Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу (реферат)

Реферат на тему:

Оптимальне керування в рівняннях еліптичного типу

Нехай G — обмежена область в Rn з кусково-гладкою границею $$\text{.}$$ Розглянемо в G рівняння.

$$L(u)=f_1(x,u)$$ (1).

з граничними умовами.

$$N_{}(u)=f_0(x,u)\text{.}$$ (2).

Тут.

$$\begin{array}{c}L(u)=-\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}\frac{}{x_i}\left(a_{\text{ij}}(x,u)\frac{}{x_j}\right)+a_0(x,u),\\ N_{}(u)=\frac{}{{}_L}+(x,u){|}_{}\text{.}\end{array}$$.

Будемо також вважати, що вектор u належить множині керувань U, $$f_1(x,u)L_2(G),$$ $$f_0(x,u)L_2(),$$ а коефіцієнти $$a_{\text{ij}}(x,u),i,j=\stackrel{}{\mathrm{1,}n},$$ $$a_0(x,u),(x,u)-$$ вимірні майже всюди обмеженіфункції, причому $$a_0(x,u),(x,u)-$$ майже всюди невід'ємні і існує $$>\mathrm{0,}$$ що.

$$\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}(x,u){}_i{}_j>=\left(\underset{i=1}{\overset{n}{}}{}_{i^2}\right),=({}_1,\text{.}\text{.}\text{.},{}_n)\text{.}$$.

Згідно з теоремою 1 при $$(x,u)>0$$ в просторі $$W^1(G)$$ існує єдиний узагальнений розв’язок рівняння (1) з граничними умовами (2).

На просторі $$W^1(G)xU$$ введемо функціонал $$J(,u),$$ який будемо називати критерієм якості керування u.

Означення 1. Нехай) розв’язок задачі (1), (2). Вектор $$\widehat{u}$$, на якому досягається мінімум критерія якості $$J(,u),$$ будемо називати оптимальним керуванням, а задачу.

$$J(,u)->\underset{u}{\text{inf}}$$.

задачей оптимального керування для рівняння (1) з граничними умовами (2).

Розглянемо теореми існування оптимального керування для часткових випадків. Припустимо далі, що від керування u залежить лише права частина рівняння (1). Покажемо, що має місце.

Теорема 1. Нехай множина $$F=\{f(x,u)\mathrm{:}uU\}$$ обмежена і слабко замкнена в просторі $$L_2(G),$$ функціонал $$J(,u)=J()$$ слабонапівнеперервний знизу на просторі $$W^1(G)$$. Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай un мінімізуюча послідовність. Вилучимо з послідовності функцій fn (x)=f (x, un) слабозбіжну підпослідовність (тут і надалі залишимо у підпослідовності той же індекс n), тобто $$f_n(x)->\widehat{f}(x)$$ і оскільки множина F слабко замкнена, то $$\widehat{f}(x)F,$$ а це означає, що існує вектор $$\widehat{u}U$$ такий, що $$\widehat{f}(x)=f(x,\widehat{u})\text{.}$$ Покажемо, що вектор $$\widehat{u}$$ є оптимальним керуванням.

Позначимо через $${}_n(x)$$ розв’язок задачі (1), (2) з правою частиною f (x, un). З нерівності.

$${{}_n}_{W^1(G)}<=C({f_n}_{L_2(G)}+{f_0}_{L_2()})$$.

(див. теорему 3) випливає, що послідовність $${}_n(x)$$ обмежена в просторі $$W^1(G)\text{.}$$ Із послідовності $${}_n(x)$$ вилучимо підпослідовність, яка слабко збігається до функції $$\widehat{}(x)$$, та перейдемо в співвідношенні.

$$\begin{array}{c}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}\underset{G}{}{a}_{\text{ij}}(x)\frac{{}_n}{x_i}\frac{}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x){}_n\text{dx}+\underset{}{}(x){}_n\text{dx}=\\ \underset{G}{}{f}_n(x)(x)\text{dx}+\underset{}{}{f}_0(x)\text{dx}{W}^1(G)\end{array}$$.

