольняє умовам Дирихле на сегменті [a, b], если:

1)функция безупинна на сегменті [a, b] або ж имеет.

у ньому кінцеве число точок розриву 1 рода;

2) функція кусочно-монотонна на сегменті [a, b].

3.1. Приклади розкладання функцій до лав Фурье.

Приклад 1. Періодична функція f (x) з періодом 2? визначається так: f (x) = x, -? < x? ?.

Ця функція — кусочно монотонна і обмежена. Отже, її розкласти до кількох Фурье.

За формулою (4) находим:

[pic].

Застосовуючи формулам (17), (18) і інтегруючи частинами, получим:

[pic].

[pic].

Отже, отримуємо ряд:

[pic].

Це рівність має місце переважають у всіх точках, крім точок розриву. У кожній точці розриву сума низки дорівнює середньому арифметичному її меж справа й зліва, т. е. нулю.

Приклад 2. Періодична функція f (x) з періодом 2? визначено наступним образом:

f (x) = -1 при -? < x < 0,.

f (x) = 1 при 0? x? ?.

Ця функція кусочно монотонна і обмежена на відрізку [-?, ?]. Обчислимо її коефіцієнти Фурье:

[pic],.

[pic].

[pic].

(Намалювати: рис. 377, стор. 334, Пискунов).

Отже, для аналізованої функції ряд Фур'є має вид:

[pic].

Це рівність справедливо переважають у всіх точках, крім точок разрыва.

4. Зауваження про розкладанні періодичної функції до кількох Фурье.

Зазначимо таке властивість періодичної функції ?(x) з періодом 2?:

[pic], яке було число ?.

Справді, оскільки ?(? — 2?) =? (?), то, вважаючи x =? — ?, можемо написати за будь-яких з і d:

[pic].

Зокрема, приймаючи з = - ?, d = ?, получим:

[pic].

поэтому.

[pic].

Зазначене властивість означає, що інтеграл від періодичної функції ?(x) з кожного відтинку, довжина якого дорівнює періоду, завжди те й теж значение.

З доведеного властивості випливає, що з обчисленні коефіцієнтів Фур'є ми можемо замінити проміжок інтегрування (-?, ?) проміжком інтегрування (?,? +2?), т. е. можемо положить.

[pic][pic] (20).

де? — будь-яке число.

Це випливає з те, що функція f (x) є, за умовою, періодичної з періодом 2?; отже й функція f (x)· cоsnx, і f (x)· sinnx є періодичними функціями з періодом 2?. У деяких випадках доведене властивість спрощує процес перебування коэффициентов.

Пример.

Нехай потрібно розкласти до кількох Фур'є функцію f (x) з періодом 2?, а її відрізку 0 < x? 2? задана рівністю f (x)= х.

(Піскунов, рис. 382, стор. 339).

Ця функція на відрізку [-?, ?] задається двома формулами:

f (x) = x + 2? на відрізку [-?, 0].

f (x) = x на відрізку [0, ?].

У той самий час на відрізку [0, 2?] набагато простіше вона задається однієї формулою f (x) = x. Тож розкладання цієї функції до кількох Фур'є вигідніше скористатися формулами (20), прирівнявши ?=0.

[pic].

Следовательно,.

[pic].

5. Лави Фур'є для чётных і нечётных функций.

З визначення четной і нечетной функції слід, що й ?(x) — парна функція, то.

[pic].

Действительно,.

[pic].

оскільки за визначенню четной функції ?(- x) = ?(x).

Аналогічно можна довести, що й ?(x) — непарна функція, то.

[pic].

Якщо ряд Фур'є розкладається непарна функція f (x), то твір f (x) · coskx є функція також непарний, а f (x) · sinkx — парна; следовательно,.

[pic] (21).

т. е. ряд Фур'є нечетной функції містить «лише синусы».

Якщо ряд Фур'є розкладається парна функція, то твір f (x) · sinkx є функція непарна, а f (x) · coskx — парна, то:

[pic] (22).

т. е. ряд Фур'є четной функції містить «лише косинусы».