до границі при $$n->\mathrm{}\text{.}$$ Враховуючи слабку збіжність послідовностей $$f_n(x),$$ $${}_n(x),{}_n(x)$$ одержимо, що функція $$\widehat{}(x)$$ є розв’язком задачі (1),(2) при $$f(x,u)=\widehat{f}(x)\text{.}$$.

Далі зауважимо, що в силу слабкої полунеперервності знизу функціоналу J (>

$$\underset{n->\mathrm{}}{\underset{}{\text{lim}}}J({}_n)>=J(\widehat{}),$$.

а оскільки un — мінімізуюча послідовність, то.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\underset{}{\text{lim}}}J({}_n)=\underset{u}{\text{inf}}J()\text{.}$$.

З цих співвідношень одержимо, що $$\widehat{u}$$ — оптимальне керування. л.

Зауваження 1. Візьмемо функціонал J (вигляді.

$$J()=\underset{G}{}F(x,(x))\text{dx},$$.

де F (x, y) — необмежена вимірна функція на множині $$Gx{R}^1,$$ майже для всіх х полунеперервна знизу по змінній y. Покажемо, що функціонал J (лабонапівнеперервний знизу. Нехай $${}_n(x)$$ — слабозбіжна послідовність в просторі $$W^1(G)\text{.}$$ Оскільки $$W^1(G)$$ цілком неперервно вкладається в $$L_2(G),$$ то $${}_n(x)$$ буде збігатися сильно в $$L_2(G),$$ а це означає, що з послідовності $${}_n(x)$$ можна виділити майже всюди збіжну підпослідовність, яка прямує до деякої функції $$\widehat{}(x)\text{.}$$ Якщо далі скористуємося лемой Фату та напівнеперервністю знизу функції F (x, y), то одержимо.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\underset{}{\text{lim}}}\underset{G}{}F(x,{}_n(x))\text{dx}>=\underset{G}{}\underset{}{\text{lim}}F(x,{}_n(x))\text{dx}=\underset{G}{}F(x,\widehat{}(x))\text{dx}=J(\widehat{}),$$.

що і потрібно було показати.

Припустимо, що U — банаховий рефлексивний простір, функціонал $$J(,u)$$ слабонапівнеперервний на просторі $$W^1(G)xU,$$ причому виконується одна з двух умов:

1. 1) $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}J((u),u)=\mathrm{},$$ де $$(u)$$ — розв’язок задачі (1),(2);

2. 2)вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині U1 простору U.

Тоді, якщо послідовність f (x, un) слабко збігається до функції f (x, u) в L2(G) для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності un, то справедлива Теорема 2. В просторі U існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай, наприклад, виконується умова 1). Тоді, якщо un мінімізуюча послідовність, то з цієї умови випливає її обмеженість. Оскільки простір U рефлексивний, то з послідовності un можна виділити слабозбіжну підпослідовність, тобто $$u_n->\widehat{u}\text{.}$$ В силу умов теореми послідовність fn (x)=f (x, un) буде слабко збіжною до функції $$f(x,\widehat{u}),$$ а отже (див.доведення теореми 1) $$(u_n)->(\widehat{u})$$ в $$W^1(G)\text{.}$$ Враховуючи слабку полунеперервність знизу функціонала $$J(,u)$$ одержимо, що.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\underset{}{\text{lim}}}J((u_n),u_n)>=J((\widehat{u}),\widehat{u})\text{.}$$.

Звідки випливає, що $$\widehat{u}$$ — оптимальне керування. л.

Зауваження 2. Теореми, подібні теоремам 1 і 2 можна довести і в тому випадку, коли від керування u залежить також функція $$f_0\text{.}$$.

Розглянемо далі той випадок, коли від керування залежить коефіцієнти еліптичного рівняння.

Для того, щоб спростити викладки припустимо, що від керування u залежить лише функції $$$$ і $$a_0,$$ тобто $$$$ = $$$$ (x, u), $$a_0$$ = $$a_0$$ (x, u).

Теорема 3. Нехай критерій якості заданий у вигляді $$J(,u)J(),$$ де $$J()$$ слабонапівнеперервний знизу функціонал визначений на просторі $$W^1(G)\text{.}$$ Припустимо також, що множина $$=\{(a_0(x,u),(x,u))\mathrm{:}uU\}$$ обмежена і слабкозамкнена в просторі $$L_2(G)x{L}_2()\text{.}$$ Тоді існує принаймні одне оптимальне керування.

Доведення. Нехай un — мінімізуюча послідовність, а $${}_n(x)=(x,u_n)$$ — відповідна послідовність розв’язків задачі (1), (2). Згідно означенню узагальненого розв’язка.

$$\begin{array}{c}a(u_n,{}_n,{}_n)=\underset{G}{}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}\frac{{}_n}{x_i}\frac{{}_n}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x,u_n){}_n^2(x)\text{dx}+\underset{}{}(x,u_n)({}_n{)}^2\text{dx}=\\ \underset{G}{}f(x){}_n(x)\text{dx}+\underset{}{}{f}_0(x){}_n(x)\text{dx}=F({}_n)\end{array}$$.

Враховуючи далі обмеженість лінійного функціоналу $$F({}_n)$$ в просторі $$W^1(G)$$ і коерцитивність форми $$a(u_n,{}_n,{}_n)$$ одержимо.

$${{}_n}_{W^1(G)}^{2}a(u_n,{}_n,{}_n)=F({}_n)<=C{{}_n}_{W^1(G)}\text{.}$$.

З цієї нерівності випливає, що норми $${{}_n}_{W^1(G)}^2$$ обмежені і тому з послідовності.

$${}_n$$ можна виділити слабко збіжну в просторі $$W^1(G)$$ підпослідовність, яка буде сильно збігатися (в силу цілком неперервності вкладення $$W^1(G)$$ в $$L_2(G)$$) в просторі $$L_2(G)$$. Позначимо границю підпослідовності $${}_n$$ через $$\stackrel{}{}\text{.}$$.

Вилучимо з послідовності $$(a_0(x,u_n),{}_0(x,u_n))$$ слабко збіжну до $$({\stackrel{}{a}}_0(x),{\stackrel{}{}}_0(x))$$ підпослідовність. Оскільки $$$$ — слабко замкнена множина, то $$({\stackrel{}{a}}_0(x),{\stackrel{}{}}_0(x))$$ і, отже, існує вектор $$\widehat{u}U$$ такий, що $${\stackrel{}{a}}_0(x)=a_0(x,\widehat{u}),{\stackrel{}{}}_0(x)={}_0(x,\widehat{u})\text{.}$$ Покажемо, що $$\widehat{u}$$ — оптимальне керування. Покажемо спочатку, що функція $$\stackrel{}{}(x)$$ буде розв’язком задачі (3.1), (3.2) при $$u=\widehat{u}\text{.}$$ Для цього помітимо, що справедлива рівність $$a(u_n,{}_n,)=F()W^1(G)\text{.}$$ Оскільки $$$$ переводить слабко збіжну послідовність з простору $$W^1(G)$$ в сильнозбіжну послідовність простору $$L_2(G)$$ (див. []), то.

$$\underset{G}{}(x,u_n){}_n\text{dx}->\underset{G}{}(x,\widehat{u})\stackrel{}{}\text{dx}\text{.}$$.

Крім того, в силу слабкої збіжності в $$W^1(G)$$ послідовності $${}_n(x)$$ та сильної збіжності цієї ж послідовності в $$L_2(G)$$.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{G}{}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}(x)\frac{{}_n}{x_i}\frac{}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x,u_n){}_n(x)(x)\text{dx}=$$.

$$=\underset{G}{}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}(x)\frac{\widehat{}}{x_i}\frac{}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x,\widehat{u})\stackrel{}{}(x)(x)\text{dx}\text{.}$$.

Отже, $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}a(u_n,{}_n,)=a(\widehat{u},\stackrel{}{},)\text{.}$$ Звідки $$a(\sout{\widehat{u}},\stackrel{}{},)=F()W^1(G),$$ тобто функція $$\stackrel{}{}(x)$$ є розв’язком задачі (3.1), (3.2).