Отримані формули дозволяють спрощувати обчислення при разыскании коефіцієнтів Фур'є у випадках, коли задана функція є четной чи нечетной. Вочевидь, що ні всяка періодична функція є четной чи нечетной.

6. Ряд Фур'є для функції з періодом 2l.

Нехай функція f (x) є періодична функція з періодом 2 l, взагалі кажучи, відмінними від 2?. Розкладемо їх у ряд Фурье.

Зробимо заміну перемінної по формуле.

[pic]х = lt / ?.

Тоді функція f (lt / ?) буде періодичної функцією від t з періодом 2?. Її розкласти до кількох Фур'є на відрізку -?? x? ?:

[pic].

де (Піскунов, стор. 341 — дописувати не надо).

[pic].

[pic].

[pic].

Повернімося до старої перемінної x:

[pic] [pic] [pic].

Тоді иметь:

[pic] (24).

Формула (23) отримає вид.

[pic], (25).

де коефіцієнти a0, ak, bk обчислюються по формулам (24). Це і ряд Фур'є для періодичної функції з періодом 2 l.

Зауважимо, що це теореми, які мали місце для рядів Фур'є від періодичних функцій з періодом 2?, зберігаються для рядів Фур'є від періодичних функцій з жодним іншим періодом 2 l.

Пример.

Розкласти до кількох Фур'є функцію f (x) з періодом 2 l, а її відрізку [-l, l] задається рівністю f (x) = | x |.

(Піскунов, стр. 342, рис. 383).

Рішення. Оскільки розглянута функція — парна, то.

[pic].

Отже, розкладання має вид.

[pic].

7. Розпад до кількох Фур'є неперіодичної функции.

Нехай на деякому відрізку [a, b] задана кусочно монотонна функція f (x). Покажемо, що цю функцію f (x) в точках її безперервності можна у вигляді суми низки Фур'є. І тому розглянемо довільну періодичну кусочно монотонну функцію f1(x) з періодом 2?? a — b, збігається з функцією f (x) на відрізку [a, b]. Отже, доповнили визначення функції f (x).

Розкладемо функцію f1(x) до кількох Фур'є. Сума цього самого ряду переважають у всіх точках відрізка [a, b] (крім точок розриву) збігаються з заданої функцією f (x), т. е. ми розклали функцію f (x) до кількох Фур'є на відрізку [a, b].

Розглянемо наступний важливий випадок. Нехай функція f (x) задана на відрізку [0, l]. Доповнюючи визначення цієї функції довільним чином на відрізку [ l, 0 ], ми можемо розкласти цю функцію до кількох Фур'є. Зокрема, коли ми доповнимо визначення даної функції те щоб при — l? x < 0 було f (x) = f (-x). Через війну вийде парна функція. І тут кажуть, що функція f (x) «продовжено четным чином». Цю функцію розкладають до кількох Фур'є, що містить лише косинуси. Отже, задану на відрізку [0, l] функцію f (x) ми розклали по косинусам.

Якщо ми продовжимо визначення функції f (x) при — l? x 0 (пізніше буде розглянутий випадок? < 0). Итак,.

[pic].

З положень цих рівностей отримуємо два уравнения:

X «» + ?X = 0, (114).

T «» + a2? T = 0. (115).

Загальні розв’язання цих рівнянь будут:

[pic].

де A, B, З, D — довільні постоянные.

Підставляючи висловлювання X (x) і T (t) в рівність (112), получим:

[pic].

Підберемо тепер постійні Проте й У те щоб задовольнялися умови (108) і (109). Оскільки T (t) тотожний нерівна нулю (інакше u (x, t)? 0, що суперечить поставленому условию), то функція X (x) має відповідати умовам (108).

і (109), т. е. має бути Х (0) =0, Х (?) = 0. Підставляючи значення х=0 і x =? в рівність (116), виходячи з (108) і (109) получаем:

0 = А · 1 + У · 0,.

[pic].

З першого рівняння знаходимо, А = 0. З другого следует:

[pic].

У? 0, позаяк у іншому разі було б Х? 0 і u? 0, що суперечить умові. Отже, має быть.

[pic].

откуда.

[pic].