Враховуючи далі слабку напівнеперервність функціоналу $$J()$$ одержимо, що.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\underset{}{\text{lim}}}J({}_n)>=J(\stackrel{}{})=J((\widehat{u})),$$.

а це означає, що $$\widehat{u}$$ — оптимальне керування. л.

Зауваження 3. Припустимо, що критерій якості $$J(,u)$$ слабонапівнеперервний знизу на просторі $$W^1(G)xU,U$$ — рефлексивний банаховий простір, послідовність функцій $$(a_0(x,u_n),(x,u_n))$$ слабко збігається до функції $$(a_0(x,u),(x,u))$$ в просторі $$L_2(G)x{L}_2()$$ для будь-якої слабозбіжної до вектора u послідовності, причому або $$\underset{u->\mathrm{}}{\text{lim}}J((u),u)=\mathrm{}$$ або вектор u належить обмеженій слабозамкненій множині простору U. Тоді також можна показати, що існує принаймні одне оптимальне керування.

Насамкінець розглянемо питання про існування оптимального керування в задачах, які описуються варіаційними нерівностями виду:

$$a(,-)>=\underset{G}{}f(x,u)((x)-(x))\text{dx}+\underset{}{}{f}_0(x,u)(-)\text{dx}V\text{.}$$ (3).

Тут.

$$a(,)=\underset{G}{}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}(x)\frac{}{x_i}\frac{}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x)(x)(x)\text{dx}+\underset{}{}(x)\text{dx},$$.

V — опукла, замкнена множина в просторі $$W^1(G)$$ .

Теорема 4. Припустимо, що множина $$F=\{(f_0(x,u),f(x,u))\mathrm{:}uU\}$$ обмежена і слабко замкнена в просторі $$L_2()x{L}_2(G)$$, функціонал $$J(,u)=J()$$ слабонапівнеперервний знизу на просторі $$W^1(G)$$. Тоді існує принаймні одне оптимальне керування варіаційною нерівністю (3.3).

Доведення. Нехай un мінімізуюча послідовність. Вилучимо з послідовності функцій $$(f_0(x,u_n),f(x,u_n))$$ слабко збіжну до функції $$({\widehat{f}}_0(x),\widehat{f}(x))$$ підпослідовність. Зрозуміло, що існує вектор $$\widehat{u}$$ такий, що $${\widehat{f}}_0(x)=f_0(x,\widehat{u}),$$ $$\widehat{f}(x)=f(x,\widehat{u})\text{.}$$ Покажемо, що вектор $$\widehat{u}$$ є оптимальним керуванням. Позначимо через $${}_n(x)$$ розв’язок варіаційної нерівності (3.3), який відповідає керуванню un. Тоді неважко побачити, що справедливе співвідношення.

$$\begin{array}{c}{{}_n}_{W^1(G)}^{2}a({}_n,{}_n)<=a({}_n,)+\underset{G}{}f(x,u_n)({}_n-)\text{dx}+\underset{}{}{f}_0(x,u_n)({}_n-)\text{dx}\\ V\text{.}\end{array}$$.

Враховуючи далі нерівність Коші-Буняковського, а також неперервність оператора $$,$$ форми $$a(,)$$ і обмеженість множини F одержимо, що існують невід'ємні константи С1 і С2 такі, що.

$${{}_n}_{W^1(G)}^2{C}_1{{}_n}_{W^1(G)}+C_2\text{.}$$.

З цієї нерівності випливає обмеженість послідовності $${{}_n}_{W^1(G)}\text{.}$$ З послідовності $${}_n(x)$$ виберемо слабозбіжну в просторі $$W^1(G)$$ підпослідовність. Границю цієї підпослідовності позначимо через $$\stackrel{}{}(x)\text{.}$$ Будемо також вважати, що відповідна підпослідовність функцій $$f_0(x,u_n),f(x,u_n)$$ збігається до функцій $$(f_0(x,\widehat{u}),f(x,\widehat{u})$$ відповідно. Покажемо спочатку, що $$\stackrel{}{}(x)$$ — розв" язок нерівності (3) при $$u=\widehat{u}\text{.}$$ Зауважимо, що $${}_n(x)$$ буде сильно збігатися до $$\stackrel{}{}(x)$$ в просторі $$L_2(G),$$ а $${}_n(x)$$ буде сильно збігатися до $$\stackrel{}{}(x)$$ в просторі $$L_2()$$ і $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_1({}_n,{}_n)>=a_1(\stackrel{}{},\stackrel{}{})$$ в силу слабкої напівнеперервності знизу форми $$a_1(,)\text{.}$$ Враховуючи також, що.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{G}{}f(x,u_n){}_n(x)\text{dx}=\underset{G}{}f(x,\widehat{u})\stackrel{}{}(x)\text{dx},$$.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{}{}{f}_0(x,u_n){}_n(x)\text{dx}=\underset{}{}{f}_0(x,\widehat{u})\stackrel{}{}(x)\text{dx},$$.

одержимо.

$$\begin{array}{c}0<=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left[a({}_n,-{}_n)-\underset{G}{}f(x,u_n)(-{}_n)\text{dx}-\underset{}{}{f}_0(x,u_n)(-{}_n)\text{dx}\right]=\\ a(\stackrel{}{},-\stackrel{}{})-\underset{G}{}{f}_0(x,\widehat{u})(-\stackrel{}{})\text{dx}-\underset{G}{}{f}_0(x,\widehat{u})(-\stackrel{}{})\text{dx}V,\end{array}$$.

тобто $$\stackrel{}{}(x)$$ є розв’язком нерівності (3) при $$u=\widehat{u}\text{.}$$ Нарешті, з співвідношення $$\underset{n->\mathrm{}}{\underset{}{\text{lim}}}J({}_n)>=J(\stackrel{}{})$$ випливає, що $$\widehat{u}$$ є оптимальним керуванням. л.

Зауваження 4. Для варіаційних нерівностей можна також довести теореми, подібні теоремам 2, 3.

Приведемо далі співвідношення, яким будуть задовільняти оптимальні керування для частинних випадків. Припустимо спочатку, що $$f(x,u)=\text{Bu},$$ де $$\begin{array}{c}B\\ \end{array}$$ L (U, L2(G)), U — рефлексивний банаховий простір, а керування u належить замкненій опуклій підмножині U1 простору U, причому критерій якості можна представити у вигляді.

$$J(,u)=J_1()+J_2(u)\text{.}$$.

Тут $$J_1()$$ і $$J_2(u)$$ — опуклі диференційовні за Гато слабонапівнеперервні знизу функціонали на просторі $$W^1(G)$$ і U відповідно. Будемо також вважати, що якщо $$(x)$$ розв’язок задачі (1), (2) то похідна Гато функціоналу $$J_1()$$ при $$=(x)$$ належить простору $$L_2(G)\text{.}$$ Покажемо тоді, що має місце.

Теорема 5. Множина оптимальних керувань є непустою замкненою підмножиною простору U, яка співпадає з сукупністю розв’язків варіаційної нерівності.

$$\underset{G}{}z(x)B(v-u)\text{dx}+\left(J_2^{\text{'}}(u),v-u\right)>=0v{U}_1,$$ (4).

де функція z (x) визначається з розв’язку рівняння.

$$L^{}z=J_1^{\text{'}}((x)),N_{}^{}z=0\text{.}$$ (5).

Тут $$L^{}z=-\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}\frac{}{x_i}{a}_{\text{ji}}(x)\frac{z}{x_j}+a_0(x)z,N_{}^{}z=\frac{z}{{}_{L^{}}}+(x)z\text{.}$$.

Доведення. Неважко бачити, що функціонал $$\stackrel{}{J}(u)=J((x),u)$$ є опуклим слабонапівнеперервним знизу і, отже, множина $$\text{arg}\underset{U_1}{\text{inf}}\stackrel{}{J}(u)$$ — непорожня, опукла і замкнена (див.також § 2).