(ми беремо значення n = 0, позаяк у цьому випадку було б Х? 0 і u? 0). Отже, ми получили:

[pic].

Знайдені значення? називаються власними значеннями для даної крайової завдання. Відповідні їм функції Х (x) називаються власними функциями.

Зауваження. Якщо ми знали замість —? вираз +? = k2, то рівняння (114) прийняло б вид.

Х «» — k2Х = 0.

Загальне рішення цього уравнения:

Х = Аekx + Bekx .

Чудова від нуля рішення, у такій формі неспроможна задовольняти граничним умовам (108) і (109).

Знаючи ?½, ми користуючись рівністю (117), можемо написать:

[pic].

До кожного значення n, отже, кожному за ?, висловлювання (119) і (120) підставляємо в рівність (112)и отримуємо рішення рівняння (107), що задовольнить граничним умовам (108) і (109). Таке рішення позначимо un (x, t):

[pic].

До кожного значення n ми можемо брати свої постійні З і D і тому пишемо Cn і Dn (стала У включено до Cn і Dn). Оскільки рівняння (107) лінійне і однорідне, то сума рішень є також рішенням, і тому функція, представлена рядом.

[pic].

или.

[pic]также буде рішенням диференціального рівняння (107), яке задовольнятиме граничним умовам (108) і (109). Вочевидь, ряд (122) буде рішенням рівняння (107) в тому разі, якщо коефіцієнти Cn і Dn такі, що це ряд сходиться до лав отримувані після дворазового почленного диференціювання по x і з t.

Рішення (122) має ще задовольняти початкових умов (110) і (111). Цього домагатимемося шляхом добору постійних Cn і Dn. Підставляючи в рівність (122) t = 0, одержимо :

[pic].

Якщо функція f (x) така, що у інтервалі (0, ?) яку можна розкласти в ряд Фур'є, то умова (123) виконуватиметься, якщо положить.

[pic].

Далі, диференціюємо члени рівності (122) по t і підставляємо t = 0. З умови (111) виходить равенство.

[pic].

Визначаємо коефіцієнти Фур'є цього ряда:

[pic].

или.

[pic].

Отже, ми довели, що кілька (122), де коефіцієнти Cn і Dn визначено по формулам (124) і (125), якщо він допускає дворазове почленное диференціювання, представляє функцію u (x, t), що є рішенням рівняння (107) і задовольняє граничним і початкових умов (108) — (111).

Зауваження. Вирішуючи розглянуту завдання для хвильового рівняння іншим методом, можна довести, що кілька (122) є рішення у тому разі, що він передбачає почленного диференціювання. У цьому функція f (x) мусить бути двічі дифференцируемой, а функція ?(x) — одного разу дифференцируемой.

Рівняння поширення тепла в стрижні. Формулювання крайової задачи.

Розглянемо однорідний стрижень довжини ?. Будемо припускати, що бічна поверхню стрижня теплонепроницаема і що в всіх точках поперечного перерізу стрижня температура однакова. Вивчимо процес поширення тепла в стержне.

Розташуємо вісь Ой отже один кінець стрижня збігатиметься із точкою x =, а інший — до точки x = ?.

Піскунов стор 252, рис. 373.

Нехай u (x, t) — температура в сечении стрижня з абсциссой x в останній момент t. Досвідченим шляхом встановлено, що швидкість поширення тепла, т. е. кількість тепла, викликаного через перетин з абсциссой x за одиницю часу, визначається формулой.

[pic].

де P. S — площа перерізу аналізованого стрижня, k — коефіцієнт теплопроводности.

Розглянемо елемент стрижня, укладений між сечениями з абсциссами х1 і х2 (х2 — х1 = ?x). Кількість тепла, котрий пройшов перетин з абсциссой х1 під час? t, буде равно.

[pic].

той самий з абсциссой х2:

[pic].

Притік ?Q1 — ?Q2 в елемент стрижня під час? t буде равняться:

[pic].

Цей приплив тепла під час? t затратился для підвищення температури елемента стрижня на величину? u:

[pic].

или.

[pic].

де з — теплоємність речовини стрижня,? — щільність речовини стрижня (??xS — маса елемента стержня).