Зауважимо далі, що диференціал Гато функціоналу $$\stackrel{}{J}(u)$$ можна представити у вигляді.

$$D\stackrel{}{J}(u)v=\underset{G}{}z(x)\text{Bvdx}+\left(J^{\text{'}}(u),v\right)\text{.}$$ Дійсно $$\begin{array}{c}{\text{DJ}}_1()v=\underset{->0}{\text{lim}}\frac{J_1((u+\mathit{})-J_1((u))}{}=\underset{->0}{\text{lim}}\frac{J_1((u)+{}_1(v))-J_1((u))}{}=\\ =\underset{G}{}{J}_1^{\text{'}}((u)){}_1(v)\text{dx}\text{.}\end{array}$$.

Тут $${}_1(v)$$ — розв’язок задачі.

$${\mathit{L}}_1=\text{Bv},N_{}{}_1=0\text{.}$$ (6).

З означення узагальнених узагальнених розв’язків рівнянь (5) і (6) випливає, що.

$$\underset{G}{}{J}_1^{\text{'}}((u)){}_1(v)\text{dx}=\underset{G}{}\underset{i,j=1}{\overset{n}{}}{a}_{\text{ij}}\frac{{}_1}{x_i}\frac{z}{x_j}\text{dx}+\underset{G}{}{a}_0(x){}_1(x)z(x)\text{dx}=\underset{G}{}z(x)\text{Bv}\text{dx}\text{.}$$.

Користуючись відповідним результатом § 2 одержимо, що множина $$\text{arg}\underset{U_1}{\text{inf}}\stackrel{}{J}(u)$$ співпадає з множиною розв’язків нерівності.

$$D\stackrel{}{J}(u)(v-u)>=0u{U}_1$$ .

Враховуючи вид диференціала $$D\stackrel{}{J}(u)$$ одержимо потрібне співвідношення. л.

Зауваження 5. Якщо умова обмеженості множини U1 замінити умовою $$\underset{u->\mathrm{}}{\text{lim}}{J}_2(u)=\mathrm{},$$ то теорема 5 також залишається справедливою, а в тому випадку, коли U1=U варіаційну нерівність (4) слід замінити рівнянням.

$$\underset{G}{}z(x)\text{Budx}+J_2^{\text{'}}(u)=0\text{.}$$ (7).

Зауваження 6. Якщо функціонал J2(u) не диференційовний, то співідношення (4) заміняється нерівністю.

$$\underset{G}{}z(x)B(v-u)\text{dx}+J_2(v)-J_2(u)>=0v{U}_1\text{.}$$ (8).

Зауваження 7. Позначимо через u (z) розв’язок варіаційної нерівності (3.4). Тоді оптимальне керування може бути знайдено з розв’язку системи нелінійних рівнянь з частинними похідними.

$$\{\begin{array}{c}\mathit{L}=\text{Bu}(z),N_{}=f_0(x),\\ L^{}z=J_1^{\text{'}}(),N_{}^{}z=0\text{.}\end{array}$$ (9).

В якості наслідку з теореми (3.5) розглянемо один частковий випадок. Нехай $$\text{Bu}=b(x)u(x),$$ де $$b(x)L_2(G),$$ $$U_1=\{u\mathrm{:}{u}_1(x)<=u(x)<=u_2(x)\text{майже}\text{всюди}вG\},$$ $$u_1(x),u_2(x)L^{\mathrm{}}(G),$$ $$J_2(u)=\underset{G}{}|u(x){|}^p\text{dx},p>\mathrm{1,}>=\mathrm{0,}$$ функціонал $$J_1()$$ — опуклий, слабонапівнеперервний знизу з похідною Гато, яка належить простору $$L_2(G)\text{.}$$.

Покажемо тоді, що має місце Твердження 1. Оптимальне керування u (z) можна представити у вигляді.

$$u(z)=\{\begin{array}{c}{u}_1(x),b(x)z(x)+\mathit{}|u_1{|}^{p-2}{u}_1>\mathrm{0,}\\ u_2(x),b(x)z(x)+\mathit{}|u_2{|}^{p-2}{u}_2<\mathrm{0,}\end{array}$$.

а якщо u1(x) < u < u2(x), то визначається з співвідношення $$b(x)z(x)+\mathit{}|u{|}^{p-2}u=\mathrm{0,}$$ де функція z (x) знаходиться з розв’язку системи рівнянь.

$$\{\begin{array}{c}\mathit{L}=b(x)u(z),N_{}=f_0(x),\\ L^{}z=J_1^{\text{'}}(),N_{}^{}z=0\text{.}\end{array}$$ (10).

Доведення. Зауважимо спочатку, що множина U1 обмежена, опукла і замкнена в просторі $$L_2(G)\text{.}$$ Покажемо, наприклад, замкненість. Нехай послідовність un (x) збігається в просторі $$L_2(G)$$ до функції u (x). З послідовності un (x) вилучимо підпослідовність, яка буде збігатися майже всюди до u (x), але тоді в нерівності $$u_1(x)<=u_n(x)<=u_2(x)$$ можна перейти до границі і одержати, що функція u (x) також задовольняє цю нерівність. Далі з теореми (3.5) випливає, що оптимальне керування знаходиться з розв’язку варіаційної нерівності.

$$\underset{G}{}[b(x)z(x)+\mathit{p}{|u|}^{p-2}u][v(x)-u(x)]\text{dx}>=0v(x)[u_1(x),u_2(x)]\text{.}$$ (11).

Покажемо тепер, що справедлива.

Лема 1. Нехай функція f (x) належить простору Lq (G), $$u,v{L}_p(G),p>\mathrm{1,}$$ $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\mathrm{1,}$$ K — замкнена опукла множина в R1. Тоді нерівність $$\underset{G}{}f(x)[v(x)-u(x)]\text{dx}>=0vK$$ майже всюди, еквівалентна нерівності $$f(x)[v_1-u]>=0$$ майже для всіх $$xG,v_{1}K\text{.}$$.

Доведення леми проведемо в припущені, що підинтегральна функція обмежена і неперервна на множині G. Нехай $$x_{0}G\text{.}$$ позначимо через Sn (x0) послідовність сфер з центром в точці x0 і радіусом $$\frac{1}{n},$$ а V (Sn (x0)) об'єми відповідних сфер.

З оцінки.

$$m_n<=V^{-1}(S_n(x_0))\underset{S_n(x_0)}{}f(v-u)\text{dx}<=M_n,$$.

де mn, Mn — точна верхня і точна нижня грань підинтегральної функції на сфері Sn (x0), випливає, що $$$$ точки $$x_{0}G$$.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{V}^{-1}(S_n(x_0))\underset{S_n(x_0)}{}f(x)[v(x)-u(x)]\text{dx}=f(x_0)[v(x_0)-u(x_0)]\text{.}$$.

Візьмемо далі функцію v (x) у вигляді v=xnv1+[1-xn (x)]u, де xn (x) — характеристична функція сфери Sn (x0), а v1(x) — неперервна функція на G, причому $$v_1(x)KxG\text{.}$$ Тоді.

$$V^{-1}(S_n(x_0))\underset{G}{}f(x)(v-u)\text{dx}=V^{-1}(S_n(x_0))\underset{S_n(x_0)}{}f(x)[v_1(x)-u(x)]\text{dx}>=0\text{.}$$.

Після переходу до границі при $$n->\mathrm{}$$ одержимо.

$$f(x_0)[v_1(x_0)-u(x_0)]>=0v_{1}K\text{.}$$.

Оскільки x0 довільна точка G, то лема доведена.

Продовжимо далі доведення теореми. Використовуючи лему, нерівність (3.11) перепишемо увигляді.

$$[b(x)z(x)+\mathit{p}{|u|}^{p-2}u](v-u)>=0v(x)[u_1(x),u_2(x)]\text{.}$$.