Прирівнюючи висловлювання (129) і (130) однієї й тієї ж кількості тепла? Q1 — ?Q2, получим:[pic].

[pic].

Це і рівняння поширення тепла (рівняння теплопровідності) в однорідному стержне.

Щоб рішення рівняння (131) був цілком визначено, функція u (x, t) має відповідати крайовим умовам, відповідним фізичним умовам завдання. Крайові умови на вирішення рівняння (131) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званої першої крайової завданню для 0? t? T, следующие:

u (x, 0) = ?(x), (132).

u (0, t) = ?1(t), (133).

u (?, t) = ?2(t). (134).

Фізичне умова (132) (початкова умова) відповідає з того що при t = 0 у різних перетинах стрижня задана температура, рівна ?(x). Умови (133) і (134) (граничні умови) відповідають з того що на кінцях стрижня при x = 0 і за x =? підтримується температура, рівна ?1(t) і ?2(t) соответственно.

Доводиться, що рівняння (131) має єдине рішення, у області 0? x? ?, 0? t? T, що задовольнить умовам (132) — (134).

Поширення тепла в пространстве.

Розглянемо процес поширення тепла в тривимірному просторі. Нехай u (x, y, z, t) — температура у точці з координатами (x, y, z) з момент часу t. Досвідченим шляхом встановлено, що швидкість проходження тепла через майданчик? p. s, т. е. кількість тепла, викликаного за одиницю часу, визначається за формулою (аналогічно формулі (126)).

[pic].

де k — коефіцієнт теплопровідності аналізованої середовища, що її вважаємо однорідної і ізотропного, n — одиничний вектор, спрямований по нормальний до майданчика? p. s у бік руху тепла. Отже, можемо записать:

[pic].

де co ?, co ?, co? — направляючі косинуси вектора n, или.

[pic].

Підставляючи вираз [pic] в формулу (135), получаем:

?Q = -k n grad u? s.

Кількість тепла, викликаного під час? t через майданчик? p. s, буде равно:

?Q?t = -k n grad u? t ?s.

Повернімося до поставленому завданню. У середовищі виділимо малий обсяг V, обмежений поверхнею P. S. Кількість тепла, викликаного через поверхню P. S, буде равно:

[pic].

де n — одиничний вектор, спрямований по зовнішньої нормальний до P. S. Вочевидь, що формула (136) дає кількість тепла, що надходить обсяг V (чи минаючого з обсягів V) під час? t. Кількість тепла, надходження в обсяг V, йде підвищення речовини цього объема.

Розглянемо елементарний обсяг? v. Нехай під час? t його температура піднялася на? u. Вочевидь, що його тепла, витрачене цього підвищення елемента? v, буде равно.

[pic].

де з — теплоємність речовини,? — щільність. Загальна кількість тепла, витрачене для підвищення температури обсягом V під час? t, будет.

[pic].

Але це є тепло, яке надходить в обсяг V під час? t; воно визначено формулою (136). Отже, має місце равенство.

[pic].

Скорочуючи на? t, получаем:

[pic].

Поверховий інтеграл, котрий у лівої частини цієї рівності, перетворимо за такою формулою Остроградського (в векторної формі, де F — дивергенція векторного поля,? — замкнута поверхность).

[pic].

вважаючи F = k grad u:

[pic].

Замінюючи подвійний інтеграл, котрий у лівої частини рівності (137), потрійним інтегралом, получим:

[pic].

Застосувавши теорему про середньому наближається до потрійного інтегралу, стоїть зліва, одержимо :

[pic].

де P (x, y, z) — деяка точка обсягу V.

Оскільки ми можемо виділити довільний обсяг V в тривимірному просторі, де відбувається поширення тепла, й, оскільки ми припускаємо, що подынтегральная функція у рівності (138) безупинна, то рівність (139) виконуватиметься у кожному точці простору. Итак,.

[pic].

Но.

[pic].

Підставляючи в рівняння (140), получаем:

[pic].

Якщо k — постійне, то.

[pic].

і рівняння (140) у разі дает:

[pic].

чи, поклавши [pic].

[pic].

Коротко рівняння (142) записується так:

[pic].