Звідки.

$$u(x)=u_1(x)$$ при $$b(x)z(x)+\mathit{}|u_1{|}^{p-2}{u}_1>\mathrm{0,}$$.

$$u(x)=u_2(x)$$ при $$b(x)z(x)+\mathit{}|u_2{|}^{p-2}{u}_2<\mathrm{0,}$$.

$$b(x)z(x)+\mathit{}|u{|}^{p-2}u=0$$ при u1(x) < u < u2(x), що і потрібно було довести. л Наслідок. Нехай p=2, 0. Тоді співвідношення для оптимального керування набудуть вигляду.

$$u(z)=\{\begin{array}{c}{u}_1(x),u_1(x)>-\frac{1}{2}b(x)z(x),\\ u_2(x),u_2(x)<-\frac{1}{2}b(x)z(x),\\ -\frac{1}{2}b(x)z(x),u_1(x)<-\frac{1}{2}b(x)z(x)<u_2(x)\text{.}\end{array}$$.

Нарешті розглянемо той випадок, коли функціонал $$J_1()$$ має вигляд.

$$J_1()=\underset{vV}{\text{sup}}\underset{G}{}[(x)-{}_0(x)]v(x)\text{dx}$$ ,.

де $${}_0(x)L_2(G),V$$ — обмежена множина в просторі $$L_2(G),$$ $$J_2(u)$$ — опуклий слабонапівнеперервний знизу диференційовний за Гато функціонал на рефлексивному банаховому просторі U, причому $$\underset{u->\mathrm{}}{\text{lim}}{J}_2(u)=\mathrm{}\text{.}$$ Будемо шукати оптимальне керування з умови $$J_1()+J_2(u)-\underset{u}{\text{inf}}\text{.}$$.

Покажемо, що має місце Твердження 2. Для оптимального значення критерія якості справедливо представлення.

$$\underset{U}{\text{inf}}[J_1()+J_2(u)]=\underset{vV}{\text{sup}}\left[\underset{G}{}B\widehat{u}\widehat{z}(x)\text{dx}+\underset{G}{}{}_2(x)v(x)\text{dx}-\underset{G}{}{}_0(x)v(x)\text{dx}+J_2(\widehat{u})\right],$$.

де функція z (x) і вектор $$\widehat{u}$$ визначаються зі співвідношень.

$$\{\begin{array}{c}L{\widehat{}}_1=B\widehat{u},N_{}{\widehat{}}_1=\mathrm{0,}\\ L^{}\widehat{z}=v(x),N_{}^{}\widehat{z}=\mathrm{0,}\\ {}_u^{-1}{B}^{}\widehat{z}+J_2^{\text{'}}(\widehat{u})=\mathrm{0,}\end{array}$$.

а функція $${}_2(x)$$ є розв’язком рівняння.

$${\mathit{L}}_2=\mathrm{0,}{N}_{}{}_2=f_0(x)\text{.}$$.

Тут $${}_u$$ — канонічний ізоморфізм простору U на спряжений.

Доведення. Розглянемо на множині $$UxV$$ функціонал K (u, v) вигляду.

$$K(u,v)=\underset{G}{}[(x)-{}_0(x)]v(x)\text{dx}+J_2(u)\text{.}$$.

Зауважимо, що опуклий слабонапівнеперервний знизу по змінній u, лінійний по v функціонал. Згідно з теоремою про існування сідлової точки (див. § 2) має місце рівність.

$$\underset{u}{\text{inf}}[J_1()+J_2(u)]=\underset{vV}{\text{sup}}\underset{u}{\text{inf}}\left[\underset{G}{}[(x)-{}_0(x)]v(x)\text{dx}+J_2(u)\right]\text{.}$$.

Представимо функцію $$(x)$$ у вигляді $$(x)={}_1(x)+{}_2(x),$$ де $${}_1(x)$$ — розв’язок рівняння $${\mathit{L}}_1=\text{Bu},N_{}{}_1=0\text{.}$$ Тоді якщо ввести функцію z (x) як розв’язок рівняння $$L^{}z=v(x),N_{}z=\mathrm{0,}$$ то користуючись означенням узагальненого розв’язку рівняння неважко показати, що.

$$\underset{G}{}{}_1(x)v(x)\text{dx}=\underset{G}{}z(x)\text{Budx}\text{.}$$.