де [pic]?u — оператор Лапласа. Рівняння (142) це і є рівняння теплопровідності у просторі. Щоб знайти єдине рішення, відповідальна поставленому завданню, потрібно поставити крайові условия.

Нехай маємо тіло ?, поверхню якого ?. У цьому вся тілі розглядається процес поширення тепла. У початковий момент температура тіла задана. Це відповідає з того що відомо значення рішення за t = 0 — початкова условие:

u (x, y, z, 0) =? (x, y, z). (143).

З іншого боку, має бути відома температура у будь-якій точці М поверхні? тіла будь-якої миті часу t — граничну условие:

u (М, t) =? (М, t). (144).

(Можливі й інші граничні условия.).

Якщо бажана функція u (x, y, z, t) залежить від z, що він відповідає з того що температура залежить від z, то отримуємо уравнение:

[pic].

— рівняння поширення тепла на площині. Якщо розглядається поширення тепла в пласкою області D з кордоном З, то граничні умови, аналогічно (143) і (144), формулюються так:

u (x, y, 0) =? (x, y),.

u (М, t) =? (М, t),.

де? і? — задані функції, М — точка кордону С.

Якщо ж функція u залежною ні від z, ні від y, то отримуємо уравнение.

[pic].

— рівняння поширення тепла в стержне.

2?, f (x), ?, ?(x) ,[-?, ?], (?,? +2?), ?(x), ·, ?, l, < x ?, | x |,?, ?,[a, b], ?, u (x, t), М1М2 ,? +, ?? ,?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, v, «, ?, ?, k, p. s, u (x, y, z, t), ??

Заключение

.

У цьому дипломної роботі наведено лише окремі приклади того як ряди Фур'є дозволяють вирішити важливі завдання математичної фізики. Наприклад, деякими є завдання на поширення тепла в стрижні чи коливання струни. Наведено приклади перебування періодичних рішень лінійних диференційних рівнянь з допомогою рядів Фур'є. На невеличкому кількості сторінок викладено матеріал, у якому основні факти теорії рядів Фурье.

Робота починається з уявлення функції як тригонометричного низки, який є при подставлении до нього відповідних коефіцієнтів (коефіцієнтів Фур'є) поруч Фур'є. Далі розглядаються деякі ознаки збіжності рядів Фур'є, висновок коефіцієнтів Фур'є та його оцінка. Представлена комплексна форма рядів Фур'є. Розглянуто приклади застосувань перетворень Фур'є і методу Фур'є (методу поділу переменных).

Так як теорія тригонометрических рядів (рядів Фур'є) нині досить великий за змістом й обсягом, то природно, що саме було бути вичерпаний весь материал.

На завершення бажалося б вирізнити, що угода про Фур'є ми передусім згадуємо як про автора «Аналітичної теорії теплоти» (1822 р.). З огляду на спільності методу цю книжку стала джерелом всіх сучасних методів математичної фізики, які стосуються інтегрування рівнянь у приватних похідних при заданих граничних условиях.

1. М.С. Піскунов «Диференціальний і інтегральне обчислення», Москва,.

«Наука», 1972 г.

2. І.М. Уваренков, М. З. Маллер «Курс математичного аналізу», Москва,.

«Просвітництво», 1976 г.

3. В. С. Шипачев «Вища математика», Москва, «Вищу школу», 1990 г.

4. Г. Е. Шилов «Математичний аналіз функції одного змінного», Москва,.

«Наука», 1970 г.

5. Я.С. Бугрів, С.М. Микільський «Вища математика. Диференціальні рівняння. Кратні інтеграли. Лави. Функції комплексного змінного», Москва, «Наука», 1989 г.

6. В.А. Подільський, А. М. Суходский «Збірник завдань із математиці для техников-программистов», Москва, «Вищу школу», 1978 г.

7. Г. М. Фихтенгольц «Курс диференціального і інтегрального обчислення», тому III, Москва, «Наука», 1969 г.

8. В.Є. Шнейдер, А.І. Слуцький, О.С. Шумів «Короткий курс вищої математики», том2, Москва, «Вищу школу», 1978 г.